1.2.1 函数及其表示
课堂导学
三点剖析
一、函数的概念
【例1】 下列对应是从集合M到集合N的函数的是（ ）
A.M=R,N=R,f:x→y=
B.M=R,N=R+(正实数组成的集合)，f:x→y=
C.M={x|x≥0},N=R,f:x→y2=x
D.M=R,N={y|y≥0},f:x→y=x2
思路分析：本题主要考查函数的定义.
解：A.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，故该对应不是从M到N的函数.B.对于M中的元素-1，N中没有元素与之对应，该对应f:M→N不是函数.C.对于M中的任一元素如x=4，通过对应法则f:x→y2=x得到N中有两个元素±2与之对应，故f:x→y2=x不是从M到N的函数.
答案：D
温馨提示
判断一个对应法则是否构成函数，关键是看给出定义域内任一个值，通过给出的对应法则，y是否有且只有一个元素与之对应.
【例2】 下列四组函数中，有相同图象的一组是（ ）
A.y=x-1,y= B.y=,y=
C.y=2,y= D.y=1,y=x0
解析：y=x-1与y==|x-1|的对应法则不同；y=的定义域为［1,+∞)，y=的定义域为(1,+∞)，两函数的定义域不同；y=1的定义域为R，y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，两函数定义域不同；y=2与y=是两相等的函数，所以图象相同.选C.
答案：C
温馨提示
1.定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要有一项不同，两个函数就不相等.由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，只要判断定义域与对应关系是否相同即可.
2.判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是求函数的定义域必须通过原函数解析式去求.
二、求函数解析式、定义域
【例3】如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，梯形周长y是否是腰长x的函数？如果是，写出函数关系式，并求出定义域.
思路分析：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义.该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值，因此周长y是腰长x的函数.若要用腰长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此只需用已知量(半径R)和腰长x把上底表示出来，即可写出周长与腰长的函数关系式.
解：由题意可知，每一个腰长x都能对应唯一的周长值y，因此周长y是腰长x的函数.
如上图，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上，设腰长AD=BC=x,作DE⊥AE，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.
∴AD2=AE·AB,即AE=.
∴CD=AB-2AE=2R-.
∴周长y满足关系式
y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R，
即周长y和腰长x间的函数关系式y=-+2x+4R.
∵ABCD是圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0，即解不等式组，得函数y的定义域为{x|0
温馨提示
该题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，利用函数概念的内涵，判断是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形.
【例4】求下列函数的定义域.
(1)y=;(2)y=;(3)y=++.
思路分析：具体函数即有具体解析式的函数的定义域是求使解析式有意义的x取值集合，其求法通常是转化为求不等式组的解集，实际问题还要注意符合实际意义.
解：要使函数解析式有意义，
(1)≥0或≥2或x<-2.
所以函数定义域为{x|x≥2或x<-2}(或(-∞,-2)∪［2,+∞］).
(2)x≥-1且x≠2,
所以函数定义域为{x|x≥-1且x≠2}.
(3)-4≤x≤0且x≠-3，
所以函数定义域为{x|-4≤x≤0且x≠-3}.
温馨提示
1.当函数用解析式给出时，求函数的定义域，要把所有制约自变量取值的条件找出来，然后归结为解不等式（组）的问题，在解不等式时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值的取舍.
2.求函数定义域之前，尽量不要对函数解析式作变形，以免引起定义域的变化.
3.已和函数f(x)的定义域为［a,b］，则函数f［g(x)］的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的取值范围；一般地，函数f［g(x)］的定义域是［a,b］,指的是x∈［a,b］,要求f(x)的定义域，就是求x∈［a,b］时，g(x)的值域.
三、求函数的值域
【例5】 已知函数f(x)=,求：
(1)f(),f();(2)f(x)+f();(3)f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()+…+f(2 005)+f().
思路分析：y=f(x)的涵义是指自变量x通过对应关系求对应函数值y=f(x).该题则指x对应的函数值通过而获得，无论谁处于自变量的位置上，不管是，还是，都充当自变量角色，通过对应法则而得到所求的函数值.
解：由于f(x)=,
(1)f()==,f()==.
(2)f(x)+f()=+==1.
(3)由(2)可得f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 005)+f()=+=2 004+=2 004.5.
温馨提示
1.求函数值时，要正确理解对应法则“f”和“g”的含义.
2.求f［g(x)］时，一般遵循先里后外的原则，先求g(x),然后将f(x)解析式中的x代换为g(x),同时要注意函数的定义域.
【例6】已知函数y=x2-4x-5,求:
（1）x∈R时的函数值域；
（2）x∈{-1,0,1,2,3,4}时的值域；
（3）x∈［-2,1］时的值域.
思路分析：函数值域是由定义域与对应关系所确定的，在求函数有关问题时，始终要把握好“定义域优先”的原则，二次函数的特定区间求值域值得关注.
解：（1）x∈R,y=x2-4x-5=(x-2)2-9,值域为［-9,+∞］.
（2）当x=-1时，y=(-1)2-4×(-1)-5=0;
当x=0时，y=-5;
当x=1时，y=12-4×1-5=-8;
当x=2时，y=22-4×2-5=-9;
当x=3时，y=32-4×3-5=-8;
当x=4时，y=42-4×4-5=-5.
∴当x∈{-1,0,1,2,3,4}时函数y=x2-4x-5的值域为{0，-5，-8，-9}.
（3）∵y=x2-4x-5的图象如图所示，当x∈［-2,1］时的图象如图所示，由二次函数的性质可知函数y=x2-4x+5在x∈［-2,1］上的最小值为ymin=12-4×1-5=-8,最大值为ymax=(-2)2-4×(-2)-5=7.
∴其值域为［-8，7］.
温馨提示
1.求函数的值域应遵循“定义域优先”的原则.
2.求二次函数的值域要结合二次函数的图象求其值域.
各个击破
类题演练1
下列关系中确定是函数关系吗？
（1）L=2πR，其中R表示圆的半径，L表示圆的周长；
（2）S=S0+vt，其中S表示物体运动的距离，t表示运动时间，S0表示初始距离，v表示匀速常数；
（3）A={x|x≥0,x∈R},B=R，从集合A到集合B的对应关系是“求平方根”.
答案：（1）（2）是函数关系，（3）不是函数关系.
变式提升1
下列图象可以作为函数y=f(x)图象的是（ ）
解析：对于B，给x一个值，y可能没有元素与之对应或有两个元素与之对应；对于C，给x一个值，y可能没有或有两个元素与之对应；对于D，当x=0时，y有两个值与之对应，故选A.
答案：A
类题演练2
下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.f(x)=x,g(x)=()2 B.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1
C.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2 D.f(x)=,g(x)=x+1
解析：A.定义域不同，C.对应关系不同，D.定义域不同.
答案：B
变式提升2
下列各小题中的两个函数是否表示同一函数.
(1)y=·与y=；
(2)y=·与y=.
解析：（1）y=·的定义域为即x≥1;而的定义域为x2-1≥0，即x≥1或x≤-1,可见定义域不同，故不表示同一函数.
(2)y=·的定义域为-1≤x≤1;y=的定义域为-1≤x≤1;且·=,故对应关系相同，定义域相同，表示同一函数.
类题演练3
用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如右图），若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.
解析：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB=2x,宽为a.则有2x+2a+πx=l,即a=-x-x,半圆的直径为2x，半径为x,所以y=+(-x-x)·2x=-(2+)x2+lx.根据实际意义知-x-x>0,解得x>0且x<,即函数y=-(2+)x2+lx的定义域是0变式提升3
如右图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2，BC=1，∠BAD=45°,直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD位于N，记AM=x,试将梯形ABCD于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域，画出函数的图象.
解：过B、C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，则AH=，AG=，当M位于H左侧时，AM=x,MN=x.
∴y=S△AMN=x·x=x2(0≤x<).
当M位于H、G之间时，
y=AH·BH+HM·MN
=··+（x-）·
=x-（≤x<）.
当M位于G、D之间时，y=S梯形ABCD-S△MDN
=··（2+1）-·（2-x）(2-x)
=-x2+2x-(≤x≤2).
∴所求函数的关系式为
函数的图象如右图所示，函数的定义域为［0，2］，函数的值域为［0，］.
类题演练4
求下列函数的定义域：
（1）y=;
(2)y=+.
解：（1）令
故函数的定义域为
{x|x<0且x≠-1}.
(2)令
故函数的定义域为
{x|-≤x≤}且x≠±.
变式提升4
(1)若函数f(x)的定义域是［0,1］，则函数f(2x)+f(x+)的定义域为______________.
解析：此类函数没有具体的解析式，由f(x)的定义域已知,那么f(2x)中的2x与f(x+)中的x+处在自变量位置上就要满足f(x)的条件要求.
∵f(x)的定义域是［0,1］，∴f(2x)+f(x+)中的x必须满足
0≤x≤.
因此所求函数定义域为［0,］.
答案：［0,］
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为［0,1），求f(1-3x)的定义域.
解析：f(2x-1)的定义域为［0,1］，即0≤x<1,∴-1≤2x-1<1.∴f(x)的定义域为［-1，1］，
即-1≤1-3x<1,0类题演练5
已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2),g(2)的值;
（2）求f［g(2)］的值；
（3）求f［g(x)］的解析式.
解：(1)f(2)==,g(2)=22+2=6.
(2)f［g(2)］=f(6)==.
(3)f［g(x)］=f(x2+2)==.
变式提升5
(1)已知f(x)=求f［f()］=______________.
解析：f［g()］=f(1)=0.
答案：0
(2)已知：f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若g［f(x)］=x2+x+1,求a的值.
解析：∵g［f(x)］=g(2x+a)
=［(2x+a)2+3］
=x2+ax+(a2+3)，
又∵g［f(x)］=x2+x+1，
∴∴a=1.
类题演练6
已知函数y=x2+2.
(1)求x∈{x||x|≤2,x∈Z}时的函数的值域;
（2）x∈［-1,2］时的函数的值域.
解析：（1）{2，3，6}.
（2）∵由函数图象可得ymin=f(0)=2,ymax=f(2)=6.
∴所求值域为［2，6］.
答案：（1）{2，3，6} （2）［2，6］
变式提升6
求函数y=x2-4x+5在x∈［m,6］时的值域.
解析：（1）当2≤m<6时，其图象如右图所示, 由二次函数的性质可得
ymin=f(m)=m2-4m+5.
ymax=f(6)=62-4×6+5=17.
∴原函数的值域为［m2-4m+5,17］.
(2)当-2≤m≤2时，
f(x)min=1,f(x)max=f(6)=17,
∴值域为［1，17］.
(3)当m<-2时，f(x)min=f(2)=1,
f(x)max=f(m)=m2-4m+5,
∴其值域为［1，m2-4m+5］.
1.2.2 函数的表示法
课堂导学
三点剖析
一、函数的三种表示方法
【例1】 作出下列函数的图象：
（1）y=2-x,x∈Z;
（2）y=2x2-3x-2(x>0);
（3）y=
思路分析：作函数图象主要有两种思路：①利用列表描点法，②转化为基础函数，利用基本函数图象作复杂函数图象.
解：（1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x上.如图1所示.
图1
（2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x2-3x-2的图象，然后截出需要的图象，如图2所示.
图2
(3)这个图象是由两部分组成的，当x≥1时，为双曲线y=的一部分，当x<1时，为抛物线y=x2的一部分，如图3所示.
图3
温馨提示
1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、线段、射线等，这要由定义域对应关系确定.
2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图，也是数形结合的有力工具.
【例2】 由函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式.
思路分析：由于f(x)是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a≠0)，然后利用条件列方程(组)，再求系数.
解：f(x)是一次函数，设f(x)=ax+b(a≠0).由于3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
因此3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=ax+5a+b=2x+17,则得
即故函数解析式为f(x)=2x+7.
温馨提示
求已知函数的解析式通常利用待定系数法.由于常见的已知函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式，即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.
二、根据已知关系,写出函数的解析式
【例3】 在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如右图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y,求函数y=f(x)及其定义域.
思路分析：由于P点在折线BCDA上位置不同时，△ABP各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此这里要对P点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数.
解：如上图，当点P在线段BC上时，即0 当P点在线段CD上时，即4 当P点在线段DA上时，即8 ∴y=f(x)=
且f(x)的定义域是(0,12).
温馨提示
分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，处理分段函数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系.
【例4】 (1)已知f(+1)=x+2,求f(x);
(2)已知f(x)满足af(x)+f()=ax(x∈R且x≠0,a为常数,且a≠±1),求f(x).
解：(1)解法一：令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“+1”换作另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关系，此即为所求函数解析式.
解法二：x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,
∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).
温馨提示
此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的表达式，即变为关于+1的表达式.
(2)∵af(x)+f()=ax,将原式中的x与互换得af()+f(x)=,
于是得关于f(x)的方程组：
解得f(x)=(a≠±1).
温馨提示
本题求解析式的方法称为方程法.函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元素都应满足函数表达式，在已知条件下，x满足已知的式子，那么在定义域内也满足这个式子，这样得到两个关于f(x)与f()的方程，因而才能解出f(x).
三、映射的概念
【例5】 下面的对应哪些是从集合M到集合N的映射？哪些是函数？
(1)设M=R，N=R，对应关系f:y=,x∈M;
(2)设M={平面上的点}，N={(x,y)|x,y∈R}，对应关系f:M中的元素对应它在平面上的坐标；
(3)设M={高一年级全体同学}，N={0,1}，对应关系f:M中的男生对应1，女生对应0;
(4)设M=R，N=R，对应关系f(x)=2x2+1,x∈M;
(5)设M={1,4，9}，N={-1,1，-2,2，3，-3}，对应关系：M中的元素开平方.
思路分析：判断一个对应是否构成映射，关键是看M中的任一元素在N中按照给定的对应关系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M、N都是非空数集，且从M到N构成映射时，才能确定构成从M到N的函数；不是映射的，更不可能构成函数.
解：(1)M中的0在N中没有元素与之对应，从M到N的对应构不成映射.
(2)(3)都符合映射定义，能构成从M到N的映射，但由于M不是非空数集，因此构不成函数.
(4)从M到N的对应既能构成映射，又能构成函数.
(5)M中的元素在N中有两个元素与之对应，所以构不成映射.
温馨提示
1.映射概念中的两个集合A、B，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A、B必须是非空数集.
2.A到B的映射与B到A的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致错误.
各个击破
类题演练1
作出下列函数的图象.
(1)y=x,|x|≤1;
(2)y=1-x,x∈Z且|x|≤2;
(3)y=;
解：(1)此函数图象是直线y=x的一部分.
(2)此函数的定义域为{-2，-1，0，1，2}，所以其图象是由五个点组成，这些点都在直线y=1-x上.(这样的点叫做整点)
（3）先求定义域，在定义域上化简函数式y==x,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).如下图所示.
变式提升1
设［x］是不超过x的最大整数，作下列函数的图象.
(1)f(x)=［x］;
(2)h(x)=x-［x］,x∈［-2,2］.
解：(1)f(x)=［x］=n(n≤x f(x)=n(n≤x ∴f(x)=［x］的图象是无数条线段，不包括线段的右端点.注意在x轴上的线段的端点是（0，0）、（1，0）.见下图（A）.
(2)h(x)=x-［x］ x∈［-2,2］化为
h(x)=
h(x)的图象是四条线段和点（2，0），注意均不含线段上面的端点，见下图（B）.
图（A）
图（B）
类题演练2
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解析：①设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=1得c=1,而f(x+1)-f(x)=［a(x+1)2+b(x+1)+c］-(ax2+bx+c)=2ax+a+b.
由已知f(x+1)-f(x)=2x得2ax+a+b=2x.所以解得a=1,b=-1.
故f(x)=x2-x+1.
变式提升2
求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.
思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再画出分段函数的图象，然后解之.
解:
作出函数图象如右上图,由图象可知x=0时,ymax=2.
类题演练3
国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.
（1）试根据上述规定建立某人所得稿费x(元)与纳税额y(元)之间的函数关系式；
（2）某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？
答案：（1）
（2）3 800
变式提升3
某商场因拆迁将库存的原价100元/套的时装50套作减价处理，规定：不超过5件按八五折(即原价的85%)；6件到20件(包含20件)按六五折；20件以上打五折.
（1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？
（2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？
答案：（1）y=
（2）y=
类题演练4
如果f()=,则f(x)=____________.
解法一:∵f()===,∴f(x)=.
解法二：设t=,则x=,
代入f()=,
得f(t)==,
故f(x)=.
变式提升4
已知f()=+,求f(x).
解法一：∵f()=+
=()2-+=()2-=()2-+1,
∴f(x)=x2-x+1.
解法二：设=u,
则x=,u≠1.
则f(u)=f()=+=1++=1+(u-1)2+(u-1).
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
温馨提示
解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言，“f”是怎样的对应规律.
类题演练5
（1）下列对应是从A到B的函数的是（ ）
①A={x|x≥0,x∈R},B=R,f:x→y2=x ②A=N,B={-1,1},f:x→(-1)x ③A={三角形}，B={圆}，f:三角形→三角形的外接圆 ④A=R,B=R,f:x→y=x3
A.②④ B.② C.④ D.①②④
答案：A
（2）f:A→B是集合A到集合B的映射，A=B={(x,y)|x∈R，y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b)，若B中的元素（6，2），在此映射下的原象是（3，1），则k=_____________,b=______________.
解析：由
答案：2 1
变式提升5
已知集合A={a|a<5,a∈N}到集合B的对应法则是“乘3加2”，集合B到集合C的对应法则是“求算术平方根”.
（1）试写出集合A到集合C的对应法则f;
（2）求集合C；
（3）集合A到集合C的对应是映射吗？
解析：（1）设x∈A,y∈B,z∈C,依题意y=3x+2,z=,∴z=,
∴从集合A到集合C的对应法则是f:x→z=.
（2）∵A={a|a<5,a∈N}={0,1,2,3,4},
∴C={,,2,,}.
(3)因为对于集合A内任一元素x在集合C中都有唯一的一个元素z与之对应，所以A到C的对应法则f是A到C的映射.
1.2 函数及其表示
互动课堂
疏导引导
1.2.1 函数的概念?
1.函数的定义?
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域,显然值域是集合B的子集.
疑难疏引 函数概念的正确理解：
(1)关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
(2)两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)＝|x|，与f(x)＝x2是同一个函数.
(3)函数的核心是对应关系.在函数符号y＝f(x)中，f是表示函数的对应关系，等式y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.?
函数符号y＝f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.
（4）值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定.
2.函数的三要素
构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.?
疑难疏引 核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.
3．区间的概念?
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］.
（2）满足不等式a（3）满足不等式a≤x疑难疏引 无穷大是个符号，不是一个数.关于用-∞、+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．区间是数学中常用的术语和符号.必须记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号及其含义.
对于［a,b］，(a,b)，［a,b)，(a,b］，都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法.
●案例1
下列各题中的两个函数表示同一个函数的是?( )
A. f（x）＝x，g（x）＝
B. f（n）＝2n＋1（n∈Z），g（n）＝2n－1（n∈Z）?
C. f（x）＝x－2，g（t）＝t－2?
D. f（x）＝，g（x）＝1＋x
【探究】 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同；B中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D中两函数的定义域不同.C符合.
【溯源】 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.
若判断两个函数不是同一个函数，只要三要素中有一者不同即可判断不是同一个函数.
4.函数的定义域
函数定义域是函数y=f(x)自变量x的取值范围.
疑难疏引 （1）定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2(x∈R)与y=x2(x>0)；y=1与y=x0.
(2)若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围.
(3)常见函数定义域类型及求解策略：
如果给出具体解析式求定义域：一般首先分析解析式中含有哪几种运算，然后列出各运算对象的范围，组成不等式组，解不等式组，即得所求定义域.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：
①解析式是整式的函数，其定义域为R；
②解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；
③解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合.?
复合函数f［g(x)］的定义域和f(x)定义域互相转化，要注意定义域就是x的取值范围，并且前者中g(x)的取值范围等价于后者中x的取值范围.?
如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使思路分析式有意义的实数的集合.?
●案例2
已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围.
【探究】 首先向不等式转化，在求m的取值范围时，由于m为二次项系数，∴要对其进行分类讨论；当x∈R时,mx2-6mx+m+8≥0恒成立.
当m=0时,x∈R.
当m≠0时，即
解之，得0【溯源】 由定义域是R求参数的取值范围问题，首先转化成含参不等式恒成立，然后利用数形结合等方法列出相关条件，尤其注意在含x2项问题中要对其系数进行讨论.?
5.函数的解析式?
疑难疏引?
（1）在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样.?
（2）f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”.
（3）符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.
●案例3
已知函数f（x）=根据已知条件分别求出f（1），f（－3），f［f（－3）］，f｛f［f（－3）］｝的值.
【探究】 此函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.
答案：f（1）=12=1；f（－3）=0；f［f（－3）］=f（0）=1；f｛f［f（－3）］｝=f［f（0）］=f（1）=12=1.
【溯源】 深刻理解复合函数的概念，注意选取的自变量和其要应用的解析式要对应，这类问题是历年高考的热点．
●案例4
已知函数f（x+1）=x2－1，x∈［－1，3］，求f（x）的表达式.?
【探究】 函数是一类特殊的对应，已知函数f（x+1）=x2－1，即知道了x+1被法则“处理”的结果是x2－1，如果知道x2－1是怎样由x+1演变得出的，也就知道f（x）的表达式了.本题可用“配凑法”或“换元法”.
解法一：（配凑法）∵f（x+1）=x2－1=（x+1）2－2（x+1），
∴f（x）=x2－2x.
又当x∈［－1，3］时，（x+1）∈［0，4］，∴f（x）=x2－2x，x∈［0，4］.
解法二：（换元法）令x+1=t，则x=t－1，且由x∈［－1，3］知t∈［0，4］，
∴由f（x+1）=x2－1，得f（t）=（t－1）2－1=t2－2t，t∈［0，4］.
∴f（x）=（x－1）2－1=x2－2x，x∈［0，4］.
【溯源】 已知函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式一般有两种方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法.?
所谓“配凑法”即把已知的f［g（x）］配凑成关于g（x）的表达式，而后将g（x）全用x取代，化简得要求的f（x）的表达式；
所谓“换元法”即令已知的f［g（x）］中的g（x）=t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入f［g（x）］，化简成最简式.
需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f（x）的表达式后，都需要指出其定义域，而f（x）的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g（x）］中g（x）的范围一致，所以说求f（x）的定义域就是求函数g（x）的值域.?
●案例5
已知二次函数f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），求f（x）的表达式.
【探究】 二次函数是我们熟悉的一种函数，其形式有：一般式f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）；交点式f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a∈R且a≠0），其中x1、x2分别是f（x）的图象与x轴的两个交点的横坐标；顶点式f（x）=a（x－m）2+n（a∈R且a≠0），（m，n）是顶点坐标.无论哪种形式都有三个参数，所以可用待定系数法求解f（x），具体解法如下.
解法一：（待定系数法）由题意可设f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R且a≠0）.
∵f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0）及点C（6，0），
∴解得
∴f（x）=x2－x+.
解法二：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象与x轴的两交点的横坐标分别是2和6.∴可设f（x）=a（x－2）（x－6），a∈R且a≠0.∵f（x）的图象过点A（1，1），∴1=a（1－2）（1－6）.解得a=.
∴f（x）=（x－2）（x－6），即f（x）=x2－x+.
解法三：（待定系数法）∵f（x）的图象过点B（2，0）及点C（6，0），∴f（x）的图象关于直线x=，即x=4对称.∴可设f（x）=a（x－4）2+m，其中a、m∈R且a≠0.又f（x）的图象过点A（1，1）、B（2，0），∴
∴解得
∴f（x）=（x－4）2－，即f（x）=x2－x+.
【溯源】 当知道了函数类型求解函数表达式时，一般用待定系数法.如求一次函数可设f（x）=kx+b，k、b为待定系数；求反比例函数可设f（x）=，k为待定系数.
6．函数的值域
基本函数的值域：
（1）正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.?
（2）反比例函数y=(k≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).?
（3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).?
当a>0时,值域为［,+∞);?
当a<0时,值域为(-∞,］.
常见函数值域的求解类型和方法：
(1)配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.
(2)函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,可用一个新的变量来替代根式,而根式外的x也可以用这个新的变量表示出来,这样就可将原函数表示成这个新变量的一个二次函数形.我们把这种求函数值域的方法叫做“换元法”，形如y=ax+d±(ab≠0)的函数均可用“换元法”求值域.需要注意的是换元后的变量的取值范围.
(3)形如y=(c≠0,bc≠ad)可以将其分解成一个常数与一个分式的和或差的形式,并且分式的变量x只在分母中,又因为反比例函数y=及其相应的形式y=的值域为{y|y≠0},所以这种函数的值域就是不等于此常数的所有实数.我们通常称这种求值域的方法为“分离常数法”.
(4)形如y=(a1、a2不同时为零)的函数,可把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.注意事项:函数定义域应为R(或有有限个断点)，分子、分母没有公因式.
●案例6
在求解下列函数的值域后，你能有什么启发吗？
（1）y=x2+4x-2,x∈R;?
（2）y=x2+4x-2,x∈［-5,0］;?
（3）y=x2+4x-2,x∈［-6,-3］;?
（4）y=x2+4x-2,x∈［0,2］.?
【探究】 这些函数都是二次函数且解析式都相同,但是各自函数的定义域都是不同的,应该通过“配方”借助于函数的图象来求其函数.?
（1）配方,得y=(x+2)2-6,由于x∈R,故当x=-2时,y min=-6,无最大值,所以值域是［-6,+∞).
（2）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-5,0］,所以当x=-2时,y min=-6,当x=-5时,ymax=3.
故函数的值域是［-6,3］.
（3）配方,得y=(x+2)2-6,因为x∈［-6,-3］,?
所以当x=-3时,y min=-5,当x=-6时,y max=10.?
故函数的值域是［-5,10］.
（4）配方,得y=(x+2)2-6,?
因为x∈［0,2］,所以当x=0时,y min=-2;?
当x=2时,y max=10.
故函数的值域是［-2,10］.
【溯源】 上述四个题目相同但所给的区间不同,最后得到的值域也不同,主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的,因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图象是什么样子.
1.2.2 函数的表示法?
1.函数的表示方法?
主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法．
（1）解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.?
（2）列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法.?
（3）图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法.?
疑难疏引 用解析式表示函数关系的优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点：有些函数很难用解析式表示.?
用列表法表示函数关系的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点：函数解析式的体现有时不明显.?
用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出函数的变化情况，更能体现数形结合的思想.缺点：变量的值依赖于图象的精度，不利于精确计算.?
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽如人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象.
●案例1
小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是( )
【探究】 首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择D.
【溯源】 实际应用问题是高考考查的重点也是难点，解决此类问题要特别重视实际变量和函数变量之间的对应关系，尤其是图象题经常用直观感觉判断.
2.分段函数
疑难疏引 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数是一个函数，在画图象时必须分段画，尤其需注意特殊点，在解决这部分题目时要注意分段定义函数作为一个整体与构成它的局部之间的关系.主要是指根据定义域的分段而产生不同的函数关系式.
●案例2
用分段函数表示f(x)=|x-1|，并求f(0)、f(-2)、f(3)．
【探究】 函数f(x)=|x-1|是一个分段函数,欲求f(0)、f(-2)、f(3),只需观察0、-2、3这三个自变量对应的是此函数的哪一段,从而代入求值.?
【答案】 ∵f(x)=
∴f(0)=1，f(-2)=1-(-2)=3，f(3)=3-1=2.
【溯源】 求分段函数的有关函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.一般分段函数的问题经常画出函数的图象，应用图象特征解决问题.同时要注意分类讨论思想的应用.
2.映射的概念
映射f∶A→B的定义是：设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.?
疑难疏引
（1）映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.?
（2）映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.?
（3）映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.?
（4）映射允许集合B中存在的元素在A中没有元素与其对应.?
（5）映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.?
（6）函数是一种特殊的映射，定义域集合和函数值域集合都是非空的数集；但映射中的两个集合A和B可为任何集合，如人、物、数等.
●案例3
下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？?
（1）A=R，B={x∈R|x≥0}，对应法则是“求平方”；?
（2）A=R，B={x∈R|x＞0}，对应法则是“求平方”；?
（3）A={x∈R|x＞0}，B=R，对应法则是“求平方根”；?
（4）A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.
【探究】 只有（1）是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应.
（2）不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0，在集合B中没有象.?
（3）不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一.
（4）不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一.
【答案】 （1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是.
【溯源】 对于一个A到B的对应，A中的任何一个元素都对应B中的唯一一个元素，或A中的多个元素对应B中的一个元素，这样的对应都是映射，而A中的一个元素对应B中的多个元素的对应就不是映射.?
可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射.
活学巧用
1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )?
A. y=x－1和y=
B. y=x0和y=1?
C. f（x）=x2和g（x）=（x+1）2?
D. f（x）=和g（x）=
【思路解析】 看两个函数是否相同，主要看函数的定义域和对应法则.A选项中的两个函数定义域不相同；B选项中的两个函数的定义域也不同；C选项中的两个函数的解析式不同；只有D选项中的两个函数对应法则相同，定义域也相同.
【答案】 D
2. 下列各组函数是否表示同一个函数??
(1)f(x)=2x+1与g(x)=;
(2)f(x)=与g(x)=x-1;
(3)f(x)=|x-1|与g(t)=
(4)f(n)=2n-1(n∈Z)与g(n)=2n+1(n∈Z).
【思路解析】 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.?
【答案】 (1)g(x)=|2x+1|,f(x)与g(x)对应关系不同，因此是不同的函数.?
(2)f(x)=x-1(x≠0),f(x)与g(x)的定义域不同,因此是不同的函数.?
(3)f(x)= f(x)与g(t)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数.
(4)f(n)与g(n)的对应关系不同,因此是不同的函数.
3. 在下列选项中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )
【思路解析】 判断一幅图象表示的是不是函数的图象，关键是在图象中能不能找到一个x对应两个或两个以上的y，如果一个x对应两个以上的y，那么这个图象表示的就不是函数的图象.
A的图象表示的不是函数的图象，∵存在一个自变量x的取值(如:x=0)有两个y与之对应，不符合函数的定义.因此A不正确；B的图象是关于x轴对称也不符合函数的定义.因此B也不正确；C的图象是关于原点对称，但是当自变量x=0时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.∴C选项也不正确；D表示的图象符合函数的定义，因此它表示的是函数的图象.因此选D.?
【答案】 D
4. 求下列函数的定义域：?
（1）y＝2＋；
（2）y＝·；
（3）y＝（x－1）0＋.
【思路解析】 给定函数时，要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使思路分析式各部分有意义的x值的集合，所以应取各部分的交集.?
【答案】 （1）要使函数有意义，当且仅当x－2≠0，即x≠2，所以这个函数的定义域为{x|x∈R且x≠2}.
（2）要使函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|?x∈R且1≤x≤3}.
（3）要使函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}.
5. 若函数f(x+1)的定义域为［0，1］，则f(3x-1)的定义域为? .?
【思路解析】 ∵0≤x≤1,
∴1≤x+1≤2.?
又∵f(x+1)和f(3x-1)在对应法则上有联系，
∴1≤3x-1≤2.?
∴≤x≤1,即f(3x-1)的定义域为≤x≤1.?
【答案】≤x≤1
6. 如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是 ，这个函数的定义域为 .
【思路解析】 据长方体的体积公式，易得V=x（a－2x）2，其中0＜x＜.
【答案】 V=x（a－2x）2 {x|0＜x＜}
7. 设f（x）=则f（－）=? ，f（1）=________，f（6）=________.
【思路解析】 分清自变量对应的解析式.?
【答案】 1 － 3?
8. 如果f（）=，求f（x）的解析式.
【思路解析】 函数解析式y=f（x）是自变量x确定y值的关系式，本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.
【答案】 配凑法：∵f（）===，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
换元法：设t=，则x=，代入f（）=，得
f（t）==，
∴f（x）=（x∈R且x≠0，x≠±1）.
9. 已知一次函数y=f(x)满足f［f(x)］=4x+3,求一次函数的解析式.?
【思路解析】 设f(x)=ax+b（a≠0），用待定系数法.?
【答案】 设f(x)=ax+b（a≠0）,?
∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b?
=a2x+ab+b.?
∴a2x+ab+b=4x+3.?
∴
∴
∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
10. 已知函数f(x)=（a、b为常数）且方程f(x)－x+?12=?0有两个实根为x1=3,x2=4，求函数f(x)的解析式.
【思路解析】 求出函数f(x)的解析式中的待定系数a、b是我们解题的目标，根据已知条件f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4，可以将题意转化为方程组求解.?
【答案】 将x1=3,x2=4分别代入方程-x+12=0,得
解之得
所以f(x)=(x≠2).
11. 设函数f(x)满足f(x)+2f（-x）=x(x≠0)，求f(x).?
【思路解析】 以-x代换x，解关于-x、x的方程组，消去-x.?
【答案】 ∵f(x)+2f(-x)=x①
以-x代换x,得f(-x)+2f(x)=-x②?
解①②组成的方程组得f(x)=-3x.
12. 已知f(xy)=f(x)f(y),且f(0)≠0，求f(x).
【思路解析】 可利用赋值法求解.赋值法：在求函数的解析式时，有时候要“以退求进”，即把自变量赋于特殊值展现内在联系，或者减少变量个数，以利求解.
【答案】 由于等式f(xy)=f(x)f(y)对于一切实数都成立，故不妨设y=0,代入得f(x·0)=?f(x)·f(0),即f(0)=f(x)·f(0).
又∵f(0)≠0，∴f(x)=1.
13. 已知a为实数，x∈(-∞,a),则函数f(x)=x2-x+a+1的最小值是( )?
A. a+
B. a2+1?
C. 1?
D. a2+1或a+
【思路解析】 此题考查用配方法求二次函数，并用分类讨论的数学思想确定函数的最小值.
f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+，若a≤，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上单调递减，从而函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f(a)=a2+1;若a>，则函数f(x)=x2-x+a+1在(-∞,a)上的最小值为f()=a+.
综上，当a≤时，函数的最小值为a2+1；当a>时，函数的最小值为a+.因此选D.
【答案】 D
14. 二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,求k的值.
【思路解析】 ∵二次函数y=-x2+6x+k的值域为(-∞,0］,?
∴其最小值为0,即顶点纵坐标为0,从图形上看就二次函数的图象与x轴相切.?
【答案】 法1:y=-x2+6x+k=-(x-3)2+k+9.?
∵值域为(-∞,0］,?
∴k+9=0,k=-9.?
法2:∵二次函数开口向下,值域为(-∞,0］,?
∴其图象与x轴相切,判别式Δ=0,?
即Δ=62-4·(-1)·k=36+4k=0.?
∴k=-9.
15. 函数y=的值域是( )?
A． (－∞，－1)∪(－1，＋∞)?
B． (－∞，1)∪(1，＋∞)?
C． (－∞，0)∪(0，＋∞)?
D． (－∞，0)∪(1，＋∞)?
【思路解析】 因为函数的分子与分母都是关于x的一次函数,所以可用“分离常数法”求此函数的值域.?
y=
=
=1-
∵≠0,∴y≠1.故选B.
【答案】 B
16. 求函数y=2x-3+4x-13的值域.?
【思路解析】 函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,故可用“换元法”来求值域.?
【答案】 令t=4x-13(t≥0),则x=.
所以y=+t
=
=.
因为t≥0,所以当t=0时，y min=.
所以函数的值域是(-∞, ］.
17. 求函数y=的值域.
【思路解析】 函数的解析式是分式,且分母中变量x的次数是二次的,函数式可化为关于x的一元二次方程,利用“判别式法”来求值域.?
【答案】 将解析式改写成关于x的一元二次方程(2y-2)x2+(2y-2)x+y-5=0.
当y≠1时,Δ≥0,即(2y-2)2+20(2y-2)≥0y≥1或y≤-9.
当y=1时，y=5不成立，所以值域为(-∞,-9］∪(1,+∞).
18. 李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中（s为距离，t为时间），符合以上情况的是( )?
【思路解析】 对位要清楚,注意时间和路程的变化关系．?
【答案】 C
19. 已知f(x)=x2+2x-3，用图象法表示函数g(x)=.
【思路解析】 知道函数g(x)的定义域、值域和对应法则，就能根据这三个要素画出函数g(x)的图象，所以要先求出函数g(x)的三要素.?
当f(x)≤0，x2+2x-3≤0，-3≤x≤1，g(x)=0.?
当f(x)>0，即x<-3或x>1，g(x)=f(x)=(x+1)2-4.?
【答案】
20. 函数在闭区间［-1,2］上的图象如图所示，求此函数的解析式.
【思路解析】 根据函数的图象求函数的解析式，关键是确定自变量在每一段上所对应的函数类型，然后由待定系数法求出每一段上的解析式，从而得出整个函数的解析式.?
【答案】 f(x)=
21. 已知函数y=则函数y的最大值是_______________.
【思路解析】 可根据函数图象直接观察函数的取值范围,如图，画出分段函数的图象，图象的最高点A的纵坐标就是函数的最大值.而点A的坐标就是方程组的解，解得
∴A（-1，4）.
∴函数的最大值为4.?
【答案】 4
22. 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f：x→2x+1；
（2）设A=N *,B={0,1}，对应法则f：x→x除以2得到的余数；
（3）设X={1,2,3,4}，Y={1,,,},f:x→x取?倒数?；?
（4）A={(x,y)||x|<2，x+y<3，x∈Z，y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y；?
（5）A={x|x>2,x∈N}，B=N,f：x→小于x的最大质数；
（6）A=N，B={0,1,2}，f：x→x被3除所得余数.
【思路解析】 根据映射的概念判断对应是否是映射，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射.
【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）都是A到B的映射，（4）不是A到B的映射.
23. 是不是从A到B的映射？是不是函数？?
（1）A=(－∞,+∞)，B=（0，+∞）,f∶x→y=|x|;
（2）A={x|x≥0},B=R,f∶x→y,y2=x;?
（3）A={x|x≥2,x∈Z},B={y|y≥0,y∈Z},f∶x→y=x2-2x+2;
（4）A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f∶作矩形的外接圆.?
【思路分析】 按映射的特点可以判断：（1）不是映射，因为0∈A，但|0|=0∈B，当然更不是函数.（2）不是映射，更不是函数.因为y=±x，当x>0时，元素x的象不唯一.（3）是映射.因为y=(x-1)2+1≥0，又当x∈A时，y∈Z，所以(3)是映射.又因为A、B都是数集，所以也是函数.（4）是映射.因为每一个矩形都有唯一的外接圆，即A中每一元素在B中都有唯一的象，所以（4）是映射.但A、B不是数集，所以不是函数.
【答案】 （1）不是；不是. （2）不是；不是. （3）是；是. （4）是；不是.
24. 已知A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N,k∈N,x∈N,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a、k、A、B.
【思路解析】 函数就是从定义域到值域的对应,因此值域中的每一元素,在定义域中一定能找到元素与之对应.?
【答案】 由对应法则:1→4,2→7,3→10,k→3k+1.?
∵a4≠10,∴a2+3a=10a=2(a=-5舍去).?
又3k+1=16,∴k=5.
故A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.
1.2 函数及其表示
知识导学
函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域.这里应该注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能说C是B的一个子集.
构成函数的三要素:定义域A,对应法则f,值域B.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.
函数的定义域是函数研究的重要内容,在给定函数的同时应该给定函数的定义域.
一般地,如果不加说明,函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此,就可以“求出”函数的定义域了.
值域是全体函数值组成的集合,一般地,函数的定义域和对应关系确定,值域就随之确定了.
求函数值域是一个相当复杂的问题,常见的方法有(1)图象法;(2)反解x;(3)配方法;(4)换元法.以后还可用单调性、判别式法等.
所谓函数y=f(x)的图象,就是将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x0,f(x0))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.
函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:(1)会画各种简单函数的图象;(2)能以函数的图象识别相应函数的性质;(3)能用数形结合思想以图辅助解题.
根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.
函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.
疑难导析
1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x)=|x|,与f(x)=是同一个函数.
2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中,f是表示函数的对应关系,等式y=f(x)表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径.
函数符号y=f(x)是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析式,也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值,是一个常量;而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.
3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定.
映射作为函数概念的推广,只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合.所以说一个映射关系必为函数关系,反之不然.
映射要求原象必有象,至于象是不是有原象不需要考虑.
问题导思
关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.
高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数:
f(x)=
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.
有些表达式中的自变量和函数值所用的字母不同,但也是同一个函数.比如:y=3x+2与s=3t+2就是同一个函数.
由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;最后是画出函数的图象.
典题导考
绿色通道
判断两个函数或几个函数是不是同一个函数,有时是用定义域和对应关系是否相同来加以判别,但有时判别值域更方便些.比如本题中的第(4)小题.
黑色陷阱
对于函数是不是相同的判别,容易发生只看三要素中的其中之一的思维误区,从而造成解答错误.所以说认识函数对应法则必须认清它的本质,否则容易发生从表面上进行判别的错误.
典题变式 试判断以下各组函数中,是否表示同一函数?
(1)f(x)=,g(x)=;
(2)f(x)=,g(x)=
(3)f(x)=,
g(x)=() 2n-1(n∈N);
(4)f(x)=,
g(x)=.
答案:(1)不是;(2)不是;(3)是;(4)不是.
绿色通道
在求函数的解析式时,有时技巧上的变换对解题起到一定的作用,但通法更重要,因为通法是程式化的东西,解法二就是一种通法,这种变量替换在解数学题中占有重要的地位.
黑色陷阱
在进行变量替换时,易忽略替换变量后函数定义域的变化.所以解此类问题一定要细心缜密,不要慌张.
典题变式
1.求实系数的一次函数y=f(x),使f［f(x)］=4x+3.
答案:f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
2.已知f(x)满足2f(x)+3f()=4x,求函数f(x)的解析式.
答案:f(x)=-x+.
绿色通道
这里的函数对于所给的解析式,要进行化简才能看出所给的函数都是分段函数,然后再画图象.
黑色陷阱
一是容易将图(1)画成直线,主要原因是没有认清定义域为Z和定义域为R的区别.二是容易只画出图象的某一段,从而造成整个图象的缺失.
典题变式 作出下列函数的图象:
(1)y=|x+1|+|x-2|;
(2)y=
解:(1)y=|x+1|+|x-2|=作出函数的图象如图1-2-1所示:
图1-2-1
(2)作二次函数y=x2的图象取x≥-1的部分,再作y=x+1的图象取x<-1的部分,就得到函数
y=的图象,如图1-2-6所示.
图1-2-6
绿色通道
给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”,前两种对应是A→B的映射,而后一种不是A→B的映射.
典题变式 给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述,其中正确的有________.
(1)B中任何一个元素在A中必有原象;(2)A中不同元素在B中的象也不同;(3)A中任何一个元素在B中的象是唯一的;(4)A中任何一个元素在B中可以有不同的象;(5)B中某一元素在A中的原象可能不止一个;(6)集合A与B一定是数集;(7)符号f:A→B与f:B→A的含义是一样的.
答案:(1)不对;(2)不对;(3)对;(4)不对;(5)对;(6)不对;(7)不对.
绿色通道
本题考查的是分段函数,这是一个实际问题,解题时要用到分类讨论思想及数形结合思想,这是多年的高考热点,也是今后高考命题的方向.
(1)画出草图帮助分析时,要明确哪些是关键量,以及这些量的特点(变与不变);
(2)对分段函数要选准线段的各端点.
(3)可以通过画图判断函数的值域,这也是一种数形结合的解题思想.
黑色陷阱
在分段函数的转折点上易发生取舍不当的问题.比如本题如把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.
典题变式如图1-2-9,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2 m,渠深1.8 m,边坡的倾角是45°.
图1-2-9
(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;
(2)确定函数的定义域和值域;
(3)画出函数的图象.
答案:
(1)A= =h2+2h.
(2)定义域为{h|0值域为{A|0(3)函数图象如图1-2-10.
图1-2-10
黑色陷阱
对这类建模方面的问题,一是要经常留心生活中的人和事,不至于遇到类似的情景感到无从下手;二是遇到这类问题不要着急,要理清脉络,找到所对应的数学模型是解题的关键.
典题变式
1.如图1-2-12,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V以x为自变量的函数式是________,这个函数的定义域为________.
图1-2-12
答案:V=x(a-2x) 2 {x|02.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示:
月 份
用气量
煤气费
一月份
4米3
4元
二月份
25米3
14元
三月份35
米3
19元
该市煤气收费的方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度A米3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元,若用气量超过A米3,超过部分每米3付B元,又知保险费C超不过5元,根据上面的表格求A、B、C.
答案:A=5,B=0.5,C=1.
3.如图1-2-14,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式.
图1-2-14
答案:y=
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一 函数的概念
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一个数x”与“有唯一确定的数f(x)”说明函数中变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能“一对多”．
【典型例题1】 下列对应关系是否为A到B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2.
解：(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
【典型例题2】 下列式子能否确定y是x的函数？
(1)x2＋y2＝4；
(2)y＝＋.
解：(1)由x2＋y2＝4，得y＝±.当x＝1时，对应的y值有两个，故y不是x的函数．
(2)因为不等式组的解集是?，即x取值的集合是?，故y不是x的函数．
探究二 求函数的定义域
函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
求函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集)．
函数的定义域要用集合或区间表示．
【典型例题3】 (1)求函数y＝－的定义域；
(2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,1]，求函数y＝f(x－5)的定义域．
思路分析：分析所给函数的表达式→列不等式组→求x的范围，得定义域
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得x≥－1，且x≠1，
即函数的定义域是{x|x≥－1，且x≠1}．
(2)∵y＝f(x)的定义域为[－1,1]，
∴－1≤x－5≤1，即4≤x≤6，
因此y＝f(x－5)的定义域为[4,6]．
方法总结(1)若已知f(x)的定义域(a，b)，求f(g(x))的定义域，可由a探究三 判断函数相等
判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相等；如果定义域相同，再化简函数的表达式，如果化简后的函数表达式相同，那么它们相等，否则它们不相等．
【典型例题4】 判断下列各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x＋2，g(x)＝；
(2)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝x2＋x＋1，g(t)＝t2＋t＋1.
思路分析：先求出定义域，根据定义域和表达式(即对应关系)来确定．
解：(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠2}．
由于定义域不同，故函数f(x)与g(x)不相等．
(2)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，即定义域相同．
由于f(x)与g(x)的表达式不相同，
故函数f(x)与g(x)不相等．
(3)两个函数的自变量所用字母不同，但其定义域和对应关系一致，故两个函数相等．
探究四 求函数值
1．已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的所有x即得f(a)的值．
2．求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则．
3．用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
【典型例题5】 已知f(x)＝，g(x)＝x＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)求g(a＋1)．
思路分析：(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2，计算得f(2)与g(2)；(2)先求g(3)的值m，再求f(m)的值．
解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x＋2，∴g(2)＝2＋2＝4.
(2)∵g(3)＝3＋2＝5，∴f(g(3))＝f(5)＝＝.
(3)g(a＋1)＝a＋1＋2＝a＋3.
探究五易错辨析
易错点 求函数的定义域时先化简函数的关系式
【典型例题6】 求函数y＝的定义域．
错解：要使函数y＝＝有意义，则x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠－3}．
错因分析：约分扩大了自变量的取值范围．由于同时约去了函数中分子、分母的公因式“x－2”，使原函数变形为y＝，从而改变了原函数的自变量x的取值范围，也就是说，函数y＝与函数y＝不相等．
正解：要使函数有意义，必须使(x－2)(x＋3)≠0，
即x－2≠0，且x＋3≠0，解得x≠2，且x≠－3.
故所求函数的定义域为{x|x≠2，且x≠－3}．
1.2 函数及其表示
预习导航
课程目标
学习脉络
1.能够用集合与对应的语言给出函数的定义；知道构成函数的要素，清楚函数的定义中“任意一个数x ”和“唯一确定的数f(x)”的含义；明确符号“f(x)”表示的意义．
2．会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值和定义域.
一、函数
名师点拨1.“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
2．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．
3．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系，当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)相等；当m是常数时，f(m)表示当自变量x＝m时对应的函数值，是一个常量．
4．符号f(x)是函数的记法，是一个整体，它不表示f与x相乘．
自主思考1如何判断从集合A到集合B的一个对应是函数？
提示：首先看集合A，B是否是非空数集，若不是，则不是函数；若是，然后看集合A中的每一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是函数；若有，再看集合B中是否只有一个元素与之对应，若有多个与之对应，则不是函数；若只有一个与之对应，则是函数．
自主思考2若两个函数的对应关系相同，值域也相同，那么这两个函数是相等函数吗？
提示：不一定．若它们的定义域相同，则这两个函数为相等函数，否则，不是相等函数．如函数f(x)＝x2(x∈{1,2,3})，与函数g(x)＝x2(x∈{－1，－2，－3})的对应关系与值域相同，但不是相等函数．
二、区间
1．区间的概念：
设a，b是两个实数，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．
2．无穷大：
“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，满足x≥a，x>a，x≤a，x定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
自主思考3数集都能用区间表示吗？
提示：并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一列表法表示函数
列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算．
【典型例题1】 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.
思路分析：这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．
解析：由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2.
又g(f(x))＝2，
∴f(x)＝2.
又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2.
∴x＝1.
答案：1 1
探究二 求函数的解析式
求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系．解答此类问题时，可根据已知条件选择不同的方法求解．
求函数解析式的常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．
【典型例题2】 (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f＝x2＋，求f(x)；
(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
思路分析：(1)令x＋1＝t，代入f(x＋1)＝x2－3x＋2可得f(x)；(2)将x2＋变形，使其变为关于x＋的形式，可得f(x)；(3)设出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，再根据条件列出方程组求出a，b，c的值．
解：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
(2)f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2.
(3)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.
又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，对任意x∈R成立，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
由恒等式性质，得∴
∴所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1.
探究三 函数的图象
函数的图象能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图象．
1．作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图象．
2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈．
【典型例题3】 作出下列函数图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点(如图(1))，由图象知，y∈Z.
(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))，
由图象知，y∈[－5,3)．
方法总结(1)中函数的图象是一些离散的点，故该函数的值域是各点纵坐标组成的集合．
(2)中函数的图象是一条连续不间断的曲线，故该函数的值域就是图象上所有点纵坐标的取值范围．
探究四 易错辨析
易错点 忽略变量的实际意义
【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图象．
错解：由题意，得△CQB∽△BAP，
所以＝，
即＝.
所以y＝.
故所求的函数表达式为y＝，其图象如图所示．
错因分析：没有考虑x的实际意义，扩大了x的取值范围，导致出错．
正解：由题意，得△CQB∽△BAP，
所以＝，即＝.所以y＝.
因为BA≤BP≤BD，而BA＝3，CB＝AD＝4，
所以BD＝＝5，
所以3≤x≤5，
故所求的函数表达式为y＝ (3≤x≤5)．
如图所示，曲线MN就是所求的函数图象．
反思从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义．
1.2 函数及其表示
预习导航
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，以及各自的优缺点．
2．在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．
3．能利用函数图象求函数的值域，并确定函数值的变化趋势.
一、解析法
自主思考1任何一个函数都能用解析法表示吗？
提示：不一定．每天的平均气温与日期之间的关系由于受各种因素的影响就无法用解析法表示．
二、图象法
自主思考2画函数f(x)图象的方法有哪些？
提示：(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等常见的基本初等函数，则依据各种函数的图象特点，直接画出f(x)的图象．
(2)若函数f(x)不是基本初等函数，则用描点法画出f(x)的图象，其步骤是：列表、描点、连线．注意连线时，若是曲线，则曲线要光滑；若是孤立的点，则此时不要连接各点．
三、列表法
1.2 函数及其表示
课堂探究
探究一 求分段函数的值
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．若题目含有多层“f”，应按“由内到外”的顺序层层处理．
2．如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想．
3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
【典型例题1】 已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝2，求x的值．
思路分析：(1)由内到外，先求f，再求f，最后求f；
(2)分别令x＋2＝2，x2＝2，x＝2，分段验证求x.
解：(1)f＝＋2＝，
∴f＝f＝2＝，
∴f＝f＝×＝.
(2)当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x<0.
当f(x)＝x2＝2时，x＝±，其中x＝符合0≤x<2.
当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2.
综上，x的值是或4.
探究二 分段函数的图象
1．分段函数的解析式的特点是可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
【典型例题2】 画出下列函数的图象，并写出它们的值域：
(1)y＝
(2)y＝|x＋1|＋|x－3|.
思路分析：先化简函数式，再画图象，在画分段函数的图象时，要注意对应关系与自变量范围的对应．
解：(1)函数y＝的图象如图①，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)．
(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数y＝它的图象如图②.观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)．
探究三 映射的判断
判断是否为映射的几大要点：
(1)集合A，B的元素是任意的，没有任何限制；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而且这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和集合B中与其对应的元素的唯一性就构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射是特殊的对应，即“多对一”或“一对一”的对应，而对应不一定是映射，其中“一对多”的对应不是映射．
【典型例题3】 下列对应是A到B的映射的有( )
①A＝R，B＝R，f：x→y＝；
②A＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；
③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①中，对于A中元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．
答案：B
探究四 易错辨析
易错点 错误理解分段函数
【典型例题4】 已知函数f(x)＝若f(x)＝3，求x的值．
错解：由x2－1＝3，得x＝±2；由2x＋1＝3，得x＝1.
故x的值为2，－2或1.
错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数．求值时不能忽视x的取值范围，因此错解中x＝－2和x＝1都应舍去．
正解：当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2，或x＝－2(舍去)；
当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)．
故x的值为2.
反思分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则．
1.2 函数及其表示
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．
2．了解映射的概念，会判断给出的对应是否是映射．
3．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题.
一、分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．
名师点拨分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．各段的图象合起来就是分段函数的图象．
二、映射
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
自主思考1如何判断一个对应是映射？
提示：首先，判断两个集合是否为非空集合，若不是非空集合，则不是映射；其次，再判断集合A中的任意一个元素在集合B中是否有元素与之对应，若没有，则不是映射；最后，再判断是否只有一个元素与之对应，若是，则是映射，否则不是映射．
自主思考2函数与映射有怎样的关系？
提示：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
