3.2.1 函数模型及其应用
课堂导学
三点剖析
一、常见函数模型
【例1】 (一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法:
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;
(2)按总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个),若需茶杯x个,付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.
思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可.
解:由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4),
由优惠办法(2)可得函数关系式:
y2=(5x+4×20)×92%=4.6x+73.6.
比较:y1-y2=0.4x-13.6(x≥4).
①当0.4x-13.6＞0,即x＞34时,y1＞y2,
即当购买茶杯个数大于34时,优惠办法(2)合算.
②当0.4x-13.6=0,即x=34时,两种优惠办法一样合算.
③当0.4x-13.6＜0,即4≤x＜34时,y1＜y2.优惠办法(1)合算.
温馨提示
1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论.
2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提.
二、利用函数模型分析问题
【例2】 (指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为a元,每期利率为r,存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10 000元,每期1.98%,试计算5期后,本息总和是多少?
思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以可从第一期开始以此类推.
解:∵本金为a元,
∴1期后本息和为a+ar=a(1+r);
2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
3期后本息和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3;
……
x期后本息和为y=a(1+r)x.
将a=10 000,x=5,r=1.98%代入上式得，
y=10 000(1+1.98%)5=11 029.99(元).
温馨提示
在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为a,平均增长率为p,则总量y与时间x的关系式为y=a(1+p)x,此为指数型函数.
各个击破
类题演练1
(二次函数模型)某旅店有客房300间,每间日房租为20元,每天客满.旅店欲提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高?
解析：设定租金x元，总收入最高，则总收入y=x(300-×10)=-5［(x-40)2-1 600］，
当x=40时，y最大且最大值为5×1 600=8 000(元).
答案：40元
变式提升1
某工厂生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元）是年产量（单位：件）的函数.满足关系式：
R=f(Q)=
（1）将总利润L（单位：元）表示为Q 的函数;
（2）求每生产多少件产品时、总利润最大？此时总利润是多少？
解析：（1）根据题意，总成本应为C=g(Q)=20 000+100Q,
从而可得总利润函数为L=φ(Q)=
即L=
（2）当0≤Q≤400时,
L=-（Q-300）2-20 000+45 000=-（Q-300）2+25 000.
此时当Q=300时，L最大=25 000；
当Q＞400时，L=60 000-100Q＜60 000-100×400=20 000＜25 000；
所以，当Q=300时，L最大=25 000.
答：每年生产300件产品时，总利润最大，最大利润为25 000元.
类题演练2
某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5%的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1 000元？（参考lg2=0.301 0,lg1.065=0.027 4）.
解析：设n年后每张债券一次偿还本利和1 000元，由1 000=500（1+6.5%）n，解得n=lg2/lg1.065≈11.
答：11年后每张债券应一次偿还本利和1 000元.
变式提升2
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）.
解析：（1）1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为
y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%=100×（1+1.2%）2.
3年后该城市人口总数为
y=100×（1+1.2%）2+100×（1+1.2%）2×1.2%=100×（1+1.2%）3.
……
x年后该城市人口总数为
y=100×（1+1.2%）x.
（2）10年后该城市人口总数为
100×（1+1.2%）10≈112.7（万人）.
3.2.2 函数模型应用举例
课堂导学
三点剖析
一、函数模型的确定
【例1】 以下是某地区不同身高的未成年男性体重平均值表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表中提供的数据，能否从我们已学过的函数y=ax+b,y=alnx+b,y=a·bx中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？试求出这个函数的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175 cm，体重为78 kg，他的体重是否正常？
思路分析：可先根据表中的数据，描点画出函数图象（散点图），再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高数据代入求得的解析式，看所得的函数值是否与已知体重数据基本吻合.
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，如右图.根据点的分布特征可考虑用函数y=a·bx反映上述数据之间的对应关系.
把x=70,y=7.90和x=170,y=55.05两组数据分别代入y=a·bx，
得
解得a≈2，b≈1.02,
故该地区未成年男性平均体重关于身高的近似函数关系式可选取为y=2×1.02x.
将已知数据代入所得函数解析式，可知所求函数能较好的反映该地区未成年男性体重与身高的关系.
（2）把x=175代入y=2×1.02x，
得y=2×1.02175≈63.98.
∵78÷63.98≈1.22＞1.2，∴这名男生体重偏胖.
二、数学模型的应用
【例2】 某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和交付费用如下表所示:
月份
用气量
煤气费
1
4 m3
4元
2
25 m3
14元
3
35 m3
19元
该市煤气收费方法是:煤气费=基本费+超额费+保险费.若该月用气量不超过最低量A m3,那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元;若用气量超过A m3,那么超出部分付超额费,每立方米为B元,又知保险费C不超过5元,试根据上述条件及数据求A、B的值.
思路分析:关键在于找出煤气费与用量间的函数关系，这显然是一分段函数.
解:设月用气量为x m3,支付的煤气费为y元,依题意有，
∵0＜C≤5,
∴3＜3+C≤8.
∴二、三月份煤气费满足
若一月份用气超过A m3,则4＞A,
∴4=3+0.5(4-A)+C,这不可能.
∴4=3+C，C=1,B=,A=5.
温馨提示
解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际问题转化成相应的函数来解决.函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型.并利用所得函数模型解析有关现象.对某些发展趋势进行预测，在用函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量.
各个击破
类题演练1
我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：
年份
1990
1991
1992
1993
产值/亿元
18 598.4
21 662.5
26 651.9
34 560.5
年份
1994
1995
1996
1997
产值/亿元
46 670.0
57 494.9
66 850.5
73 142.7
年份
1998
1999
2000
产值/亿元
76 967.1
80 422.8
89 404.0
（1）描点画出1990—2000年国内生产总值的图象；
（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图象；
（3）根据所建立的函数模型，预测2004年的国内生产总值.
解析：（1）取自变量x为0，1，…，10，对应年份为1990，1991，…，2000得函数图象，如下图：
（2）根据图象，取函数模型y=a·bx.
取2组数据：
（2，26 651.9）,(8,76 967.1).
代入y=a·bx得
解得a≈18 715.5,b≈1.19，得函数模型：
y=18 715.5×1.19x.
将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合.
（3）令x=14得y≈213 726.8（亿元），
根据所建函数模型预测2004年的国内生产总值为213 726.8亿元.
类题演练2
已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：P（x）=-·（x-30）2+8（万元）.现开发一个回报率高、科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得年利润Q（x）=-（100-x）2+(100-x)（万元）.新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成.这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发.从第三年开始这100万元全部用于新旧两种产品的生产投入.
（1）为了解决资金缺口，第一年初向银行贷款1 000万元，利率为5.5%（不计复利），第五年底一次性应向银行偿还本息共计多少万元？
（2）从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？
（3）从新旧产品的五年总利润中最高拿出70%来，能否还清对银行的欠款？
解析：（1）五年利息是1 000×0.055×5=275（万元），本利和为1 275万元.
（2）设从第三年年初起每年旧产品投入x万元，新产品投入（100-x）万元，于是每年的利润是W=P（x）+Q(100-x)=［-（x-30）2+8］+{-［100-(100-x)］2+［100-(100-x)］}=(-x2+x-1)+(-x2+x)=-x2+52x-1=-(x-26)2+675.
∴投入旧产品26万元，新产品74万元时，每年可获得最大的利润，最大利润是675万元.
（3）因为P（x）在（0，30］上是增函数，所以在100万元的生产准备金中除用于新产品开发外，剩余的20万元全部投入即可得到最大利润.于是，头2年的利润是W1=2×P（20）=14（万元）；后3年的利润是W2=3×［P（26）+Q（74）］=3×675=2 025（万元），故5年的总利润是W=W1+W2=2 039万元，又2 039×70%=1 427.3＞1 275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70%来，能够还清对银行的欠款.
3.2 函数模型应用举例
互动课堂
疏导引导
一、函数的应用?
1.数学建模的地位和作用?
数学来源于生活，又服务于生活.在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型，对于事物的发展和预测也离不开数学模型的建立，所以数学建模是提出问题和解决问题的必由之路.
掌握函数的基础知识是学好本节的前提.例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质.反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高同学们学习数学的积极性.?
在实际建模过程中，要学会化整为零，分步骤、有层次地完成，要求掌握计算器的使用.
2.数学模型的种类
第一类是以数学课本上的知识为探究内容.如利用图形计算器展现数学知识的形成过程、知识的应用过程.?
第二类探究的内容来源于物理、化学等学科.主要是利用?CBL?（基于图形计算器的掌上实验室）和各种探讨开展物理和化学实验，对物理现象和化学反应进行观察、收集数据、处理数据，完成定性和定量的分析.?
第三类探究的内容主要来源于生活，是那些看似与数学无关或与数学有关但关系不明显的问题.如节约能源（怎样烧开一壶水更省天然气）、储蓄问题（怎样存钱能获得更多利息）、绿化问题（控制栽树和伐树的比例保护环境）、生态问题（草食动物和肉食动物的平衡）等等，这样的问题可以由我们自己发现和提出，也可以由老师提供原始材料，我们对材料进行筛选、组织，选取关键的特征和关系，用数学的语言表达，建立数学模型，利用图形,计算器对数学模型处理，从而解决问题.
3.数学应用题的求解策略
“数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用题的一般步骤:?
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.?
(2)建模:将文字语言转化成数学语言.?
(3)求模:求解数学模型,得到数学结论.?
(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
4.常见的数学模型有哪些？
探究思路：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题.下面是几种常见的数学模型：
（1）平均增长率问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量y=N（1+p）x.
（2）储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y=a（1+r）x.
（3）根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系.?
（4）通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等.?
我们在前面已经学习了有关一次函数、二次函数在具体实际中的应用,现在学习有关指数函数和对数函数在实际中的应用.
二、指数函数的应用
●案例1某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.(1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（需扣除技术改造资金），求A n、B n的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年.进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？?
【探究】 (1)A n、B n是年数n的函数，又由于A n、B n都是“累计纯利润”，∴要分别进行数列求和.
(2)实际上就是求B n－A n>0时n的最小值.
【解】 (1)依题设，A n=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n 2；
B n=500[(1+)(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
(2)B n－A n=(500n－－100)－(490n－10n 2)=10n2+10n－－100=10[n(n+1)－-10].
∵函数y=n(n+1)－－10在（0，+∞）上为增函数，?
当1≤n≤3时，n(n+1)－－10≤12－－10<0；?
当n≥4时，n(n+1)－－10≥20－－10>0.?
∴仅当n≥4时，B n>A n.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术发行的累计纯利润.【溯源】 与指数函数相关的应用问题较多，如平均增长率等问题，遇到类似问题时，应能主动调动指数函数相关知识来解决.
三、对数函数的应用
●案例2 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10 8的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．
天数t
病毒细胞总数N
1
2
3
4
5
6
7
…
1
2
4
8
16
32
64
…
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）
（已知lg2=0.3010）
【探究】 (1)关键是病毒细胞总数与天数的函数关系式写出来——这要从所给的表中搜索.（2）关键是求出（1）之后小白鼠的体内还剩余多少病毒细胞.?
【解】 （1）由题意,病毒细胞关于时间n的函数为y=2 n-1≤108,则由2 n-1≤108，两边取对数得 (n-1)lg2≤8,n≤27.5，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.?
（2）由题意,注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为2 26×2%，
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为2 26×2%×2x,
由题意2 26×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+xlg2≤8,得x≤6.2,
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．
【溯源】 对数函数在求解指数方程时有着无比神奇的效果，经常是根据题意列出指数函数，再根据题意将指数函数转化为指数方程或不等式，然后两边取对数，即求解指数方程的解或指数不等式的解集.
四、分段函数的应用?
●案例3某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠.”若全票价为240元,?
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）.
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样??
（3）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.?
【探究】 （1）y甲=120x+240，y乙=240·60%（x+1）=144x+144.
（2）根据题意，得120x+240=144x+144，解得x=4.?
∴当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多.?
（3）当y甲＞y乙时，120x+240＞144x+144，解得x＜4；?
当y甲＜y乙时，120x+240＜144x+144，解得x＞4.?
∴当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠.
【溯源】 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等??
五、二次函数模型的应用
●案例4某工厂生产某产品x吨所需费用P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P=1 000+5x+x2,Q=a+，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a、b的值.?
【探究】 利润=销售收入-生产费用（即成本）.?
设利润为y元，则
y=Qx-P=ax+-1 000-5x-x2?
=(-)x2+(a-5)x-1 000，
依题意得化简得解得
【溯源】 有些应用题已给出问题的基本数学模型，或一部分数学模型，还有一部分要求自己建模，这就需要进一步分析相等关系，这种题型文字叙述相对较少，可以加大计算推理能力的要求，是高考的常考题型.
活学巧用
1. 某区域截止2006年底已经全部完成退耕还林总面积1万亩.为进一步改善生态环境，加强绿色区域建设，从2007年起开始退耕还湖128亩，随后每年的退耕还湖面积比上一年增加50%，试问：
(1)该区域在2013年应该退耕还湖面积为多少亩？?
(2)到哪一年底，该区域退耕还湖的全面积开始超过该区域退耕面积总量的？
【解】 (1)该区域逐年退耕还湖面积组成等比数列{an}，其中a1=128,q=1.5,?
则在2013年应该退耕还湖面积为a7=a1·q6=128×1.56=1 458（亩）.
(2)记Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得>.于是Sn= >5 000（亩），即1.5n>，则有n≈7.5,因此n≥8.∴到2014年底，该区域退耕还湖的全面积开始超过该区域退耕面积总量的.
2. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2005年某偏远地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元), 预计该地区自2006年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元.根据以上数据，2010年该地区农民人均收入介于( )?
A． 4 200元～4 400元
B． 4 400元～4 600元
C． 4 600元～4 800元
D． 4 800元～5 000元
【思路解析】 设2010年该地区农民人均收入为x元，根据题意，得x=1 800(1+6%)5+1 350+160×5=1 800×1.065+2 150≈4 558.8，因此，选B.
【答案】 B
3. 某工厂2006年生产一种产品2万件，计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%．则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年．
(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)( )?
A. 2015
B. 2016
C. 2017
D. 2018
【思路解析】 此题是平均增长率问题的变式考题，哪一年的年产量超过12万件，其实就是求在2006年的基础上再过多少年的年产量大于12万件，即求经过多少年.?
设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件,根据题意，得 2(1+20%)n>12,即?1.2n>6，两边取对数，得 nlg1.2>lg6，
∴ n> = =.?∴n=10.
∴ 即2006+10=2016（年）.因此，选B.
【答案】 B?
4. 某县计划十年内产值翻两番，则产值平均每年增长的百分率为.（lg2=0.301 0，lg11.49=1.060 2）
【思路解析】 设产值平均年增长率为x，则（1+x）10=4.?
两边同取以10为底的对数得10lg（1+x）=2lg2.
∴lg（1+x）= =0.060 2.
∴1+x=10 0.060 2.?
又∵?lg11.49=1.060 2，?
∴11.49=10 1.060 2=10·10 0.0602.∴10 0.060 2=1.149.?
因此1+x=1.149，x=0.149=14.9%.
【答案】 14.9%?
5. 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱.?
【解】 本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：
设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．
数量（份）
价格（元）
金额（元）
买进
30x
0.20
6x
卖出
20x＋10×250
0.30
6x＋750
退回
10（x－250）
0.08
0.8x－200
则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）,
y在x∈［250，400］上是一次函数,
∴x＝400时，y取得最大值870元．
答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元.
6. 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+ c(a、b、c为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由.?
【解】 设二次函数为y=px2+qx+r,由已知得
解之,得
所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.当x=4时，y1=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3.
又对函数y=a·bx+ c,由已知得解之,得
∴y=-0.8×()x+1.4,当x=4时，y=-0.8×()4+1.4=1.35.
根据四月份的实际产量为1.37万元，而|y2-1.37|=0.02<0.07=|y1-1.37|.
所以函数y=-·()x+作模拟函数较好
7. 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是( )
【思路解析】 由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．?
【答案】 D?
8. 如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点Ｐ沿着A—B—C—M运动时，以点Ｐ经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是( )?
【思路解析】 本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，
当0≤x≤1时，y＝·x·1＝x；?
当1＜x≤2时，y＝1－（x－1）－（2－x）－＝－x＋；
当2＜x≤2.5时，y＝（－x）×1＝－x．?
则y＝
图形为A.
【答案】 A?
3.2 函数模型应用举例
课堂探究
探究一一次或二次函数模型的应用
应用一次函数与二次函数的有关知识，可解决生产、生活实际中的最大(小)值的问题．解答时需遵循的基本步骤是：(1)反复阅读理解，认真审清题意；(2)依据数量关系，建立数学模型；(3)利用数学方法，求解数学问题；(4)检验所得结果，译成实际答案．
【典型例题1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将月利润表示为月产量的函数f(x)．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
思路分析：由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．
解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，知利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．
解：(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数．
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
探究二 指数函数模型的应用
递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题．
【典型例题2】 截止到2013年底，我国人口约为13.71亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
思路分析：解答本题先根据增长率的意义，列出y与x的函数关系式，然后再求解相应问题．
解：(1)2013年底人口数：13.71亿．
经过1年，2014年底人口数：
13．71＋13.71×1%＝13.71×(1＋1%)(亿)．
经过2年，2015年底人口数：
13．71×(1＋1%)＋13.71×(1＋1%)×1%
＝13.71×(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2016年底人口数：
13．71×(1＋1%)2＋13.71×(1＋1%)2×1%
＝13.71×(1＋1%)3(亿)．
…
∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数为13.71×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13.71×(1＋1%)x.
(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为时间单位，
∴{x|x∈N*}是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13.71×(1＋1%)x.
∵1＋1%＞1,13.71＞0，
∴y＝f(x)＝13.71×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
规律总结1.本题涉及平均增长率的问题，求解可用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
2．在实际中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题，都常用到指数型函数模型．
探究三对数函数模型的应用
直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．
【典型例题3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
思路分析：由题意可知飞行速度是耗氧量的函数，由函数表达式分别给变量赋值，求出另外的量即可．
解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2，
解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.
探究四 易错分析
易错点 因对图形信息理解不准确导致解答错误
【典型例题4】 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：
①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；
②甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；
④当甲、乙运动了3 h后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．
其中正确的说法是( )
A．③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
错解：①和③一定是一对一错，经分析，③是对的；对于②，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故②错误；对于④，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为5＋3×4＝17(km)，故④错误．故选A.
错因分析：本题的图象给我们的信息是，甲、乙的运动时间以及运动位移，通过图象可知甲、乙的出发点不同、速度不同，一是由于忽视甲、乙的出发点不同而导致错解；二是忽略了位移是跟速度与时间相关的，在相同的时间内，同一方向上速度快的位移大．
正解：①和③一定是一对一错，经分析③是对的；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5 h，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3 h，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以④正确，故选D.
答案：D
3.2 函数模型应用举例
预习导航
课程目标
学习脉络
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，以及其三种函数模型的性质的比较．
3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题.
一、四种函数模型的性质
二、三种增长函数模型的比较
1．指数函数和幂函数
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
2．对数函数和幂函数
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
3．指数函数、对数函数和幂函数
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.
名师点拨直线模型：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)．现实生活中，很多事例可以用直线模型表示，例如，匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系(在弹性限度内)等．直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过图象可以很直观地认识它．
3.2 函数模型应用举例
课堂探究
探究一 已知函数模型的应用题
已知函数模型的应用题主要有两种情况：一是已知某量满足某函数式，据此列出所求量的函数式，然后利用函数知识解答相关问题；二是已知所求量满足的函数式，但式中含有参数，像这样的问题，应先根据已知条件求出函数式中的参数，然后再据此函数解答相关问题．
【典型例题1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？
解：先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，即＝，
解之，得h＝10，
故原式可化简为T－24＝(88－24)×，
当T＝35时，代入上式，得，35－24＝(88－24)×，即＝，
两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.
探究二 建立函数模型的应用题
当实际应用题中没有给出函数模型时，其解题步骤是：
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，找出题意中所蕴含的函数关系；
第二步：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；
第三步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第四步：将所得函数问题的解还原成实际问题的结论，要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义．
【典型例题2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝，N＝t.今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)求总利润y的最大值．
思路分析：(1)总利润＝投资甲项目利润＋投资乙项目利润＝M＋N；(2)转化为求(1)中函数的最大值．
解：(1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝(3－x)(亿元)，
则有y＝＋(3－x)，x∈[0,3]．
(2)令＝t，t∈[0，]，则x＝t2，
此时y＝t＋(3－t2)＝－(t－1)2＋.
∵t∈[0，]，
∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值，为，
即总利润y的最大值是亿元．
探究三 拟合函数模型的应用题
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
【典型例题3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序
最大积雪深度x/cm
灌溉面积y/hm2
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉的土地面积是多少？
思路分析：首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型．
解：(1)描点作图如图甲：
(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y(hm2)和最大积雪深度x(cm)满足线性函数模型y＝a＋bx(a，b为常数，b≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可算得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由(2)，得当x＝25时，y＝2.4＋1.8×25＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.
探究四 易错辨析
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制
【典型例题4】 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x.
问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．
错解：设四边形EFGH的面积为S，
则S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋.
根据二次函数的性质可知，
当x＝时，S有最大值.
错因分析：错解中没有考虑所得二次函数的定义域，就直接利用二次函数的性质求解，从而导致出错．
正解：设四边形EFGH的面积为S，则
S＝ab－2
＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋，x∈(0，b]．
因为0＜b＜a，
所以0＜b＜.
当≤b，即a≤3b时，
当x＝时，S有最大值；
当＞b，即a＞3b时，
易知S(x)在(0，b]上是增函数，
所以当x＝b时，S有最大值ab－b2.
综上可得，当a≤3b，x＝时，S有最大值；当a＞3b，x＝b时，S有最大值ab－b2.
反思利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解．
3.2 函数模型应用举例
预习导航
课程目标
学习脉络
1.会利用已知函数模型解决实际问题．
2．能建立函数模型解决实际问题．
3．了解拟合函数模型解决实际问题.
一、函数模型应用的两个方面
1．利用已知函数模型解决问题；
2．建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
二、应用函数模型解决问题的基本过程
名师点拨在应用题中列出函数解析式的三种方法：
解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件中含有的相等关系，用等式把变量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式．常用的方法有：
(1)待定系数法：若题目给出了函数模型，则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，从而得到确定的函数解析式．
(2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式．
(3)方程法：用x，y表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出关于x，y的二元方程；把x看成常数，解方程得y(即函数关系式)，此种方法形式上和列方程解应用题类似，故称为方程法．
自主思考解决未知函数模型的实际问题的关键是什么？
提示：关键是选择或建立恰当的数学模型．
3.2 函数模型应用举例
知识导学
通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模.
解决函数应用题的基本步骤:
第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成数学问题，即实际问题数学化；
第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；
第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答.
解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养.
要熟悉一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质，有助于我们开拓思路提高运算速度.
用待定系数法求出函数解析式，待定系数法是一种非常重要的数学方法，常常首先根据题意，设出函数解析式，取特殊值代入函数解析式得到方程组，由方程组求出待定系数.
记忆口诀：
(1)收集数据，画图提出假设；
(2)依托图表，理顺数量关系；
(3)抓住关键，建立函数模型；
(4)精确计算，求解数学问题；
(5)回到实际，检验问题结果.
疑难导析
解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化.另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力.
问题导思
要解好数学应用题，首先应当加强提高阅读理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，实际问题转化为数学问题，再利用数学方法、数学思想去解决问题，这个过程的每一个环节都必须注意.
解答应用题的实质是要转化题意，把实际问题转化为数学问题，然后灵活选择适当的方法列出函数关系式，从而求解.
典题导考
绿色通道
从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义.
典题变式
1.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中，a、b、c为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
答案：选择y＝-0.8×0.5x＋1.4更合适.
2.一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策.甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价；乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算.这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的以孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠.
答案：当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社.
3.某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2 km者均按此价收费，行程超过2 km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1 km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于…( )
A.5~7 km B.9~11 km C.7~9 km D.3~5 km
答案：A
绿色通道
在求y=的最小值时可以移项、平方去根号，然后用判别式法求得.
典题变式
1.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月内(以30天计算)有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
答案：每天从报社买进400份时，每月所获利润最大，最大利润为870元.
2.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为( )(参考数据lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)
A.5 B.10 C.14 D.15
答案：C
黑色陷阱
不明白题意，一味地想分别解出M和m的值，将会步入思维陷阱.
典题变式 容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为( )
A.()10·m% B.(1-)10·m% C.( )9·m% D.(1-)9·m%
答案：B
绿色通道
这是一个分段函数类型的应用问题，注意判断自变量在分段
函数的哪一段取值范围内是这个题的解题关键.
典题变式
1.某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件.
(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；
(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
答案：(1)所求的函数关系式为y＝250(40-t)t％.
(2)税率应控制在10％～15％之间为宜.
2.在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮资(分)表示为信重(0＜x≤40＝克的函数，其表达式f(x)为________.
答案：
绿色通道
一般来说，若题中已给出数学模型，只要解模即可，较常用的方法是用待定系数法解模.
典题变式
某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每千米价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每千米价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的.则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适?
答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A、B距离在(a，a＋10)时，选择第二种方案；当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案.(其中a为起步价内汽车行驶的里程)
