3.1.1 函数与方程
课堂导学
三点剖析
一、函数的零点概念及求法
【例1】 求函数y=-x2-2x+3的零点，并指出y＞0，y＜0时，x的取值范围.
解析：解二次方程-x2-2x+3=0得，
x1=-3,x2=1，
∴函数y=-x2-2x+3的零点为-3，1.
y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当-3＜x＜1时，y＞0.当x＜-3或x＞1时，y＜0.
∴函数y=-x2-2x+3的零点是-3，1.
y＞0时，x的取值范围是（-3，1）；y＜0时,x的取值范围是（-∞，-3）∪(1,+∞).
温馨提示
函数的零点即对应方程的根.本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0(＜0)的解集.
二、函数零点的应用
【例2】 已知函数f(x)=x3-8x+1在区间［2,3］内的一部分函数值如下表所示.根据此表及图象,你能探究出方程x3-8x+1=0的一个实根所在的区间吗?(精确到0.1)
x
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
f(x)
-7
-6.539
-5.952
-5.233
-4.376
-3.375
x
2.6
2.7
2.8
2.9
3
…
f(x)
-2.224
-0.917
0.552
2.189
4
…
解析:观察表格并利用描点法作出f(x)的大体图象,发现当自变量x由2变到3时,其函数值由-7逐渐接近于0,再变为正值,在此变化过程中,由于y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以必存在一点x0使得f(x)=0,即x03-8x0+1=0,此x0所在的区间为［2.7,2.8］.
温馨提示
判断零点所在的区间方法有两个：
1.f(a)·f(b)＜0，且图象在［a,b］上连续不断.
2.利用函数图象，直接观察判断，该方法关键是准确作图，简单函数的图象可以由“列表→描点→连线”而完成，复杂函数的图象可以借助计算机等辅助数学工具，例如几何画板工具软件，TI图形计算器等.这里对函数单调性的分析可以帮助确定零点个数.
【例3】 已知函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.
①若f(a)·f(b)＜0,则在区间(a,b)内函数f(x)有且仅有一个零点 ②若f(a)·f(b)＞0,则在区间(a,b)内函数f(x)无零点 ③若f(x)在(a,b)内有零点,必有f(a)·f(b)＜0④若f(a)·f(b)≤0,则函数f(x)在(a,b)内有零点 ⑤若f(a)·f(b)＜0,则函数f(x)在(a,b)内有零点
解析:本题设计的目的是为了加深对零点存在性定理的正确理解.①有条件f(a)·f(b)＜0成立,则在(a,b)内可能不止一个零点;②是在f(a)·f(b)＞0的情况下,未必无零点;③在(a,b)内有零点,也未必有f(a)·f(b)＜0成立;④注意端点问题,可能a、b恰好使得f(x)=0.本题从多侧面、多角度考查对定理的理解,对培养学生思维的严密性很有帮助.
答案:⑤
温馨提示
对于一个定理和结论的理解,要做到逐字逐句地去琢磨、分析.条件具备,则结论正确;条件不具备,则结论未必不成立;结论成立,而条件未必成立.注意思维的严密性.
各个击破
类题演练1
求y=x2+2x+1的零点，并指出y＞0的取值范围.
解析：令x2+2x+1=0，∴x=-1.
∴y=x2+2x+1的零点为-1.
y＞0的取值范围为x≠-1.
变式提升1
（1）若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4,求a、b的值.
解析：由条件得 ∴
（2）求函数y=x3-7x+6的零点.
解析：∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)
=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)，
解x3-7x+6=0，
即(x-1)(x-2)(x+3)=0，x1=-3,x2=1,x3=2.
∴函数y=x3-7x+6的零点为-3，1，2.
类题演练2
函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2，判断函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的大致区间.
思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根，即x2+ax+b=0的根，由根与系数的关系可求得a、b的值,从而可求解.
解:∵-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点,∴-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.
∴g(x)=-x3-2x+4.
∵g(1)=1,g(2)=-8,g(1)5g(2)<0,∴g(x)在区间(1,2)内有一个零点.
又∵g(x)在R上是单增函数，∴g(x)只有一个零点.
变式提升2
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=-x3-2x+1;(2)f(x)=e1+x+2x+2.
解析：（1）用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（如下表）及其图象（如图1）.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
34
13
4
1
-2
-11
-32
3.1.2 用二分法求方程的近似解
课堂导学
三点剖析
一、用二分法求相应方程的近似解
【例1】 证明方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根，并求出这个根的近似值（精确到0.01）.
证明：令f(x)=x3-3x+1，则f(x)在区间［1，2］上的图象是一条连续不断的曲线.
∵f(1)=1-3+1=-1＜0,
f(2)=8-6+1=3＞0,
∴f(1)·f(2)＜0,
∴函数f(x)在区间（1，2）内必有一零点，
∴方程x3-3x+1=0在区间（1，2）内必有一根x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5，
用计算器算得f(1.5)=-0.125.
因为f(1.5)·f(2)＜0,
所以x0∈(1.5,2).
再取(1.5,2)的中点x2=1.75，
用计算器算得f(1.75)=1.109 375.
因为f(1.5)·f(1.75)＜0，
所以x0∈（1.5,1.75）.
又取（1.5,1.75）的中点x3=1.625.
用计算器算得f(1.625)=0.416 015 625.
因为f(1.5)·f(1.625)＜0,
所以x0∈(1.5,1.625).
取（1.5,1.625）的中点x4=1.562 5,
用计算器算得f(1.562 5)=0.127 197 265 625.
因为f(1.5)·f(1.562 5)＜0,
所以x0∈(1.5,1.562 5).
取（1.5,1.562 5）的中点x5=1.531 25时，
用计算器算得
f(1.531 25)=-0.003 387 451 171 875.
因为f(1.531 25)·f(1.562 5)＜0,
所以x0∈(1.531 25,1.562 5).
取（1.531 25,1.562 5）的中点
x6=1.546 875时，
用计算器算得
f(1.546 875)=0.060 771 942 138 671 875.
因为f(1.531 25)·f(1.546 875)＜0,
所以x0∈(1.531 25,1.546 875).
同理，可算得 f(1.531 25)·f(1.539 062 5)＜0，
x0∈(1.531 25,1.539 062 5);f(1.531 25)·
f(1.535 156 25)＜0,x0∈(1.531 25,1.535 156 25).
又当取（1.531 25,1.535 156 25）的中点x9=1.533 203 125时，
f(1.531 25)·f(1.533 203 125)＜0，
即x0∈(1.531 25,1.533 203 125).
由于|1.531 25-1.533 203 125|=0.001 953 125＜0.01,
此时区间（1.531 25,1.533 203 125）的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似值为1.53.
二、对二分法再理解
【例2】有一块边长为30 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米（精确到0.1 cm）？
解析：盒子的体积y和以x为自变量的函数解析式为y=(30-2x)2x.
如果要做成一个容积是1 200 cm3的无盖盒子，那么有方程(30-2x)2x=1 200,其定义域为{x|0＜x＜15＝.
令f(x)=(30-2x)2x-1 200，借助计算机画出函数图象.由图象可以看出，函数f(x)分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个零点，即方程(30-2x)2x=1 200分别在区间（1，2）和（9，10）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.
取区间（1，2）的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)=-106.5＜0.
因为f(1.5)·f(2)＜0，所以x0∈(1.5,2).
同理可得x0∈(1.5,1.75)，x0∈(1.625,1.75),x0∈(1.687 5,1.75),x0∈(1.687 5,1.718 75),x0∈(1.687 5,1.703 125),x0∈(1.687 5,1.695 312 5).
由于|1.695 312 5-1.687 5|=0.007 812 5＜0.1，
此时区间（1.687 5,1.695 312 5）的两个端点精确至0.1的近似值都是1.7，所以方程在区间（1，2）内精确到0.1的近似解为1.7.同理可得方程在区间（9，10）内精确到0.1的解为9.4.
故如果要做成一个容积是1 200cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是1.7 cm或9.4 cm.
温馨提示
用二分法求方程的近似解的过程有两点须注意：1.计算量大；2.重复相同的计算步骤.因此，常借助计算器或通过设计一定的计算程序，借助计算机完成计算，在模块三同学们可以学到.
三、“精确度为ε”与“精确到ε”
【例3】 借助计算器，分别按下面两种要求，用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内的零点：
（1）精确度为0.1；（2）精确到0.1.
解析：可证得函数在区间（2，3）上为增函数，由题设有f(2)≈-0.31＜0,f(3)≈0.43＞0,
由于f(2)·f(3)＜0，故函数f(x)在区间（2，3）内有一个零点x0，即x0∈(2,3).
下面用二分法求函数f(x)=lnx-在区间（2，3）内零点的近似值：
取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器算得f(2.5)≈0.12＞0，由于f(2)·f(2.5)＜0,所以x0∈(2,2.5);
再取区间（2，2.5）的中点x2=2.25，用计算器算得f(2.25)≈-0.08＜0,由于f(2.25)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2.25,2.5).
同理可得x0∈(2.25,2.375)，
x0∈(2.312 5,2.375).(*)
（1）由于|2.312 5-2.375|=0.062 5＜0.1，所以区间［2.312 5,2.375］上任意一个实数x0′均可作为f(x)在区间（2，3）内且精确度为0.1的零点的近似值（比如，可取x0′=2.35,2.342,2.375等）；
（2）接（*），同理可得，x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),
x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).
由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间（2，3）内精确到0.1的零点的近似值为2.3.
各个击破
类题演练1
求方程x3+x2-2x-2=0的一个正实数解（精确到0.1）.
解析：列表：
x
0
1
2
3
4
…
f(x)
-2
-2
6
28
70
…
由表可知，f(1)·f(2)＜0，说明该方程在区间（1，2）内有正实数解.
取区间（1，2）的中点x1=1.5，由计算器可算得f(1.5)=0.625＞0,因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).
再取(1,1.5)的中点x2=1.25,由计算器可算得f(1.25)=-0.984＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0,所以x0∈(1.25,1.5).
同理可知x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.438),而|1.375-1.438|=0.063＜0.1，此时区间（1.375,1.438）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以方程的一个正实数解为1.4.
变式提升1
用二分法求的近似值（精确到0.01）.
解析：设y=x3-3，则y=x3-3在（1，2）上是一条连续不断的曲线，∴y=x3-3在（1，2）上必有一零点x0.
取（1，2）的中点x1=1.5,
f(1.5)=0.375＞0,∴x0∈(1,1.5).
再取（1，1.5）的中点x2=1.25,
f(1.25)=-1.046 875＜0,∴x0∈(1.25,1.5).
再取（1.25,1.5）的中点x3=1.375,
f(1.375)=-0.400 390 625＜0,
∴x0∈(1.375,1.5).
这样反复计算下去，直到x0∈(1.441 406 25,1.443 359 375).
∵区间两个端点精确到0.01都是1.44，
∴y=x3-3的一个零点为1.44.即精确到0.01的近似值为1.44.
温馨提示
1.使用二分法的前提是：y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)＜0.
2.使用二分法求函数零点的步骤：①可以结合函数图象来初步判断根的分布区间；②利用二分法算下去，直到满足题目的精确度要求为止；③根据精确度要求写出方程的近似解.
3.二分法求解零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=f(x0)在［a,b］上有几个零点时，只算出其中一个零点；另一方面，即使函数y=f(x)在［a,b］上有零点，也未必有f(a)·f(b)＜0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围.
类题演练2
一元二次方程可以用求根公式求根，但在没有求根公式的情况下，如何求方程2x3+3x-3=0的一个实数解？(精确度为0.01)
解析:∵f(0)=-3<0,f(2)=19>0,
∴函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点，即方程2x3+3x-3=0在(0,2)内有解.
取(0,2)的中点1，f(1)=2>0.
又f(0)<0,∴2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.
如此继续下去，得到方程2x3+3x-3=0的解在区间［0.742 187 5,0.746 093 75］，而|0.746 093 75-0.742 187 5|=0.003 906 25<0.01.
∴方程2x3+3x-3=0精确度为0.01的近似解是0.74.
变式提升2
已知函数f(x)=ax+(a＞1),
(1)求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
（2）求证当a=3时，f(x)=ax+在（0，1）内必有零点；
(3)若a=3,求方程f(x)=0的正根.(精确到0.01)
解析：（1）可设g(x)=ax,h(x)=，
由指数函数的性质可知：
当a＞1时，y=ax在（-1，+∞）上单调递增.
下面证明h(x)=在（-1，+∞）上单调递增.设x1、x2∈(-1,+∞)且x1＜x2，
则h(x1)-h(x2)=-=-=.
∵-1＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+1＞0,x2+1＞0，
∴h(x1)＜h(x2),
∴h(x)在（-1，+∞）上单调递增.
∴f(x)=g(x)+h(x)在（-1，+∞）上单调递增.
（2）由（1）可知：函数f(x)在（-1，+∞）上是增函数.
又f(0)=30-2=-1＜0,f(1)=31-=＞0,即f(0)·f(1)＜0，说明函数f(x)在区间（0，1）内有零点，且只有一个.
（3）由二分法可求得，
当a=3时，f(x)=0的正根为0.28.
类题演练3
函数f(x)=x2-5的零点的近似值为（精确到0.1）（ ）
A.2.0 B.2.1 C.2.2 D.2.3
解析：∵f(2)·f(3)＜0.∴f(x)在（2，3）内必有一零点.可用二分法求得近似解为2.1.
变式提升3
用二分法求2x=x+2负的近似解（精确到0.1）.
解析：设f(x)=2x-x-2,由于f(-2)=,
f(-1)=-,f(-2)·f(-1)＜0.
故f(x)在（-2，-1）上必有一零点.
可用二分法求得近似解为-1.7.
温馨提示
1.按“精确度为ε”要求得到的近似值不是唯一的，即若|a-b|＜ε，则［a,b］上任何一个实数值x0均可作为所求的近似值.
2.按“精确到ε”要求得到的近似值是唯一的，即判断区间（a,b）两端点精确到ε的近似值是否相同.若相同，则该值x0即为所求的近似值.
如例3（2）中(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1时的近似值都是2.3，故2.3即为所求.
3.1 函数与方程
互动课堂
疏导引导
３．１．１方程的根与函数的零点?
1．函数零点的概念?
对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0的实数 x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点．
2.函数零点的意义
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x轴有交点函数y=f(x)有零点．
３．函数零点存在的条件
如果函数f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(x)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
4．函数零点的求法
求函数y=f(x)的零点：?
（1）代数法：求方程f(x)=0的解；?
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数性质找出零点．
5.函数零点的意义
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
即方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点．
●案例1函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )?
A. (1, 2)
B. (2, 3)
C. (, 1)和（3,4）
D. (e, +∞)
【探究】 从已知的区间（a, b），求f(a)、f(b),判别是否有f(a)·f(b)<0.
∵f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，所以A不对.?
又f(3)=ln3->0，?
∴f(2)·f（3）<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.?
【答案】 B?
【溯源】 这是最基本的题型，所用的方法是基本方法：只要判断区间［a, b］的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0；若问题改成：指出函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间，则需取区间［a, b］使f(a)f(b)<0.
●案例2 二次函数y=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 无法确定
【探究】 ∵c=f(0),∴ac=af(0)<0,即a与f(0)异号,即或
∴函数必有两个零点.
【答案】 B?
【溯源】 判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.
6. 二次函数的图象与性质
（1）定义:函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数.它的定义域为R.?
（2）二次函数具有如下一些主要性质:?
y=ax2+bx+c(a≠0)?
=a(x+)2+
=a(x-h)2+k.
其中h=-,k=.
函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h, k),抛物线的对称轴是直线x=h;
当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=h处取得最小值k=f(h);在区间(-∞,h］上是减函数,在［h,+∞)上是增函数.
当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=h处取得最大值k=f(h);在区间(-∞,h］上是增函数,在［h,+∞)上是减函数.
（3）二次函数的三种常用解析式：?
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).?
②顶点式：y=a(x-h) 2+k(a≠0),其中（h, k)为顶点坐标.
③标根式：f(x)=a(x-α)(x-β)(a≠0),其中α和β是方程f(x)=0的根.?
疑难疏引 于二次方程的根的分布问题，画出图象后，根据二次函数相应特征列不等式（组），往往比直接求出根后根据其所在区间列不等式更简便.一元二次方程根的分布有如下几种情况：
根的分布
x1kx1图象
充要条件
f(k)<0
根的分布
x1、x2∈(k1,k2)
k1在(k1,k2)内有且仅有一根
图象
充要条件
f(k1)f(k2)<0或者Δ=0且?∈(k1,k2)
3．1．2用二分法求方程的近似解
1.二分法的定义
对于在区间[a, b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.
2.二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
（1）确定区间 ［a, b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.?
（2）求区间(a, b)的中点 x1.?
（3）计算f(x1).若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)·f(x1)<0，则取区间(a,x1)（此时零点 x0∈(a,x1)）；若f(x1)·f(b)<0，则取区间(x1,b)（此时零点x0∈(x1,b)）.?
（4）判断是否达到精度ε,即若 |a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤(2)～(4).
3.借助于函数方程思想用二分法求方程的近似解的意义?
解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的，对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3－x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.
记忆口诀：
函数连续值两端，相乘为负有零点，?
区间之内有一数，方程成立很显然.?
要求方程近似解，先看零点的区间，?
每次区间分为二，分后两端近零点.?
●案例 某电器公司生产A种型号的家庭电脑.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求
（1）2000年每台电脑的生产成本；
（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.
【探究】 第（1）问是价格和利润的问题，销售总利润可以按每台来算,也可以按实现50%的利润来算，从而找出等量关系；第（2）问是增长率问题，要注意列出方程后，用二分法求解，但应用二分法时注意合理使用计算器.
（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得
p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p＝3 200（元）.?
故2000年每台电脑的生产成本为3200元.
（2）设1996～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得
5000（1－x）4=3200（0＜x＜1）.
令f（x）=5 000（1－x）4－3 200，作出x、f（x）的对应值表，如下表:
x
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
F(x)
1800
-590
-2000
-2742
-3072
-3180
-3200
-3200
观察上表，可知f（0）·f（0.15）＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x 0.
取区间（0，0.15）的中点x 1=0.075，用计算器可算得f（0.075）≈460.因为f（0.075）·?f（0.15）＜0，所以x 0∈（0.075，0.15）.
再取（0.075，0.15）的中点x 2=0.112 5，用计算器可算得f（0.112 5）≈－98.因为
f（0.075）·f（0.112 5）＜0，所以x 0∈（0.075，0.112 5）.
同理，可得x 0∈（0.009 375，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.112 5），x 0∈（0.103 125，0.107 812 5），x 0∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.
由于|0.107 812 5－0.105 468 75|＝0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.
1996～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.
【溯源】 降低成本提高效率的问题应注意：成本+利润＝出厂价；利润＝成本×利润率.熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是可以体会到“逐步逼近”的数学思想.
活学巧用
1. 判断方程logx=x的根的个数.
【思路解析】 在同一坐标系内作出函数f（x）=logx和g（x）=x的图象,如下图所示，通过比较函数的增长速度，利用函数图象交点的个数，求得方程解的个数.?
【答案】 f（1）=0，f（）=1，?f（）=2，f（）=4.
g（1）=1，g（）=，g（）=，g（）=.
f［（）12］=12，f［（）14］=14.
g［（）12］=（）6≈11.39，g［（）14］=（）7≈17.09.
通过计算（用计算器），可知在区间［,］和区间［(）12，（）14］内，函数图象各有一个交点，从而方程在两个区间内各有一个根.
2. 利用函数的图象，指出函数f（x）=2x·ln（x－2）－3零点所在的大致区间.?
【思路解析】 首先对x取值来寻找y值的符号，然后判断零点所在的大致区间.?
【解】 用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表（如下表）.
x
2.5
3
3.4
4
4.5
5
f(x)
-6.4657
-3
-0.1617
2.5452
5.2466
7.9861
由上表和上图可知该函数零点的大致区间为[3, 4]
3. 求函数f（x）=2x 3－3x+1零点的个数.?
【思路解析】 先用计算机或计算器作出f（x）的对应值表，然后根据函数零点的判定方法来判定函数的零点.
【解】 用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表（如下表）和图象（如下图).
X
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
F(x)
-1.25
2
2.25
1
-0.25
0
3.25
由上表和上图可知，f（－1.5）＜0，f（－1）＞0，即f（－1.5）·f（－1）＜0，说明这个函数在区间（－1.5，－1）内有零点.同理，它在区间（0，0.5）内也有零点.另外，f（1）=0，所以1也是它的零点.由于函数f（x）在定义域（－∞，－1.5）和（1，+∞）内是增函数，所以它共有3个零点.
4. 已知二次函数f(x)=ax2+(a2+b)x+ c的图象开口向上，且f(0)=1，f(1)=0，则实数b的取值范围是( )
A. (-∞, - ］
B. ［-, 0)
C. ［0, +∞)
D. (-∞,-1)
【思路解析】 考察二次函数图象的特点,依题意得
整理得a2+a+b+1=0，解得a=.
∵图象开口向上，∴ a>0，?
∴a=>0.解得b<-1.?
∵二次函数
f(x)=ax2+(a2+b)x+ c的图象过点（0，1）和点（1，0），又∵图象开口向上，
∴点（0，1）必须在抛物线对称轴的左侧，即抛
物线的对称轴在点（0，1）的右侧，即y轴的右侧，即 x=->0，
∴ a2+b<0,当b<-1时，a2+b<0恒成立.
∴ b<-1.因此，选D
【答案】 D
5. 若方程x2+(m-3)x+ m=0两个根都小于1，求m的范围.?
【思路解析】 画出图象，根据图象特征，可列出不等式组，从而得出结论.?
【解】 令f(x)=x2+(m-3)x+m，
则{m|m≥9}.
6. (2005全国,19)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3）.
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式.
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.
【思路解析】 此题考查二次函数解析式求法以及最大值的求法.?
【答案】 （1）f(x)=-x2-x-.
（2）(-∞,-2-)∪(-2+,0).
7. 求方程lnx+x-3=0在（2，3）内的根（精确到0.1）.?
【分析】 用二分法求解.?
【解】 令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在（2，3）内的零点.?
∵f(2)=ln2-1<0,?f(3)=ln3>0,
∴可取（2，3）作为初始区间，用二分法列表如下：
中点
端点或中点函数值
取区间
f（2）<0,f(3)>0
(2,3)
2.5
f(2.5)>0
（2，2.5）
2.25
f(2.25)>0
（2，2.25）
2.125
f(2.125)<0
（2.125，2.25）
2.1875
f(2.187 5)<0
（2.187 5，2.25）
2.21875
f(2.218 75)>0
（2.187 5，2.218 75）
2.187 5≈2.2,2.218 75≈2.2,?
∴所求方程的根为2.2（精确到0.1）.?
8. 国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8%），计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.
（1）写出税收f（x）（万元）与x的函数关系式；?
（2）要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.?
【思路解析】 第（1）问这样考虑：调节税率后税率为（8－x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元，从而列出函数表达式.
【解】 （1）由题设，调节税率后税率为（8－x）%，预计可收购m（1+2x%）万担，总金额为120m（1+2x%）万元.f（x）=120m（1+2x%）（8－x）%，
即f（x）=－（x 2+42x－400）（0＜x≤8）.
（2）计划税收为120m·8?%?万元，由题设，有f（x）=120m·8%·78%，
即x 2+42x－88=0（0＜x≤8)，解得x=2.?
9. 求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.01）.?
【思路解析】 利用二分法.?
【解】 原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，并结合y=2x与y=-3x+7的图象知方程f(x)=0只有一解.计算
f(1)=2+3-7<0,f(2)=22+3×2-7=3×2-7+4=3，可知x0∈(1,2).取区间（1，2）
的中点x1=1.5，用计算器可得f(1.5)≈0.33>0；再取（1，1.5）的中点x2=1.25，
f(1.25)≈-0.87<0.?
∵f(1.25)f(1.5)<0,?
∴x0∈(1.25).
同理可求得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.437 5)，此时区间端点精确到0.1的近似值都是1.4.∴原方程的精确到0.1的近似解为1.4.
3.1 函数与方程
知识导学
函数的零点不是点，而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根，方程f(x)=0有几个实根，函数f(x)就有几个零点；方程f(x)=0有两个相等的实根，则称函数有一个二重零点或者说有一个二阶零点.一般地，函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(ai∈R,i=0,1,2,3,…,n)至多有n个零点.
解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3-x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间［a,b］上连续不断，且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.
用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小；二是随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.
记忆口诀：
函数连续值两端，相乘为负有零点，
区间之内有一数，方程成立很显然.
要求方程近似解，先看零点的区间，
每次区间分为二，分后两端近零点.
疑难导析
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为0时自变量x的值.从函数的图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标.因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.利用函数的知识可以得到方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.二次函数与一元二次方程的这种关系，又给我们提供了另外一种解方程的方法：利用函数的图象解方程或研究方程解的情况.
问题导思
函数思想与方程思想是密切相关的.对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数问题(如求反函数、求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点.
函数思想、方程思想体现了一种解决问题的理念，即建“模”意识.所谓“模”就是一个问题载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二步就是解析“模”，从而真正将实际问题转化为数学问题，数学也因此成为解析大自然奥秘的工具.
典题导考
绿色通道
如果在计算机上应用某些软件，比如《几何画板》直接绘出函数的图象(这个软件不用进行步长的设置)，也可较快地判断函数的零点的大致区间.如图3-1-3所示.
图3-1-3
典题变式 函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(,1)和(3,4) D.(e,+∞)
答案：B
绿色通道
判断二次函数f(x)的零点的个数，就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的个数，一般地由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.
典题变式 求函数f(x)=2x3-3x+1零点的个数.
答案：有3个零点.
绿色通道
本题表中数据同学们可自己计算验证，这里只给出符号，更清楚地看到区间的取法.
典题变式
1.借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x在区间(1，2)内的近似解(精确到0.1).
思路解析：用二分法解这个方程可以先构造函数f(x)=ln(2x+6)-3x+2，然后寻找这个函数的零点即可.
答案：精确到0.1的近似值为1.3.
2.求方程x3-3x＋1＝0的近似解(精确到0.1).
答案：近似解分别为x1≈-1.8，x2≈0.4，x3≈1.5.
3.已知二次函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a＜0)，设关于x的方程f(x)＝0的两根为x1、x2，f(x)＝x的两实根为α、β.
(1)若|α-β|＝1，求a、b的关系式；
(2)若a、b均为负整数，且|α-β|＝1，求f(x)的解析式.
答案：(1)a2＋4ab＝9.
(2)f(x)=-x2+4x-2.
绿色通道
本题是一道有关降低税率的应用题，涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量等多个量.通过审题，建立了
税收f(x)(万元)和降低税率x的二次函数关系式，再运用二次函数的有关知识使问题得以解决.在题后又给出设问，目的是要用本节知识来解决问题.
典题变式 某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求
(1)2000年每台电脑的生产成本；
(2)以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01).
答案：(1)2000年每台电脑的生产成本为3 200元；
(2)1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.
∴所求二次函数为y=-(x+1)2+4，即为y=-x2-2x+3.
绿色通道
从以上解法可以总结出二次函数解析式常用的三种形式：
(1)一般式：
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)；
(3)两根式：
y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数，a≠0).
典题变式
1.已知函数y=2x2+bx+c在(-∞,-)上是减函数，在(-,+∞)上是增函数，且两个零点是x1、x2，满足|x1-x2|=2，求这个二次函数的解析式.
答案：y=2x2+6x+.
2.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,m∈R的图象与x轴的两交点为A(x1,0)、B(x2,0)，且x1、x2的倒数和为，求这个二次函数的解析式.
答案：y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.
3.1 函数与方程
课堂探究
探究一求函数的零点
因为函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【典型例题1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16；
(4)f(x)＝.
思路分析：可通过解方程f(x)＝0求得函数的零点．
解：(1)令－8x2＋7x＋1＝0，
解得x＝－或x＝1.
所以函数的零点为x＝－和x＝1.
(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝.
所以函数的零点为x＝.
(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2.
所以函数的零点为x＝2.
(4)因为f(x)＝＝，
令＝0，
解得x＝－6.
所以函数的零点为x＝－6.
探究二 判断函数零点的个数
判断函数y＝f(x)零点的个数的方法主要有：
(1)解方程f(x)＝0，方程实根的个数就是函数零点个数；
(2)当方程f(x)＝0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；
(3)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两图象交点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．
【典型例题2】 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，
f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，
∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
故f(x)有且只有一个零点．
方法二：在同一平面直角坐标系下作出图象如下：
h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．
由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
方法总结用零点存在定理判断函数y＝f(x)在(a，b)内零点唯一，可按以下步骤进行：
(1)判断f(a)f(b)＜0；
(2)判断函数y＝f(x)在(a，b)上单调．
探究三判断函数的零点所在的大致区间
如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．如函数y＝x2的零点就是不变号零点．
函数零点存在定理可判断变号零点所在区间．
【典型例题3】 方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间．
令f(x)＝log3x＋x－3，
则f(1)＝log31＋1－3＝－2＜0，f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，f(4)＝log34＋4－3＝log312＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
答案：C
探究四 易错辨析
易错点 忽视零点存在性定理的使用条件致误
【典型例题4】 函数f(x)＝x＋的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
错解：因为f(－1)＝－2＜0，f(1)＝2＞0，
所以函数f(x)有1个零点，故选B.
错因分析：函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域．通过作图(图略)，可知函数f(x)＝x＋的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间内使用．
正解：函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)＝0无实根．
当x＜0时，f(x)＜0，∴f(x)＝0无实根．
综上，函数f(x)没有零点．
答案：A
3.1 函数与方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点．
2．掌握函数零点的判定方法．
3．理解函数的零点与方程的根的联系.
方程的根与函数的零点
名师点拨1.函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数的图象与x轴交点的横坐标．
2．对零点存在定理的理解
(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．
(2)当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如，二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以f(3)·f(4)＝0，但x＝3是函数f(x)的一个零点．
函数f(x)＝x2，在区间[－1,1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零点0.
函数f(x)＝在区间[－1,1]上，有f(－1)·f(1)＜0，但是由其图象知函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．
自主思考1函数的零点是一个点吗？
提示：函数的零点是一个实数而非一个点，是函数图象与x轴交点的横坐标，当自变量取该值时，其函数值等于0.
自主思考2根据函数零点的定义及函数零点与方程根的关系，有哪些方法可以判断函数存在零点？
提示：判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：
(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．
(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
3.1 函数与方程
课堂探究
探究一二分法的概念
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
【典型例题1】 用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
思路分析：逐一分析每个零点附近左、右两侧函数值的符号，看是否存在区间[a，b]满足f(a)·f(b)＜0.
解析：由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)＜0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)·f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点．
答案：C
探究二 求方程的近似解
函数的零点就是对应方程的解，所以，二分法不仅可以求函数的零点，也可以求方程的近似解．
用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算．
【典型例题2】 求方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)．
思路分析：在同一平面直角坐标系中，画出y＝lg x和y＝2－x的图象，确定方程的解所在的大致区间，再用二分法求解．
解：在同一平面直角坐标系中，作出y=lg x，y=2-x的图象如图所示，可以发现方程lg x=2-x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)=lg x+x-2，
则f(x)的零点为x0.
用计算器计算，得f(1)＜0，f(2)＞0?x0∈(1,2)；
f(1.5)＜0，f(2)＞0?x0∈(1.5,2)；
f(1.75)＜0，f(2)＞0?x0∈(1.75,2)；
f(1.75)＜0，f(1.875)＞0?x0∈(1.75,1.875)；
f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0?x0∈(1.75,1.812 5)．
∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5＜0.1，
∴方程的近似解可取为1.812 5.
方法总结利用二分法求方程的近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
探究三 二分法的实际应用
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛．二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查等，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等．
【典型例题3】 某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
思路分析：对每一段线路一一检查很麻烦，当然也是不必要的，可以利用二分法的思想设计方案．
解：如图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；
再到BC段的中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；
再到BD段的中点E检查，如此，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．
探究四 易错辨析
易错点 因“二分法”精确度的理解不清致错
【典型例题4】 用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
错解：令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16＜0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29＞0，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062 5＞0，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5)，
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8＜0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
错因分析：本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|＜ε.
正解：由于f(2)＝－1＜0，f(3)＝4＞0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[2,3]
2.5
1.25
[2,2.5]
2.25
0.062 5
[2,2.25]
2.125
－0.484 4
[2.125,2.25]
2.187 5
－0.214 8
[2.187 5,2.25]
2.218 75
－0.077 1
根据上表计算知，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5＜0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值，所以其近似值可以为2.187 5.
反思总结本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而错解误认为是|f(a)－f(b)|＜ε.因此，对精确度的正确理解是正确解答本题的关键，当区间长度小于精确度时，零点可选区间内的任一值．
3.1 函数与方程
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解二分法是求方程近似解的一种方法，能够借助计算器用二分法求方程的近似解．
2．理解二分法的步骤与思想.
一、二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
名师点拨二分法就是通过不断地将所选区间(a，b)一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．
自主思考1能用二分法求图象连续的任何函数的近似零点吗？
提示：不能．能用二分法求零点的函数需具备两个条件：①图象连续；②零点左右两边的函数值异号．所以，若满足条件①而不满足条件②，则仍不能用二分法求零点．
二、用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)：
若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，c)〕；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕．
4．判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复2～4.
自主思考2用二分法求函数零点时，如何决定步骤的结束？
提示：看清题目的精确度，当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度ε时，则二分法步骤结束．
