3.2 均值不等式
知识梳理
1.几个重要不等式
（1）a2+b2≥2ab(a,b∈R);
（2）≥(a,b＞0);
（3）+≥2(ab＞0);
（4）ab≤()2(a,b∈R).
2.利用算术平均数与几何平均数之间的关系求最大值、最小值
（1）若a,b＞0，且a+b=P（P为常数），则ab存在最大值为.若a,b＞0，且ab=S（S为常数），则a+b存在最小值为.
（2）应用均值不等式求最值应满足的条件是一正、二定、三相等.
知识导学
本节的主要问题是均值不等式的应用，要理解并且牢记公式及其变形.它的应用范围是非常广泛的，如：求最值、证明不等式、解决实际问题、比较大小、求取值范围等.其中应用最重要的是积大和小定理：两个正数当和是定值时积有最大值，当积是定值时和有最小值.应用该定理要注意三个限制条件——一正、二定、三相等.当等号成立的条件不成立时，要从函数的性质（单调性）入手思考.
疑难突破
1.利用均值不等式求最值时应满足什么条件?
剖析：利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正、二定、三相等”.
“一正”,所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案.例如,很容易根据均值不等式得出y=x+≥2的错误结论.
“二定”,含变量的各项的和或者积必须是常数，例如要求a+b的最小值，ab必须是定值.求ab的最大值,a+b必须是定值.
“三相等”,具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值.例如，y= +，满足“正”和“定值”的条件，但要取等号必须=，即x2+2=1，这是不可能的，所以其最小值不是2.在利用均值不等式求最值时,必须同时考虑以上三个条件,如果其中一个不成立就可能得出错误的答案.
2.利用均值不等式求函数最值时,凑定值有哪些技巧?
剖析：利用均值不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形.在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几点:
(1)将所得出的恒为正的函数式平方，然后再使用均值不等式求解.有时候直接带有根号的定值不容易看出来,可以先平方再找最值,得出结果开方即可.但是要注意平方前后的正负问题;
(2)有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数，再使用均值不等式求解.主要是一些比较复杂的式子,使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁,也更容易得出定值;
(3)有些函数在求最值时，需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的.放缩时要保证几个等号能同时成立;
(4)有时候使用均值不等式的变形,要根据题目的特点，选用合适的公式.例如ab≤()2、≥()2等.
3.2 均值不等式
1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．
2．会用均值不等式解决简单的问题．
3．掌握运用均值不等式≥求最值的常用方法及需注意的问题．
1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2____2ab，当且仅当______时，等号成立．
(1)重要不等式成立的条件是a，b∈R.它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；
(2)等号成立的条件是当且仅当a＝b，即当a＝b时，等号成立；反之，等号成立时有a＝b.
【做一做1】不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是( )．
A．a＝2 B．a＝1
C．a＝ D．a＝0
2．(1)均值不等式：如果a，b∈R＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．
(2)对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的______，数叫做a，b的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．
公式变形：(1)a＋b≥2，ab≤()2(a，b∈R＋)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a＋≥2(a∈R＋)，当且仅当a＝1时，等号成立．
(3)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立．
【做一做2－1】若x＞0，则x＋的最小值为________．
【做一做2－2】已知0＜x＜，则函数y＝x(1－3x)的最大值是__________．
3．已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当______时，积xy取得最大值________．
(2)若xy＝P(积为定值)，则当______时，和x＋y取得最小值________．
(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．
(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．
【做一做3】已知x，y都是正数，
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
一、使用均值不等式求最值的注意事项
剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x＜0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x＜0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．
(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.由于2是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x＞1时，有x－1＞0，则函数f(x)＝x＋＝[(x－1)＋]＋1≥2＋1＝3.因此，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．
(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得＝.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2.很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝，即x＝1，而函数的定义域是x≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋＝.
因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．
二、教材中的“思考与讨论”
均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论．
剖析：(1)在a2＋b2≥2ab中，a，b∈R；在a＋b≥2中，a，b∈R＋.
(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．
(3)证明的方法都是作差比较法．
(4)都可以用来求最值．
题型一 利用均值不等式比较大小
【例1】已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小．
分析：变形利用不等式找出a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小，结合条件a＋b＋c＝1再找两代数式与的关系，从而确定它们的大小．
反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．
题型二 利用均值不等式求最值
【例2】已知x，y∈(0，＋∞)，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
分析：→→→
反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．
题型三 利用均值不等式证明不等式
【例3】已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．
反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．
题型四 利用均值不等式解恒成立问题
【例4】已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．
分析：
反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．
题型五 易错辨析
【例5】已知0＜x＜1，求f(x)＝2＋log5x＋的最值．
错解：f(x)＝2＋log5x＋≥2＋2＝2＋2，∴f(x)的最小值为2＋2.
错因分析：a＋b≥2的前提条件是a，b∈R＋，∵0＜x＜1，∴log5x＜0.∴＜0.∴不能直接使用均值不等式．
【例6】求f(x)＝＋1的最小值．
错解：因为f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1≥2＋1＝3，所以f(x)＝＋1的最小值为3.
错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程＝无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．
1对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是( )．
A．a＋b≥2 B．≥
C．a2＋b2≥2ab D．＋≥2
2已知a，b∈R，且a2＋b2＝4，那么ab( )．
A．有最大值2，有最小值－2
B．有最大值2，但无最小值
C．有最小值2，但无最大值
D．有最大值2，有最小值0
3设x，y为正数，则(x＋y)(＋)的最小值为( )．
A．6 B．9 C．12 D．15
4若x＞3，那么当x＝________时，y＝x＋取最小值________．
5已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
答案：
基础知识·梳理
1．≥ a＝b
【做一做1】B
2．(1)≥ a＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值
【做一做2－1】2 x＞0?x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立．
【做一做2－2】 ∵0＜x＜，∴1－3x＞0.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤[]2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴x＝时，函数取得最大值.
3．(1)x＝y S2 (2)x＝y 2
【做一做3】(1)2 (2) (1)当xy＝15时，x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立．所以x＋y的最小值为2；
(2)当x＋y＝15时，≤＝，所以xy≤，当且仅当x＝y＝时，等号成立．所以xy的最大值为.
典型例题·领悟
【例1】解：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc.①
∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.②
①式两边分别加上a2＋b2＋c2，得
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥.
由②式，得3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，
∴ab＋bc＋ca≤.
综上，知a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca.
【例2】解：＋＝(＋)(2x＋y)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即?时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
【例3】证明：∵a＋b＋c＝1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．
又∵a，b，c都是正实数，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
∴≥abc.
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
【例4】解：∵(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋，
又x＞0，y＞0，a＞0，
∴＋≥2＝2，
∴1＋a＋＋≥1＋a＋2，
∴要使(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需1＋a＋2≥9恒成立即可．
∴(＋1)2≥9，即＋1≥3，∴a≥4，
∴正实数a的最小值为4.
【例5】正解：∵0＜x＜1，∴log5x＜0.
∴(－log5x)＋(－)≥2＝2.
∴log5x＋≤－2.
∴f(x)≤2－2.
当且仅当log5x＝，
即x＝5－时，等号成立，此时f(x)有最大值2－2.
【例6】正解：f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1.
令t＝(t≥)，
则原函数变为f(x)＝t＋＋1，在区间[，＋∞)上是增函数．
所以当t＝时，f(x)＝t＋＋1取得最小值＋1.
所以当t＝，即x＝0时，f(x)＝＋1取得最小值＋1.
随堂练习·巩固
1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a，b不能保证是正值，则选项A，B，D都不一定成立，只有选项C对任意实数恒成立．
2．A 这里没有限制a，b的正负，则由a2＋b2＝4，a2＋b2≥2|ab|，得|ab|≤2，所以－2≤ab≤2，可知ab的最大值为2，最小值为－2.
3．B 因为x，y为正数，所以(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x时，等号成立，故选B.
4．4 5 y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x－3＝，即x＝4时，y取最小值5.
5． 因为x，y∈R＋，且x＋4y＝1，
所以xy＝x·4y≤()2＝，
当且仅当x＝4y＝，即x＝，y＝时，等号成立．
所以xy的最大值为.
3.2 均值不等式
课堂探究
一、使用均值不等式求最值的注意事项
剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x<0时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2．由于f(－2)＝－2＋＝－＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x<0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋≥2＝2，此时有f(x)≤－2．因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．
(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x>1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2．由于2是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x>1时，有x－1>0，则函数f(x)＝x＋＝＋1≥2＋1＝3．因此，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．
(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得＝．如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋≥2＝2，所以函数f(x)的最小值是2．很明显x＋中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝，即x＝1，而函数的定义域是x≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋＝．
因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．
二、教材中的“思考与讨论”
均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的关系如何？请对此进行讨论．
剖析：(1)在a2＋b2≥2ab中，a，b∈R；在a＋b≥2中，a，b＞0．
(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．
(3)证明的方法都是作差比较法．
(4)都可以用来求最值．
题型一 利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x，y∈(0，＋∞)，且2x＋y＝1，求＋的最小值；
(2)已知x<2，求函数f(x)＝x＋的最大值．
分析：(1)利用“1”的代换，即将＋等价转化为×1或＋即可；(2)将x＋等价转化为－＋2即可．
解：(1)＋＝(2x＋y)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，即?时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2．
(2)∵x<2，∴2－x>0，
∴f(x)＝x＋＝－＋2
≤－2＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，即x＝0时，等号成立．
∴x＋取得最大值－2．
反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．
题型二 利用均值不等式比较大小
【例2】 若a≥b≥0，试比较a，，，，，b的大小．
分析：这是一个有趣的不等式链，取特殊值可判断其大小关系．借助不等式和重要不等式变形可寻求判断和证明的方法．
解：∵a≥b≥0，∴≤＝a．
∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
∴≥2．
又a>0，b>0，则≥＝．
∵≥，∴≥．
∵－b＝≥0，∴≥b．
∴a≥≥≥≥≥b．
反思：均值不等式a＋b≥2(a，b∈R＋)是综合证明不等式和利用重要不等式求最值的工具，要注意不等式成立的条件，它与两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数是等价命题．有趣的不等式链≥≥≥(a，b∈R＋)，揭示了两正数倒数和、积、和平方、平方和之间的不等关系，当某一部分为定值时，其余三部分都能取到最值，且都在两数相等时取等号，利用这个不等式链往往使复杂问题简单化，要在理解的基础上记忆和应用．
题型三 利用均值不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．
分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．
证明：∵a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．
又∵a，b，c都是正实数，
∴≥>0，≥>0，≥>0．
∴≥abc．
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．
题型四 利用均值不等式解恒成立问题
【例4】 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．
分析：→→
解：∵(x＋y)＝1＋a＋＋，又x＞0，y＞0，a＞0，∴＋≥2＝2，
∴1＋a＋＋≥1＋a＋2，
∴要使(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需1＋a＋2≥9恒成立即可．
∴(＋1)2≥9，即＋1≥3，∴a≥4，∴正实数a的最小值为4．
反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．
题型五 易错辨析
【例5】 已知0＜x＜1，求f(x)＝2＋log5x＋的最值．
错解：f(x)＝2＋log5x＋≥2＋2＝2＋2，∴f(x)的最小值为2＋2．
错因分析：a＋b≥2的前提条件是a，b＞0，∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴＜0．∴不能直接使用均值不等式．
正解：∵0＜x＜1，∴log5x＜0．∴(－log5x)＋≥2＝2．
∴log5x＋≤－2．
∴f(x)≤2－2．
当且仅当log5x＝，即x＝5－时，等号成立，此时f(x)有最大值2－2．
【例6】 求f(x)＝＋1的最小值．
错解：因为f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1≥2＋1＝3，所以f(x)＝＋1的最小值为3．
错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程＝无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．
正解：f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1．
令t＝(t≥)，
则原函数变为f(x)＝t＋＋1，在区间[，＋∞)上是增函数．
所以当t＝时，f(x)＝t＋＋1取得最小值＋1．
所以当t＝，即x＝0时，f(x)＝＋1取得最小值＋1．
