2.2.1 等差数列
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．
3．理解等差数列的性质，并掌握等差数列的性质及其应用．
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母______表示．
定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤：
(1)作差an＋1－an，将差变形；
(2)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
【做一做1】如果一个数列的前3项分别为1,2,3，下列结论中正确的是( )．
A．它一定是等差数列
B．它一定是递增数列
C．它一定是有穷数列
D．以上结论都不一定正确
2．等差数列的通项公式
如果一个等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则通项公式为____________．
(1)等差数列通项公式的其他形式．
①an＝am＋(n－m)d；②an＝an＋b(a，b是常数)．
(2)等差数列的判断方法．
①定义法：an－an－1＝d(n≥2)或an＋1－an＝d?数列{an}是等差数列；
②等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)?数列{an}为等差数列；
③通项公式法：an＝an＋b?数列{an}是以a1＝a＋b为首项，以a为公差的等差数列．
【做一做2－1】已知数列{an}的通项公式为an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )．
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列
D．不是等差数列
【做一做2－2】等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是( )．
A．92 B．47 C．46 D．45
3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的________．x，A，y是等差数列的充要条件是________．
(1)a，A，b成等差数列的充要条件是：2A＝a＋b.当三个数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
(2)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝，等价于an＋an＋2＝2an＋1，an＋1－an＝an＋2－an＋1.
【做一做3】在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则∠B等于( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
一、解读等差数列的概念
剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一个常数”．因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列．
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含义的不同，如数列2,4,5,9，从第2项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
二、等差数列的性质
剖析：若数列{an}是公差为d的等差数列，
(1)d＝0时，数列为常数列；d＞0时，数列为递增数列；d＜0时，数列为递减数列．
(2)d＝＝(m，n，k∈N＋)．
(3)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.
(5)若＝k，则am＋an＝2ak.
(6)若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝….
(7)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．
(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．
(9)若数列{bn}也为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b为非零常数)也成等差数列．
(10)若{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列．
(11)若{an}是等差数列，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差数列．
用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如a8＝a2＋a6，a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正确．
三、教材中的“？”
(1)通项公式为an＝an－b(a，b是常数)的数列都是等差数列吗？
剖析：通项公式为an＝an－b(a，b为常数)的数列都是等差数列，其公差为a.
(2)怎么证明A＝？
剖析：∵x，A，y成等差数列，∴A－x＝y－A，即2A＝x＋y.∴A＝.
(3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？
剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d，所以要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．
题型一 等差数列定义的应用
【例1】判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n.
分析：利用等差数列的定义，即判断an＋1－an(n∈N＋)是否为同一个常数．
反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看an＋1－an得到的结果是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．
题型二 等差数列的通项公式
【例2】(1)求等差数列10,7,4，…的第20项．
(2)－201是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？若是，应是第几项？
分析：通过题目中给出的数列，可以确定数列的首项和公差，便可求解．
反思：求等差数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题，利用已知条件求等差数列的首项和公差是常用方法，应牢记等差数列的通项公式．
题型三 等差数列性质的应用
【例3】数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式．
分析：已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项，可利用a1，d建立方程组来求解．但是，注意到a2，a5，a8及a3，a5，a7的各项序号之间的关系，也可考虑利用等差数列的性质来求解，此法运算量较小．
反思：在有关等差数列的问题中，若已知的项的序号成等差数列，则解决问题的过程中，均可考虑利用等差数列的性质．
题型四 构造等差数列求通项公式
【例4】(1)数列{an}的各项均为正数，且满足an＋1＝an＋2＋1，a1＝1，求an；
(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝，求an.
分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求an.
反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式．构造等差数列的方法一般有：平方法、开平方法、倒数法等．
题型五 易错辨析
【例5】已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
错解：因为b是a，c的等差中项，
所以2b＝a＋c.
又因为a＋b＋c＝15，
所以3b＝15，所以b＝5.
设a，b，c的公差为d，
则a＝5－d，c＝5＋d.
由题可知2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)，
所以2lg 4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．
所以16＝25－(d－1)2.
所以(d－1)2＝9，即d－1＝3.
所以d＝4，所以a，b，c分别为1,5,9.
错因分析：解方程(d－1)2＝9时，d－1应取±3两个．而错解只取d－1＝3，漏掉了d－1＝－3的情况．
【例6】已知两个数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
错解：由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为an＝3n＋2，bn＝4n－1(1≤n≤100)．令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，即n＝3.所以两数列只有1个数值相同的项，即第3项．
错因分析：本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同．例如23在数列{an}中是第7项，而在数列{bn}中是第6项，我们也说它是两个数列中数值相同的项，也就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数列中的第几项．
1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )．
A．2 B．3 C．6 D．9
2在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝( )．
A．24 B．22 C．20 D．－8
3若数列{an}的通项公式为an＝6n＋7，则这个数列________(填“是”或“不是”)等差数列．
4在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
答案：
基础知识·梳理
1．第2项 同一个常数 公差 d
【做一做1】D
2．an＝a1＋(n－1)d
【做一做2－1】A 已知a1＝7，an－an－1＝2(n≥2)，故这是一个以2为公差的等差数列．
【做一做2－2】C 由已知，得a1＝1，d＝(－1)－1＝－2，
∴an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3.
令－2n＋3＝－89，得n＝46.
3．等差中项 2A＝x＋y
【做一做3】B
典型例题·领悟
【例1】解：(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
【例2】解：(1)由a1＝10，d＝7－10＝－3，n＝20，得a20＝10＋(20－1)×(－3)＝－47.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.设－4n－1＝－201成立，解得n＝50.所以－201是这个等差数列的第50项．
【例3】解：∵a2＋a8＝2a5，
∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9.∴a5＝3.
∴a2＋a8＝a3＋a7＝6.①
又a3a5a7＝－21，
∴a3a7＝－7.②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.
由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
【例4】解：(1)由an＋1＝an＋2＋1，可得an＋1＝(＋1)2.∵an＞0，∴＝＋1，即－＝1.∴{}是首项为＝1，公差为1的等差数列．
∴＝1＋(n－1)＝n.∴an＝n2.
(2)由an＋1＝，可得＝＋，
∴{}是首项为＝1，公差为的等差数列．
∴＝1＋(n－1)＝.∴an＝.
【例5】正解：因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c.
又因为a＋b＋c＝15，所以3b＝15.所以b＝5.
设a，b，c的公差为d，
则a＝5－d，c＝5＋d.
由题可知2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)，
所以2lg 4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．
所以16＝25－(d－1)2，即(d－1)2＝9.
所以d－1＝±3，即d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.
【例6】正解：∵an＝3n＋2(n∈N＋)，bk＝4k－1(k∈N＋)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得．
∴n＝k－1，而n∈N＋，k∈N＋，
∴设k＝3r(r∈N＋)，得n＝4r－1.
由已知且r∈N＋，可得1≤r≤25.∴共有25个相同数值的项．
随堂练习·巩固
1．B 由题意，得
∴
∴m和n的等差中项是3.
2．A
3．是 判断数列是否是等差数列的方法是：an－an－1＝d(n≥2)．根据定义有：an－an－1＝(6n＋7)－[6(n－1)＋7]＝6(常数)，所以{an}是等差数列．
4．13 等差数列{an}中，a3＝7，a5－a2＝6，
∴3d＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
2.2.1 等差数列
课堂探究
一、解读等差数列的概念
剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一个常数”．因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列．
(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含义的不同，如数列2，4，5，9，从第2项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
二、等差数列的性质
剖析：若数列{an}是公差为d的等差数列，
(1)d＝0时，数列为常数列；d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列．
(2)d＝＝(m，n，k∈N+)．
(3)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．
(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N+)，则am＋an＝ap＋aq．
(5)若＝k，则am＋an＝2ak．
(6)若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai+1＋an－i＝…．
(7)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．
(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N+)组成公差为md的等差数列．
(9)若数列{bn}也为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b为非零常数)也成等差数列．
(10)若{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列．
(11)若{an}是等差数列，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…仍成等差数列．
名师点拨：用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如a8＝a2＋a6，a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正确．
三、教材中的“？”
(1)通项公式为an＝an－b(a，b是常数)的数列都是等差数列吗？
剖析：通项公式为an＝an－b(a，b为常数)的数列都是等差数列，其公差为a．
(2)怎么证明A＝？
剖析：∵x，A，y成等差数列，
∴A－x＝y－A，即2A＝x＋y．∴A＝．
(3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？
剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项a1与公差d，所以要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．
题型一 等差数列定义的应用
【例1】 判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n．
分析：利用等差数列的定义，即判断an+1－an(n∈N＋)是否为同一个常数．
解：(1)an+1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N+)．
由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an+1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看an＋1－an得到的结果是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．
题型二 等差数列的通项公式及其应用
【例2】 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是数列{an}的项吗？
分析：由数列前三项和为18，前三项积为66，列出关于a1和d的方程组，通过解方程组求得a1和d，由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出an；由an＝－34求n，然后由n∈N+可判断．
解：由题意设该数列的首项为a1，公差为d，
则即
得或
又由该数列为递减数列，∴d＝5时不合题意，
故该数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝11－5(n－1)＝－5n＋16．
且－34是数列{an}中的项，为第10项．
【互动探究】 若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”，其余条件不变，如何求解？
答案：an＝5n－4，－34不是数列{an}中的项．
题型三 等差数列性质的应用
【例3】 已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9．
分析：既可以用等差数列的性质得到a2＋a10＝a3＋a9＝2a6，也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解．
解：方法一：根据等差数列的性质，得
a2＋a10＝a3＋a9＝2a6．
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝．
∴a3＋a9＝2a6＝．
方法二：根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d．
由题意知3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝．
∴a3＋a9＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝．
反思：方法一运用了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通法．两种方法都运用了整体代换及方程的思想．
【例4】 已知等差数列{an}中，a49＝80，a59＝100，求a79的值．
分析：(1)采用基本量法求解；(2)灵活运用性质求解．
解：解法1：设公差为d，则解得∴a79＝a1＋78d＝－16＋78×2＝140．
解法2：∵ap＝aq＋(p－q)d，
∴d＝＝＝＝2．
∴a79＝a59＋(79－59)×d＝100＋20×2＝140．
解法3：∵a49，a59，a69，a79，…成等差数列，
∴a79＝a49＋(4－1)(a59－a49)＝80＋3×20＝140．
反思：用通项公式解答等差数列问题的基本方法主要是：(1)采用基本量法，即解得数列的首项a1，公差d，运用通项公式解决问题；(2)灵活运用性质，这是简化等差数列运算的有效手段．
题型四 构造等差数列求通项公式
【例5】 (1)数列{an}的各项均为正数，且满足an＋1＝an＋2＋1，a1＝1，求an；
(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝，求an．
分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求an．
解：(1)由an+1＝an＋2＋1，可得an+1＝(＋1)2．
∵an>0，∴＝＋1，即－＝1．
∴{}是首项为＝1，公差为1的等差数列．
∴＝1＋(n－1)＝n．∴an＝n2．
(2)由an+1＝，可得＝＋，
∴是首项为＝1，公差为的等差数列．
∴＝1＋(n－1)＝．∴an＝．
反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式．构造等差数列的方法一般有：平方法、开平方法、倒数法等．
题型五 易错辨析
【例6】 已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
错解：因为b是a，c的等差中项，
所以2b＝a＋c．
又因为a＋b＋c＝15，
所以3b＝15，所以b＝5．
设a，b，c的公差为d，
则a＝5－d，c＝5＋d．
由题可知2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)，
所以2lg 4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．
所以16＝25－(d－1)2．
所以(d－1)2＝9，即d－1＝3．
所以d＝4，所以a，b，c分别为1，5，9．
错因分析：解方程(d－1)2＝9时，d－1应取±3两个．而错解只取d－1＝3，漏掉了d－1＝－3的情况．
正解：因为b是a，c的等差中项，所以2b＝a＋c．
又因为a＋b＋c＝15，所以3b＝15．所以b＝5．
设a，b，c的公差为d，
则a＝5－d，c＝5＋d．
由题可知2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)，
所以2lg 4＝lg(5－d＋1)＋lg(5＋d－1)．
所以16＝25－(d－1)2，即(d－1)2＝9．
所以d－1＝±3，即d＝4或d＝－2．
所以a，b，c三个数分别为1，5，9或7，5，3．
【例7】 已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
错解：由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为an＝3n＋2，bn＝4n－1(1≤n≤100)．令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，即n＝3．所以两数列只有1个数值相同的项，即第3项．
错因分析：本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同．例如23在数列{an}中是第7项，而在数列{bn}中是第6项，我们也说它是两个数列中数值相同的项，也就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数列中的第几项．
正解：∵an＝3n＋2(n∈N＋)，bk＝4k－1(k∈N＋)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
∴n＝k－1．而n∈N+，k∈N+，
∴设k＝3r(r∈N+)，得n＝4r－1．
由已知且r∈N+，可得1≤r≤25．
∴共有25个相同数值的项．
2.2.2 等差数列的前n项和
1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．
2．掌握等差数列前n项和公式，并能利用前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．
3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．
1．等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝________
Sn＝________
(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式．
(2)等差数列的前n项和公式有两个，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．
(3)当已知首项a1和末项an及项数n时，用公式Sn＝来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．
(4)当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋d来求和．
【做一做1－1】已知数列{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于( )．
A．33 B．34 C．35 D．36
【做一做1－2】等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的值为( )．
A．55 B．95
C．100 D．不能确定
2．等差数列前n项和公式与函数的关系
由于Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，
当d≠0时，此公式可看做二次项系数为，一次项系数为(a1－)，常数项为0的________，其图象为抛物线y＝x2＋(a1－)x上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N＋)．
因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d＞0时，Sn有最____值；当d＜0时，Sn有最____值．
数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．
【做一做2－1】已知等差数列{an}的通项公式an＝19－2n，则{an}的前________项和最大．
【做一做2－2】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－12n，则当n等于________时，Sn最小．
一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题
剖析：(1)当等差数列{an}有偶数项时，设项数为2n，
设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②
①－②，得S偶－S奇＝nd.
①＋②，得S偶＋S奇＝S2n.
，得＝＝＝.
(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为2n＋1，
设S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④
③－④，得S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1.
③＋④，得S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.
，得＝＝＝.
综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：
(1)项数为2n时，S偶－S奇＝nd，S偶＋S奇＝S2n，＝.
(2)项数为2n＋1时，S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1，S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，＝＝.
熟练运用这些性质，可以提高解题速度．
除了上述性质外，与前n项和有关的性质还有：
①等差数列的依次连续每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
②若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于{}是等差数列．
③若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前n项和，则＝.
二、教材中的“？”
如果仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值吗？
剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n的值．因为该数列的通项公式为an＝4n－32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n的值为7或8.
三、教材中的“思考与讨论”
1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
剖析：确定了，由公式an＝来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a1合进来，否则保留分段函数形式．
2．如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？
剖析：等差数列前n项和公式可以变形为Sn＝n2＋(a1－)n.当d≠0时，是关于n的二次函数，如果一个数列的前n项和公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列的通项公式是an＝
只有当c＝0时，a1＝a＋b＋c才满足an＝2an－a＋b.因此，当数列的前n项和公式为Sn＝an2＋bn时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d＝2a.
题型一 等差数列的前n项和公式的直接应用
【例1】在等差数列{an}中，
(1)已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n；
(2)已知S8＝24，S12＝84，求a1和d；
(3)已知a6＝20，S5＝10，求a8和S8；
(4)已知a16＝3，求S31.
分析：在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．
反思：在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．
题型二 Sn与an的关系问题
【例2】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N＋，求{an}的通项公式．
分析：由a1＝S1，求a1.
由an＋1＝Sn＋1－Sn确定an＋1与an的关系，再求通项an.
反思：利用an＝求an时，切记验证n＝1时的情形是否符合n≥2时an的表达式．
题型三 等差数列前n项和性质的应用
【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．
分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．
反思：在等差数列{an}中，(1)若项数为2n＋1(n∈N＋)，则＝，其中S奇＝(n＋1)an＋1，S偶＝n·an＋1；(2)若数列项数为2n(n∈N＋)，则S偶－S奇＝nd.
题型四 等差数列前n项和的最值问题
【例4】在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an≥0，an＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．
反思：本例四种解法从四个侧面求解前n项和最值问题，方法迥异，殊途同归．
解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有：
(1)二次函数法：由于Sn＝n2＋(a1－)n是关于n的二次式，因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值，但要注意这里的n∈N＋.
(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn达到最大(或最小)．
(3)通项法：由于Sn＝Sn－1＋an，所以当an≥0时，Sn≥Sn－1；当an≤0时，Sn≤Sn－1，因此当a1＞0且d＜0时，使an≥0的最大的n的值，使Sn最大；当a1＜0，d＞0时，满足an≤0的最大的n的值，使Sn最小．
题型 五易错辨析
【例5】若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2－2n＋1，求数列{an}的通项公式，并判断它是否为等差数列．
错解：∵an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
∴an＋1－an＝[6(n＋1)－5]－(6n－5)＝6(常数)．
∴数列{an}是等差数列．
错因分析：本题忽略了an＝Sn－Sn－1成立的条件“n≥2”．
【例6】已知两个等差数列{an}与{bn}，它们的前n项和的比＝，求.
错解：设Sn＝k(n＋3)，Sn′＝k(n＋1)，
则＝＝＝1.
错因分析：本题由于错误地设出了Sn＝k(n＋3)，Sn′＝k(n＋1)，从而导致结论错误．
1已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10等于( )．
A．100 B．210 C．380 D．400
2已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a3等于( )．
A． B． C． D．
3等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )．
A．130 B．170 C．210 D．260
4设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )．
A．S4＜S5 B．S4＝S5 C．S6＜S5 D．S6＝S5
5设数列{an}的前n项和为Sn＝2－2·3n，则通项公式an＝________.
6设公差不为零的等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，且S＝9S2，S4＝4S2，则数列{an}的通项公式为____________．
答案：
基础知识·梳理
1． na1＋d
【做一做1－1】D 由公式Sn＝na1＋d，得到35n＋(－2)＝0，即n2－36n＝0，解得n＝36或n＝0(舍去)．
【做一做1－2】B
2．二次函数 小 大
【做一做2－1】9
【做一做2－2】6
典型例题·领悟
【例1】解：(1)由得
∵Sn＝242，∴12n＋×2＝242.
解得n＝11或n＝－22(舍去)．
∴n＝11.
(2)由得
∴a1＝－4，d＝2.
(3)由得
∴a8＝a6＋2d＝32，S8＝＝88.
(4)S31＝×31＝a16×31＝93.
【例2】解：由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，知a1＝2.
又由an＋1＝Sn＋1－Sn
＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，
得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an，
因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．
因此an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.
【例3】解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有n项，中间项是第(n＋1)项，即an＋1.
∴＝＝＝＝＝，得n＝3.∴2n＋1＝7.
又∵S奇＝(n＋1)·an＋1＝44，∴an＋1＝11.
故这个数列的中间项为11，共有7项．
【例4】解：解法一：由S17＝S9，得
25×17＋(17－1)d＝25×9＋(9－1)d，
解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，
由二次函数的性质得当n＝13时，Sn有最大值169.
解法二：先求出d＝－2(解法一)．∵a1＝25＞0，
由得
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
解法三：先求出d＝－2(同解法一)．
由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.
∵d＝－2＜0，a1＞0，
∴a13＞0，a14＜0.
故n＝13时，Sn有最大值169.
解法四：先求出d＝－2(同解法一)得Sn的图象如图所示，由S17＝S9知图象的对称轴n＝＝13，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
【例5】正解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝2，
∴an＝
∴数列{an}不是等差数列．
【例6】正解1：利用等差数列的性质，
得＝＝＝＝.
正解2：设Sn＝kn(n＋3)，Sn′＝kn(n＋1)，
所以＝＝＝.
随堂练习·巩固
1．B d＝＝＝4，a1＝3，所以S10＝210.
2．A
3．C 令m＝1，则Sm＝S1＝a1＝30，S2m＝S2＝a1＋a2＝100，则有a1＝30，a2＝70，d＝40，则a3＝110，故S3m＝S3＝S2＋a3＝100＋110＝210.
4．B 方法一：设该等差数列的首项为a1，公差为d，则有解得
从而有S4＝－20，S5＝－20，S6＝－18.从而有S4＝S5.
方法二：由等差数列的性质知a5＋a5＝a2＋a8＝－6＋6＝0，所以a5＝0，从而有S4＝S5.
5．－4·3n－1 当n＝1时，a1＝S1＝2－2·31＝－4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2－2·3n)－(2－2·3n－1)＝－4·3n－1.
此时对n＝1，有a1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对n∈N＋，an＝－4·3n－1.
6．an＝(2n－1) 设数列{an}的公差为d(d≠0)，首项为a1，由已知得解得a1＝，d＝或a1＝d＝0(舍去)．
∴an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝(2n－1)．
2.2.2 等差数列的前N项和
课堂探究
一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题
剖析：(1)当等差数列{an}有偶数项时，设项数为2n，
设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②
①－②，得S偶－S奇＝nd．
①＋②，得S偶＋S奇＝S2n．
，得＝＝＝．
(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为2n＋1，
设S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④
③－④，得S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1．
③＋④，得S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an+1．
，得＝＝＝．
综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：
(1)项数为2n时，S偶－S奇＝nd，S偶＋S奇＝S2n，＝．
(2)项数为2n＋1时，S奇－S偶＝a1＋nd＝an+1，S偶＋S奇＝S2n+1＝(2n＋1)an+1，＝＝．
熟练运用这些性质，可以提高解题速度．
知识链接：除了上述性质外，与前n项和有关的性质还有：
①等差数列的依次连续每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
②若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于是等差数列．
③若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前n项和，则＝．
二、教材中的“？”
如果仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值吗？
剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n的值．因为该数列的通项公式为an＝4n－32，其各项为－28，－24，…，－4，0，4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n的值为7或8．
三、教材中的“思考与讨论”
1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？
剖析：确定了，由公式an＝来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a1合进来，否则保留分段函数形式．
2．如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？
剖析：等差数列前n项和公式变形为Sn＝n2＋n．当d≠0时，是关于n的二次函数，如果一个数列的前n项和公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列的通项公式是an＝
只有当c＝0时，a1＝a＋b＋c才满足an＝2an－a＋b．因此，当数列的前n项和公式为Sn＝an2＋bn时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d＝2a．
题型一 等差数列的前n项和公式的直接应用
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n；
(2)已知S8＝24，S12＝84，求a1和d；
(3)已知a6＝20，S5＝10，求a8和S8；
(4)已知a16＝3，求S31．
分析：在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．
解：(1)由得
∵Sn＝242，∴12n＋×2＝242．
解得n＝11或n＝－22(舍去)．
∴n＝11．
(2)由得
∴a1＝－4，d＝2．
(3)由得
∴a8＝a6＋2d＝32，S8＝＝88．
(4)S31＝×31＝a16×31＝93．
反思：在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．
题型二 Sn与an的关系问题
【例2】 (2013·广东高考，文19改编)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N＋，且a2＝3．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式．
分析：(1)对条件中的等式赋值n＝1即可；
(2)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)这一关系得出数列中项之间的关系即可．
(1)证明：当n＝1时，4a1＝－5，∴＝4a1＋5．
∵an>0，∴a2＝．
(2)解：当n≥2时，4Sn－1＝－4(n－1)－1，①
4Sn＝－4n－1，②
由②－①，得4an＝4Sn－4Sn－1＝－－4，
∴＝＋4an＋4＝(an＋2)2．
∵an>0，∴an+1＝an＋2，
∴当n≥2时，{an}是公差d＝2的等差数列．
∵a2，a5，a14构成等比数列，
∴＝a2·a14，(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3．
由(1)可知，4a1＝－5＝4，∴a1＝1．
∵a2－a1＝3－1＝2，
∴{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1．
反思：利用an＝求an时，切记验证n＝1时的情形是否符合n≥2时an的表达式．
题型三 等差数列前n项和性质的应用
【例3】 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．
分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．
解：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有n项，中间项是第(n＋1)项，即an+1．
∴＝＝＝＝＝，得n＝3．
∴2n＋1＝7．
又∵S奇＝(n＋1)·an+1＝44，
∴an+1＝11．
故这个数列的中间项为11，共有7项．
反思：在等差数列{an}中，(1)若项数为2n＋1(n∈N+)，则＝，其中S奇＝(n＋1)an+1，S偶＝n·an+1；(2)若数列项数为2n(n∈N＋)，则S偶－S奇＝nd．
题型四 等差数列前n项和的最值问题
【例4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an≥0，an＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．
解：解法一：由S17＝S9，得
25×17＋(17－1)d＝25×9＋(9－1)d，
解得d＝－2，
∴Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，
由二次函数的性质得当n＝13时，Sn有最大值169．
解法二：先求出d＝－2(解法一)．
∵a1＝25＞0，
由得
∴当n＝13时，Sn有最大值169．
解法三：先求出d＝－2(同解法一)．
由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0．
∵d＝－2＜0，a1＞0，
∴a13＞0，a14＜0．
故n＝13时，Sn有最大值169．
解法四：先求出d＝－2(同解法一)得Sn的图象如图所示，
由S17＝S9知图象的对称轴n＝＝13，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169．
反思：本例四种解法从四个侧面求解前n项和最值问题，方法迥异，殊途同归．
解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有：
(1)二次函数法：由于Sn＝n2＋n是关于n的二次式，因此可用二次函数的最值来确定Sn的最值，但要注意这里的n∈N+．
(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn达到最大(或最小)．
(3)通项法：由于Sn＝Sn－1＋an，所以当an≥0时，Sn≥Sn－1；当an≤0时，Sn≤Sn－1，因此当a1＞0且d＜0时，使an≥0的最大的n的值，使Sn最大；当a1＜0，d＞0时，满足an≤0的最大的n的值，使Sn最小．
题型五 易错辨析
【例5】 若数列{an}的前n项和为Sn＝3n2－2n＋1，求数列{an}的通项公式，并判断它是否为等差数列．
错解：∵an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
∴an＋1－an＝[6(n＋1)－5]－(6n－5)＝6(常数)．
∴数列{an}是等差数列．
错因分析：错解忽略了an＝Sn－Sn－1成立的条件“n≥2”．
正解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5．
当n＝1时，a1＝S1＝2，
∴an＝
∴数列{an}不是等差数列．
【例6】 已知两个等差数列{an}与{bn}，它们的前n项和的比＝，求．
错解：设Sn＝k(n＋3)，S′n＝k(n＋1)，
则＝＝＝1．
错因分析：错解由于错误地设出了Sn＝k(n＋3)，S′n＝k(n＋1)，从而导致结论错误．
正解1：利用等差数列的性质，
得＝＝＝＝．
正解2：设Sn＝kn(n＋3)，S′n＝kn(n＋1)，
所以＝＝＝．
2.2 等差数列习题课——等差数列习题课
1．进一步了解等差数列的定义，通项公式以及前n项和公式．
2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的性质的应用．
3．掌握等差数列前n项和之比的问题，及其实际应用．
题型一 已知Sn求an
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{an}的通项公式an.
分析：→→→
反思：数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系
已知数列{an}的通项就可以求数列{an}的前n项和Sn；反过来，若已知前n项和Sn也可以求数列{an}的通项公式an.
∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)．
在n≥2的条件下，把上面两式相减可得：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系：
an＝
注意：an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N＋都成立，而只对n≥2的正整数成立．由Sn求通项公式an时，要分n＝1和n≥2两种情况，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
题型二 数列{|an|}的求和问题
【例2】在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
分析：先分清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．
反思：等差数列各项取绝对值后组成的数列{|an|}的前n项和，可分为以下情形：
(1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解．
(2)在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理．
(3)在等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列{an}分成两段处理．
总之，解决此类问题的关键是找到数列{an}的正负分界点．
题型三 等差数列前n项和的比值问题
【例3】等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，求.
分析：本题可把“项比”转化成“和比”，也可把“和比”转化为“项比”．
反思：本题的关键是建立通项和前n项和的内在联系，解法一侧重于待定系数法，而解法二应用整体代换思想．
1已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )．
A．15 B．30 C．31 D．64
2等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )．
A．12 B．18 C．24 D．42
3若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )．
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
4设2a＝3,2b＝x,2c＝12，且a，b，c成等差数列，则x的值为________．
5设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
答案：
典型例题·领悟
【例1】解：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]
＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N＋)．
【例2】解：数列{an}的公差d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
由an＜0，得3n－63＜0，即n＜21.
∴数列{an}的前20项是负数，从第21项开始都为非负数．
设Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和，当n≤20时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an
＝－Sn＝－[－60n＋×3]＝－n2＋n；
当n＞20时，
Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
＝－60n＋×3－2×(－60×20＋×3)
＝n2－n＋1 260.
∴数列{|an|}的前n项和
Sn′＝
【例3】解：解法一：设Sn＝an2＋bn，Tn＝pn2＋qn，a，b，p，q为常数
则＝＝，
所以3an2＋(3b＋a)n＋b＝2pn2＋2qn，
从而即
所以Sn＝2qn2，Tn＝3qn2＋qn.
当n＝1时，＝＝；
当n≥2时，＝＝.
当n＝1时，＝也适合上式，
所以＝.
解法二：＝＝＝
＝＝＝.
随堂练习·巩固
1．A ∵a7＋a9＝a4＋a12＝16，a4＝1，∴a12＝15.
2．C 由题意知S2＝2，S4－S2＝8.∵{an}是等差数列，∴S6－S4，S4－S2，S2成等差数列．∴S6－S4＝14.∴S6＝24.
3．A
4．6 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴2a＋c＝22b.∵2a＋c＝2a·2c＝3×12＝36,22b＝(2b)2＝x2，∴x2＝36.∴x＝±6.又∵x＝2b＞0，∴x＝6.
5．解：(1)由an＝a1＋(n－1)d，及a3＝5，a10＝－9，得解得所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知Sn＝na1＋d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．
2.2 等差数列
知识梳理
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(n∈N+).
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
若三个数a、A、b成等差数列,则A叫做a、b的等差中项,且A=.
4.等差数列前n项和公式
Sn=或na1+.
5.等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d,若d＞0,则数列为递增数列,且当a1＜0时,前n项和Sn有最小值;
若d＜0,则数列为递减数列,且当a1＞0时,前n项和Sn有最大值.
6.等差数列的常用性质
已知数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d.
(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
推论:若m+n=2p,则am+an=2ap.
(2)等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列,公差等于m2d,即
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列,则有S3m=3(S2m-Sm).
(3)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.
如a1,a4,a7,a10,…(下标成等差数列).
知识导学
等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前n项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对a,d的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.
疑难突破
1.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢?
剖析:判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:
(1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N+){an}是等差数列;
(2)递推法:2an+1=an+an+2(n∈N+){an}是等差数列;
(3)性质法:利用性质来判断;
(4)通项法:an=pn+q(p、q为常数){an}是等差数列;
(5)求和法:Sn=An2+Bn(A、B为常数,Sn为{an}的前n项和){an}是等差数列.
其中(4)(5)两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,一般用(1)(2)(3)这三种方法,而方法(3)还经常与(1)(2)混合运用.
证明数列{an}是等差数列有两种基本方法:
(1)利用等差数列的定义,证明an+1-an(n≥1)为常数;
(2)利用等差中项的性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
2.如何求等差数列前n项和的最值?
剖析:可从以下两个方面思考:
(1)利用前n项和公式,转化为一元二次函数的最值问题.
Sn=na1+,当d≠0时,此式可看作二次项系数为,一次项系数为a1-,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=x2+(a1-)x上的点集,坐标为(n,Sn)(n∈N+),因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当d＞0时,Sn有最小值;当d＜0时,Sn有最大值.
(2)结合数列的特征,运用函数单调性的思路.当d＞0时,则数列为递增数列,且当a1＜0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非正数,而后面的项都是正数,前n项和Sn有最小值;当d＜0时,则数列为递减数列,且当a1＞0时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非负数,而后面的项都是负数,前n项和Sn有最大值.显然最值问题很容易判断.第二种思路运算量小.
