1.2 应用举例
知识梳理
1.在解决与三角形有关的实际问题时的一些名词、术语
(1)铅直平面：与海平面垂直的平面.
(2)仰角与俯角：在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角.当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线以下时，称之为俯角，如图1-2-1所示.
(3)方位角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东60°,如图1-2-2所示.
图1-2-1 图1-2-2
2.应用解三角形知识解实际问题的解题步骤
(1)根据题意画出示意图；
(2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元素和未知元素；
(3)选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；
(4)给出答案.
知识导学
本节知识在现实生活中应用广泛,如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等.这些都要对正弦定理及余弦定理以及三角形的相关性质有一个全面而准确的把握，所以在学习本节前要对这些相关知识进行系统地复习回顾,才能在此类问题中熟练应用，从而解决问题.该部分知识在高考中单独命题的可能性较小，所以我们不需要学习的太深太难，关键是把握该类题型的求法.
疑难突破
1.对于与解三角形有关的题目一般方法是怎样的？
剖析:解三角形问题都是以三角形为载体，解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角关系，能依据题设条件合理地设计解题程序，进行三角形中边角关系互化.判断三角形的形状是常见题型，主要的方法有两种：一是利用已知条件寻找边的关系；二是寻求角的值或角的关系，有时已知条件中有边角混杂的式子，可用正弦定理或余弦定理进行边角互化，以达到化异为同的效果.对三角函数式的变形仍以常用的三角公式为基础.
2.“方位角”“仰角”“俯角”等一些表示方位的角有何区别?
剖析:在实际生活中，方位角是大家所熟悉的，首先在地图上，东西南北这四个基本方位要能区分开来.“仰角”就是由低处往高处望，相应视线与水平线所成的角；而“俯角”就是由高处往低处看，相应的视线与水平线所成的角.另外，常见的还有其他一些角，对于在具体问题中所出现的新名词，自己应该根据具体问题体会其含义,从而正确地将问题解决.只有这些角能正确地区分开来，才能将问题恰当地解决.
1.2 应用举例
1．了解实际问题中所涉及的名词和一些术语．
2．会建立实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解有关距离、高度及角度等实际问题．
1．实际应用问题中的有关术语
(1)铅直平面：指与______垂直的平面．
(2)仰角和俯角：指在同一铅直平面内，目标视线与水平视线的夹角中，视线在水平线____的角叫仰角，视线在水平线____的角叫俯角．如图(1)所示．
(3)方位角：以指北方向线作为0°，顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角．如图(2)所示．
(4)方向角：相对于某一______的水平角，如北偏东60°.
(5)坡角与坡度：坡面与______的夹角叫坡角，坡面的__________与__________的比叫做坡度(或坡比)．
设坡角为α，坡度为i，则i＝____＝____，如图(3)所示．
【做一做1】已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40°，灯塔B在观测站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )．
A．北偏东40° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
2．三角形中的有关公式和结论
(1)在直角三角形中各元素间的关系．在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则有：
①锐角之间的关系：________；
②三边之间的关系：__________；
③边角之间的关系：(锐角三角函数的定义)
sin A＝cos B＝____，cos A＝sin B＝______，tan A＝______.
(2)斜三角形中各元素间的关系．
在△ABC中，若角A，B，C为其内角，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，则有：
①角与角之间的关系：∠A＋∠B＋∠C＝π；sin A＜sin B?______，特别地，在锐角三角形中，sin A＞cos B，sin B____cos C，sin C____cos A；
②边与边之间的关系：a＋b＞c，b＋c＞a，______，a－b＜c，b－c＜a，______；
③边角之间的关系：
正弦定理：________(R为外接圆半径)；
余弦定理：____________，__________，____________；
它们的变形形式有：a＝________，＝________，cos A＝__________.
(3)三角形中的角的变换及面积公式．
①角的变换．
因为在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，所以sin (A＋B)＝______；cos(A＋B)＝______；tan(A＋B)＝________.sin ＝________，cos ＝__________.
②面积公式的有关变换．
S＝absin C＝________＝________＝(R为△ABC外接圆的半径)；
S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)．
【做一做2－1】一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距10 m，则树干原来的高度是( )．
A．(20＋10) m B．(10＋20) m
C．(20＋20) m D．(10＋10) m
【做一做2－2】在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆的半径为，则边c的长为________．
【做一做2－3】在△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
3．解应用题的一般思路
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，把已知和要求的量尽量集中到有关三角形中，将实际问题抽象成解三角形模型．
(3)选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中单位、近似计算的要求．这一思路描述如下：
【做一做3－1】如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用第________组数据．
①α，a，b；
②α，β，a；
③a，b，γ；
④α，β，b.
【做一做3－2】在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为______ m.
实际问题中度量A，B两点的长度(高度)的方法
剖析：(1)求距离问题．
如图，当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离．
两点间不可到达又不可视
两点间可视但不可达
两点都不可达
①当A，B两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解，
则AB＝.
②当A，B两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解．
∵∠A＝π－(∠B＋∠C)，
∴根据正弦定理，得＝＝＝＝，
则AB＝.
③当A，B两点都不可达时，先在△ADC和△BDC中分别求出AC，BD，再在△ABC或△ABD中运用余弦定理求解．
先求：AD＝×sin∠ACD；
再求：BD＝×sin∠BCD；
最后：AB＝.
将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提供必要的条件．
(2)求高度问题．
如图，当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度，有如下情况．
底部可达
底部不可达
①当BC底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则AB＝atan C．
②当BD不可达时，
在Rt△ABD中，BD＝，
在Rt△ABC中，BC＝，
∴a＝CD＝BC－BD＝－.
∴AB＝.
③在△BCD中，BC＝×sin D．
∵AB⊥BC ，∴∠BAC＝－∠ACB．
∴在△ABC中，AB＝×sin∠ACB＝×sin∠ACB．
∴AB＝×sin∠ACB＝.
在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．
题型一 测量距离问题
【例1】如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
分析：要求出A，B之间的距离，可在△ABC(或△ADB)中去找关系，但不管在哪个三角形中，AC，BC这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可．
反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型．在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题．
题型二 测量高度问题
【例2】如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB＝20 m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(精确到0.1 m)
分析：先在Rt△PAO和Rt△PBO中求出AO，BO，再在△AOB中由余弦定理求出h.
反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序．
题型三 测量角度问题
【例3】如图，甲船在A处，乙船在甲船的南偏东45°方向，距A 9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到1度)
分析：假设用t小时在C处追上乙船，则在△ABC中，AC，BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可．
反思：航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解．
题型四 面积问题
【例4】在半径为R的扇形OAB中，圆心角∠AOB＝60°，在扇形内有一个内接矩形，求内接矩形的最大面积．
分析：扇形内的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合；另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形．我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积，再取两者中较大的，就是符合条件的最大面积．
反思：关于求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出，再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解题思路．
题型五 易错辨析
【例5】某观测站C在城A的南偏西20°的方向上，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上距C31 km的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20 km后到达D处，此时C，D间的距离为21 km，这人还要走多远才能到达城A?
错解：如图所示，∠CAD＝60°.
在△BCD中，由余弦定理，
得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝.
在△ABC中，AC＝＝24.
在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，
即212＝242＋AD2－24AD，
所以AD＝15或AD＝9，
所以这人还要走15 km或9 km才能到达城A．
错因分析：没有及时检测，题目中△ACD为锐角三角形，故应舍去AD＝9的情况．
1如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )．
A．a和c B．c和b
C．c和β D．b和α
2已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )．
A．a km B．a km
C．a km D．2a km
3某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好km，那么 x＝________.
4A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C在海平面上的射影，则山高CD为________．
5为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案：包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)水平面 (2)上方 下方 (4)正方向 (5)水平面 铅直高度h 水平宽度l tan α
【做一做1】B 如图所示，∠ECA=40°，∠FCB＝60°，∴∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝＝50°.∴∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.
2．(1)∠A＋∠B＝90° a2＋b2＝c2 (2)∠A＜∠B ＞ ＞ c＋a＞b c－a＜b ＝＝＝2R c2＝a2＋b2－2abcos C b2＝a2＋c2－2accos B a2＝b2＋c2－2bccos A 2Rsin A (3)sin C －cos C －tan C cos sin acsin B bcsin A
【做一做2－1】A 如图所示，BC=10 m，
∴，
.
∴AB+AC=m.
【做一做2－2】3
【做一做2－3】 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即72＝52＋AC2－2×5×AC·cos 120°，
∴AC2＋5AC－24＝0.
解得AC＝3，AC＝－8(舍去)．
由正弦定理，得＝＝.
【做一做3－1】③ 根据实际情况α，β都是不易测量的数据，而③中的a，b，γ很容易测量到，并且根据余弦定理能直接求出AB的长，故选③.
【做一做3－2】 如图，设塔高AB为h，在Rt△CDB中，CD＝200 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，
∴BC＝＝(m)．
在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝(m)．
典型例题·领悟
【例1】解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝(km)．
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°.
由正弦定理，得BC＝＝(km)．
在△ACB中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝()2＋()2－2×cos75°＝5.∴AB＝km.
∴两目标A，B之间的距离为km.
【例2】解：在Rt△PAO中，AO＝＝h.
在Rt△PBO中，BO＝＝h.
在△ABO中，由余弦定理，得202＝(h)2＋h2－2h·hcos 60°，
解得h＝≈13.3(m)．
【例3】解：假设用t小时甲船在C处追上乙船．在△ABC中，AC＝28t海里，BC＝20t海里，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－)，
整理，得128t2－60t－27＝0，
即(4t－3)(32t＋9)＝0.
∴t＝或t＝－(舍去)．
∴AC＝28×＝21(海里)，BC＝20×＝15(海里)．
由正弦定理，得
sin∠BAC＝＝＝.
又∠ABC＝120°，
∴∠BAC为锐角，∴∠BAC≈38°.
∴45°－38°＝7°.
∴甲船应沿南偏东7°方向用小时可最快追上乙船．
【例4】解：如图(1)所示，设PQ＝x，MP＝y，则矩形的面积S＝xy.
连接ON，令∠AON＝θ，则y＝Rsin θ.
在△OMN中，利用正弦定理，得＝，
∴x＝.
∴S＝xy＝＝R2·.
当θ＝30°时，Smax＝R2.
如图(2)所示，设PN＝x，MN＝y，
则矩形的面积为S＝xy，连接ON，令∠AON＝θ.
在△OPN中，利用正弦定理，得＝＝，
∴x＝×sin θ＝2Rsin θ，y＝2Rsin(30°－θ)．
∴S＝xy＝4R2sin θsin(30°－θ)＝2R2[cos 2(15°－θ)－cos 30°]．
当θ＝15°时，Smax＝(2－)R2.
∵＞2－，
∴所求内接矩形的最大面积为R2.
【例5】正解：设∠ACD＝α，∠CDB＝β，
在△CBD中，由余弦定理，得cos β＝＝＝－，
所以sin β＝，
而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝×＋×＝.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，则AD＝＝15(km)．
所以这人还要走15 km才能到达城A.
随堂练习·巩固
1．D 在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC即可看做基线，在△ABC中，能够测量到的边角分别为b和α.
2．B 显然∠ACB＝120°，AC＝BC＝a km，则∠CAB＝∠CBA＝30°.由正弦定理，有＝，则AB＝AC＝a(km)．
3．或 方法一：如图所示，由题意，可知AB=x km，AC=km，BC=3 km，∠ABC=30°.
由余弦定理，知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC，即3＝x2＋9－2×3xcos 30°.
整理，得x2－3x＋6＝0.
解得x＝2或x＝.
方法二：由正弦定理，得sin A＝＝＝.
∵BC＞AC，∴∠A＞∠B.
∵∠B＝30°，∴∠A＝60°或120°.
当∠A＝60°时，∠ACB＝90°，
∴x＝＝2；
当∠A＝120°时，∠ACB＝30°，
∴x＝AC＝.
4．800(＋1) m 如图，由于CD⊥AD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD.
因此，只需在△ABD中求出AD即可．
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
∴CD＝AD＝800(＋1)(m)．
5．解：方案1：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．
②第一步：计算AM，由正弦定理，得AM＝；
第二步：计算AN，由正弦定理，得AN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理得：
MN＝.
方案2：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示)．
②第一步：计算BM，由正弦定理，得BM＝；
第二步：计算BN，由正弦定理，得BN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理得：
MN＝.
1.2 应用举例
课堂探究
实际问题中度量A，B两点的长度(高度)的方法
剖析：(1)求距离问题．
如图，当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离．
两点间不可到达又不可视
两点间可视但不可达
两点都不可达
①当A，B两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解，
则AB＝．
②当A，B两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解．
∵∠A＝π－(∠B＋∠C)，∴根据正弦定理，得＝＝＝＝，
则AB＝．
③当A，B两点都不可达时，先在△ADC和△BDC中分别求出AC，BD，再在△ABC或△ABD中运用余弦定理求解．
先求：AD＝×sin∠ACD；
再求：BD＝×sin∠BCD；
最后：AB＝．
名师点拨：将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提供必要的条件．
(2)求高度问题．
如图，当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度，有如下情况．
底部可达
底部不可达
①当BC底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则AB＝atan C．
②当BD不可达时，
在Rt△ABD中，BD＝，
在Rt△ABC中，BC＝，
∴a＝CD＝BC－BD＝－．
∴AB＝．
③在△BCD中，BC＝×sin D．
∵AB⊥BC ，∴∠BAC＝－∠ACB．
∴在△ABC中，AB＝×sin∠ACB
＝×sin∠ACB．
∴AB＝×sin∠ACB
＝．
名师点拨：在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．
题型一 测量距离问题
【例1】如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
分析：要求出A，B之间的距离，可在△ABC(或△ADB)中去找关系，但不管在哪个三角形中，AC，BC这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝75°＋45°＝120°，
∴∠CAD＝30°．
∴AC＝CD＝ km．
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°．
由正弦定理，得BC＝＝(km)．
在△ACB中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝()2＋2－2×cos 75°＝5．
∴AB＝ km．
∴两目标A，B之间的距离为 km．
反思：测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型．在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解；测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题．
题型二 测量高度问题
【例2】 如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB＝20 m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h．(精确到0．1 m)
分析：先在Rt△PAO和Rt△PBO中求出AO，BO，再在△AOB中由余弦定理求出h．
解：在Rt△PAO中，AO＝＝h．
在Rt△PBO中，BO＝＝h．
在△ABO中，由余弦定理，得202＝(h)2＋h2－2h·hcos 60°，解得h＝≈13．3(m)．
反思：在解三角形的问题时，一定要选择合适的三角形，这样可以简化计算过程，再者还要注意立体几何图形中的边角关系，并选择好三角形的使用顺序．
题型三 测量角度问题
【例3】 如图，甲船在A处，乙船在甲船的南偏东45°方向，距A处9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船？(精确到1度)
分析：假设用t小时在C处追上乙船，则在△ABC中，AC，BC可用t来表示，进而利用余弦定理求得t，解此三角形即可．
解：假设用t小时甲船在C处追上乙船．在△ABC中，AC＝28t海里，BC＝20t海里，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°．
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，
整理，得128t2－60t－27＝0，
即(4t－3)(32t＋9)＝0．
∴t＝或t＝－(舍去)．
∴AC＝28×＝21(海里)，BC＝20×＝15(海里)．
由正弦定理，得
sin∠BAC＝＝＝．
又∠ABC＝120°，
∴∠BAC为锐角，∴∠BAC≈38°．∴45°－38°＝7°．
∴甲船应沿南偏东7°方向用小时可最快追上乙船．
反思：航海问题常利用解三角形的知识解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正、余弦定理求解．
题型四 面积问题
【例4】 在半径为R的扇形OAB中，圆心角∠AOB＝60°，在扇形内有一个内接矩形，求内接矩形的最大面积．
分析：扇形内的内接矩形有且仅有两种类型：一种是矩形的一边与扇形的一条半径重合；另一种是以扇形的对称轴为对称轴的矩形．我们分别求出这两种类型的矩形的最大面积，再取两者中较大的，就是符合条件的最大面积．
解：如图(1)所示，设PQ＝x，MP＝y，则矩形的面积S＝xy．
连接ON，令∠AON＝θ，则y＝Rsin θ．
在△OMN中，利用正弦定理，得
＝，
∴x＝．
∴S＝xy＝
＝R2·．
当θ＝30°时，Smax＝R2．
如图(2)所示，设PN＝x，MN＝y，则矩形的面积为S＝xy，连接ON，令∠AON＝θ．
在△OPN中，利用正弦定理，得＝＝，
∴x＝×sin θ＝2Rsin θ，y＝2Rsin(30°－θ)．
∴S＝xy＝4R2sin θsin(30°－θ)
＝2R2[cos 2(15°－θ)－cos 30°]．
当θ＝15°时，Smax＝(2－)R2．
∵>2－，
∴所求内接矩形的最大面积为R2．
反思：关于求面积最值问题，关键是将面积函数表达出来，根据已知条件利用正弦定理将与矩形面积有关的量求出，再转化为求三角函数最值问题，这是这一类问题常用的解题思路．
题型五 易错辨析
【例5】 某观测站C在城A的南偏西20°的方向上，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处，测得公路上距C处31 km的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20 km后到达D处，此时C，D间的距离为21 km，这人还要走多远才能到达城A?
错解：如图所示，∠CAD＝60°．
在△BCD中，由余弦定理，
得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝．
在△ABC中，AC＝＝24．
在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD，
即212＝242＋AD2－24AD，所以AD＝15或AD＝9，
所以这人还要走15 km或9 km才能到达城A．
错因分析：没有及时检验，题目中△ACD为锐角三角形，故应舍去AD＝9的情况．
正解：设∠ACD＝α，∠CDB＝β，
在△CBD中，由余弦定理，得
cos β＝＝＝－，所以sin β＝，从而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－cos βsin 60°＝×＋×＝．
在△ACD中，由正弦定理，得＝，则AD＝＝15(km)．
所以这人还要走15 km才能到达城A．
