3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
1．了解二元一次不等式(组)的概念．
2．理解二元一次不等式(组)解集的几何意义．
3．会画二元一次不等式(组)所表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
(1)二元一次不等式是指含有____个未知数，且未知数的______次数是____的整式不等式．二元一次不等式组是指由几个含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式组成的不等式组．
(2)二元一次不等式(组)的解集是指满足这个不等式(组)的实数x和y构成的有序数对(x，y)构成的集合．
(3)二元一次不等式的一般形式为________________或__________________．
【做一做1－1】若点P(1，－2)不在直线Ax＋By＋C＝0上，则( )．
A．A－2B＋C＝0 B．A－2B＋C≠0
C．A＋2B＋C＞0 D．A－2B＋C＜0
【做一做1－2】完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则x，y满足的约束条件是________．
2．二元一次不等式表示的平面区域
(1)直线l：Ax＋By＋C＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做__________．开半平面与l的并集叫做__________．以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，也叫做________________或____________．
(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有______的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号______，一侧都大于0，另一侧都小于0.
在判断不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的平面区域时，“代点法”无疑是快捷且准确的方法．即基本方法是“直线定界，特值定域”．其步骤：(1)画直线Ax＋By＋C＝0；(2)在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，可取较特殊的点，易计算；(3)将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值；(4)若Ax0＋By0＋C＞0，则此点所在的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区
域；反之此点所在的半平面不是不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域．
【做一做2－1】图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )．
A．x＋y－1＜0 B．x＋y－1＞0
C．x－y－1＜0 D．x－y－1＞0
【做一做2－2】以下各点在3x＋2y＜6表示的平面区域内的是______．
①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．
3．二元一次不等式组表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式组表示的平面区域就是这个不等式组中每个二元一次不等式表示的平面区域的__________．
【做一做3】在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为________．
二元一次不等式表示的平面区域的判定方法
剖析：方法一：第一步，直线定边界，画出直线Ax＋By＋C＝0，当不等式中含有等号时，直线画成实线，否则画成虚线．
第二步，特殊点定平面区域，在坐标平面内取一个特殊点，当C≠0时，常取原点(0,0)．若原点满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当C＝0时，可考虑把点(1,0)或(0,1)作为测试点．
口诀如下：直线定界，特殊点定域．
方法二：Ax＋By＋C＞0，当B＞0时表示区域为直线上方区域；B＜0时为直线下方区域．
Ax＋By＋C＜0，当B＞0时表示区域为直线下方区域，当B＜0时为直线上方区域．概括为“B”与“不等号”同向在“上方”，“B”与“不等号”反向在“下方”．
平面内任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧、异侧的充要条件：
由于直线同一侧的点的坐标(x，y)使Ax＋By＋C具有相同的符号，且一侧为正，另一侧必为负，因而直线同一侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相同，直线不同侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相反，因而我们有以下的结论：
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0；
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0异侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.
题型一 二元一次不等式表示平面区域
【例1】在平面直角坐标系中画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－y＋1＞0；
(2)x＋2y－4≤0.
分析：本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，先画出直线，再用特殊点确定不等式表示的平面区域．
反思：由于二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)表示的平面区域一定是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧．要断定究竟是哪一侧，可以取直线Ax＋By＋C＝0某侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的平面区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域．如果直线不通过原点，一般取原点(0,0)来进行判断．
题型二 二元一次不等式组表示平面区域
【例2】画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域．
分析：此不等式为二元二次不等式，看似无从下手，注意到不等号右边为0，左边为两因式乘积，易联想到利用“两数相乘，异号得负”的法则，将其转化为两个二元一次不等式组．
反思：(1)画平面区域时作图要尽量准确，特别是画边界；(2)非二元一次不等式表示的平面区域问题往往等价转化为二元一次不等式(组)表示的平面区域问题．
题型三 求平面区域内的整点坐标
【例3】不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有________个．
反思：求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法：①先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相应的整数值；②网格法求整点，此法关键是作图要准确．
题型四 二元一次不等式组表示的平面区域的面积问题
【例4】在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域的面积等于2，求a的值．
分析：→→→→→
题型 五易错辨析
【例5】画出不等式组表示的平面区域．
错解：如图所示的阴影部分．
错因分析：不等式2x＋y－6≥0表示的平面区域是直线2x＋y－6＝0及其右上方的部分，将(0,0)代入2x＋y－6，得－6＜0，所以原点不在不等式表示的平面区域内．
1已知一直线l的方程为ax＋by＝0(a，b不同时为零)，点P1(x0，y0)，P2(2x0,2y0)，则( )．
A．点P1，P2分别在l的两侧或在l上
B．点P1，P2均在l的同侧或在l上
C．点P1，P2分别在l的两侧，不可能在l上
D．点P1，P2均在l上
2不等式组表示的平面区域是一个( )．
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
3(x－2y＋1)(x＋y－3)＜0表示的平面区域为( )．
4点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是______．
5若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是______．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)两 最高 1
(3)Ax＋By＋C＞0 Ax＋By＋C＜0
【做一做1－1】B
【做一做1－2】
2．(1)开半平面 闭半平面 不等式表示的区域 不等式的图象
(2)相同 相反
【做一做2－1】B
【做一做2－1】①②③
3．公共部分
【做一做3】1 画出不等式组表示的平面区域如图，由题意，△ABC的面积为9，则|BC|＝(a＋4)－(－a)＝2a＋4，A到直线BC的距离为a－(－2)＝a＋2，∴(a＋2)(2a＋4)＝9，解得a＝1或－5(舍去)．
典型例题·领悟
【例1】解：(1)画出直线l1：x－y＋1＝0(虚线)，
取原点O(0,0)代入x－y＋1，得1＞0，不等式成立．
所以O(0,0)在x－y＋1＞0表示的平面区域内，
故x－y＋1＞0表示的平面区域就是直线l1右下方的区域．
画出区域如图(1)所示的阴影部分(不包括直线l1上的点)．
(2)画出直线l2：x＋2y－4＝0(实线)．
取原点O(0,0)代入x＋2y－4，得－4＜0，不等式成立．
所以x＋2y－4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域．
画出区域如图(2)所示的阴影部分(包括直线l2上的点)．
【例2】解：此不等式可转化为
或
分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．
【例3】3 画出不等式组表示的平面区域，如图所示(阴影部分，不含x轴和y轴)．
从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0,3)内，取x＝1，2，当x＝1时，区域内的整点有(1,1)，(1,2)．当x＝2时，区域内的整点有(2,1)．共3个．
【例4】解：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域．
而直线ax－y＋1＝0恒过定点A(0,1)，斜率为a.
因为不等式组所表示的平面区域的面积等于2，所以此平面区域为“封闭”图形．
所以可判断直线ax－y＋1＝0与直线x－1＝0的交点C在点B(1,0)上方，
所以不等式组所表示的平面区域为△ABC.
由得C(1，a＋1)．
又点C在点B上方，
∴a＞－1，所以|BC|＝a＋1－0＝a＋1，
∴S＝×|BC|×1＝＝2，解得a＝3.
【例5】正解：如图所示的阴影部分．
随堂练习·巩固
1．B 若ax0＋by0＝0，则2ax0＋2by0＝0，此时P1和P2都在直线l上，否则，一定有ax0＋by0与2ax0＋2by0同号，故选B.
2．C (x－y＋5)(x＋y)≥0
?或
据题意作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示．故选C.
3．C 原不等式等价于不等式组或分别画出各不等式组所表示的平面区域，观察其图象，知选C.
4．(，＋∞) 据题意得不等式2×(－2)－3t＋6＜0，解得t＞.故t的取值范围是(，＋∞)．
5．(0,1]∪[，＋∞)
3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
课堂探究
二元一次不等式表示的平面区域的判定方法
剖析：方法一：第一步，直线定边界，画出直线Ax＋By＋C＝0，当不等式中含有等号时，直线画成实线，否则画成虚线．
第二步，特殊点定平面区域，在坐标平面内取一个特殊点，当C≠0时，常取原点(0，0)．若原点满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当C＝0时，可考虑把点(1，0)或(0，1)作为测试点．
口诀如下：直线定界，特殊点定域．
方法二：Ax＋By＋C>0，当B>0时表示区域为直线上方区域；B<0时为直线下方区域．
Ax＋By＋C<0，当B>0时表示区域为直线下方区域，当B<0时为直线上方区域．概括为“B”与“不等号”同向在“上方”，“B”与“不等号”反向在“下方”．
平面内任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧、异侧的充要条件：
由于直线同一侧的点的坐标(x，y)使Ax＋By＋C具有相同的符号，且一侧为正，另一侧必为负，因而直线同一侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相同，直线不同侧的点使Ax＋By＋C的值的符号相反，因而我们有以下的结论：
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0；
P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0异侧?(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0．
题型一 二元一次不等式表示平面区域
【例1】 在平面直角坐标系中画出下列二元一次不等式表示的平面区域．
(1)x－y＋1>0；
(2)x＋2y－4≤0．
分析：本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，先画出直线，再用特殊点确定不等式表示的平面区域．
解：(1)画出直线l1：x－y＋1＝0(虚线)，
取原点O(0，0)代入x－y＋1，得1>0，不等式成立．
所以O(0，0)在x－y＋1>0表示的平面区域内，故x－y＋1>0表示的平面区域就是直线l1右下方的区域．
画出区域如图(1)所示的阴影部分(不包括直线l1上的点)．
(2)画出直线l2：x＋2y－4＝0(实线)．
取原点O(0，0)代入x＋2y－4，得－4<0，不等式成立．
所以x＋2y－4≤0表示的平面区域是直线l2及其左下方的区域．
画出区域如图(2)所示的阴影部分(包括直线l2上的点)．
反思 由于二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的平面区域一定是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧．要断定究竟是哪一侧，可以取直线Ax＋By＋C＝0某侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的平面区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域．如果直线不通过原点，一般取原点(0，0)来进行判断．
题型二 二元一次不等式组表示平面区域
【例2】 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0表示的平面区域．
分析：此不等式为二元二次不等式，看似无从下手，注意到不等号右边为0，左边为两因式乘积，易联想到利用“两数相乘，异号得负”的法则，将其转化为两个二元一次不等式组．
解：此不等式可转化为或
分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．
反思 (1)画平面区域时作图要尽量准确，特别是画边界；(2)非二元一次不等式表示的平面区域问题往往等价转化为二元一次不等式(组)表示的平面区域问题．
题型三 根据平面区域写出不等式(组)
【例3】 将下面图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来．
分析：观察图形，先写出边界直线，并确定虚实，然后写出不等式．
解：(1)易知直线方程为x＝－1，图中阴影部分的点的横坐标都小于－1，故不等式为x≤－1．
(2)由截距式得直线方程为＋＝1，即y＝－x＋1．
因为0<－×0＋1，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y<－x＋1，即x＋2y－2<0表示．
(3)易知直线斜率为1，过点(1，0)，其方程为y＝x－1．
因为0>0－1且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y>x－1，即x－y－1<0表示．
反思 根据平面区域写二元一次不等式的方法与步骤．
第一步：确定直线方程，根据平面区域(阴影部分)的边界与两坐标轴的交点确定直线方程；
第二步：在阴影部分中取特殊点确定不等号的方向，写出对应平面区域的二元一次不等式．
题型四 求平面区域内的整点坐标
【例4】 不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有________个．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示(阴影部分，不含x轴和y轴)．
从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0，3)内，取x=1，2，当x=1时，区域内的整点有(1，1)，(1，2)．当x=2时，区域内的整点有(2，1)．共3个．
答案：3
反思 求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法：①先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相应的整数值；②网格法求整点，此法关键是作图要准确．
题型五 易错辨析
【例5】 画出不等式组表示的平面区域．
错解：如图所示的阴影部分．
错因分析：不等式2x＋y－6≥0表示的平面区域是直线2x＋y－6＝0及其右上方的部分，将(0，0)代入2x＋y－6，得－6<0，所以原点不在不等式表示的平面区域内．
正解：如图所示的阴影部分．
3.5.2 简单线性规划
1．体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题．
2．经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高用线性规划解决实际问题的能力．
线性规划中的基本概念
名称
定义
目标函数
要求__________________的函数，叫做目标函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的__________
线性目
标函数
如果目标函数是________________，则称为线性目标函数
线性约
束条件
如果约束条件是____________________________，则称为线性约束条件
线性规
划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的________________问题，称为线性规划问题
最优解
使目标函数达到__________________的点的______，称为问题的最优解
可行解
满足线性约束条件的____，叫做可行解
可行域
由所有________组成的集合叫做可行域
简单线性规划应用问题的求解步骤：(1)设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数．(2)作：作出可行域．(3)移：作一组平行直线l，平移l，找最优解．(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之：求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．
【做一做1】如果实数x，y满足条件那么2x－y的最大值为( )．
A．2 B．1 C．－2 D．－3
【做一做2】配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)：
药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为______百元．
一、图解法求最值的实质
剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由z＝Ax＋By＋C得y＝－x＋.这样，二元一次函数就可以视为斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线．于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．
(1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误．
二、常见的线性规划问题类型
剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有：
①物资调运问题
例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
题型一 求线性目标函数的最值问题
【例1】设z＝2y－2x＋4，式子中x，y满足条件试求z的最大值和最小值．
分析：作出线性约束条件下的可行域，然后作出与直线2y－2x＝0平行的直线，通过平移直线，在可行域内求出最大值和最小值．
反思：求目标函数z＝ax＋by＋c(ab≠0，c≠0)的最值，与求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法是一样的，因为在z＝ax＋by＋c中，c为非零常数，故仍可设t＝ax＋by，只要求出t＝ax＋by的最值，则z＝ax＋by＋c的最值即可求得，在本题中，通过平移直线，得到y轴上的截距的最值，也就得到了t的最值．
题型二 求非线性目标函数的最值问题
【例2】已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围．
分析：(1)中z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2的几何意义为平面区域内的点(x，y)到(0,5)的距离的平方；(2)z＝＝2·的几何意义为平面区域内的点(x，y)与(－1，－)连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解．
反思：(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
(2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与(－，－)连线斜率的倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况．
题型三 简单的线性规划问题
【例3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值．
题型四 最优整数解的问题
【例4】电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲每集播放时间为21分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每集播放时间为11分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(包含广告时间)．电视台每周应播放两套片集各多少集，才能获得最高的收视率？
分析：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，它们每集的广告时间都是1分钟，则x＋y不少于6分钟．我们还应注意到片集一共的播放时间里要包括广告时间，不超过86分钟．
反思：如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法求得．
题型 五易错辨析
【例5】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的范围是( )．
A．[3,12] B．(3,12)
C．(5,10) D．[5,10]
错解：由于f(－2)＝4a－2b，要求f(－2)的范围，可先求a与b的范围．由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，得
两式相加得≤a≤3，又－2≤b－a≤－1.③
②式与③式相加得0≤b≤.
∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0.∴3≤4a－2b≤12.
即3≤f(－2)≤12.故选A.
错因分析：这种解法看似正确，实则使f(－2)的范围扩大了．事实上，这里f(－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12.由上述解题过程可知，当a＝且b＝时才能使4a－2b＝3，而此时a－b＝0，不满足①式．同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．
1目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )．
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线纵截距的相反数 D．该直线的横截距
2设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最小值为( )．
A．2 B．3
C．4 D．9
3设E为平面上以三点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)，则z＝4x－3y，(x，y)∈E的最大值与最小值分别为( )．
A．14，－18 B．－14，－18
C．18,14 D．18，－14
4已知变量x，y满足则z＝3x＋y的最大值是________．
5已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为______．
答案：
基础知识·梳理
最大值或最小值 不等式组 关于变量的一次函数 关于变量的一次不等式(或等式) 最大值或最小值 最大值或最小值 坐标 解 可行解
【做一做1】B 作出可行域，可知当直线z＝2x－y过点(0，－1)时，z最大．
【做一做2】8 设药剂A，B分别配x剂、y剂，则
作出可行域如图阴影部分所示．
令z＝0得直线x＋2y＝0，
平移此直线过点M时z最大，
由
得M(，)，调整得最优解(2,3)，
∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)．
典型例题·领悟
【例1】解：作出二元一次不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示)，即可行域．
将z＝2y－2x＋4变形为y＝x＋z－2，这是斜率为1，随z变化的一组平行直线(如图所示)．
(z－2)是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最大．当然，直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z＝2y－2x＋4取得最大值；当直线截距最小时，z的值最小，即在满足约束条件时目标函数z＝2y－2x＋4取得最小值．
由图可知，当直线z＝2y－2x＋4经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大．
解方程组得A点的坐标为(0,2)．
所以zmax＝2y－2x＋4＝2×2－2×0＋4＝8.
当直线z＝2y－2x＋4经过可行域上的点B时，截距最小，即z最小．
解方程组得B点的坐标为(1,1)．
所以zmin＝2y－2x＋4＝2×1－2×1＋4＝4.
【例2】解：作出可行域，如图阴影部分所示．
可求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作MN⊥AC于N，则|MN|＝＝＝.
所以|MN|2＝，
所以z＝x2＋y2－10y＋25的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍．
∵kQA＝，kQB＝，
故z的取值范围是[，]．
【例3】解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米食y(百克)，
所需费用为z＝0.5x＋0.4y，且x，y满足
作出可行域，如下图阴影部分所示．
令z＝0，作直线l0：0.5x＋0.4y＝0，即直线5x＋4y＝0.
由图形可知，把直线l0平移至过点A时，z取最小值．
由得A(，)．
答：每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少．
【例4】解：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，则有
要使收视率最高，则只要z＝60x＋20y最大即可，由图可知，当直线60x＋20y＝0经过点A时，z取得最大值．由得所以当x＝2，y＝4时，z＝60x＋20y取得最大值200万．
故电视台每周片集甲和片集乙分别播放2集和4集，其收视率最高．
【例5】正解：解法一：∵
∴
∴f(－2)＝4a－2b
＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]
＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，故选D.
解法二：数形结合法
在坐标平面aOb上，
作出直线a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2，
则表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示．
令m＝4a－2b，则b＝2a－.
显然m为直线系4a－2b＝m在b轴上截距2倍的相反数．
当直线b＝2a－过阴影部分中点A(，)时，m取最小值5；
过点C(3,1)时，m取最大值10.
∴f(－2)∈[5,10]，故选D.
随堂练习·巩固
1．C 由目标函数z＝3x－y，得y＝3x－z.令x＝0，得y＝－z.也就是说，z表示该直线纵截距的相反数，故选C.
2．B 作出平面区域如下图阴影部分所示，z表示直线z＝2x＋y在y轴的截距，∴z的最小值为过点A(1,1)的直线，此时z＝2×1＋1＝3.
3．A 当动直线z＝4x－3y通过点B时，z取最大值，通过点C时，z取最小值，即zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
4．16
5．(1，＋∞) 变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.在直角坐标系中画出可行域如图阴影部分所示，得四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD＝1，kAB＝－1，目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)中的z表示斜率为－a的直线截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB＝－1，即－a＜－1，即a＞1，所以a的取值范围为(1，＋∞)．
3.5.2 简单线性规划
课堂探究
一、图解法求最值的实质
剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由z＝Ax＋By＋C得y＝－x＋．这样，二元一次函数就可以视为斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行线．于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B>0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．
名师点拔 (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误．
二、常见的线性规划问题类型
剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有：
①物资调运问题
例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
题型一 线性目标函数的最值问题
【例1】 (1)(2013·四川高考，文8)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 B．30 C．24 D．16
解析：画出可行域，如图．
联立解得即A点坐标为(4，4)，
由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8，
∴a－b＝24．故选C．
答案：C
(2)(2013·课标全国Ⅱ高考，理9)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A． B． C．1 D．2
解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a＝，所以a＝．
答案：B
反思 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答．
题型二 非线性目标函数的最值问题
【例2】 已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围．
分析：(1)中z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2的几何意义为平面区域内的点(x，y)到(0，5)的距离的平方；(2)z＝＝2·的几何意义为平面区域内的点(x，y)与连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解．
解：作出可行域，如图阴影部分所示．
可求得A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作MN⊥AC于N，则|MN|＝＝＝．
所以|MN|2＝，所以z＝x2＋y2－10y＋25的最小值为．
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍．
∵kQA＝，kQB＝，故z的取值范围是．
反思 (1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
(2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与连线斜率的倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况．
(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
题型三 简单的线性规划问题
【例3】 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0．5元，米饭每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0．4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值．
解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米饭y(百克)，
所需费用为z＝0．5x＋0．4y，且x，y满足
作出可行域，如下图阴影部分所示．
令z＝0，作直线l0：0．5x＋0．4y＝0，即直线5x＋4y＝0．
由图形可知，把直线l0平移至过点A时，z取最小值．
由得A．
答：每盒盒饭为面食百克，米饭百克时既科学又费用最少．
反思 (1)在线性规划应用问题中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；
(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能的准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．
题型四 最优整数解的问题
【例4】 (2013·湖北高考，文9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元
解析：设需A，B型车分别为x，y辆(x，y∈N)，则x，y需满足设租金为z，则z＝1 600x＋2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x＝5，y＝12，此时z最小等于36 800，故选C．
答案：C
反思 如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法求得．
题型五 易错辨析
【例5】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的范围是( )
A．[3，12] B．(3，12) C．(5，10) D．[5，10]
错解：由于f(－2)＝4a－2b，要求f(－2)的范围，可先求a与b的范围．由f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，得
两式相加得≤a≤3．
又－2≤b－a≤－1，③
②式与③式相加得0≤b≤．
∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0．
∴3≤4a－2b≤12．
即3≤f(－2)≤12．
故选A．
错因分析：这种解法看似正确，实则使f(－2)的范围扩大了．事实上，这里f(－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12．由上述解题过程可知，当a＝且b＝时才能使4a－2b＝3，而此时a－b＝0，不满足①式．同理可验证4a－2b也不能等于12．出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．
正解：解法一：∵∴
∴f(－2)＝4a－2b＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10，故选D．
解法二：数形结合法在坐标平面aOb上，
作出直线a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2，
则表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示．
令m＝4a－2b，则b＝2a－．
显然m为直线系4a－2b＝m在b轴上截距2倍的相反数．
当直线b＝2a－过阴影部分中点A时，m取最小值5；
过点C(3，1)时，m取最大值10．
∴f(－2)∈[5，10]，故选D．
3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
知识梳理
1.平面区域的表示方法
（1）当B＞0时,Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.
当B＜0时,Ax+By+C＞0-Ax-By-C＜0,表示直线下方的区域;Ax+By+C＜0-Ax-By-C＞0,表示直线上方的区域.
(2)已知M(x1,y1),N(x2,y2)，直线l:Ax+By+C=0，
①若(Ax1+By1+C)×(Ax2+By2+C)＞0，则点Ｍ、Ｎ在直线l的同侧；
②若(Ax1+By1+C)×(Ax2+By2+C)＜0，则点Ｍ、Ｎ在直线l的异侧；
2.线性规划
（1）对于变量x，y的约束条件，都是关于x，y的一次不等式，称其为线性约束条件；z=f(x，y)是欲达到最值所涉及的变量x，y的解析式，叫目标函数.当f(x，y)是关于x，y的一次函数解析式时，z=f(x，y)叫做线性目标函数.
（2）求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，统称为线性规划.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解.
知识导学
能正确地画出给定的二元一次不等式（组）表示的平面区域是学习简单线性规划问题图解法的重要基础；理解线性规划及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念是解决实际生活中简单的最优化问题的有效办法，在本节的学习过程中，要注意体会数形结合与化归转化的数学思想.
疑难突破
1.二元一次不等式表示的平面区域.
剖析：在平面直角坐标系中，已知直线l:Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0,y0).若有Ax0+By0+C=0,则点P在直线l上;若有Ax0+By0+C＞0或者Ax0+By0+C＜0,则点P在直线l的某一侧.即二元一次不等式Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0分别表示直线l两侧的平面区域.
通常把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式Ax+By+C≥0或Ax+By+C≤0表示的平面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.
2.利用线性规划解决实际问题的问题类型及步骤.
剖析：利用线性规划来进行优化设计,解决生活中的实际问题通常有以下几种类型:
第一类:给定一定数量的人力、物力资源,分析怎样合理利用这些资源,才能使收到的效益最大;
第二类:给定一项任务,分析怎样安排,能使完成这项任务的人力、物力资源最小,还要根据条件求最优解,有时候还要分析整数解.
解线性规划应用题的步骤如下:
第一步:列表,转化为线性规划问题;
第二步:设出相关变元,列出线性约束条件对应的不等式(组),写出目标函数;
第三步:正确画出可行域,根据条件求出目标函数的最大值或最小值及对应的变元;
第四步:写出实际问题的答案.
