3.4 不等式的实际应用
知识梳理
数学应用性问题,就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或者非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题.利用不等式解实际应用问题一般分以下几个步骤:
1.阅读理解材料:应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向.
2.建立数学模型:根据前面的分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所求和已知的对应关系，以便确立下一步的努力方向.
3.讨论不等关系:根据以上建立的数学模型和题目要求,应用与不等式有关的知识，讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值.
4.作出问题结论:根据以上步骤得到的理论参数值,结合题目要求作出问题的结论.
知识导学
本节课的主要内容是利用所学的不等式的有关知识解决实际问题，关键在于正确理解题意，寻找相等与不等关系，把实际问题转化成数学模型，因此必须具备较强的阅读理解能力.不等式应用题要注意与函数等有关内容的结合.
疑难突破
1.应用题大多用文字、图表等进行叙述，要解决题设问题首先要理解题中所叙述内容的含义，也就是说，阅读题意就是最关键的一个环节.那么,使用什么样的步骤进行阅读可以加深对题意的理解?
剖析：数学问题就是数学语言的理解问题,数学语言具有简洁、准确的特点,但同时也具有丰富的内涵,而数学应用题多使用汉语语言进行叙述.要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手:
（1）略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等式得出结论等),条件是什么，求解的是什么.涉及哪些基本概念.可以一边阅读一边写下主要内容.或者列表显示主要条件和要求的结论.
（2）细读抓关键.题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在,将其辨析出来,是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系.
（3）精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，要有灵活的转化思维.
2.与不等式有关的应用题中,求最值是最常见的一种,那么求最值问题都有哪些类型和方法?
剖析：许多应用题都可以转化为求最值问题,有的可以直接采用均值不等式进行求解,但是有些问题由于条件的限制使某些式子不满足等号成立的条件,但是其最值又确实存在,这时,通常考虑函数y=ax+ (a＞0,b＞0)的单调性,利用函数单调性的定义很容易证明该函数在区间（0, ］上单调递减,在区间［,+∞）上单调递增.特殊地,有函数y=x+在区间（0,1］上单调递减,在区间［1,+∞）上单调递增.
利用上述函数的性质也可以求解某些函数的最值,尤其是那些看似均值不等式求最值而等号却不能取到的情况.
还有些问题可以根据条件转化为一元二次函数求最值,主要根据二次项的正负和对称轴的大小求最值:当二次项系数大于0时,在对称轴处取最小值;当二次项系数小于0时,在对称轴处取最小值.如果其中的变量有范围限制还要根据二次函数的单调性综合考虑求出最大或者最小值.事实上,一元二次函数在闭区间［a,b］上一定有最大值和最小值,主要考虑对称轴和区间端点a,b三处的函数值进行比较.也可以考虑两个端点a,b与对称轴的距离.
3.4 不等式的实际应用
1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．
2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．
1．例题中的结论
若b＞a＞0，m＞0，则____.
另外，若a＞b＞0，m＞0时，则有＜______成立．
【做一做】已知a，b是正数，试比较与的大小．
2．不等式解决实际问题的步骤
(1)________：用字母表示题中的未知数．
(2)__________：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)______________：运用不等式知识求解不等式，同时要注意______________________________．
(4)答：规范地写出答案．
在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：
一、解应用题的流程
剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：
(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．
(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．
(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．
二、常见的不等式实际应用类型
剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：
(1)作差法解决实际问题
作差法的依据是a－b＞0?a＞b，其基本步骤是：
①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．
②作差，分析差的符号．
③将作差后的结论转化为实际问题的结论．
(2)应用均值不等式解决实际问题
①均值不等式：a，b∈R＋，≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
当ab＝P(定值)，那么当a＝b时，a＋b有最小值2；
当a＋b＝S(定值)，那么当a＝b时，ab有最大值S2.
②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．
(3)应用一元二次不等式解决实际问题
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：
①理解题意，搞清量与量之间的关系；
②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．
在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．
题型一 一元二次不等式的实际应用
【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到0.01 km/h)?
分析：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．
反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型．防止在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去x＜－88.94这一情况．
题型二 利用均值不等式解应用题
【例2】某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y.列出函数关系式，再求解．
反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．
题型三 易错辨析
【例3】甲、乙两地水路相距s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h，船在静水中的最大速度为q km/h(q＞p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为k.
(1)把全程燃料费用y(元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？
错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为h，
则y＝k·v2·＝.
故所求函数为y＝，其定义域为v∈(p，q]．
(2)依题意，k，s，v，p，q均为正数，且v－p＞0，
故有＝ks·
＝ks(v－p＋＋2p)≥ks(2p＋2p)＝4ksp，
当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立．
所以当船的实际前进速度为p km/h时，全程燃料费用最少．
错因分析：错解中船在静水中的速度v＝2p km/h应不超过q km/h，事实上2p与q的大小关系并不明确，因此需分2p≤q和2p＞q两种情况进行讨论．
1某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( )．
A．70平方米 B．80平方米
C．90平方米 D．100平方米
2一元二次不等式ax2＋2x－1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )．
A．{a|a＞1} B．{a|a＜1且a≠0}
C．{a|a＜－1} D．{a|a＞－1且a≠0}
3某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x－3)万元，销售总收入为(2x2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．
4用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是______．
5某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(x∈N＋)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用．请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．
答案：
基础知识·梳理
1．＞
【做一做】解：∵a＞0，b＞0，
∴＋≥2＞0.
∴≤＝.
即≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
2．(1)设未知数 (2)列不等式(组) (3)解不等式(组) 未知数在实际问题中的取值范围
典型例题·领悟
【例1】解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h.
根据题意，有x＋x2＞39.5.
移项整理，得x2＋9x－7 110＞0.
显然Δ＞0，方程x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，
即x1≈－88.94，x2≈79.94.
然后，画出二次函数y＝x2＋9x－7 110的图象．
由图象得不等式的解集为
{x|x＜－88.94或x＞79.94}．
在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.
【例2】解：设汽车使用的年数为x.
由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.
当且仅当＝，即x＝10时，等号成立，即y取最小值．
答：汽车使用10年时年平均费用最少．
【例3】正解：(1)同错解(1)．
(2)解题过程同错解(2)．
若2p≤q，则当v＝2p时，y取最小值，这时船的实际前进速度为p km/h.
若2p＞q，当v∈(p，q]时，
－＝ks·.
∵v－p＞0，q－p＞0，q－v≥0，pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v＞0，
∴≥.
当且仅当v＝q时等号成立，即当v＝q时，y取得最小值．此时船的实际前进速度为(q－p) km/h.
随堂练习·巩固
1．B 根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x平方米，则根据他所选择的方案，知3x－240≤0，所以x≤80，即建筑面积不超过80平方米．
2．D 一元二次不等式有两个不相等的实数根，其判别式Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1，且二次项系数不能为0，即a≠0.所以a的取值范围是{a|a＞－1且a≠0}．
3．2 要不亏本只需收入不小于成本，即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0，解得x≤－或x≥2，而产品件数不能是负数，所以x的最小值为2.
4．40 m2 设长为x m，宽为y m，则根据条件知6x＋10y≤100，即3x＋5y≤50，且x≥y，再根据x，y都是整数的条件求xy的最大值，而xy＝·3x·5y≤()2，并且检验，知当x＝8，y＝5时，面积xy最大为40 m2.
5．解：设总费用为y元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k(k＞0)，每批购入x台，则y＝×400＋k·(2 000·x)．
当x＝400时，y＝43 600，解得k＝5%.
∴y＝＋100x
≥2＝24 000(元)．
当且仅当＝100x，即x＝120时，等号成立，因此只需每批购入120台，便可使资金够用．
3.4 不等式的实际应用
课堂探究
一、解应用题的流程
剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：
(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．
(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．
(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．
二、常见的不等式实际应用类型
剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：
(1)作差法解决实际问题
作差法的依据是a－b＞0?a＞b，其基本步骤是：
①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．
②作差，分析差的符号．
③将作差后的结论转化为实际问题的结论．
(2)应用均值不等式解决实际问题
①均值不等式：a，b＞0，≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．
当ab＝P(定值)，那么当a＝b时，a＋b有最小值2；
当a＋b＝S(定值)，那么当a＝b时，ab有最大值S2．
②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．
(3)应用一元二次不等式解决实际问题
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：
①理解题意，搞清量与量之间的关系；
②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．
名师点拨：在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．
题型一 一元二次不等式的实际应用
【例1】 某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x－3)万元，销售总收入为(2x2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．
解析：要不亏本只需收入不小于成本，即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0，解得x≤－或x≥2，而产品件数不能是负数，所以x的最小值为2．
答案：2
题型二 利用均值不等式解应用题
【例2】 某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0．9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y．列出函数关系式，再求解．
解：设汽车使用的年数为x．
由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3．
当且仅当＝，即x＝10时，等号成立，即y取最小值．
答：汽车使用10年时年平均费用最少．
反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．
题型三 易错辨析
【例3】 甲、乙两地水路相距s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h，船在静水中的最大速度为q km/h(q>p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为k．
(1)把全程燃料费用y(元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？
错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为 h，则y＝k·v2·＝．
故所求函数为y＝，其定义域为v∈(p，q]．
(2)依题意，k，s，v，p，q均为正数，且v－p>0，
故有＝ks·＝ks≥ks(2p＋2p)＝4ksp，
当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立．
所以当船的实际前进速度为p km/h时，全程燃料费用最少．
错因分析：错解中船在静水中的速度v＝2p km/h应不超过q km/h，事实上2p与q的大小关系并不明确，因此需分2p≤q和2p>q两种情况进行讨论．
正解：(1)同错解(1)．
(2)解题过程同错解(2)．
若2p≤q，则当v＝2p时，y取最小值，这时船的实际前进速度为p km/h．
若2p>q，当v∈(p，q]时，－＝ks·．
∵v－p>0，q－p>0，q－v≥0，pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v>0，∴≥．
当且仅当v＝q时等号成立，即当v＝q时，y取得最小值．此时船的实际前进速度为(q－p) km/h．
