3.3 一元二次不等式及其解法
知识梳理
1.一元一次不等式ax＞b的解集
(1)若a＞0,解集为｛x｜x＞｝;
（2）若a＜0,解集为｛x｜x＜｝;
(3)若a=0,b＞0时，解集为，a=0,b＜0时，解集为R.
2.一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集，其中Δ=b2-4ac，x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，且x1＞x2.
（1）当a＞0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x＞x1或x＜x2｝;
若Δ=0,解集为｛x｜x≠x1,x∈R｝;
若Δ＜0,解集为R.
(2)当a＜0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x2＜x＜x1｝;若Δ=0,解集为;若Δ＜0,解集为.
3.一元二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的充要条件是a＞0,Δ＜0.一元二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立的充要条件是a＜0,Δ＜0.
知识导学
一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的根密切相联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的综合角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图象，写出不等式的解集.含有参数的不等式要注意分类讨论.分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化.
疑难突破
1.怎样解决含参数的一元二次不等式恒成立问题.
剖析：含参数的不等式恒成立问题中,求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围.一般遇到这类问题时，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：
（1）分离变量法
如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数值域的方法将问题化归为解关于参数不等式的问题.
一般地分离变量后有下列几种情形：
①f（x）≥g（k）［f（x）］min≥g（k）;
②f（x）＞g（k）［f（x）］min＞g(k);
③f（x）≤g（k）［f（x）］max≤g（k）;
④f（x）＜g（k）［f（x）］max＜g（k）.
（2）数形结合
对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显时，可以作出它们的图象，利用图象运动变化的特点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数k的不等式.
（3）分类讨论法
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件.
（4）利用判别式
可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，利用判别式来求解.
以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种方式或两种以上的方法，应灵活处理.
2.怎样解已知含有参数的二次不等式或者方程的解,求另一与此有关的方程或者不等式问题.
剖析：在解决与已知变量相关的二次不等式(或方程)问题时可以从以下几个方面考虑:
（1）利用二次方程根与系数的关系(韦达定理):它在解决二次方程相关系数问题时可以起到桥梁的作用,可以沟通已知和待求问题之间的联系.所以,在利用代数方法求解此类问题时首先可以考虑此法.
（2）利用二次函数的图象(数形结合):有些方程或不等式问题用纯代数式运算比较麻烦或者计算量较大,可以考虑该问题与二次函数的关系,根据条件设出对应的二次函数,画出二次函数的图形,由图形(主要是二次函数与x轴的交点)情况判断待求问题的解,也可以根据图形直接解不等式(尤其是含有参数或者绝对值的不等式).
（3）分解因式法:有些虽然不是二次方程或者不等式,或变量的系数含有字母,但是却能进行因式分解,这样可以先考虑因式分解,把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的解,再对解的情况进行讨论即可.
3.3 一元二次不等式及其解法
知识梳理
1.一元一次不等式ax＞b的解集
(1)若a＞0,解集为｛x｜x＞｝;
（2）若a＜0,解集为｛x｜x＜｝;
(3)若a=0,b＞0时，解集为，a=0,b＜0时，解集为R.
2.一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集，其中Δ=b2-4ac，x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，且x1＞x2.
（1）当a＞0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x＞x1或x＜x2｝;
若Δ=0,解集为｛x｜x≠x1,x∈R｝;
若Δ＜0,解集为R.
(2)当a＜0时，若Δ＞0,解集为｛x｜x2＜x＜x1｝;若Δ=0,解集为;若Δ＜0,解集为.
3.一元二次不等式ax2+bx+c＞0恒成立的充要条件是a＞0,Δ＜0.一元二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立的充要条件是a＜0,Δ＜0.
知识导学
一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的根密切相联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的综合角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图象，写出不等式的解集.含有参数的不等式要注意分类讨论.分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化.
疑难突破
1.怎样解决含参数的一元二次不等式恒成立问题.
剖析：含参数的不等式恒成立问题中,求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围.一般遇到这类问题时，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：
（1）分离变量法
如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数值域的方法将问题化归为解关于参数不等式的问题.
一般地分离变量后有下列几种情形：
①f（x）≥g（k）［f（x）］min≥g（k）;
②f（x）＞g（k）［f（x）］min＞g(k);
③f（x）≤g（k）［f（x）］max≤g（k）;
④f（x）＜g（k）［f（x）］max＜g（k）.
（2）数形结合
对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显时，可以作出它们的图象，利用图象运动变化的特点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数k的不等式.
（3）分类讨论法
当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件.
（4）利用判别式
可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，利用判别式来求解.
以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种方式或两种以上的方法，应灵活处理.
2.怎样解已知含有参数的二次不等式或者方程的解,求另一与此有关的方程或者不等式问题.
剖析：在解决与已知变量相关的二次不等式(或方程)问题时可以从以下几个方面考虑:
（1）利用二次方程根与系数的关系(韦达定理):它在解决二次方程相关系数问题时可以起到桥梁的作用,可以沟通已知和待求问题之间的联系.所以,在利用代数方法求解此类问题时首先可以考虑此法.
（2）利用二次函数的图象(数形结合):有些方程或不等式问题用纯代数式运算比较麻烦或者计算量较大,可以考虑该问题与二次函数的关系,根据条件设出对应的二次函数,画出二次函数的图形,由图形(主要是二次函数与x轴的交点)情况判断待求问题的解,也可以根据图形直接解不等式(尤其是含有参数或者绝对值的不等式).
（3）分解因式法:有些虽然不是二次方程或者不等式,或变量的系数含有字母,但是却能进行因式分解,这样可以先考虑因式分解,把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的解,再对解的情况进行讨论即可.
3.3 一元二次不等式及其解法
1．理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式．
2．能利用一元二次不等式解决相关的实际问题，并会设计求解一元二次不等式的程序框图．
3．了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法．
1．一元二次不等式的概念
形如____________或____________(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．用文字表述为：一般地，含有______未知数且未知数的________为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
【做一做1】已知不等式：①x2＞0；②－x2－2x≤15；③x3－5x＋6＞0；④x2－y＜0.其中一元二次不等式的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系如下表所示：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝f(x)的图象
f(x)＝0的根
有两个不等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实根x1，x2，且x1＝x2
没有实数根
f(x)＞0的解集
____________
__________
______
f(x)＜0的解集
________
____
____
对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．即：你只要记住一个前提：a＞0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零．
对于二次项系数是负数(即a＜0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式．
【做一做2－1】不等式x2－2x＋1＞0的解集是( )．
A．R B．{x|x∈R，且x≠1}
C．{x|x＞1} D．{x|x＜1}
【做一做2－2】不等式－6x2－x＋2≤0的解集是__________．
3．用程序框图描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程：
【做一做3】函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＞0的解集是________．
一、借助函数图象解不等式的原理分析
剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象．因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c＞0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c＜0的解集．所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f(x)＞0或f(x)＜0.
(1)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是R，则有
(2)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是?，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是?，则有
二、简单的一元高次不等式的解法
剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为低次不等式组．
(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲线从最大的根的右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“＞”型不等式的解集，下方区域为“＜”型不等式的解集．当有重根时，偶次重根“穿而不过”，奇次重根按一次根对待．
三、分式不等式的解法
剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式，解法有两种：
(1)穿根法，其解题过程为：
先化成标准式(右端为0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)，要求各一次因式中的x的系数及二次因式中的x2的系数必须为正数．以下过程同一元高次不等式的解法．
(2)等价转化法，如下表所示.
分式不等式
同解变形1
同解变形2
＞0
＞0?
或
＞0?
f(x)g(x)＞0
＜0
＜0?
或
＜0?
f(x)g(x)＜0
≥0
或
≥0?
≤0
或
≤0?
四、教材中的“？”
1．由(1)和(2)的解法，你能否解不等式
≥0，≤0?
剖析：(1)≥0相当于或即或得x＞3或x≤－2.
(2)≤0相当于或即或得－2≤x＜3.
2．不等式x2＋4x＋4≥0的解集是什么？x2＋4x＋4≤0的解集是什么？
剖析：x2＋4x＋4≥0相当于(x＋2)2≥0，∴不等式的解集为R.
x2＋4x＋4≤0相当于(x＋2)2≤0，∴不等式的解集为{x|x＝－2}．
题型一 一元二次不等式的概念
【例1】①x2＋x＋1＜0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1＞0，④mx2－5x＋1＞0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c＞0(m，a∈R)．其中关于x的不等式是一元二次不等式的是__________．(请把正确的序号都填上)
反思：当所给不等式的二次项系数含字母时，要注意二次项系数是否为零，这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式．
题型二 一元二次不等式的解法
【例2】解不等式：x2－2x－3＞0.
分析：可对不等式左边进行因式分解，再利用积的符号法则把它转化为不等式组求解；也可以利用二次函数图象求解．
反思：解法一的具体步骤是：(1)因式分解；(2)转化为不等式组；(3)写解集．解法二的具体步骤是：(1)构造函数；(2)画图象；(3)写解集．
【例3】解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
分析：这是一个含有参数的一元二次不等式，首先考虑因式分解，分解之后可知方程的根是a，a2，需要对两根进行大小比较，所以要进行讨论．
反思：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏．
题型三 已知一元二次不等式的解集求参数问题
【例4】若不等式px2＋qx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，求p＋q.
分析：本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数，它类似于在初中所碰到的由方程的根确定方程的系数．于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题．
反思：在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题．这类问题也可以用下面的方法来解：(1)先作出一个解集符合要求的不等式；(2)根据不等式同解的要求，确定其系数的数值．利用此法确定不等式系数时，必须注意：①将两不等式化为同向不等式；②同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误．
题型四 分式不等式的解法
【例5】解下列不等式：
(1)≤0；(2)＞0；(3)＜0.
反思：在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“≥”“≤”型的分式不等式，转化后应变为不等式组．
1已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为( )．
A．R
B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－3＜x＜－2或x＞3}
D．{x|－3＜x＜－2}
2函数y＝的定义域是( )．
A．{x|x＜－4或x＞3} B．{x|－4＜x＜3}
C．{x|x≤－4或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}
3不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是( )．
A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
4不等式x2－x－2＜0的解集是________．
5二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
答案：
基础知识·梳理
1．ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 一个 最高次数
【做一做1】B
2．{x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R {x|x1＜x＜x2} ? ?
【做一做2－1】B
【做一做2－2】{x|x≤－或x≥} 原不等式等价于6x2＋x－2≥0，6x2＋x－2＝0的两根为x1＝－，x2＝，∴6x2＋x－2≥0的解集为{x|x≥或x≤－}．
3． (－∞，－)∪(－，＋∞)
(－∞，x1)∪(x2，＋∞) (－∞，＋∞)
【做一做3】?
典型例题·领悟
【例1】①②⑥ ①②是；③不是；④不一定是，因为当m＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x2的系数含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.
【例2】解：解法一：原不等式化为(x＋1)(x－3)＞0，即或
解得x＞3或x＜－1.
故原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}．
解法二：作函数y＝x2－2x－3的图象，如图所示，由图可知，y＝x2－2x－3的图象在x轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x＜－1或x＞3.故原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}．
【例3】解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0或a＞1时，有a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
【例4】解：∵不等式px2＋qx＋2＞0的解集为(－1,2)，
∴方程px2＋qx＋2＝0的两根是x1＝－1，x2＝2，且p＜0.
由韦达定理，可知??p＋q＝0.
【例5】解：(1)≤0??
?{x|x≥4或x＜－}．
(2)＞0?(2x－1)(3x＋1)＞0
?{x|x＞或x＜－}．
(3)＜0?ax(x＋1)＜0，
当a＞0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＜0?{x|－1＜x＜0}；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a＜0时，ax(x＋1)＜0?x(x＋1)＞0?{x|x＞0或x＜－1}．
随堂练习·巩固
1．D
2．C 要使函数有意义，只需x2＋x－12≥0.
方程x2＋x－12＝0的解为x1＝－4，x2＝3.函数y＝x2＋x－12的开口向上且与x轴有两个交点(－4,0)，(3,0)．
∴原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥3}．
3．D 依题意知x＝3和x＝－2是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，
所以
解得m＝－2，n＝－12.
故二次函数的表达式为y＝2x2－2x－12.
4．{x|－1＜x＜2} 原不等式可以变化为(x＋1)(x－2)＜0，可知方程x2－x－2＝0的解为－1和2，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜2}．
5．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 根据所给数表中函数的单调性可以看出a＞0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和3.
3.3 一元二次不等式及其解法
课堂探究
一、借助函数图象解不等式的原理分析
剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象．因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c>0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c<0的解集．所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0．
知识拓展：(1)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是R，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是R，则有
(2)如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，则有如果一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是，则有
二、简单的一元高次不等式的解法
剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为低次不等式组．
(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲线从最大的根的右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“>”型不等式的解集，下方区域为“<”型不等式的解集．当有重根时，偶次重根“穿而不过”，奇次重根按一次根对待．
三、分式不等式的解法
剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式，解法有两种：
(1)穿根法，其解题过程为：
先化成标准式(右端为0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)，要求各一次因式中的x的系数及二次因式中的x2的系数必须为正数．以下过程同一元高次不等式的解法．
(2)等价转化法，如下表所示．
分式不等式
同解变形1
同解变形2
>0
>0或
>0f(x)g(x)>0
<0
<0或
<0f(x)g(x)<0
≥0
或
≥0
≤0
或
≤0
四、教材中的“？”
1．由(1)和(2)的解法，你能否解不等式
≥0，≤0?
剖析：(1)≥0相当于或即或得x＞3或x≤－2．
(2)≤0相当于或即或得－2≤x＜3．
2．不等式x2＋4x＋4≥0的解集是什么？x2＋4x＋4≤0的解集是什么？
剖析：x2＋4x＋4≥0相当于(x＋2)2≥0，∴不等式的解集为R．
x2＋4x＋4≤0相当于(x＋2)2≤0，∴不等式的解集为{x|x＝－2}．
题型一 一元二次不等式的概念
【例1】 ①x2＋x＋1<0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1>0，④mx2－5x＋1>0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c>0(m，a∈R)．其中关于x的不等式是一元二次不等式的是__________．(请把正确的序号都填上)
解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x2的系数含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥．
答案：①②⑥
反思：当所给不等式的二次项系数含字母时，要注意二次项系数是否为零，这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式．
题型二 一元二次不等式的解法
【例2】 (2013广东高考，理9)不等式x2＋x－2<0的解集为__________．
解析：x2＋x－2<0即(x＋2)(x－1)<0，
解得－2答案：{x|－2【例3】 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．
分析：这是一个含有参数的一元二次不等式，首先考虑因式分解，分解之后可知方程的根是a，a2，需要对两根进行大小比较，所以要进行讨论．
解：将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)·(x－a2)＞0．
当a＜0或a>1时，有a＜a2，解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
反思：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解集形式是解不等式的基础，对含字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏．
题型三 已知一元二次不等式的解集求参数问题
【例4】 若不等式px2＋qx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，求p＋q．
分析：本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数，它类似于在初中所碰到的由方程的根确定方程的系数．于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题．
解：∵不等式px2＋qx＋2＞0的解集为(－1，2)，
∴方程px2＋qx＋2＝0的两根是x1＝－1，x2＝2，且p<0．
由韦达定理，可知p＋q＝0．
反思：在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题．这类问题也可以用下面的方法来解：(1)先作出一个解集符合要求的不等式；(2)根据不等式同解的要求，确定其系数的数值．利用此法确定不等式系数时，必须注意：①将两不等式化为同向不等式；②同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误．
【互动探究】 已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两个实根都大于2，求实数m的取值范围．
解：设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2．
由题意知即
解得
所以－题型四 分式不等式的解法
【例5】 解下列不等式：
(1)≤0；(2)>0；(3)<0．
解：(1)≤0．
(2)>0 (2x－1)(3x＋1)>0．
(3)<0ax(x＋1)<0，
当a>0时，ax(x＋1)<0x(x＋1)<0{x|－1当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，ax(x＋1)<0x(x＋1)>0{x|x>0或x<－1}．
反思：在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“≥”“≤”型的分式不等式，转化后应变为不等式组．
