13.3.2 等边三角形 课件

(共31张PPT)
13.3.2等边三角形
如图 △ABC中AB=AC
等腰三角形的性质：
1、等腰三角形两底角相等（等边对等角），
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(三线合一)。
D
C
B
A
3、等腰三角形是轴对称图形.对称轴______________所在直线.
O
A
B
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
∴OA=OB (等角对等边 )
∵ △ABC中， ∠A= B
等腰三角形的判定
O
A
B
C
M
N
角平分线＋平行
等腰三角形
1
2
3
三边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。也叫正三角形。
A
B
C
AB=BC=CA
提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？
根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：
①从边看；②从角看；③从对称性看；④从重要线段看
A
B
C
等边三角形的内角都相等吗？为什么？
探究一
由已知：AB=AC=BC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
同理 ∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C．
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 ° ．
等边三角形有“三线合一”的性质吗 为什么
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。
探究性质二
等边三角形是轴对称图形吗？
若是，有几条对称轴？
结论:等边三角形是轴对称图形，
有三条对称轴.
等边三角形性质探索三:
（对称轴是等边三角形的高或角平线或中线所在的直线）
⑵　等边三角形的三个内角都相等,并且
每一个角都等于60°.
⑴　等边三角形的三边都相等
A
B
C
）
（
60°
60°
（3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
A
F
E
D
C
B
O
△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD, 求证:BD=DE
A
B
C
E
D
小试牛刀
△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD, 求证:BD=DE
A
B
C
E
D
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ AB=AC=BC，
∠ABC= ∠A= ∠ACB= 60°
∴ ∠DBC= ∠E ∴BD=DE （等角对等边）
∵ CE=CD ∴ ∠CDE= ∠E=1/2 ∠ACB= 30°
（等边对等角）
∵ AB＝AC,D为AC的中点
∴ ∠ABD= ∠DBC=1/2 ∠ABC= 30°（三线合一 ）
思考题
？
一个三角形满足什么条件
就是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形？
已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
A
B
C
证明：在⊿ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
同理 CA=AB
∴BC=CA=AB
A
B
C
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？
第一种情况：当顶角是60度时
第二种情况：当底角是60度时
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。
求证：AB=AC=BC
A
B
C
证明： ⊿ABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ A=600
∴ ∠B=∠C = 600
∴AB=AC=BC（等角对等边）
推论2：
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
A
B
C
∵ ∠B=600 AB=BC
∴△ABC是等边三角形
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）
一般三角形
等边三角形
A
B
C
等腰三角形
等边三角形
A
B
C
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠B=600 AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
等边三角形与等腰三角形异同
定义 性质 判定
等腰
三角形
等边
三角形
有两条边相等
①两边、两角相等
②三线合一
③一条对称轴
①三边、三角相等
②三线合一
③三条对称轴
有三条边相等
①定义
②等角对等边
①定义
②三个角都相等
③等腰三角形有一
个角是60°
例1 如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，他们便得出了一个结论：池塘最长处不小于200m．他们的结论对吗？
解：在△APB中，AP=BP， ∠APB=60°，
所以∠PAB= ∠PBA=1/2（180°－∠APB）
=1/2（180°－60°）
=60°
于是 ∠PAB= ∠PBA= ∠APB
从而△APB是等边三角形，AB的长是200m．由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．
例2.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，△ADE是等边三
角形吗？试说明理由。
A
B
C
D
E
你还有其它方法
使△ADE是等边三
角形吗？
可添加的条件为：AD=AE，BD=CE；
∠ADE=60°；∠ADE= ∠ABC； DE∥BC等．
练习一： 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE= ∠CDF=60°，结合图形，你能得出那些结论？
结论：
线：BD=DC=BE=DE=DF=CF
=AF=AE
角：∠ADE= ∠ADF= ∠EAD= ∠DAF= 30°
形：△ADE和△ADF是等腰三角形
△BED和△CFD是等边三角形
其他：DE∥AC，DF∥AB等．
A
C
B
D
E
F
如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，延长AB到点E，使BE=BD，连接DE，则△ADE的形状是____________．
等腰三角形
E
D
C
A
B
练习二
如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF。
试问：△DEF是什么三角形？
A
B
C
D
E
F
练习三
如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，
并PB=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的大
小为______．
A
B
P
Q
C
120°
练习四
练习与巩固
1.下列说法中,正确说法的个数为( )
(1)若等腰三角形有一个角等于60°,则这个三角形为等边三角形
(2)等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定是等边三角形
(3)有两个角是60°的三角形一定是等三角形
(4)等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是3条
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
2.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个外角是120°,那么这个三角形是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.正三角形 D.含30°角的直角三角形
3.如图,△ABC是等边三角形,且∠1=∠2=∠3,则∠D等于( )
A.90° B.80 ° C.45° D.60°
A
B
C
D
E
F
1
2
3
C
D
我们这节课学习了哪些知识
谈谈你的体会.