14.3.2 平方差公式因式分解课件
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课件38张PPT。14.3.2.1公式法分解因式学习目标：
（1）掌握用平方差公式分解因式的方法。
（2）掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。
（3）体会整式乘法与分解因式之间的联系。
（4）通过乘法公式:(a+b)(a+b)=a2-b2逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。回顾与思考:1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？3、你能将a2-b2进行因式分解吗？2、判断下列各式是因式分解的有
（1）(x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4 =(x+2)(x-2)
(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x（2）(a+b)(a-b)= a2-b2.
反过来， a2-b2 =(a+b)(a-b)知识回顾 根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
1．(2x-1)2=4x2-4x+1
3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)
2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 否是否否知识回顾把下列各式进行因式分解1. a3b3-a2b-ab
2. -9x2y+3xy2-6xyab(a2b2-a-1)-3xy(3x-y+2)和老师比一比，看谁算的又快又准确！ 比一比322-312682-6725.52-4.52在横线内填上适当的式子，使等式成立：（1）（x+5)(x-5)= ; （2）（a+b)(a-b)= ;（3） x2-25 = (x+5)( );（4） a2-b2 = (a+b)( )。x2-25a2-b2x-5a-b知识回顾知识探索平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2 整式乘法因式分解这种分解因式的方法称为公式法。a2-b2= (a+b)(a-b)比一比：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。注意：与整式乘法中的平方差公式不一样。平方差公式的特点：（1）两项的多项式。（2）两项都是平方项或是都能化为平方项。（3）两项的符号相反。试一试，你能行！下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。(1) m2 －1(2)4m2 －9(3)4m2+9(4)x2 －25y 2(5) －x2 －25y2(6) －x2+25y2= m2 －12= (2m)2 －32不能转化为平方差形式＝ x2 －(5y)2不能转化为平方差形式= 25y2－x2 =(5y)2 －x2a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)快乐练习：下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2
② x2-y2
③ -x2+y2
④ -x2-y2=(x+y)(x-y)=y2-x2=(y+x)(y-x)铺路之石填空：（1） ＝（ )2 ; (2) 0.81＝（ )2;
（3）9m2 ＝ ( )2; (4) 25a2b2=( )2;
(5) 4(a-b)2=[ ]2;
(6) (x+y)2=[ ]2。首页上页下页± 0.9± 3m± 5ab± 2(a-b)新知识点实例探究3x2y【例1 】把下列各式分解因式.做一做（1）a2-16
（2）64-b2＝a2-( )2＝( ) 2-b248＝（a+4)(a-4)＝（8+b)(8-b)⒊利用平方差公式把下列各式分解因式 ××过关斩将1、分解因式：
①x4-y4 ②a3b-ab解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)②a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。把下列各式分解因式。(1)1-a4
(2)-9a2b2+1
(3)x3-4x分解因式注意事项:
1、各项有公因式先题公因式；提公因式后看能否用公式法再分解；
2、没有公因式可以尝试公式法分解；
3、分解因式必须分解到每一个多项式不饿不能再分解为止。(4)81x4-y4
(5)xy2-9x
(6)18a2-2b2
(7)x5-x把下列各式分解因式。(1)(x+2y)2-(x-3y)2
(2)(x-y)2-(x+y)2注意：公式
a2-b2=(a+b)(a-b)中的a、b可以是一个数、一个单项式也可以是一个多项式。
(3)m2(16x-y)+n2(y-16x)
(4)(x+m)2-(x+n)2
(5)过关斩将2、分解因式：
xm+2-xm解：xm+2-xm
=xmx2-xm
=xm(x2-1)
=xm(x+1)(x-1)注意：若有公因式则先提公因式。然后再看能否用公式法。思考：
分解因式：
25(x+m)2-16(x+n)2解：25(x+m)2-16(x+n)2
=[5(x+m)]2-[4(x+n)]2 =[5(x+m)+4(x+n)][5(x+m)-4(x+n)]=(5x+5m+4x+4n)(5x+5m-4x-4n)=(9x+5m+4n)(x+5m-4n)9(a+b)2-4(a-b)2利用因式分解计算：牛刀小试（二）（1）2.882-1.882；（2）782-222。首页上页下页超越自我挑战数奥利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1)
=100+99+98+97 +… +2+1
=5050
小结:
1.因式分解的步骤是首先如有公因式提取公 因式,然后考虑用公式.
2.因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
3.计算中应用因式分解,能使计算简便.Goodbye抢答题：=(4x+y) (4x －y)=(2k+5mn) (2k －5mn)把下列各式分解因式：a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 看谁快又对= (a+8) (a －8)当场编题，考考你！结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。解决问题例1：把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(2) 9(a+b)2-4(a-b)2
(3) (x+p)2-(x+q)2在使用平方差公式分解因式时，要 注意：先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于公式中的 a , 哪个相当于公式中的 b.牛刀小试(一）把下列各式分解因式：② 0.25m2n2 – 1③ (2a+b)2 - (a+2b)2 ① x2 -116y2④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2解决问题例2：如图，求圆环形绿地的面积。拓展：不信难不倒你！用你学过的方法分解因式：4x3 - 9xy2结论：
多项式的因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。拓展：分解因式： 4x3 - 4x 2. x4-y4
结论：
分解因式的一般步骤：一提二套
多项式的因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。解：1. 4x3-4x=4x(x2-1)=x(x+1)(x-1)2. x4-y4=(x2+y2) (x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)谈谈你的感受a2 - b2=(a+b)(a - b) 如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积。再攀高峰考考你你知道992-1能否被100整除吗？说说你是怎么想的？
（1）掌握用平方差公式分解因式的方法。
（2）掌握提公因式法、平方差公式法分解因式的综合运用。
（3）体会整式乘法与分解因式之间的联系。
（4）通过乘法公式:(a+b)(a+b)=a2-b2逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。回顾与思考:1、什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么关系？3、你能将a2-b2进行因式分解吗？2、判断下列各式是因式分解的有
（1）(x+2)(x-2)=x2-4 (2) x2-4 =(x+2)(x-2)
(3) x2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3x（2）(a+b)(a-b)= a2-b2.
反过来， a2-b2 =(a+b)(a-b)知识回顾 根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
1．(2x-1)2=4x2-4x+1
3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)
2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 否是否否知识回顾把下列各式进行因式分解1. a3b3-a2b-ab
2. -9x2y+3xy2-6xyab(a2b2-a-1)-3xy(3x-y+2)和老师比一比，看谁算的又快又准确！ 比一比322-312682-6725.52-4.52在横线内填上适当的式子，使等式成立：（1）（x+5)(x-5)= ; （2）（a+b)(a-b)= ;（3） x2-25 = (x+5)( );（4） a2-b2 = (a+b)( )。x2-25a2-b2x-5a-b知识回顾知识探索平方差公式：（a+b)(a-b)=a2-b2 整式乘法因式分解这种分解因式的方法称为公式法。a2-b2= (a+b)(a-b)比一比：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。注意：与整式乘法中的平方差公式不一样。平方差公式的特点：（1）两项的多项式。（2）两项都是平方项或是都能化为平方项。（3）两项的符号相反。试一试，你能行！下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。(1) m2 －1(2)4m2 －9(3)4m2+9(4)x2 －25y 2(5) －x2 －25y2(6) －x2+25y2= m2 －12= (2m)2 －32不能转化为平方差形式＝ x2 －(5y)2不能转化为平方差形式= 25y2－x2 =(5y)2 －x2a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)快乐练习：下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？如不能说明理由。
①x2+y2
② x2-y2
③ -x2+y2
④ -x2-y2=(x+y)(x-y)=y2-x2=(y+x)(y-x)铺路之石填空：（1） ＝（ )2 ; (2) 0.81＝（ )2;
（3）9m2 ＝ ( )2; (4) 25a2b2=( )2;
(5) 4(a-b)2=[ ]2;
(6) (x+y)2=[ ]2。首页上页下页± 0.9± 3m± 5ab± 2(a-b)新知识点实例探究3x2y【例1 】把下列各式分解因式.做一做（1）a2-16
（2）64-b2＝a2-( )2＝( ) 2-b248＝（a+4)(a-4)＝（8+b)(8-b)⒊利用平方差公式把下列各式分解因式 ××过关斩将1、分解因式：
①x4-y4 ②a3b-ab解： ①x4-y4 =（x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)②a3b-ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。把下列各式分解因式。(1)1-a4
(2)-9a2b2+1
(3)x3-4x分解因式注意事项:
1、各项有公因式先题公因式；提公因式后看能否用公式法再分解；
2、没有公因式可以尝试公式法分解；
3、分解因式必须分解到每一个多项式不饿不能再分解为止。(4)81x4-y4
(5)xy2-9x
(6)18a2-2b2
(7)x5-x把下列各式分解因式。(1)(x+2y)2-(x-3y)2
(2)(x-y)2-(x+y)2注意：公式
a2-b2=(a+b)(a-b)中的a、b可以是一个数、一个单项式也可以是一个多项式。
(3)m2(16x-y)+n2(y-16x)
(4)(x+m)2-(x+n)2
(5)过关斩将2、分解因式：
xm+2-xm解：xm+2-xm
=xmx2-xm
=xm(x2-1)
=xm(x+1)(x-1)注意：若有公因式则先提公因式。然后再看能否用公式法。思考：
分解因式：
25(x+m)2-16(x+n)2解：25(x+m)2-16(x+n)2
=[5(x+m)]2-[4(x+n)]2 =[5(x+m)+4(x+n)][5(x+m)-4(x+n)]=(5x+5m+4x+4n)(5x+5m-4x-4n)=(9x+5m+4n)(x+5m-4n)9(a+b)2-4(a-b)2利用因式分解计算：牛刀小试（二）（1）2.882-1.882；（2）782-222。首页上页下页超越自我挑战数奥利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1)
=100+99+98+97 +… +2+1
=5050
小结:
1.因式分解的步骤是首先如有公因式提取公 因式,然后考虑用公式.
2.因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
3.计算中应用因式分解,能使计算简便.Goodbye抢答题：=(4x+y) (4x －y)=(2k+5mn) (2k －5mn)把下列各式分解因式：a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 看谁快又对= (a+8) (a －8)当场编题，考考你！结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。解决问题例1：把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(2) 9(a+b)2-4(a-b)2
(3) (x+p)2-(x+q)2在使用平方差公式分解因式时，要 注意：先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于公式中的 a , 哪个相当于公式中的 b.牛刀小试(一）把下列各式分解因式：② 0.25m2n2 – 1③ (2a+b)2 - (a+2b)2 ① x2 -116y2④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2解决问题例2：如图，求圆环形绿地的面积。拓展：不信难不倒你！用你学过的方法分解因式：4x3 - 9xy2结论：
多项式的因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。拓展：分解因式： 4x3 - 4x 2. x4-y4
结论：
分解因式的一般步骤：一提二套
多项式的因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。解：1. 4x3-4x=4x(x2-1)=x(x+1)(x-1)2. x4-y4=(x2+y2) (x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)谈谈你的感受a2 - b2=(a+b)(a - b) 如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积。再攀高峰考考你你知道992-1能否被100整除吗？说说你是怎么想的？