1.1 独立性检验
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1.下列关于χ2的说法中正确的是（ ）
A.χ2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关.
B.χ2的值越大，两个事件的相关性就越大.
C.χ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量更适合.
D.χ2观测值的计算公式为χ2=
解:因为χ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量更适合，所以C正确，对于D应为：χ2=.
答案:C
2.在吸烟与患心脏病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A.若χ2的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患肺病.
B.从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病.
C.若从统计量中求出有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误.
D.以上三种说法均不正确.
解:若χ2的观测值为6.635,我们不能认为在100个吸烟的人中有99人患有肺病，也不能认为对于吸烟的人有99%的可能性患有肺病，只能理解为有99%的把握认为吸烟与肺病有关系，有1%的可能性使得推断出现错误.
答案:C
3.某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如下表：
喜欢教师职业
不喜欢教师职业
合计
认为工作压力大
53
34
87
认为工作压力不大
12
1
13
合计
65
35
100
则认为工作压力大与喜欢教师职业是否有关系的把握约为（ ）
A.99% B.95% C.90% D.无充分证据
思路解析:利用χ2=
计算出χ2的观测值.
答案:B.
4.假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为
y1
y2
合计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
在以下数据中，对同一样本能说明X和Y有关的可能性最大的一组为（ ）
A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2
C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4
思路解析:利用χ2=计算出χ2的观测值，如果χ2的观测值很大，那么x和y有关的可能性则大.
答案:B.
5.有两个分类变量X和Y的一组数据，由其列联表计算χ2=4.523,则认为X和Y间有关系是错误的可能性为（ ）
A.95% B.90% C.5% D.10%
思路解析:把χ2与表相对应，
p(χ2≥x0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
χ2＞3.841,所以X和Y有关系是错误的可能性为5%.
答案:C
6.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.013，那么有__________把握认为两个变量间有关系.
思路解析:∵χ2≈4.013＞3.841,∴认为有95%的把握认为两个变量间有关系.
答案:95%.
7.为了研究性格与血型的关系抽取80人进行测试，血型与性格汇总如下，试判断性格与血型是否相关.
内向型
外向型
合计
A型
18
16
34
B型
17
29
46
合计
35
45
80
解:由列联表中的数据得到.
χ2=≈2.030≤2.706,
所以认为没有充分的证据显示血型与性格有关系.
8.给出如下列联表.
有家族病史
无家族病史
合计
糖尿病
11
6
17
无糖尿病
25
1 495
1 520
合计
36
1 501
1 537
由以上数据判断糖尿病与无家族病史有没有关系？
解：由列联表中的数据得到.
χ2=≈338.301＞10.828.
所以约有99.9%的把握认为糖尿病与家族病史有关系.
9.某地区的人口普查表明，该地区共有男人15 729 245人，其中3 497个是聋哑人；共有妇女16 799 031人其中3 072个是聋哑人，判断该地区性别与是否为聋哑人之间关系.
解:作列联表：
聋哑人
不是聋哑人
合计
男
3 497
15 725 748
15 729 245
女
3 072
16 795 959
16 799 031
合计
6 569
32 521 707
32 528 276
∴χ2=≈62.63＞10.828
所以有99%的把握认为性别与是否为聋哑人有关.
我综合 我发展
10.调查者询问了72名男女大学生，在购买食品时，是否观看营养说明，得到下表所示的数据，从表中数据分析大学生的性别与看不看说明书之间_____________（填有无关系）
看营养说明
不看营养说明
合计
男大学生
28
8
36
女大学生
16
20
36
合计
44
28
72
思路解析:利用公式χ2=计算出χ2的观测值，然后将χ2的观测值与2.706相比较，若χ2＞2.706则认为有关系，若χ2≤2.706则认为没有充分的证据显示有关系.
答案:有关系.
11.如果元件A、B、C正常工作的概率分别为P1、P2、P3，则如图1-1-1所示的线路，能正常工作的概率为_____________________.
图1-1-1
思路解析:元件A、B、C正常工作的事件为相互独立事件，可以利用相互独立事件的概率，也可利用对立事件的概率.
答案:1-(1-p1)(1-p2)(1-p3).
12.加工某种零件要经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为9/10,8/9,7/8,并且每道工序相互独立，互不影响，则生产出的零件的合格率为__________________.
思路解析:根据相互独立事件同时发生的概率.所以生产出的零件的合格率为.
答案:.
13.某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n=1 700次观测，列联表如下：
问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生相关？
解：由列联表中的数据可知：
a=98,b=902,c=82,d=618,则a+b=1 000,c+d=700,a+c=180,b+d=1 520
∴χ2==1.59≤2.706
所以，没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关.
14.甲乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
班级与成绩列联表：
优秀
不优秀
合计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
合计
17
73
90
利用列联表的独立性检验估计，认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少？
思路解析:假设成绩优秀与班级无关系，则有a=10,b=35,c=7,d=38,a+b=45, c+d=45,a+c=17,b+d=73.n=90代入
χ2=
=
≈0.652≤2.706
答案:没有充分的证据说明优秀与班级有关系，认为成绩与班级有关系犯错误的概率为99%.
15.把9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每个坑3粒种子，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发茅，则这个坑内不需要补种，若一个坑内的种子都没有发茅，则需要补种.
（1）求甲坑不需要补种的概率；
（2）3个坑中恰有一个不需要补种的概率；
（3）求有坑需要补种的概率.
解:（1）因为每粒种子发芽是相互独立的，故可采用相互独立性来解；又因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为P=（1-0.5)3=，所以甲坑不需要补种的概率为P1=1-P=1-
（2）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
P2=.
（3）因为3个坑都不需要补种的概率为,所以有坑需要补种的概率为P3=.
1.2 回归分析
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1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A.正方体的棱长和体积 B.角的孤度数和它的正弦值
C.单位为常数时，土地面积和总产量 D.日照时间与水稻的亩产量
思路解析:因为A、B、C均可用函数关系式来表示，而D中日照时间与水稻的亩产量却不能用函数关系式来表达.
答案:D
2.散点图在回归分析过程中的作用是（ ）
A.查找个体个数 B.比较个体数据大小关系
C.探究个体分类 D.粗略判断变量是否线性相关
思路解析:散点图中的点如果均在某一带状区域内，就说明变量线性相关，所以它只能粗略地判断变量是否线性相关.
答案:D
3.下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体，②回归方程一般都有时间性，③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围，④回归方程得到的预报值，是预报变量的精确值，正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
思路解析:利用疑难突破中的应用回归直线解决问题时的注意事项.
答案:B
4.在回归分析中，如果随机误差对预报变量没有影响，那么散点图中所有的点将__________回归直线上.
思路解析:根据回归直线有关定义.
答案:完全落在
5.已知回归直线方程为y=0.50x-0.81.则x=25时，y的估计值为__________.
思路解析:把x=25代入=0.50x-0.81，即可得y≈11.69
答案:11.69.
6.某企业的某种产品产量和单位成本数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
产量（千件）
2
3
4
3
4
5
单位成本（元/件）
73
72
71
73
69
68
（1）试确定回归直线；
（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少？
（3）假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？
解：（1）设x表示月产量（单位：十件），y表示单位成本（单位元/件）作散点图：
由上图知y与x间呈线性相关关系，设线性回归方程为=bx+a
由公式可求得b=-1.818,a=77.363.
∴线性回归方程为=-1.818x+77.363;
(2)由线性回归方程，每增加1 000件产量，单位成本下降1.818元，
（3）当x=6时，y=-1.818×6+77.363=66.455.
当y=70时 70=-1.818x+77.363,得x=4 050件.
7.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
试问（1）y与x间是否有线性相关关系？若有，求出线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
解：（1）作散点图.
由散点图可知，y与x呈线性相关关系，=4,=5, =90 =112.3,
∴b==1.23
∴a=b=5-1.23×4=0.08.
(2)当x=10时,=1.23×10+0.08
=12.3+0.08=12.38(万元).
我综合 我发展
8.设有一个回归方程=2-1.5x，则变量x增加一个单位时（ ）
A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位
C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位
思路解析:因为回归方程=2-1.5x.成减函数，且斜率为1.5.
答案:C
9.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重的数据如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重.
解：作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为x,体重为因变量y，作散点图如下图所示，
=
≈0.849
=-85.712.
∴回归直线方程为=0.849x-85.712.
所以对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报体重为=0.849×172-85.712=60.316(kg)
∴预测身高为172 cm的女大学生的体重约为60.316 kg.
10.研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：
水深x(m)
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
流速y(m/s)
1.70
1.79
1.88
1.95
2.03
2.10
2.16
2.21
(1)求y对x的回归直线方程.
（2）预测水深为1.95 m时水的流速是多少？
解：散点图如图所示：
列表计算与回归系数.
序号
xi
yi
xiyi
1
1.40
1.70
1.96
2.890
2.380
2
1.50
1.79
2.25
3.204 1
2.685
3
1.60
1.88
2.56
3.534 4
3.008
4
1.70
1.95
2.89
3.802 5
3.315
5
1.80
2.03
3.24
4.120 9
3.654
6
1.90
2.10
3.61
4.410 0
3.990
7
2.00
2.16
4.00
4.665 6
4.320
8
2.10
2.21
4.41
4.884 1
4.641
∑
14.00
15.82
24.92
31.511 6
27.993
于是=×14=1.75, =×15.82=1.977 5,=24.92,=31.511 6, =27.993,
∴=≈0.733.
=1.977 5-0.733×1.75=0.694 8.
∴y对x的回归直线方程为=0.694 8+0.733x
(2)当x=1.95时=0.694 8+0.733×1.95≈2.12(m/s)
即当水深为1.95 m时可以预报渠水的流速约为2.12 m/s.
11.在7块并排，且形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg)
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
（2）求y与x之间的回归方程，并求施肥量为28 kg时水稻产量的预报值.
解：（1）作出x与y对应的散点图.
（2）由散点图可以看出，样本点呈条状分布，有较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.
设回归方程为=bx+a,=30,=399.3,?=7 000, =1 132 725, =87 175.
于是b=≈4.75.
a=-b=399.3-4.75×30≈257
因此所求的回归直线方程为=4.75x+257，当x=28 kg时,y的估计值为=4.75×28+257=390(kg).
2.1.1 合情推理
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我夯基 我达标
1.对命题“对顶角相等”的说法正确的是（ ）
A.前提是对顶角，结论“相等”.
B.前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”.
C.前提是“两个角相等”，结论是“这两个角是对顶角”.
D.前提是“两个角相等”，结论是“两个角全等”.
思路解析:把命题“对顶角相等”改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.所以前提是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”.
答案:B
2.等差数列1，3，5，…（2n-1)的前n项和为（ ）
A.n2 B.（n+1)2 C.（n-1)2 D.n(n-1)
思路解析:令前n项的和为Sn，则S1=1,S2=1+3=4=22,S3=1+3+5=9=32,S4=1+3+5+7=42.所以猜想Sn=n2.
答案:A
3.若f(n)=n2+n+41(n∈N),下列说法中正确的是（ ）
A.f(n)可以为偶数 B.f(n)一定为奇数.
C.f(n)一定为质数 D.f(n)必为合数.
思路解析:f(1)=43,f(2)=22+2+41=47，f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=71,猜想f(n)一定是奇数.
答案:B
4.下列说法中正确的是（ ）
A.合情推理就是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程
思路解析:合情推理包括归纳推理和类比推理，而归纳推理是从特殊到一般的推理过程，而类比推理是从特殊到特殊的推理过程.
答案:D
5.(2005年湖南省高考卷)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x)，f2(x)=f′1(x), …fn(x)=fn-1′(x)，n∈N,则f2 005(x)=( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
思路解析:(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx,
(-sinx)′=-cosx,(-cosx)′=sinx,由此可知，其周期为4，故可得fn+4(x)= …=…=fn(x)故猜测fn(x)是以4为周期的函数，有f4n+1(x)=f(1)=cosx
f4n+2(x)=-sinx f4n+3(x)=-cosx,f4n+4(x)=f(4)=sinx.
答案:C
6.( 2005年广东高考卷)设平面内有n条直线（n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=___________________，当n＞4时，f(n)=__________________________.(用n表示）
思路解析:f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数.所以有f(3)-f(2)=2，f(4)-f(3)=3,f(5)-
f(4)=4,
猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1,
有f(n)-f(2)=2+3+4+…+(n-1)
∴f(n)= (n+1)(n-2)
因此，f(4)=5,f(n)=(n+1)(n≠2)
答案:f(4)=5 f(n)=(n+1)(n-2).
7.已知数列{an}的第1项a1=1,且an+1=(n=1,2, …),试用归纳法归纳出这个数列的通次公式.
解：a1=1,
当n=2时，a2==
当n=3时，a3= =
当n=4时，a4=
观察可得，数列{an}的前4项都等于相应序号的倒数，由此我们可以猜测，这个数列的通项公式为an=.
8.应用归纳推理猜测的结果.
解：当n=1时，=3
当n=2时，=33
当n=3时，=333
当n=4时，=3 333
观察可得
9.找出圆与球的相似之处，并用圆的下列性质类比球的有关性质.
（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；
（2）与圆心距离相等的弦也相等；
（3）圆的周长C=πd（d为圆心直径）；
（4）圆的面积S=πr2.
解：（1）圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是一空间中到定点的距离等于定长的所有点构成的集合.
（2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形.
与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质：
圆
球
（1）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
球心与截面圆（不过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面
（2）与圆心距离相等的弦长相等
与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等
（3）圆的周长C=πd
球的表面积S=πd2
(4)圆的面积S=πr2
球的体积V=
（5）圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，即(πr2)′=2πr,
球的体积函数的导数等于球的表面积函数.( )′=4πr2
我综合 我发展
10.(2006年广东高考卷，10)对于任意的两个实数对（a,b)和（c,d)，规定：（a,b)=（c,d)，当且仅当a=c,b=d时成立；运算“”为：（a,b) (c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“”为(a,b) (c,d)=(a+c,b+d),设p、q∈R,若（1，2）（p、q)=(5,0),则（1，2）（p、q）=（ ）
A.（4、0） B.（2、0） C.（0、2） D.（0，-4）
思路解析:利用类比推理得：由(1,2)(p,q)=(5,0)得
所以(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0)
答案:B
11.如图2-1-2中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下面3个三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是__________________________.
图2-1-2
思路解析:这3个三角形中着色三角形的个数依为1，3，9，则所示数列的前3项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以数列的一个通项为an=3n-1
答案:an=3n-1
12.(2006年广东高考卷，14)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图2-1-3所示方式固定摆放.从第二层开始，每层的木球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球.以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=___________________;f(n)=__________________________.(答案用n表示）
图2-1-3
思路解析:f(1)=1,观察图象可知f(2)=4,f(3)=10，f(4)=20,下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，…通项公式是.∴f(5)=f(4)+15=35.
答案:10,.
13.类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
解：（1）两个实数经过加法运算或者乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数.
（2）从运算律方面来考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即：
a+b=b+aab=ba
(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)
（3）从逆运算的角度来考虑，二者都有逆运算；加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程：
a+x=0 ax=1(a≠0)
都有惟一的解：x=-a,x=.
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小，乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即：
a+0=a a×1=a.
14.观察1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
由上述具体事实能得出怎样的结论？
解：将上述事实分别叙述为：
前2个连续奇数的和等于2的平方
前3个连续奇数的和等于3的平方
前4个连续奇数的和等于4的平方
前5个连续奇数的和等于5的平方
由此猜想：前n(n∈N*)个连续奇数的和等于n的平方.
即1+3+5+…+(2n-1)=n2.
15.观察下面的“三角阵”
试找出相邻两行数之间的关系.
解：设第n行数的和为Sn.
n=1时，S1=1=20,
n=2时,S2=2=21,
n=3时，S3=4=22,
n=4时,S4=8=23,
n=5时，S5=16=24.
观察可得，前5行的和分别为20，21,22,23，24，…，由此可以猜测第n行的和为Sn=2n-1.
2.1.2 演绎推理
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我夯基 我达标
1.下列推理正确的是（ ）
A.如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖.
B.因为正方形的对角线互相平分且相等，所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形.
C.因为a＞b,a＞c,所以a-b＞a-c.
D.因为a＞b,c＞d,所以a-d＞b-c.
思路解析:A、B都是归纳推理，结论不一定正确，而C、D都是演绎推理，但C是不正确的.
答案:D
2.(2006年陕西高考卷，12)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a、b、c、d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A.7，6，1，4 B.6，4，1，7 C.4，6，1，7 D.1，6，4，7
解:本题是演绎推理，由一般到特殊的推理.由题意可得可求得
答案:B
3.(2006年福建高考卷，12)对于直角坐标平面内的任意两点A（x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”：｜｜AB｜｜=｜x2-x1｜+｜y2-y1｜.给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则｜｜AC｜｜+｜｜CB｜｜=｜｜AB｜｜；
②在△ABC中，若∠C=90°,则｜｜AC｜｜2+｜｜CB｜｜2=｜｜AB｜｜2；
③在△ABC中，｜｜AC｜｜+｜｜CB｜｜=｜｜AB｜｜.
其中真命题的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
思路解析:
解：如上图（1）||AB||=|AC|+|BC|
∴在①中如图（2），||AC||+||CB||=|AM|+|MC|+|CP|+|PB|=|AN|+|BN| ∴①正确.
在②中如图（1），||AC||2=|AC|2，||AB||2=（ |AC|+|BC|）2，||BC||2=|BC|2，∴②不正确.
在③中如图（1）||AC||+||CB||在△ABC为直角三角形且C为直角时其值等于||AB||.
答案:B
4.在推理a＞b,b＞ca＞c中，前提是______________，结论是_______________________.
思路解析:解：把命题a＞b,b＞ca＞c改成因为a＞b,
b＞c所以a＞c.
答案:前提是：a＞b,b＞c.
结论是：a＞c.
5.(2006年上海高考卷，文12)如图2-1-6，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p、q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是__________________________.
图2-1-6
思路解析:若pq≠0,则满足题意的点有且仅有4个，这4个点分别在4个角的内部：且两两关于O点对称.
答案:4个.
6.如图2-1-7所示已知A、B、C、D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心.
求证：MN∥平面ACD.
图2-1-7
证明：连结BM，BN并延长分别交AD，DC于P、Q两点，连结PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P、Q分别为AD、DC的中点，
又有,所以MN∥PQ,又MN平面ADC，PQ平面ADC,
∴MN∥面ACD.
7.设a、b、c∈R+,求证：
(a+b+c)
证明：∵a2+b2≥2ab,a、b、c∈R*,
∴2(a2+b2)≥(a2+b2)+2ab=(a+b)2,
∴a2+b2≥ ∴≥(a+b).
同理≥ (a+c),
≥ (b+c),
∴有≥(2a+2b+2c)=(a+b+c).
即：≥(a+b+c).
我综合 我发展
8.用三段论法表示，如果用M表示所有平行四边形的集合，用F表示对角线互相平分的属性，那么M的每一个元素x都具有属性F为真.而所有矩形集合N是集合M的非空真子集，为真，即每一个矩形的对角线互相平分.
解：用三段论法表示为：
每一个平行四边形的对角线互相平分；
每一个矩形是平行四边形；
每一个矩形的对角线互相平分；
或：∵平行四边形的对角线互相平分（大前提）
矩形是平行四边形（小前提）
∴矩形的对角线互相平行（结论）
9求证：当a、b、c为正数时，（a+b+c)()≥9.
证明：首先，我们知道，≥.
(a+b+c)(++)=(a+b)(+)+(a+b)+c(+)+c·
=+(a+b)(+)+1≥4+(a+b)·+1
=5+≥5+4=9
10.证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数.
解：当x＜0时，f(x)各项都为正数,
因此，当x＜0时，f(x)为正数;
当0≤x≤1时，
f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)＞0;
当x＞1时，f(x)=x3(x3-1)+x(x-1)+1＞0.
综上所述，函数f(x)的值恒为正数.
11.证明函数f(x)=-x2+2x在（-∞,1］上是增函数.
思路分析:证明本例所依据的大前提是：增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x1＜x2,则有f(x1)＜f(x2).
小前提是：f(x)=-x2+2x,x∈(-∞,1］满足增函数的定义，这是证明本例的关键.
证明：任取x1,x2∈(-∞,1］,且x1＜x2,
f(x1)-f(x2)=(-+2x1)-(-+2x2)
=(x2-x1)(x2+x1-2)
因为x1＜x2,所以x2-x1＞0,
因为x1,x2≤1,x1≠x2,所以x2+x1-2＜0,
因此,f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).
于是,根据“三段论”，可知f(x)=-x2+2x
在(-∞,1］上是增函数.
12.如图2-1-8，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点，
（1）求证：EF⊥面PAB；
（2）设AB=BC，
求AC与平面AEF所成角的大小.
图2-1-8
（1）证明：连结EP.
∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内.
∴PD⊥DE,又CE=ED,PD=AD=BC,
∴Rt△BCE≌Rt△PDE,∴PE=BE
又∵F为PB中点，∴EF⊥PB.
由三垂线定理得PA⊥AB.
∴在Rt△ABP中，PF=AF,又PE=BE=EA,
∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA.
∵PB、FA为平面ABP内的两条相交直线，
∴EF⊥面PAB.
（2）解：设BC=1，则AD=PD=1，AB=，PA=，AC=.
∴△PAB为等腰直角三角形，且PB=2，
F为其斜边中点，BF=1且AF⊥PB.
∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直.
∴PB⊥平面AEF.
连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥面AEF,∠GAH为AC与平面AEF所成的角.由△EGC∽△BGA可知，EG=1[]2GB，EG=1[]3EB.
AG=AC=.
由△EGH∽△EBF可知，GH=BF=.
∴sin∠GAH=,
∴AG与平面AEF所成的角为arcsin.
2.2.1 直接证明
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1.要证明+＜可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）
A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法
思路解析:要证明＜成立，用分析法最合适.
答案:B
2.a＞0,b＞0,则下列等式中不成立的是（ ）
A.a+b+≥ B.（a+b)(+)≥4
C.≥a+b D. .
思路解析:利用基本不等式即可.
对于A:a+b+≥+≥，当且仅当a=b时取等号，所以成立.
对于B:(a+b)(+)≥·2=4，当且仅当a=b时取等号，所以成立.
对于C：≥(a+b)·=a+b,当且仅当a=b时取等号，所以C成立.
对于D：,所以D错误.
3.设x＞0,y＞0,A=,B=,则A与B的大小关系为（ ）
A.A＞B B.A≥B C.A＜B D.A≤B
思路解析:∵x＞0,y＞0,∴B==A，即B＞A.
答案:C
4.若a＞0,b＞0,则有（ ）
A.＞2b-a B.＜2b-a C.≥2b-a D.≤2b-a.
思路解析:b2-2ab+a2≥0b2≥a(2b-a) ≥2b-a.
答案:C
5.若p=,q=(m、n、b、c、d均为正数），则p、q的大小关系为（ ）
A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.不确定
思路解析:q=≥=p.
答案:B
6.若x、y∈R,且2x2+y2=6x,则x2+y2+2x的最大值为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.17
思路解析:由y2=6x-2x2≥0得0≤x≤3,从而x2+y2+2x=-(x-4)2+16.
∴当x=3时，最大值为15.
答案:B
7.已知a＞b＞c,n∈N*,且+≥恒成立，则n的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
思路解析:
∴nmax=4
答案:C
8.已知：函数f(x)=tanx,x∈(0,),若x1,x2∈(0, ）且x1≠x2.
证明：［f(x1)+f(x2)］＞f()
证明：欲证［f(x1)+f(x2)］＞f
即证：(tanx1+tanx2)＞tan
只需证：,
即证
∵x1+x2∈(0,π),
∴sin(x1+x2)＞0,1+cos(x1+x2)＞0,
cosx1·cosx2＞0,
∴只需证1+cos(x1+x2)＞2cos(x1+x2)＞2cosx1·cosx2,
即证：1+cos(x1+x2)＞cos(x1+x2)+cos(x1-x2),
即证：1＞cos(x1-x2).
∵x1,x2∈(0,)且x1≠x2,
∴x1-x2∈(-,0)∪(0,).
∴0＜cos(x1-x2)＜1,即1＞cos(x1-x2)成立.
故原等式成立.
9.已知a、b、c表示△ABC的边长，m＞0，求证：.
证明：构造函数f(x)=,x＞0.
设x1,x2∈(0,+∞),且x1＜x2.
且f(x2)-f(x1)=
=.
∵x1,x2∈(0,+∞),x2＞x1,∴x2-x1＞0,
m+x2＞0,m+x1＞0,
∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1)
∴f(x)=在(0,+∞)上是增函数.
在△ABC中，a+b＞c,则＞成立.
∴有,
∵,
∴成立.
我综合 我发展
10.设a与b为正数并且满足a+b=1,a2+b2≥k,则k的最大值为（ ）
A. B. C. D.1
思路解析:∵a2+b2≥ (a+b)2= (当且仅当a=b时取等号）.
∴Kmax=.
答案:C
11.已知函数f(x)=()x,a、b∈R+,A=f(),B=f(),C=f(),则A、B、C的大小关系为（ ）
A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A
思路解析:≥≥,又函数f(x)=()x,在(-∞,+∞)上是单调减函数.
∴f()≤f()≤.
答案:A
12.(精典回放）函数f(x)=3x, 对于任意x1、x2,都有（ ）
A.f(x1x2)=f(x1）f（x2) B.f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
C.f(x1+x2)=f(x1)f(x2) D.f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
思路解析:∵f(x1+x2)==f(x1)·f(x2)
答案:C
13.(精典回放）设f(n)=(n∈N*),则f(n+1)-f(n)=( )
A. B.
C. + D. -
思路解析:∵f(n+1)=
∴f(n+1)-f(n)=
=
答案:D
14.(精典回放）已知函数f(x)=,g(x)=
(1)证明f(x)是奇函数；
（2）分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
证明：（1）函数f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，又f(-x)=.
==-f(x)
∴f(x)为奇函数.
（2）f(4)-5f(2)g(2)=0
f(9)-5f(3)g(3)=0
由此归纳猜想：f(x2)-5f(x)g(x)=0
(x∈R,x≠0).
∵f(x2)-5f(x)g(x)
==0
15.(2006年天津高考卷，文21)已知数列{xn}满足x1=x2=1,并且(λ为非零参数，a=2,3,4, …).
(1)若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值;
（2）设0＜λ＜1,常数k∈N*,且k≥3.
证明：(μ∈N*).
（1）解：由已知x1=x2=1,且
x3=λ,x4=λ3,x5=λ6.
若x1,x3,x5成等比数列，则=x1·x5.
即λ2=λ6,而λ≠0,解得λ=±1.
(2)证明：设an=,由已知数列{an}是以=1为首项，λ为公比的等比数列，故=λn-1,则
=λn+k-2·λn+k-3·…λn-1=.
因此，对任意n∈N*.
=
=
=.
当k≥3且0＜λ＜1时，0＜≤1,
0＜1-λnk＜1,
所以:(n∈N*).
2.2.2 间接证明
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1.实数a、b、c不全为0的条件为（ ）
A.a、b、c均不为0 B.a、b、c中至多有一个为0
C.a、b、c中至少有一个为0 D.a、b、c中至少有一个不为0
思路解析:实数a、b、c不全为0的条件是a、b、c至少有一个不为0.
答案:D
2.x、y←R，且x2+y2=1，则（1-xy）（1+xy）有（ ）
A.最小值，无最大值. B.最小值1，无最大值.
C.最小值，最大值1 D.最大值1，最小值
思路解析:设x=cosα,y=sinα,
则(1-xy)(1+xy)=(1-sinαcosα)(1+sinαcosα)
=1-sin2αcos2α=1-sin22α.
∵sin22α∈［0,1］,∴(1-xy)(1+xy)∈［，1］.
答案:D
3.设a、b、c都是正数，则三个数a+，b+，c+（ ）
A.都大于2 B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2
思路解析:∵a+++c+b+
=a++b++c+≥2+2+2=6.
所以a、b、c中至少有一个大于2.
答案:B
4.已知a、b、c都是正数，S=，则有（ ）
A.0＜S＜1 B.1＜S＜2 C.2＜S＜3 D.3＜S＜4
思路解析:S＞=1,且S＜=2.
∴1＜S＜2.
答案:B
5.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
证明：假设△ABC的三个内角A，B，C都小于60°,即∠A＜60°,∠B＜60°,∠C＜60°.
相加得∠A+∠B+∠C＜180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A,∠B,∠C都小于60°的假设不能成立,从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
6.求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.
证明：假设bc=0,则有三种情况出现：
（1）若b=0,c=0方程变为x2=0,x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知方程有两个不相等的实根相矛盾.
（2）若b=0,c≠0,方程变为x2+c2=0,但当c≠0时，x2+c2=0;但c≠0时，x2+c2≠0与x2+c2=0矛盾,
（3）若b≠0,c=0,方程变为x2+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b.这与已知条件方程有两个非零实根相矛盾.
综上所述，bc≠0.
7.证明：1，，2不能为同一等差数列的三项.
证明：假设1，，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d,则1=3-md，2=+nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两式消去d,得n+2m=(m+n)，因为n+2m为有理数，而（m+n)为无理数，所以2m+n≠(m+n)，因此，假设不成立，即1，，2不能为同一等差数列的三项.
8.平面上有四个点，设有三点共线.
证明：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑点D在△ABC之内或之外有两种情况：
（1）如果点D在△ABC之内，（如图（1）），根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾.
（2）如果点D在△ABC之外（如图（2）），根据∠A、∠B、∠C、∠D都大于90°， 这和四边形ABCD的内角和为360°相矛盾.综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立.
9.已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.
证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=,
如果方程不是一个根，不妨设x1、x2是它的两个不同根，即ax1=b，①
ax2=b，②
①-②得a(x1-x2)=0.
因为x1≠x2，所以x1-x2≠0，所以应有a=0，这与已知相矛盾，故假设不成立.
所以当a≠0时，方程ax=b有且只有一个根.
10.（精典回放）设y=f(x)是定义在区间［-1，1］上的函数，且满足条件：①f(-1)=f(1)=0;②对任意的μ、v∈［-1,1］,都有｜f(u)-f(v)｜≤｜μ-v｜
(1)证明：对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;
(2)证明：对任意的μ、v∈［-1,1］,都有
｜f(u)-f(v)｜≤1;
(3)在区间［-1，1］上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得：
｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v｜，当μ、v∈［0, ］.
｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v｜,当μ、v∈［,1］.
若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.
（1）证明：由题设条件可知，当x∈[-1,1]时，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x.
即：x-1≤f(x)≤1-x.
（2）证明：对任意的u、v∈[-1，1].
当|u-v|≤1时，有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.
当|u-v|＞1时，有u·v＜0，不妨设u＜0，则v＞0,且v-u＞1,
所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1.
综上可知：对任意的u、v∈[-1,1]，都有|f(u)-f(v)|≤1.
(3)解：满足所述条件的函数不存在，理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由
|f(u)-f(v)|=|u-v|,u、v∈[,1],
得|f(）-f(1)|=|-1|=.
又f(1)=0,所以|f()|=
又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0.
由条件|f(u)-f(v)|＜|u-v|,u,v∈[0,],
得|f()|=|f()-f(0)|＜ .
这与|f()|=矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
我综合 我发展
11.在△ABC中，若∠C是直角，求证：∠B一定是锐角.
证明：假设∠B不是锐角，则∠B为直角或钝角，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＞90°+90°+∠A＞180°.这与三角形的内角和为180°相矛盾.
从而∠B一定为锐角.
12.求证：、、不可能成等差数列.
证明：假设、、成等差数列，则有-=-，即2=+，
两边平方得：12=7+，∴5=，
两边再平方得：25=40显然不成立，从而假设不成立.
∴、、不可能成等差数列.
13.如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.
证明：不妨设直线a,b,l中，a∥b,l与a是异面直线，且l与b不相交.
假设l与b不是异面直线，则l与b共面，即l与b可能相交，也可能平行.
若l与b相交，这与已知矛盾.
若l与b平行，即l∥b,又a∥b,得l∥a,这与l与a异面相矛盾.
综上可知，l与b是异面直线.
14.已知函数f(x)对其定义域内的任意两个实数a、b，当a＜b时，都有f(a)＜f(b),证明f(x)=0至多有一个实根.
证明：假设f(x)=0至少有两个不同的实根x1、x2，不妨设x1＜x2，由方程的定义，f(x1)=0,f(x2)=0,则f(x1)=f(x2) ①
但已知x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，这与式①相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立.
15.已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0,a2=3,an+1·an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5…,用反证法证明a3=2.
证明：由题设得a3a4=10，且a3,a4均为非负整数，
∴a3的可能值为1，2，5，10.
若a3=1,则a4=10,a5=与题设矛盾.
若a3=5,则a4=2,a5=，与题设矛盾.
若a3=10,则a4=1，a5=60,a6=,与题设矛盾.∴a3=2.
16.求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)最多有两个不相等的实根.
证明：假设方程有三个不相等的实根x1,x2,x3,则
由①-②得：a(x1+x2)+b=0 ④
由①-③得：a(x1+x3)+b=0 ⑤
由④-⑤得：a(x2-x3)=0
∵a≠0 ∴x2-x3=0
即x2=x3，这与假设x1≠x2≠x3相矛盾，
∴原方程最多只有两个不相等的实根.
3.1 系数的扩充
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1．下列说法正确的是（ ）
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B.ai是纯虚数
C.如果复数x+yi是实数，则x=0,y=0
D.复数a+bi不是实数
思路解析:本题考查复数的基本概念与复数相等的概念.由复数相等的概念知A正确；若a=0，ai为实数，B错误；若x+yi是实数，只要求y=0即可，C错误；若b=0，则a+bi是实数，因此D错误.
答案:A
2．下列说法正确的个数是（ ）
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集.
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析:本题考查复数的分类，由复数集、虚数集、实数集的关系知①、②、④正确.
答案:C
3．i2+i是（ ）
A.实数 B.虚数 C.0 D.1
思路解析:i2+i=-1+i,是虚数.
答案:B
4.以3i-的虚部为实部，以3i2-i的实部为虚部的复数是（ ）
A.3-3i B.3+I C.-+i D.+i
思路解析:本题考查复数的代数形式及概念，关键是分清实部与虚部，3i-的虚部为3；3i2-i的实部为-3，因此复数为3-3i.
答案:A
5.若x是实数，y是纯虚数且满足2x-1+2i=y,则x=_____________,y=_____________.
思路解析:本题考查复数相等的概念，可设y=ai,则2x-1+2i=ai ∴ ∴x=,y=2i
答案:x=;y=2i
6.若log2(x2-3x+2)+ilog2(x2+2x+1)＞1，则实数x的值域范围是_____________.
思路解析:本题考查复数的概念.log2(x2-3x+2)+
ilog2(x2+2x+1)＞1 则满足解得x=-2满足条件.
答案:x=-2
7.若i=1+x，则x=_____________.
思路解析:本题考查复数相等的条件，由于x没有说明，因此应将x当成复数，可设x=a+bi，则（a+1)+bi=i ∴∴，因此x=-1+i.
答案:x=-1+i.
8.若log2(m2-3m-4)+ilog2(m+2)为纯虚数，求实数m的值.
思路分析:本题考查复数相等的概念，要求为纯虚数，则满足实部为0，虚部不为0.
解：log2(m2-3m-4)+ilog2(m+2)为纯虚数.
∴
∴m=4,故当m=4时，log2（m2-3m-4)+ilog2（m+2）
是纯虚数.
9.已知+(x2-2x-3)i=0（x∈R),求x的值.
解：由复数相等的定义得
解得x=3
∴x=3为所求.
我综合 我发展
10.(2005年广东高考卷)若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位，则a2+b2=（ ）
A.0 B.2 C. D.5
思路解析:考查复数的运算，复数相等的条件，（a-2i)i=
b-i,2+ai=b-i,根据复数相等的条件得a=-1,b=2,∴a2+b2=5.
答案:D
11.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数的条件是（ ）
A.|a|=|b| B.a＜0且a=-b
C.a＞0且a≠b D.a＞0且a=±b
思路解析:考查复数的概念，z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数，要求.
解得a＞0,且a=±b.
答案:D
12.已知方程x2-2ix-4=0，因为Δ=(-2i)2+16＞0,所以方程的根是（ ）
A.两个不等实数 B.一对虚根
C.一实根一虚根 D.以上都不正确
思路解析:考查复数相等的定义.
设x=a+bi(a,b∈R),则(a+bi)2-2i(a+bi)-4=0.
∴(a2-b2+2b-4)+(2ab-2a)i=0.
∴或或
∴x=2i或x=，或x=.
答案:D
13.设关于x的方程是x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0.
（1）若方程有实根，求锐角θ的实数根；
（2）证明对任意θ≠kπ+(k∈Z)方程无纯虚数根.
解：(1)设方程的实根为α,则α2-(tanθ+i)α-(2+i)=0,即α2-tanθ·α-2-(α+1)i=0
∵α·tanθ∈R ∴
∴α=-1且tanθ=1
又θ＜θ＜,∴θ=,α=-1
(2)若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0)则
(βi)2-(tanθ+i)·βi-(2+i)=0.
∴-β2+β-2=0 ①
且-tanθ·β-1=0 ②
由②得β=-cotθ,代入①得cot2θ+cotθ+2=0此方程Δ=1-8＜0,∴cotθ为虚数，与cotθ∈R矛盾，假设不成立，∴原方程对于任意实数θ不可能有纯虚数根.
14.已知复数Z1=m+(4-m)2i(m∈R),Z2=2cosθ+（λ+3sinθ)i(λ∈R)，若Z1=Z2，
证明：≤λ≤7.
思路分析:利用复数相等，将复数问题转化为实数问题，再利用函数的单调性或函数的最值求参数的取值范围.
证明：∵Z1=Z2 ∴m+(4-m2)i=2cosθ+(λ+3sinθ)i
由复数相等的条件，
得
∴λ=4-m2-3sinθ
=4sin2θ-3sinθ
=4(sinθ-) 2-.
∵-1≤sinθ≤1,
∴当sinθ=时，λmin=-;
当sinθ=-1时，λmax=7.
∴-≤λ≤7.
3.2 复数的四则运算
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我夯基 我达标
1．（经典回放）等于（ ）
A. B. C. D.
思路解析:本题考查复数的基本运算.
答案:B
2.(安徽高考卷)等于（ ）
A.5(1-38i) B.5(1+38i) C.1+38i D.1-38i
思路解析:本题考查复数的基本运算.
=1-38i.
答案:D
3.(2004年重庆高考卷)设复数Z=1+则Z2-2Z等于（ ）
A.-3 B.3 C.-3i D.3i
思路解析:本题考查复数的基本运算.
∵Z=1+,Z2-2Z=(1+)2-2(1+)
答案:A
4.当Z=时，Z100+Z50+1的值等于（ ）
A.1 B.-1 C.i D.-i
思路解析:本题考查复数的基本运算
Z2=（1-2i-1)=-i Z50=(-i)25=-i
Z100=(-i)2=-1 故原式=-i
答案:D
5.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0（a∈R)有实根b,且Z=a+bi,则复数Z=（ ）
A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i
思路解析:考查复数相等的定义.
把b代入方程有b2+(4+i)b+4+ai=0
答案:A
6.设复数Z=,则满足等式Zn=Z,且大于1的正整数n中最小的是（ ）
A.3 B.4 C.6 D.7
思路解析:Z3=1，Zn=Z,即Zn-1=1,n-1应是3的倍数，n-1=3时，n=4 故n的最小值为4.
答案:B
7.已知复数Z0=3+2i，复数Z满足Z·Z0=3Z+Z0，则实数Z=___________.
思路解析:复数代数形式的基本运算
Z=
答案: .
8.若对n个复数α1,α2,α3…αn存在n个不全为零的实数k1,k2…kn,使k1α1+k2α2+…+knαn=0成立，则称α1,α2…αn为线性相关，依次规定能使α1=1,α2=1-i,α3=2+2i线性相关的实数k1、k2、k3依次可以取_____________，（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.
思路解析:复数的相等的定义.
-4×1+2(1-i)+1×(2+2i)=0
答案:-4，2，1
9.复数Z=,若Z2+aZ+b=1+i,(a,b∈R)则a+b=_____________.
思路解析:本题主要考查复数的基本运算Z=1-i,则代入Z2+aZ+b=1+i得，
∴∴a+b=1.
答案:1
我综合 我发展
10.(2005年全国高考卷)复数=（ ）
A.i B.-i C. D.
思路解析:本题主要考查复数的基本运算及复数的概念.
答案:A
11.(2004年浙江高考卷)已知复数Z1=3+4i,Z2=t+i,且Z1是实数，则实数t等于（ ）
A. B. C.- D.-
思路解析:本题主要考查复数的基本概念、基本运算，由Z2=t+i得=t-i故
Z1=（3+4i）（t-i)=(3t+4)+(4t-3)i
∵Z1为实数,∴4t-3=0,∴t=.
答案:A
12.(2004年广东高考卷)已知复数Z与(Z+2)2-8i均是纯虚数，则Z=_____________.
思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算依题意，设Z=bi,(b∈R且b≠0)
∴(Z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i
∵(Z+2)2-8i为纯虚数，∴4-b2=0且4b-8≠0.
∴b=-2,即Z=-2i.
答案:-2i
13.(2005年北京高考卷)若Z1=a+2i,Z2=3-4i,且为纯虚数，则实数a的值为_____________.
思路分析:本题主要考查纯虚数的概念及基本运算.
由为纯虚数，知=0且≠0知a=.
14.求（1+i)n(1-i)6-n的值.
思路分析:本题主要考查复数的基本运算.
解：原式=（1-i)6=(-2i)3in=8in+1
∴(k为非负整数）.
3.3 复数的几何意义
自主广场
我夯基 我达标
1.已知复数Z的模为2，则|Z-i|的最大值是（ ）
A.1 B.2 C. D.3
思路解析：本题主要考查复数模的几何意义，可有两种思路：（1）不等关系，｜Z-i｜≤｜Z｜+｜i｜≤3；（2）｜Z｜=2，可知Z在以原点为圆心，2为半径的圆上运动；｜Z-i｜表示圆上的点到（0，1）的距离，由圆知1≤｜Z-i｜≤3.因此最大值为3.
答案：D
2.已知复数Z满足|Z+2|-|Z-2|=1，则复数Z的对应点在复平面上的集合是（ ）
A.线段 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支
思路解析：｜Z+2｜-｜Z-2｜=1表示双曲线靠近（0，2）的一支.
答案：D
3.已知复数Z1Z2满足|Z1|=3，|Z2|=5，|Z1-Z2|=，那么|Z1+Z2|为（ ）
A. B. C.7 D.8
思路解析：本题主要考查复数及模的几何意义.如图设Z1、Z2对应点为A、B，以，为邻边作OACB，则对应的复数为，
∵｜｜=3.｜｜=5，｜｜=.
∴cos∠AOB=，
∴cos∠OBC=-
∴｜Z1+Z2｜=｜｜=.
答案：B
4.△ABC的三个顶点对应的复数分别是Z1、Z2、Z3，若复数Z满足|Z-Z1|=|Z-Z2|=|Z-Z3|，则Z对应的点应为△ABC的（ ）
A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
思路解析：由几何意义知，Z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，Z对应的点是△ABC的外心.
答案：D
5.已知Z∈C且|Z|=1，则复数（ ）
A.是实数 B.是虚数但不一定是纯虚数
C.是纯虚数 D.可能是实数也可能是虚数
思路解析：本题主要考查模的性质
∵｜Z｜=1，∴｜Z｜=1，，∴∈R.
答案：A
6.复平面内，过点A（1，0）作虚轴的平行线l，设l上的点对应的复数Z，求对应点的轨迹方程__________________________.
思路解析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=1+ti，=x+yi，又
∴∴消去t得x2+y2=x.
答案：y2+x2=x
7.设Z=,则Z·等于_____________.
思路解析：本题主要考查复数代数形式的运算.
Z=
∴=1
8.在复平面内，复数Z1在连结1+i和1-i的线段上移动，设复数Z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数Z1+Z2在复平面上移动范围的面积.
思路分析：本题主要考查复数的几何意义，可结合图形入手处理问题.
[解]设w=Z1+Z2，Z2=w-Z1，｜Z2｜=｜w-Z1｜
∵｜Z2｜=1，∴｜w-Z1｜=1
上式说明对于给定的Z1，w在以Z1为圆心，1为半径的圆上运动，又Z1在连结1+i和1-i的线段上移动.
∴w移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π.
9.已知复数|Z|=1，求|Z+|的最大值和最小值.
思路分析：本题主要考查复数的基本运算.
[解]设Z=x+yi，（xy∈R）则x2+y2=1
=｜x2-y2+1+2xyi｜=｜2x2+2xyi｜==2｜x｜
由于｜x｜≤1，于是当Z=±1时，有最大值2；
当Z=±i时，有最小值.
我综合 我发展
10.（经典回顾）复数Z=(m∈R,i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
思路解析：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义.
由已知Z=[(m-4)-2(m+1)i]在复平面上的对应点如果在第一象限，则而此方程组无解.因此不可能在第一象限.
答案:A
11.（经典回顾）若Z∈C，且|Z+2-2i|则|Z-2-2i|的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
思路解析:本题考查复数代数形式的运算，数形结合思想.
方法1：设Z=a+bi(a,b∈R),因此有|a+2+(b-2)i|=1.
即（a+2)2+(b-2)2=1,又|Z-2-2i|=而|a+2|≤1,即-3≤a≤-1，∴当a=-1时，|Z-2-2i|取最小值3.
方法2利用数形结合法：
|Z+2-2i|=1表示圆心在（-2，2），半径为1的圆上，而|Z-2-2i|表示圆上的点与点（2，2）的距离，其最小值为3.
答案:B
12.已知Z∈C，在复平面内，Z，对应的点分别为P、P2，O为坐标原点，则在下列结论中正确的为（ ）
①当Z为纯虚数时P1、O、P2三点共线；
②当Z为实数时，；
③当Z为虚数时，P、O、P2三点构成等腰三角形；
④无论Z为何复数
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
思路解析:当Z为纯虚数时，Z与对应的点均在虚轴上，故P1、P2、O三点共线；①正确；显然③错误；当Z=0时，对应的点复数为0，对应的复数也为0，此时有=-成立，故④错误.
答案:A
13.（经典回放）对于任意两个复数Z1=x1+y1i,Z2=x2+y2i(x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为Z1⊙Z2=x1x2+y1y2，设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点，如果w1⊙w2=0，那么△P1OP2中，∠P1OP2的大小为_____________.
思路解析:本题主要考查复数的几何意义.设w1=x1+y1i,w2=x2+y2i,由复数的几何意义得P1（x1,y1)、P2(x2,y2)，又w1⊙w2=0，∴x1x2+y1y2=0.∴OP1⊥OP2
∴∠P1OP2=.
答案:
14.（经典回放）已知Z，w为复数，（1+3i)Z为纯虚数，w=，且|w|=,求w.
思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算.
方法1：设Z=a+bi(a、b∈R),则（1+3i)Z=a-3b+(3a+b)i.由题意知a=3b≠0.∵|w|=
∴|Z|=.将a=3b代入，解得a=±15,b=±5.故w=±=±(7-i).
方法2：由题意设(1+3i)Z=Ki,(K≠0且K∈R)
则w=.∵|w|= ∴K=±50.
故w=±(7-i)
4.1 流程图
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我夯基 我达标
1.根据以下流程图4-1-2可得到的结果为（ ）
图4-1-2
A.90 B.210 C.92 D.22
思路解析:由流程图可以得到是求数列的和，其中s=10+12+14+16+18+20
=90
答案:A
2.以下是一计算表达式的算法流程图如图4-1-3所示，则循环结束的条件是（ ）
图4-1-3
A.n=n+2 B.S=S+ C.n≤10 D.输出S
思路解析:在算法流程图中，循环约束的条件是n≤10.
答案:C
3.某电信公司电话查询如下图4-1-4,则在此流程图中，共有_____________条流程线.（ ）
图4-1-4
A.1 B.2 C.5 D.8
思路解析:在电信公司电话查询的流程图中，共有这样两条流程线：①拨查询电话→查询本机按1，②拨查询电话→查询其他手机按2.
答案:B
4.二分法描述方程x2-2=0的近似根的流程图如图4-1-5：
图4-1-5
则循环条件为（ ）
A.f(m)=0? B.f(x)f(m)＞0? C.|x1-x2|＜ε D.f(m)=0? |x1-x2|＜ε?
思路解析:由已知流程图可以看出，此框图的循环条件为“f(m)=0?”,“|x1-x2|＜ε?”.
答案:D
5.某算法流程图如图4-1-6，若输入x=10得到的结果为（ ）
图4-1-6
A.100 B.20 C.0 D.10
思路解析:由算法流程图可得：因为x=10,所以：x∈Z→x＞0→y=2x,所以y=20.
答案:B.
6.某工厂加工某种零件的三道工序流程图如图4-1-7
图4-1-7
按此工序流程图所示，该种零件可导致废品的环节有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路解析:由工序流程图可得，有两条途径可得到废品：一是：零件制定→粗加工→检验→返修加工返修检验废品.
二是：粗加工→检验→精加工→最后检验废品.
答案:B
7.写出求过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率的算法步骤，并画出流程图.
解：第一步：输入x1、y1、x2、y2;
第二步：如果x1=x2,输出“斜率不存在”否则k=；
第三步：输出k.
相应的流程图如下：
8.北京获得了2008年第29届奥林匹克运动会主办权.国际奥委会是通过对遴选的5个申办城市进行表决而决定主办权的.表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止，请设计一个算法表述上述过程，并画出程序流程图.
解：（1）投票；
（2）统计票数，如果有一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；否则淘汰得票数最少的城市，转（1）；
（3）宣布主办城市
程序框图：如下图：
9.求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序的实数对（如（x,y））表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x、y)=0;
（4）化简f(x、y)=0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；
设计流程图，描述以上求曲线（图形）的方程的一般步骤.
第3步：等待订单认证，若认证通过，在发卡银行的
网上银行进行网上支付；若没有通过，重新提交订单；
答案:
我综合 我发展
10.下面是图4-1-8是一个流程图，sum是一个累加变量，
图4-1-8
则此流程图表示的算式为___________________.
思路解析:因为Sum表示一个累加变量，又因为Sum=Sum+2i,i=i+1,所以：表示为 S=1+21+22+…+263.
答案:1+2+22+23+…+263
11.下面的流程图4-1-9表示的是一分段函数，求函数值y的过程，则此分段函数为___________________ .
图4-1-9
思路解析:由题意可知分段函数的关系式为y=
答案:y=
12.（精典回放）对任意函数f(x),x∈D,可按如图4-1-10所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0);
图4-1-10
②若x1?D,则数列发生器结束工作；若x1∈D,将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)并依此规律进行下去,现定义f(x)=.
(1)若输入x0=,则由数列发生器产生数列{xn}，写出数列{xn}的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值.
解：（1）∵函数f(x)的主义域D=（-∞，-1）∪(-1,+∞)
所以数列{xn}只有3项，x1=,x2=,x3=-1.
(2)令f(x)==x，即x2-3x+2=0,解得x=2 或x=1.
故当x0=2或x0=1时，xn+1==xn
所以输入的初始数据x0=1时，得到常数列xn=1;x0=2时，得到常数列xn=2.
13.下面是一计算机程序的框图表示：
根据此框图说明它表示的是解决什么样的问题？
图4-1-11
解：此框图表示是解一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根的问题.
首先判断判别式Δ的符号.若Δ≥0,则解出（输出）方程的两个不相等的实数根x0=，x2=；若Δ＜0，则输出原方程无实根；否则有两个不相等的实数根，即一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根有三种情况，分别受Δ＞0,Δ=0,Δ＜0三个条件的制约，不论解出（输出）哪种情况，程序都结束.
14.某银行推出了95599电话银行代缴费业务，具体业务流程如下图4-1-12：
图4-1-12
如果缴纳电费，按照这个流程图，应该怎样操作？
解：交纳电费的操作步骤如下：
第1步：拨通95 599电话；
第2步：按1；
第3步：按5；
第4步：按1；
第5步：按2.
15.某中学图书馆判定了如下的图书借阅程序：
（1）入库：存放随身携带的物品→按顺序排队→出示本人借阅证→领取代书牌→入库；
（2）找书：从书架上取出一本书刊，将代书牌插放到该书刊的位置上→不阅览或不借，则把书刊放回原处→取出代书牌；
（3）阅览：取出要阅览的书刊（每人每次仅限一册）→将代书牌插到该书刊的位置上→就座阅览→阅毕将书刊放回原处→取出代书牌；
（4）借书：若借某本书，则取出代书牌→将图书、借书证、代书牌一起交给工作人员→办理手续；
（5）出库：机器安全检测→排队领取所借图书→检查图书是否完好；
（6）还书：按顺序排队→把书交给工作人员→工作人员检查图书是否完好并办理手续→离开还书处.
设计流程图，表述上述图书借阅程序.
解：结构图如下图所示
4.2 结构图
自主广场
我夯基 我达标
1.下面图4-2-4的知识结构图是_____________形结构.（ ）
A.树形 B.环形 C.对称形 D.左右形
思路解析:知识结构图通常以“树形”的形状出现.
答案:A
2.
图4-2-5
在图4-2-5结构中，有___________________个“环”形结构.（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析:有4个“环”形结构，分别为：
答案:D
3.某一企业组织结构图如下图4-2-6：
图4-2-6
其中，董事长直接下属_____________个部门.（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析:由框图可知董事长直接下属总裁和董士长助理两个部门.
答案:B
4.图4-2-7是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则计划受影响的主要要素有（ ）
图4-2-7
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路解析:“计划”受影响的主要因素有政府行为，社会需求和策划部三个主要要素.
答案:C
5.
图4-2-8
在图4-2-8的结构图中“等差数列”与“等比数列”的“下位”要素有______________________、_____________________________、______________________、__________________________.
思路解析:定义、通项公式、性质、前n项和，这四项是两种数列共有的要素.
答案:定义、通项公式、性质、前n项和公式
6.观察图4-2-9结构图可知：
图4-2-9
“极限”包含两大部分内容，数列极限是函数极限的______________________，函数极限是数列极限的______________________.
思路解析:要仔细分清图中的结构，及结构间的关系
答案:特殊化，一般化
7.北京期货商会组织结构设置如下：
（1）会员代表大会下设监事会，会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共同管辖理事会；
（2）会长办公会下设会长，会长管理秘书长；
（3）秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会.
根据以上信息绘制其组织结构图.
解：其结构图如下所示
8.“集合与函数的概念”章节的知识结构图如图4-2-10所示：
图4-2-10
分析结构图，从中可以获得什么样的信息？
解：由知识结构图可知本章分为三大块：集合、函数、映射；集合又细分三部分：含义与表示、集合间的基本关系和集合的运算，函数细分为函数的概念和函数的基本性质两部分，而映射的主要内容是其概念.
9.某地行政服务中心办公分布结构如下：
（1）服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室，综合业务处，督查投诉中心三部门设在一楼，其余局、委办理窗口分布如下：
（2）二楼：公安局、民政局、财政局.
（3）三楼：工商、地税、国税、技监、交通局；
（4）四楼：城建局、人防办、计生局、规划局；
（5）五楼：其余部门办理窗口.
试绘制该服务中心的结构图.
解：该中心的结构图为：
我综合 我发展
10.图4-2-11是高中数学旧教材中“极限”一章节的知识结构图：
图4-2-11
那么在此章节中，“极限”主要是由________________块内容构成.（ ）
A.2 B.5 C.7 D.8
思路解析:“极限”主要是由数列极限和函数极限两块内容构成.
答案:A
11.在图4-2-12的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有_____________个.（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
图4-2-12
思路解析:求：“简单函数的导数”的“上位”要素有基本导数公式，函数四则运算求导法则，和复合函数求导法则.
答案:C
12.画出“数学2”第一章“立体几何初步”的知识结构图.
解：该结构图为：
13.试用结构图表示“数学5”第2章“数列”的知识结构.
解：该章知识结构图为：
14.在工商管理学中，MRP（Material Requirement Planning）指的是物质需求计划，基本GRP的体系结构如图4-2-13所示.从图中你看出影响基本MRP的因素主要有哪些了吗？
图4-2-13
解：由结构图可知，影响基本MRP的因素主要有主生产计划、产品结构、库存状态.
