1.1 独立性检验
课后导练
基础达标
1．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为()
A.99% B.95% C.90% D.无充分依据
解析：由表中数据得x2=≈5.059＞3.841.
所以约有95%的把握认为两变量之间有关系.
答案：B
2.随机变量x2的值x，其值越大，说明两个分类变量间有关系的可能性_________.
答案：越大
3．对于两个分类变量X与Y：
（1）如果x2＞6.635，就约有_________的把握认为“X与Y有关系”；
（2）如果x2＞3.814，就约有_________的把握认为“X与Y有关系”；
（3）如果x2≤2.706，就认为_________显示“X与Y有关系”.
答案：99% 95% 没有充分证据
4．服用某种维生素对婴儿头发稀疏或稠密的影响调查如下：服用维生素的婴儿有60人，头发稀疏的有5人，不服用维生素的婴儿有60人，头发稀疏的有46人，作出列联表.
解：作列联表如下：
头发稀疏
头发稠密
总计
服用维生素
5
55
60
不服用维生素
46
14
60
总计
51
69
120
5．为了研究性格与血型的关系抽取80名被试，血型与性格汇总如下，试判断性格与血型是否相关.
血型
性格
O型或A型
B型或AB型
总计
A型
18
16
34
B型
17
29
46
总计
35
45
80
解：由列联表中的数据得到：
x2=≈2.030≤2.706.
所以认为没有充分的证据显示“血型与性格有关系”.
综合应用
6．在某地区的人口普查表明，该地区共有男人15 729 245人，其中3 497个是聋哑人；共有妇女16 799 031人，其中3 072个是聋哑人，利用假设检验方法判断性别与是否为聋哑人之间是否有关系.
解析：计算x2=62.63＞10.828,
∴有99%的把握认为“性别与是否为聋哑人有关”.
答案：二者有关
7．“五一”黄金周前某地的一旅游票点票价上浮，黄金周过后，统计本地与外地来的游客人数，与去年周期相比，结果如下：
本地
外地
总和
去年
1 407
2 842
4 249
今年
1 331
2 065
3 396
总计
2 738
4 907
7 645
问：票价上浮与游客所处地区是否有关系？
解析：计算x2=30.35＞10.828,
∴有99%的把握认为二者相关.
答案：有关系
拓展探究
8．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n=1 700次观测，列联表如下：
地震
次数
水位
有震
无震
总和
有变化
98
902
1000
无变化
82
618
700
和
180
1520
1700
问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生相关？
解：根据列联表中的数据得到x2==1.59≤2.706,
∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关.
答案：不相关
1.2 回归分析
课后导练
基础达标
1．若回归直线方程中的回归系数b=0，则相关系数()
A.r=1 B.r=-1 C.r=0 D.无法确定
解析：b=,
r=，若b=0，则r=0.
答案：C
2．若某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y=bx+a+e(单位：亿元)，其中b=0.8,a=2,|e|＜?0.5,?如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()
A.10亿 B.9亿 C.10.5亿 D.9.5亿
解析：代入数据y=10+e,因为|e|＜0.5,所以|y|≤10.5，故不会超过10.5亿.
答案：C
3．两相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1003
1005
1010
1011
1014
两变量回归直线方程为（）
A. =0.56+997.4 B. =0.63-231.2
C. =50.2+501.4 D. y=60.4x+400
解析：直接使用回归直线方程的系数公式即可.
答案：A
4．对相关系数r，下列说法正确的是（）
A. |r|越大，相关程度越大
B. |r|越小，相关程度越大
C. |r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大
D. |r|≤1且|r|越接近1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小
解析：由两个变量的相关系数公式可知相关程度的强弱与|r|与1的接近程度有关，|r|越接近1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小.
答案：D
5．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈者数据，及根据这些数据绘制出的散点图
日期
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②若日期与人数具有线性相关关系，则相关系数r与临界值r0.05应满足|r|＞r0.05;③根据此散点图，可能判断日期与人数具有一次函数关系，其中正确的个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
6.用身高（cm）预报体重（kg）满足y=0.849x-85.712，若要找到41.638 kg的人，_________是150 cm.
解析：体重不只受身高的影响，还可能受其他因素的影响.
答案：不一定
7．一家工厂对职工进行技能检查，收集数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
加工时间y（分钟）
12
25
35
48
55
61
64
70
两变量的回归直线方程为__________.
答案：=0.817x+9.5
8．在一段时间内，某种商品价格x（万元）和需求量Y（t）之间的一组数据为
价 格x:1.4 1.6 1.8 2 2.2
需求量Y：12 10 7 5 3
（1）画出散点图；
（2）求出Y对x的回归直线方程，并在（1）的散点图中画出它的图象；
（3）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少（精确到0.01 t）?
解：（1）
（2）采用列表的方法计算a与回归系数b.
序号
x
y
x2
xy
1
1.4
12
1.96
16.8
2
1.6
10
2.56
16
3
1.8
7
3.24
12.6
4
2
5
4
10
5
2.2
3
4.84
6.6
∑
9
37
16.6
62
=1.8 =7.4，
≈-11.5；
=7.4+11.5×1.8=28.1.
Y对x的回归直线方程为
=28.1-11.5x.
（3）当x=1.9时，Y=28.1-11.5×1.9=6.25,
所以价格定为1.9万元，需求量大约是6.25 t.
9．1950～1958年我国的人口数据资料：
年份x
1950
1951
1952
1953
1954
人数y/万人
55 196
56 300
57 482
58 796
60 266
年份x
1955
1956
1957
1958
人数y/万人
61 560
62 828
64 563
65 994
求y关于x的非线性回归方程.
解：根据收集数据，作散点图.
根据已有函数知识，发现样本点分布在某一条指数函数周围，y=c1ec2x(其中c1,c2是待定参数），令z=lny,则有y=ez,
∴ez=elnc1+c2x?,
z=c2x+lnc1=bx+a,
变换后
x
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
z≈lny
10.92
10.94
10.96
10.98
11.01
11.03
11.05
11.08
11.09
由散点图可知，x与z线性相关，故采用一元线性回归模型，由表中数算得：
=1 954,Lxz==1.23,
z=11.01,Lxx==60.
∴b=≈0.021.
a=-b=-30.02.
∴=a+bx=0.021x-30.02,
即lny=0.021x-30.02.
∴y=e0.021x-30.02.
因此，所求非线性回归方程为y=e0.021x-30.02.
综合运用
10．下表是1957年美国旧轿车价格的调查资料.今以x表示轿车的使用年数，y表示相应的年均价格，求y关于x的回归方程.
使用年数x
1
2
3
4
5
平均价格（美元）y
2 651
1 943
1 494
1 087
765
使用年数x
6
7
8
9
10
平均价格（美元）y
538
484
290
226
204
解：
由散点图看出y与x呈指数关系.于是令z=lny.
变换后得数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
z
7.883
7.573
7.309
6.991
6.640
6.288
6.182
5.670
5.420
5.318
由上图可知，各点基本上处于一直线，由表中数据可得线性回归方程=8.165-0.297x.
因此旧车的平均价格对使用年数的非线性回归方程为=e8.165-0.297x.?
11.一般说，一个人的身高越高，他的手就越大，为调查这一问题，对10名高三男生的身高与右手一揸长测量得如下数据：（单位：cm）
身高
168 170 171 172 174 176 178 178 180 181
一揸长
19.0 20.0 21.0 21.5 21.02 2.02 4.02 3.02 2.5 23.0
试建立一揸长y与身高x之间方程.
解：作出散点图（见下图）
可见，身高与右手一揸长之间的总体趋势成一条直线，即它们线性相关.
设线性回归方程=a+bx，
由上述数据可得=174.8，=21.7.
=305 730，=37 986.
∴
=≈0.303.
=-31.246
∴方程为=0.303x-31.246.
拓展探究
12．若样本点（x1,y1）、（x2,y2）…（xn,yn）,
试证明点（）在直线.
证明：我们知道，回归截距和回归斜率分别是使Q（a,b）=
取最小值时a、b的值.由于
Q(a,b)=
=
=
注意到
=
=
=
所以Q(a,b)=
=
=
在上式中，后两项和a、b无关，前两项为非负数，因此要使Q取最小值，当且仅当前两项的值均为0，
则有a=.
2.1.1 合情推理
课后导练
基础达标
1．把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)第七个三角形数是（ ）
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
解析：第七个三角形数为1+2+3+4+5+6+7=28.
答案：B
2．我们把1,4,9,16,25,…这些数称作正方形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如下图),第n个正方形数是（ ）
A. n(n-1) B. n(n+1)
C. n2 D. (n+1)2
解析：第n个正方形数的点可排成每边有n个点的正方形，所以第n个正方形数为n2.
答案：C
3.观察三角形数与正方形数，猜测有可能正确的命题是（ ）
A. 相邻两个三角形数之和是正方形数
B. 相邻两个正方形数之和是三角形数
C. 相邻两个三角形数之差是正方形数
D. 相邻两个正方形数之差是三角形数
答案：A
4.已知扇形的弧长为l，半径为r,类比三角形的面积公：S=，可推知扇形面积公S扇等于（ ）
A. B. C. D. 不可类比
解析：由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得C.
答案：C
5．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是（ ）
A. 白色 B. 黑色
C. 白色可能性大 D. 黑色可能性大
解析：由题图知，三白两黑周而复始相继排列，因36÷5=商7余1，所以第36颗应与第1颗珠子颜色相同，即白色.
答案：A
6.观察下图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A. B. C. D.
解析：图形涉及、、△三种符号；其中与△各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色?符号，即应画上才合适.
答案：A
7.如果对象A和B都具有相同的属性P、Q、R等，此外已知对象A还有一个属性S,而对象B还有一个未知的属性x,由类比推理,可以得出下列哪个结论可能成立（ ）
A. x就是P B. x就是Q C. x就是R D. x就是S
解析：各自另外的属性S只能类比x.
答案：D
8．由“等腰三角形的两底角相等,两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________.
解析：等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比.
答案：各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等
9．设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1·an=0(n≥1,n∈N),试归纳出这个数列的通项公.
解：由a1=1,
2a22-a12+a2·a1=0,
得a2=.
又3a32-2a22+a3·a2=0,
∴a3=.
又4a42-3a32+a4·a3=0,
∴a4=,
归纳猜想：an=.
综合运用
10．设平面内有n个圆两两相交,且没有三个或三个以上的圆相交于同点,它们把平面分成的区域数为p(n),如果该平面内再增一个符合上述条件的圆,把平面分成的区域数为p(n+1),那么p(n)与p(n+1)的递推关系为__________.
解析：第n+1个圆与前n个圆有2n个交点，这2n个交点将第n+1个圆分成2n段弧，每段弧把所在的区域一分为二，就增加了2n个区域.
答案：p(n+1)=p(n)+2n
11．考查下列子:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;…得出的结论是__________.
解析：从数值特征看：式左首数为n时，共有连续2n-1个数，式右为（2n-1）2.
答案：n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
拓展探究
12．（2006湖北高考,15）半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr.①
①可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.
对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的子:__________.②
②可用语言叙述为_______________________.
解析：球的体积函数的导数是球的面积函数.该题考查了类比推理的思想.合情推理的正确与否来源于我们平时知识的积累，从平面到空间，长度对面积、面积对体积，这是我们平时的经验.
答案：(πR3)′=4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
13．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.
解：如下图(1)所示，我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理可得c2=a2+b2.?
于是，类比直角三角形的勾股定理，如图(2)在四面体P—DEF中，∠PDE=∠EDF=∠PDF=90°,我们猜想：S2=S12+S22+S32.
2.1.2 演绎推理
课后导练
基础达标
1．演绎推理是（ ）
A. 部分到整体,个别到一般的推理 B. 特殊到特殊的推理
C. 一般到特殊的推理 D. 一般到一般的推理
答案：C
2．推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①和②
答案：B
3．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S)是9的倍数(M),故某奇数(S)是3的倍数(P).”上述推理是（ ）
A. 小前提错 B. 结论错 C. 正确的 D. 大前提错
答案：C
4．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形不正确.”上述三段论是（ ）
A. 大前提错 B. 小前提错 C. 结论错 D. 正确的
答案：D
5．在三段论法中,M、P、S的包含关系可表示为…（ ）
答案：A
6．三段论“自然数中没有最大的数字(大前提),9是最大的数字(小前提),所以9不是自然数(结论)”中的错误是__________.
解析：9不是最大的数字.
答案：小前提
7．月食时落在月球上的地球的影子,轮廓始终都是圆形的. ①
只有球形的东西,才能在任何情形下投射出圆形的影子. ②
这就证明地球是球形的. ③
以上证明过程是否正确.正确时指出大前提、小前提和结论,不正确时指出错误.
解析：以上证明正确.
②是大前提.
①是小前提.③是结论.
8．如右图所示,在锐角△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D、E是垂足.求证:AB的中点M到D、E的距离相等.
证明：因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，（大前提）
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，（小前提）
所以△ABD是直角三角形.(结论)
同理，△AEB也是直角三角形.
又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，（大前提）
而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，（小前提）
所以DM=AB.(结论)
同理，EM=AB.
所以，DM=EM.
9．已知函数f(x)=+bx,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞),确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.
解：设0＜x1＜x2,则
f(x1)-f(x2)=(+bx1)-(+bx2)=(x2-x1)(-b).
当0＜x1＜x2≤时，则x2-x1＞0,0＜x1x2＜,＞b,
∴f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在（0，］上是减函数.
当x2＞x1≥时,
则x2-x1＞0,x1x2＞,＜b,
∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在［,+∞)上是增函数.
综合运用
10．用三段论的形写出下列演绎推理.
(1)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则此两角不是对顶角.
(2)矩形的对角线相等.正方形是矩形,所以,正方形的对角线相等.
(3)0.332是有理数.
(4)y=sinx(x∈R)是周期函数.
解：(1)
两个角是对顶角则两角相等 大前提
∠1和∠2不相等 小前提
∠1和∠2不是对顶角 结论
（2）每一个矩形的对角线相等 大前提
正方形是矩形 小前提
正方形的对角线相等 结论
（3）所有的循环小数是有理数 大前提
0.332·是循环小数小 前提
所以0.332·是有理数 结论
（4）三角函数是周期函数 大前提
sinx是三角函数 小前提
sinx是周期函数 结论
11．用三段论证明:直角三角形两锐角之和为90°.
证明：因为任意三角形三内角之和是180° （大前提）
而直角三角形是三角形 （小前提）
所以直角三角形三内角之和为180° （结论）
设直角三角形两个内角分别为A、B，则有：
∠A+∠B+90°=180°
因为等量减等量差相等 （大前提）
(∠A+∠B+90°)-90°=180°-90° （小前提）
所以∠A+∠B=90° （结论）
12．在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD(如右图.)求证:ABCD为平行四边形.写出三段论形的演绎推理.
证明：如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形.［平行四边形定义］ 大前提
四边形ABCD中，两组对边分别平行 小前提
四边形ABCD为平行四边形 结论
符号表示为：AB∥DC且AD∥BCABCD为平行四边形.
△ABC≌△CDA
13．证明f(x)=x3+x(x∈R)为奇函数.
证明：满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数 大前提
f(-x)=(-x)3+(-x)
=-(x3+x)
=-f(x) 小前提
∴f(x)=x3+x(x∈R)为奇函数 结论
14．在空间四边形ABCD中,点E、F分别是AB、AD的中点,如右图,求证:EF∥平面BCD.
证明：连结BD,
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD.
又∵EF面BCD,
BD面BCD,
∴EF∥面BCD.
拓展探究
15．数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…),证明:
(1)数列{}是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
证明：（1）∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(n∈N*),
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).
整理得nSn+1=2(n+1)Sn.
∴=2·(n∈N*).
故数列{}是公比为2，首项是1的等比数列.
(2)由（1）知=4·(n≥2).于是
Sn+1=4(n+1)·=4an(n≥2).
又a2=3S1=3,
故S2=a1+a2=4=4a1,
因此对于任意正整数n≥1，都有Sn+1=4an.
2.2.1 直接证明
课后导练
基础达标
1．下面叙述正确的是（ ）
A. 综合法、分析法是直接证明的方法
B. 综合法是直接证法,分析法是间接证法
C. 综合法、分析法所用语气都是肯定的
D. 综合法、分析法所用语气都是假定的
答案：A
2．A、B为△ABC的内角,A＞B是sinA＞sinB的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：A＞Ba＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB.
答案：C
3．已知|x|＜1,|y|＜1,下列各成立的是…（ ）
A. |x+y|+|x-y|≥2 B. x=y
C. xy+1＞x+y D. |x|=|y|
解析：取x=y=0时，|x+y|+|x-y|＜2知A假，取x=0,y=时，知B、D假，C作差可证明.
答案：C
4．下列条件:①ab＞0;②ab＜0;③a＞0,b＜0.其中能使不等式≥2成立的条件个数
为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：≥0.
答案：A
5．要使成立,a、b应满足的条件是（ ）
A. ab＜0且a＞b B. ab＞0且a＞b
C. ab＜0且a＜b D. ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
解析：,
∴.
∴当ab＞0时，有,即b＜a;
当ab＜0时，有,即b＞a.
答案：D
6．命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否成
立（ ）
A. 不成立 B. 成立 C. 不能断定 D. 能断定
解析：a1=S1=-1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5.
由于a1也适合上式，∴an=4n-5(n∈N*).
答案：B
7．在不等边三角形中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足什么条件…（ ）
A. a2＜b2+c2 B. a2=b2+c2
C. a2＞b2+c2 D. a2≤b2+c2
解析：由cosA=＜0知b2+c2-a2＜0,
∴a2＞b2+c2.
答案：C
8．已知α、β为实数,给出下列三个论断.①αβ＞0;②|α+β|＞5;③|α|＞22,|β|＞22.以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论,写出你认为正确的命题是__________.
解析：∵αβ＞0,|α|＞,|β|＞,
∴|α+β|2=α2+β2+2αβ＞8+8+2×8=32＞25.
∴|α+β|＞5.
答案：①③?②
9.已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤.
证法一：（分析法）
要证明2sin2a≤成立，
只要证明4sinαcosα≤.
∵α∈(0,π),
∴sinα＞0.
只要证明4cosα≤.
上式可变形为4≤+4(1-cosα).
∵1-cosα＞0,
∴+4(1-cosα)≥=4,
当且仅当cosα=,即α=时取等号.
∴4≤+4(1-cosα)成立.
∴不等式2sin2α≤成立.
证法二：（综合法）
∵+4(1-cosα)≥4,
(1-cosα＞0当且仅当cosα=即α=时取等号).
∴4cosα≤,
∵α∈(0,π),
∴sinα＞0.
∴4sinαcosα≤.
∴2sin2α≤.
综合运用
10．命题“若sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β）=_______”的结论中的括号内应填（ ）
A. 1 B. -1 C. D. -
答案：D
11．求证:≥|a|-|b|.
证明：（1）当b=0时，不等式显然成立.
(2)当b≠0时，∵|a|＞0,
只需证明|a2-b2|≥|a|2-|a||b|,两边同除以|b|2,
即只需证明,
即|（）2-1|≥|()2|-||.
当||≥1时，
|（）2-1|=|()2|-1≥||2-||,
原不等式成立.
当||＜1时，|a|-|b|＜0,
原不等式成立.
综上所述，原不等式成立.
拓展探究
12．若a＞b＞0,证明:＜a+b-.
证明：欲证原不等式
成立，
即.
因为a＞b＞0,
只需证,
只需证,
即证1+＜2＜1+,
也即证＜1＜,
只需证＜1＜.
因为a＞b＞0，上式显然成立，∴原不等式成立.
2.2.2 间接证明
课后导练
基础达标
1．反证法是（ ）
A. 从结论的反面出发,推出矛盾的证法
B. 对其否命题的证明
C. 对其逆命题的证明
D. 分析法的证明方法
答案：A
2．命题“△ABC中,若∠A＞∠B, 则a＞b”的结论的否定应该是（ ）
A. a＜b B. a≤b C. a=b D. a≥b
解析：“大于”的否定是“不大于”即“小于”或“等于”.
答案：B
3．命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是（ ）
A. 无解 B. 两解 C. 至少两解 D. 无解或至少两解
解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面应该为D.
答案：D
4．如果两个实数之和为正数,则这两个数（ ）
A. 一个是正数,一个是负数 B. 两个都是正数
C. 至少有一个是正数 D. 两个都是负数
解析：由反证法的意义知C真.
答案：C
5．在数列:11,111,1 111,…中（ ）
A. 有完全平方数 B. 没有完全平方数
C. 有偶数 D. 没有3的倍数
解析：易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.
假设有完全平方数，它必为奇数的平方.
设为=(2K+1)2(K为正整数)，
则 0=4K（K+1），两边除以2得
?=2K（K+1），此式左边为奇数，而右边为偶数，自相矛盾.
答案：B
6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说：“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理，可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.
答案：C
7．反证法的关键是推出矛盾,通常可导致哪些方面的矛盾?__________.
答案：与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾，与已知条件相矛盾，与假设自相矛盾等
8．在空间是否存在这样的多面体,它有奇数个面,且它的每个面又都有奇数条边? __________.
解析：假设多面体有n个面（n为奇数），且每个面的边数分别为S1，S2，…，Sn（Si为奇数，i=1,2,…,n），则多面体的总边数为S，因为每条边都是公用的，所以
S1+S2+…+Sn=2S.
这里左边为奇数个奇数的和，为奇数；但右边为偶数，矛盾.
答案：不存在（或不可能有）
9．对于函数f(x)=,找不到这样的正数A,使得在整个定义域内|f(x)|＜A恒成立,试加以证明.
证明：f(x)的定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).
假设存在一个正数A，使得当x≠0时，恒有|f(x)|＜A成立，即||＜A(A＞0)对x≠0恒成立.
我们取x=代入上式，得
＜A,即|2A|＜A.
∵A＞0,∴2A＜A,即2＜1.
这就导致矛盾，于是命题得证.
10．求证:正弦函数没有比2π小的正周期.
证明：假设T是正弦函数的周期，且0＜T＜2π，则对任意实数x都有sin(x+T)=sinx成立，令x=0，得sinT=0,即T=kπ,k∈Z.
又0＜T＜2π,故T=π,从而对任意实数x都有
sin(x+π)=sinx，
这与sin(+π)≠sin矛盾.
所以正弦函数没有比2π小的正周期.
综合运用
11．若a、b、c、d都是有理数,都是无理数,证明当时,必有a=b,c=d.
证明：假设a≠b,令a=b+m(则m是不等于零的有理数)，于是b+m+=b+.
∴m+=,两边平方整理得
,左边是无理数右边是有理数，矛盾，因此a=b.从而又得c=d.
12．试证明抽屉原理:如果将m个物体放在n个抽屉里,则至少有一个抽屉含有［］+1个物体(其中［］表示不超过的最大整数).
命题简单化就是:把5个苹果放进 2个抽屉里,则可断言至少有一个抽屉放着不少于3个的苹果.
证明：（用反证法）
小于m的n的最大倍数是由减去其分数部分所得的整数，即是［］.
假设不存在有一个抽屉含有［］+1个物体，即每个抽屉含的物体最多是［］个，而总共有n个抽屉，所以这n个抽屉所含的物体的总数小于等于n［］≤n·=m-1＜m,这与已知有m个物体矛盾，所以至少有一个抽屉里有［］+1个（或更多）物体.?
拓展探究
13．用反证法证明:若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数,那么方程f(x)=0在区间［a,b］上至多只有一个实根.
思路分析：函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，就是表明对区间［a,b］上任意x1,x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，所以如果反设方程f(x)=0在区间［a,b］上至少有两个根α,β(α＜β) ，则有f(α)=f(β)=0这与假设矛盾.
证明：假设方程f(x)=0在区间［a,b］上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根.
因为α≠β,不妨设α＜β，又因为函数f(x)在［a,b］上是增函数，所以f(α)＜f(β).
这与假设f(α)=0=f(β)矛盾,
所以方程f(x)=0在区间［a,b］上至多只有一个实根.
3.1 系数的扩充
课后导练
基础达标
1．复数1-i的虚部是（）
A.1 B.-1 C.i D.-i
解析：由虚部定义可知B正确.
答案：B
2．设全集I={复数}，R={实数}，M={纯虚?数}，则（）
A.M∪R=I B.
C. D.
解析：∵={实部不为0的虚数}∪R，
∴∩R=R.
答案：C
3．以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是（）
A.3-3i B.3+I C.- +I D. +i
解析：3i-的虚部为3，3i2+i的实部为-3.
∴以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是3-3i.
答案：A
4．i2+i是（）
A.实数 B.虚数 C.0 D.1
解析：∵i2=-1,∴i2+i=-1+i.
答案：B
5．若a、b、c∈C,则(a-b)2+(b-c)2=0是a=b=c的（）
A.充要条件 B.充分但不必要条件
C.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：取a=2+i,b=2,c=1,
则(a-b)2+(b-c)2=(2+i-2)2+(2-1)2=i2+1=-1+1=0.显然a≠b≠c.
∴充分性不成立，必要性显然成立.
答案：C
6．若x是实数,y是纯虚数且满足2x-1+2i=y,则x=_________,y=_________.
解析：由x是实数，y是纯虚数得
∴
答案： 2i
7．若log2（x2-3x-2）+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值（或范围）是_________.
解析：∵log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
∴
∴x=-2.
答案：-2
8．（2006上海高考，理5）若复数z同时满足z-=2i, =iz(i为虚数单位)，则z=_________.
解析：设z=x+yi(x,y∈R)，
则
即 ∴
∴z=-1+i.
答案：-1+i
9．若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数，求实数m的值.
解：∵log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,
∴∴m=4.
故当m=4时，
log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)是纯虚数.
10．已知+(x2-2x-3)i=0(x∈R),求x的值.
解：由复数相等的定义得
解得x=3.
∴x=3为所求.
综合运用
11．m取何实数时，复数z=+(m2-2m-15)i.
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
解：（1）当时，
即
∴m=5时，z是实数.
（2）当时，
即
∴当m≠5且m≠-3时，z是虚数.
（3）当时，
即
∴当m=3或-2时，z是纯虚数.
12．问m为何值时，复数z=(m-1)+(m-1)(m+2)i的值为零.
解析：∵z=0，
∴
∴m=1.
13．设z=log2(a2-3a-3)+i［1+(a+3)］(a∈R),如果z为纯虚数，试求a.
解析：∵z是纯虚数
∴
解①可知a2-3a-3=1，
则a=4或a=-1.
解②可知：a≠-1.
综上所述：a=4.
拓展探究
14．已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
解：∵M∪P=P,∴M?P.
∴由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1.
得解之，得m=1.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
得解之，得m=2.
综上，可知m=1或m=2.
3.2 复数的四则运算
课后导练
基础达标
1．(5-i)-(3-i)-5i等于（）
A.5i B.2-5i C.2+5i D.2
解析：原式=（5-3）+(-1+1-5)i=2-5i.
答案：B
2．已知复数z满足z+i-3=3-i，则z等于（）
A.0 B.2i C.6 D.6-2i
解析：z=(3-i)-(-3+i)=6-2i.
答案：D
3．(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)等于（）
A.(a2+b2)2 B.(a2-b2)2 C.a2+b2 D.a2-b2
解析：原式=（a2+b2）(a2+b2)=(a2+b2)2.
答案：A
4．若(z-1)2=-1,则z的值为（）
A.1+I B.1±I C.2+I D.2±i
解析：经验证，选B.
答案：B
5．已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：z=z2-z1=（1+2i）-(2+i)=-1+i.
答案：B
6．复数4+3i与-2-5i分别表示向量与，则向量表示的复数是_________.
解析：∵由（-2-5i）-（4+3i）=-6-8i,知表示的复数是-6-8i.
答案：-6-8i
7．（）6+()6=_________;若n为奇数，则()4n+()4n=_________.
解析：
=［（-）3］2+［（）3］2
=1+(-1)2=2.
=［（）2］2n+［（）2］2n
=i2n+(-i)2n=(-1)n+(-1)n=-2.
答案：2 -2
8．对于n个复数z1,z2,…,zn，如果存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn，使得k1z1+k2z2+…+knzn=0,就称z1,z2,…,zn线性相关.若要说明z1=1+2i,z2=1-i,z3=-2线性相关，那么可取{k1,k2,k3}=_________.（只要写出满足条件的一组值即可）.
解析：k1(1+2i)+k2(1-i)+k3(-2)=0,
∴(k1+k2-2k3)+(2k1-k2)i=0.
∴
不妨取k1=1,则k2=2,k3=.
即{k1，k2,k3}={1，2，}.
答案：{1，2，}
9．设复数z=a+bi满足z2=3+4i，求z.
解：∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,z2=3+4i,
∴a2-b2+2abi=3+4i.
∴ 或
∴z=2+i或z=-2-i.
10．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i，-1+i，-2-2i，求第四个顶点所对应的复数.
解：设正方形的三个顶点Z1、Z2、Z3对应的复数分别为1+2i、-2+i、-1-2i;点Z4为正方形的第四个顶点,
它对应的复数为x+yi,则.
∴(-2+i)-（1+2i）=(-1-2i)-(x+yi),
即-3-i=(-1-x)+(-2-y)i.
∴即
∴第四个顶点对应的复数为2-i.
综合运用
11．设复数z1=a+bi，并且a2+b2=25,z2=3+4i，z1·z2是纯虚数，求z1.
解：z1·z2=(a+bi)(3+4i)=(3a-4b)+(4a+3b)i.
∵z1·z2是纯虚数,
∴3a-4b=0且4a+3b≠0, ①
且a2+b2=25. ②
由①和②，得
∴z1=4+3i或z1=-4-3i.
12．计算()12.
解析：∵()3
=()3+3·（）2·i+3··（i）2+(i)3
=
=-1，
∴()12=［（）3］4
=(-1)4=1.
13．已知z是复数,z+2i，均为实数（i为虚数单位）且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
解：设z=x+yi(x,y∈R)，
z+2i=x+(y+2)i∈R则y+2=0， ①
∈R，
则x+2y=0. ②
解①②联立方程组得
∴z=4-2i,
∴(z+ai)2=(4-2i+ai)2=［4+（a-2）i］2
=16-(a-2)2+8(a-2)i.
由于（z+ai）2对应的点在第一象限,
∴解得2
拓展探究
14．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0,则代数式2 005+()2 005的值是多少？
解：∵x2+xy+y2=0,
∴()2++1=0,
故=ω或.
而当=ω时，=,则
原式=
=
=
=
3.3 复数的几何意义
课后导练
基础达标
1．i2+i3+i4对应的点在（ ）
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第三象限
解析：∵i2+i3+i4=-1-i+1=-i,∴B正确.
答案：B
2．z1=1+2i、z2=2-i、z3=、z4=对应的点（ ）
A.在圆|z|=2上 B.在|z|=5上
C.在圆|z|2=5上 D.不共圆
解析：∵|z1|=,|z2|=,|z3|=,|z4|=,∴C正确.
答案：C
3．如果向量=0，则下列说法中正确的个数是（ ）
①点Z在实轴上 ②点Z在虚轴上 ③点Z既在实轴上，又在虚轴上
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①②③正确.
答案：D
4．若=（0，-3），则对应的复数（ ）
A.等于0 B.等于-3
C.在虚轴上 D.既不在实轴上，也不在虚轴上
解析：向量对应的复数为-3i.
答案：C
5．复数2-3i对应的点在直线_________上（ ）
A.y=x B.y=-x
C.3x+2y=0 D.2x+3y=0
解析：复数2-3i对应的点为（2，-3），经验证在3x+3y=0上.
答案：C
6．满足条件|z|<3的复数z在复平面内对应的点Z的集合是__________.
解析：由复数的几何意义可知.
答案：以原点为圆心，3为半径的圆的内部
7．已知复数z=x-2+yi的模是，则点（x,y）的轨迹方程是__________.
解析：由|x-2+yi|=22,得(x-2)2+y2=8.
答案：(x-2)2+y2=8
8．复数z=x+3+i(y-2),(x,y∈R)且|z|=2,则点（x,y）的轨迹方程是__________.
解析：∵=2,
∴(x+3)2+(y-2)2=4.
答案：(x+3)2+(y-2)2=4
9．已知|z|=2+z-4i,求复数z.
解析：设z=x+yi(x、y∈R),则由题意知
=2+x+iy-4i=(x+2)+(y-4)i,
∴即
∴z=3+4i.
10．已知向量与实轴正向的夹角为45°，向量对应的复数z的模为1，求z.
解：设z=a+bi(a、b∈R).
∵与x轴正向的夹角为45°,|z|=1,
∴或
∴
∴z=或z=.
综合运用
11．实数x分别取什么值时，复数z=x2+x-6+(x2-?2x-15)i表示的点：（1）在实轴上？（2）在虚轴上？
解：(1)当x2-2x-15=0,即x=-3或x=5时，复数z对应的点在实轴上.
（2）当x2+x-6=0,即x=2或x=-3时，复数z对应的点在虚轴上.
12．设z是虚数，ω=z+是实数，且-1<ω<2.求|z|的值及z的实部的取值范围.
解析：∵z是虚数，∴可设z=x+yi(x,y∈R且y≠0)，
ω=z+=(x+yi)+=x+yi+
=(x+)+(y-)i，
∵ω为实数且y≠0,
∴1-=0，
即x2+y2=1,∴|z|=1此时ω=2x,
由-1<ω<2得-1<2x<2.
∴-即z的实部的范围是（-，1）
13．已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈(0,2π)，设对应的复数为z.
（1）求复数z;
(2)若复数z对应的点P在直线y=x上，求θ的值.
解：（1）z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i(cos2θ-1)
=-1-2sin2θ·i.
（2）点P的坐标为(-1,-2sin2θ),
由点P在直线y=x上,得-2sin2θ=-.
所以sin2θ=,则sinθ=±.
因为θ∈(0,2π),所以θ=,,,.
拓展探究
14．若复数z满足|z++i|≤1,求：
（1）|z|的最大值和最小值；
（2）|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值；
（3）|z-|2+|z-2i|2的最大值和最小值.
解：（1）如下图所示,||==2.
∴|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
(2)|z-1|2+|z+1|2=2|z|2+2.
∴|z-1|2+|z+1|2的最大值为20，最小值为4.
（3）如右图，在圆面上任取一点P，与复数z1=，z2=2i的对应点A、B相连，得向量，再以为邻边作平行四边形将问题再次转化为（1）的类型.
设za=,zb=2i,P为圆面上任一点，zP=z.
则2||2+2||2=||2+(2||)2
=7+4||2,
∴|z-|2+|z-2i|2=(7+4|z--i|2).
而|z--i|max=|O′M|+1=1+,
|z--i|min=|O′M|-1=-1,
∴|z-|2+|z-2i|2的最大值为27+，最小值为27-.
4.1 流程图
课后导练
基础达标
1．下列说法正确的是（）
A.流程图只有1个起点和1个终点
B.程序框图只有1个起点和1个终点
C.工序图只有1个起点和1个终点
D.以上都不对
解析:程序框图只有一个起点“开始”和一个终点，“结束”.
答案:B
2．下列关于逻辑结构与流程图的说法正确的是（）
A.一个流程图一定会有顺序结构
B.一个流程图一定含有条件结构
C.一个流程图一定会有循环结构
D.以上说法都不对
解析:一个流程图一定含有顺序结构,但不一定含有条件结构、循环结构.
答案:A
3．表示旅客搭乘火车的流程正确的是（）
A.买票→候车→上车→检票
B.候车→买票→上车→检票
C.买票→候车→检票→上车
D.候车→买票→检票→上车
解析:按照时间的先后顺序,显然是选C.
答案:C
4．给出以下一个算法的程序框图,该程序框图的功能是（）
A.求出a、b、c三数中的最大数
B.求出a、b、c三数中的最小数
C.将a、b、c按从小到大排列
D.将a、b、c按从大到小排列
解析:由程序框图知,先比较a、b,把小者赋给a,再比较a,c,把小者赋给a,并输出a,从而输出的是a、b、c中最小数.
答案:B
5．读下面程序框图,说明输出结果（）
A.1 B.3 C.4 D.6
答案：C
6.某一算法流程图如下,输入x=1得结果__________.
答案：-
7.流程图一般要按照_________、_________的顺序来画.
答案：从左到右 从上到下
8.下图为方程ax+b=0求解的流程图,据此输入a=1,b=2可得结果_________.如果再输入a=0,b=1可得结果_________.
答案：-2 无法求值
9.写出求过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率的算法步骤,并画出流程图.
解析:算法步骤:第一步:输入x1,y1,x2,y2;
第二步:如果x1=x2,输出“斜率不存在”，否则,k=;第三步：输出k.相应的流程图如下：
10.高考成绩公布后,考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误,可以在规定的时间申请查分:
(1)本人填写《查分登记表》，交县（区）招办申请查分，县（区）招办呈交市招办，再报省招办.
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知.
(3)市招办接通知，再由县（区）招办通知考生.
试画出该事件流程图.
综合运用
11．已知一个数列的前n项和公式Sn，用自然语言写出求该数列的通项an的算法步骤，并画出流程图.
解析：算法步骤：第一步：先求S1此时，a1=S1;
第二步：作Sn-Sn-1，此时an=Sn-Sn-1;
第三步：验证a1,能否并入an中，若能则并入，若不能则分开写.
流程图如下:
12．按有关规定在国内投寄平信，每封信的重量x(g)不超过60的邮费（分）的标准为：
设计一个计算邮费的流程图.
拓展探究
13．相传古代印度国王舍罕要褒赏他聪明能干的宰相达依尔（国际象棋的发明者），问他需要什么，达依尔说：“国王只要在国际象棋的棋盘第一格子里放一粒麦子，第二个格子里放两粒，第三个格子里放四粒，以后按此比例每一格加一倍，一直放到第64格（国际象棋是8×8=64格）,我就感恩不尽，其他什么也不要了.”国王想：“ 这有多少，还不容易！”让人扛来一袋小麦，但不到一会儿就全用没了；再来一袋很快又没有了，结果全印度的粮食都用完还不够，国王很奇怪，怎么也算不清这笔账.一个国际象棋棋盘一共能放多少麦粒?
试设计一个程序流程图解决此问题.
解:方法一:依题意知,每个格放的麦粒数分别为20,21,22,…，263，问题转化为求1+21+22+23+24+…+263的和的问题.我们可引入一个累加变量sum,一个计数变量i.
方法二:由等比数列前n项和公式Sn=,赋值a1=1,q=2,n=64,亦可行.
14．根据程序画流程图.
程序为:
sum=0
i=0
while i≤6
sum=sum+2∧i
i=i+1
wend
print s
end
解:流程图为：
4.2 结构图
课后导练
基础达标
1．下列关于结构图的说法不正确的是（）
A.结构图中各要素之间通常表现概念上的从属关系和逻辑上的先后关系
B.结构图都是“树形”结构的
C.简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点
D.复杂的结构图能更详细地反映了系统中各细节要素及其关系
答案：B
2．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是（）
A.流程图用来描述一个动态过程
B.结构图用来刻画系统结构的
C.流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系
D.结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系
答案：D
3．下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是（）
答案：C
4.下列结构图中要素之间表示从属关系的是（）
答案：C
5.下列框图中，是流程图的是（）
答案：C
6.结构图反映了各要素之间的________关系和________关系.
答案：从属 逻辑的先后
7．从属关系通常是________形结构的，即构成系统的要素一般至少有一个________或________要素，表达逻辑先后关系常会出现________形结构.
答案：树 “上位” “下位” 环
8．一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为________，上位要素比下位要素更为________，下位要素越多，结构图越________.
答案：具体 抽象 复杂
9．某校学生会由学生会主席下属管理两个副主席，而两个副主席又分别管理生活、学习、宣传和体育、文艺、纪检部门等各部门，又由部长管理本部门，试画出学生会组织结构图.
解:
10．画出《数学·必修1》第三章“函数的应用”的知识结构图.
解:
综合运用
11.某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室、保卫科、政教处、总务处.各科室共同管理和服务各班级.试画出该校的行政组织结构图.
解:该校行政组织结构图如下:
12.画出《数学·必修2》中“直线与方程”一章的知识结构图.
解:
13.某地行政服务中心办公分布结构如下：
（1）服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督察投诉中心，三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布如下：
（2）二楼：公安局、民政局、财政局；
（3）三楼：工商、地税、国税、技监、交通局；
（4）四楼：城建局、人防办、计生局、规划局；
（5）五楼：其余部门办理窗口.
试绘制该中心结构图.
解:
拓展探究
14.画出《数学·必修2》中“点、直线、平面之间的位置关系”的章节知识结构图.
解：
