4.1.1 直角坐标系
同步侧控
我夯基,我达标
1.如图，在正方体OABC—O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且｜EB｜=2｜EB1｜，则点E的坐标为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.（2，2，1） B.（2，2，）
C.（2，2，） D.（2，2，）
解析：设E(x,y,z),由EB⊥平面xOy及棱长为2知x=2,y=2.由｜EB｜=2｜EB1｜知EB=,所以z=,即E（2，2，）.
答案：D
2.平行四边形ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是（-1，2）、（3，0）、（5，1），则D的坐标是（ ）
A.（9，-1） B.（-3，1） C.（1，3） D.（2，2）
解析：平行四边形对边互相平行,即斜率相等,可求出D点坐标.设D(x,y),则,即∴故D(1,3).21*cnjy*com
答案：C
3.已知点E的坐标是（2，2，），则E点关于z轴的对称点E′的坐标为（ ）
A.（-2，-2，1） B.（-2，-2，） C.（-2，-2，） D.（2，2，）
解析：求对称点时,关于哪个轴对称，哪个坐标不变，其余相反.
答案：C
4.点（2，0，3）在空间直角坐标系的位置是（ ）
A.y轴上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限内
解析：画出坐标系，找到点（2，0，3）的位置，可知在xOz平面上.
答案：C
5.点M（2，-3，1）关于坐标原点的对称点是（ ）
A.（-2，3，-1） B.（-2，-3，-1）
C.（2，-3，-1） D.（-2，3，1）
解析：点关于原点对称时，每个轴上坐标都互为相反数.
答案：A
6.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为1，求B1关于平面xOy对称的点的坐标，B1关于原点O对称的点的坐标.2·1·c·n·j·y
思路分析：可以设出点的坐标，然后根据对称的性质列方程组求解.
解：设B1关于平面xOy的对称点为P（x0，y0，z0）,可知B为B1P的中点，又B（1，1，0），B1（1，1，1），∴得∴P(1,1,-1).【出处：21教育名师】
再设B1关于原点O对称的点为M（x1,y1,z1），可知O为B1M的中点，又O（0，0，0），B1（1，1，1），∴得∴M(-1,-1,-1).
7.有一种大型商品，A、B两地都有销售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，每千米运回的费用：A地是B地的3倍，已知A、B两地相距10千米，顾客选A或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购买地点.
思路分析：将问题看作数学中的不等关系，建立适当的坐标系，利用坐标法列式求解.
解：如图，以A、B所确定的直线为x轴，AB中点O为坐标原点建立直角坐标系，则A（-5，0）、B（5，0）.设某地P的坐标为（x,y），且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米.所以3a≤a.因为a＞0，所以3≤.两边平方，得9（x+5）2+9y2≤（x-5）2+y2,即（x+）2+y2≤（）2，所以以点（，0）为圆心，为半径长的圆是这两地售货区域的分界线.21·cn·jy·com
圆内的居民从A地购买便宜；
圆外的居民从B地购买便宜；
圆上的居民从A、B两地购买的总费用相等，可随意从A、B两地之一购买.
我综合,我发展
8.在空间直角坐标系中，已知点M（a,b,c），关于下列叙述:
①点M关于x轴的对称点的坐标是M1（a，-b，c）;②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标是（a，-b，-c）;③点M关于y轴对称的点的坐标是M3（a，-b，c）;④点M关于原点对称的点的坐标是M4（-a，-b，c）.21*cnjy*com
其中正确叙述的个数是（ ）
A.3 B.2 C.1 D. 0
解析：①②③④全错.
答案：D
9.△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是____________.
解析：取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则B（-2，0）,C（2，0），D（0，0）.21·世纪*教育网
设A（x,y），所以｜AD｜=.
答案：x2+y2=9(y≠0)
10.在河CM的一侧有一塔CD=5m，河宽BC=3m，另一侧有点A，且AB=4m，求点A与塔顶D的距离AD.21教育网
思路分析：可以建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，利用两点间的距离公式求AD长.解：以C点为原点，CB、CD、CM所在的直线分别为x轴、z轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（3，4，0），D（0，0，5）.【版权所有：21教育】
所以｜AD｜=（m），
即点A与塔顶D的距离AD等于 m.
11.正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，CM=BN=a（0＜a＜）.
（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN的长最小？
思路分析：本题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷，又易行的方法.方法的对照比较，也更体现出坐标法解题的优越性.
解：（1）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE，
所以BE⊥平面ABC.
所以AB、BC、BE两两垂直.
以B为原点，分别以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M（a,0,1-a），N（a,a,0）.则
｜MN｜=.
（2）由（1）知当a=时，｜MN｜最短，长度为.
此时，M、N恰为AC、BF的中点.
12.如图，已知A、B、C是直线m上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线m于点A，又过B、C作⊙O′异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，【来源：21cnj*y.co*m】
(1)当⊙O′的半径改变时，求点P的轨迹方程;
(2)经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成比等于2∶3，求直线l的方程.
思路分析：（1）先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；（2）根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.2-1-c-n-j-y
解：（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,
∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|,
∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.
以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是(a＞b＞0).
∵a=9,c=3,∴b2=72.
∴P点的轨迹方程是(y≠0).
（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为2∶3,
则
整理，得
又,
∴.由 ①
又, ②
由①②消去y2,得.
解之，得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).
∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.
13.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.21世纪教育网版权所有
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=,柱体体积为底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）www-2-1-cnjy-com
思路分析：（1）当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；（2）当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到半个椭圆面积的最小值.
解：（1）如图建立坐标系,则点P的坐标为(11,4.5),椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=.∴l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3米.
（2）由椭圆方程及P点坐标,得.
因为≥,
即ab≥99,且l=2a,h=b,
所以S=lh=≥.
当S取最小值时,有,得a=,b=.
此时,l=2a=≈31.1,h=b≈6.4.
故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.
我创新，我超越
14.设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？www.21-cn-jy.com
思路分析：注意到村落为圆形，且A、B两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为原点，以开始时A、B的前进方向为x、y轴，建立直角坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件.21教育名师原创作品
解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设A出发x0小时，在点P处改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点坐标分别为(3vx0,0),(0,vx0+vy0).由｜OP｜2+｜OQ｜2=｜PQ｜2，知(3vx0)2+(vx0+vy0)2=（3vy0）2，即(x0+y0)(5x0-4y0)=0.21cnjy.com
∵x0+y0＞0，∴5x0=4y0①.将①代入k PQ=,得kPQ=.
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置.
设直线y=x+b与圆O：x2+y2=9相切，则有,且b＞0，∴b=.
答：A、B两人的相遇点在离村中心正北千米处.
4.1.2 极坐标系
同步测控
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1.点P的直角坐标为（-，），那么它的极坐标可表示为（ ）
A.（2，） B.（2，） C.（2，） D.（2，）
解析：方法一：因为点P（-，）在第二象限，与原点的距离为2，且OP的倾斜角为,故选B.方法二：代入坐标互化公式直接求解.21·cn·jy·com
答案：B
2.极坐标系中，与点（3，）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ）
A.（3，） B.（3，） C.（3，） D.（3，）
解析：关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数（或再相差2kπ,k∈Z）.
答案：B
3.将点P的极坐标（2，）化为直角坐标是_______________.
解析：因为x=2cos=-1,y=2sin=-,所以直角坐标为（-1，-）.
答案：（-1，-）
4.极坐标系中，点A的极坐标是（3，），则
（1）点A关于极轴对称的点的极坐标是；_______________
（2）点A关于极点对称的点的极坐标是；_______________
（3）点A关于直线θ=的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ＞0，θ∈［0，2π)）www.21-cn-jy.com
解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.【来源：21·世纪·教育·网】
关于极轴对称 关于极点对称
关于θ=对称
答案：（1）（3，）（2）（3，）（3）（3，）
5.已知两点的极坐标A（3，）、B（3，），则｜AB｜=_____________，AB与极轴正方向所夹的角为_____________.2·1·c·n·j·y
解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得｜AO｜=｜BO｜=3，∠AOB=，即△AOB为正三角形.所以直线AB与x轴的夹角为,则AB与极轴的正方向所夹的角为+=.21·世纪*教育网
答案：3
6.如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点D（2，），E（4，），F（3.5，）所在的位置.2-1-c-n-j-y
思路分析：关键是确定点的极径ρ和极角θ.
解：由图可得点A，B，C的极坐标分别为（1，0），（4，），（5，）.
点D，E，F的位置如上图所示.
7.中央气象台在2004年7月15日10:30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440千米的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0,0≤θ＜2π).21cnjy.com
思路分析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标.
解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为1千米）建立极坐标系，则台风中心所在位置的极坐标为A（440，）.www-2-1-cnjy-com
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8.已知点A（ρ1，θ1）、B（ρ2，θ2）的极坐标满足条件ρ1+ρ2=0且θ1+θ2=π，则A、B的位置关系是_____________.21*cnjy*com
解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设B(x2,y2),则x2=ρ2cosθ2=-ρ1cos(π-θ1)=ρ1cosθ1,y2=ρ2sinθ2=-ρ1sin(π-θ1)=-ρ1sinθ1,∴A、B关于x轴对称，即在极坐标系内，A、B关于极轴对称.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：关于极轴对称
9.在极坐标系中，已知两点A（3，），B（1，），求A、B两点间的距离.
思路分析：数形结合，根据A，O，B位置关系直接求解.
解：∵∠AOB=-（）=π，∴A，O，B三点共线.
∴A、B两点间的距离为｜AB｜=3+1=4.
10.已知A、B两点的极坐标分别为（1，）、（2，），求A、B两点间的距离.
思路分析：数形结合，由余弦定理求AB的长.
解：∵｜OA｜=1，｜OB｜=2，∠AOB=-=，
∴由余弦定理得
｜AB｜2=12+22-2×1×2cos=3.
∴｜AB｜=，
即A、B两点间的距离为.
11.在极轴上求与点A（，）距离为5的点M的坐标.
思路分析：题目要求的点M在极轴上，可设点M（r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的，A、M两点之间的距离为5，所以可以根据余弦定理求出点M的坐标来.
解：设M（r,0）,
∵A(,)，
∴｜AM｜==5,
即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.
∴M点的坐标为（1，0）或（7，0）.
12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.21教育网
解：如下图所示，以AB所在直线为极轴，点A为极点建立极坐标系.
则教学楼A（0，0），体育馆B（60，0），图书馆C（120，），实验楼D（60，），办公楼E（50，）.【出处：21教育名师】
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13.在直角坐标系中，以点（x0,y0）为极点，以x轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）.
思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论.
解：由直角坐标的平移公式
得即
14.如图,求A（ρ1，θ1）、B（ρ2，θ2）、C（ρ3，θ3）围成的△ABC的面积.
思路分析：根据已知条件知OA、OB、OC的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公式S=absinθ间按求S△ABC.21世纪教育网版权所有
解：S△ABC=S△ABO+S△BCO-S△ACO
=ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)
-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)=［ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)］.
4.1.3 球坐标系与柱坐标系
同步测控
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1.设点M的直角坐标为（-1，，3），则它的柱坐标是（ ）
A.（2，，3） B.（2，，3） C.（2，，3） D.（2，，3）
解析：∵ρ==2，θ=，z=3,
∴M的柱坐标为（2，，3）.
答案：C
2.设点M的直角坐标为（-1，-1，），则它的球坐标为（ ）
A.（2，，） B.（2，，）
C.（2，，） D.（2，，）
解析：由坐标变换公式，得r==2,cosθ==,
∴θ=.tanφ==-=1,∴φ=.∴M的球坐标为（2，，）.
答案：B
3.已知点M的球坐标为（4，，），则它的直角坐标为______________，它的柱坐标是______________.21世纪教育网版权所有
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.
答案：（-2，2，2）（2，，2）.
4.设点M的柱坐标为（2，，7），则它的直角坐标为______________.
解析：∵ρ=2,θ=,z=7,
∴x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1.
∴点M的直角坐标为（，1，7）.
答案：（，1，7）
5.在球坐标系中，方程r=1表示，方程θ=表示空间的______________.
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状.
答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为,中心轴为z轴的圆锥面
6.设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为（R，45°，70°），点B的坐标为（R，45°，160°），求A、B两点的球面距离.21*cnjy*com
思路分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离.【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图，由点A、B的球坐标可知，∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°-45°=45°圈上.设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ=70°,∠xOH=160°，∴∠AO′B=160°-70°=90°.www-2-1-cnjy-com
∵OB=R，∴O′B=O′A=R.
∴AB=R.则AO=BO=AB=R.
∴∠AOB=60°.∴=·2πR=R.
即A、B两点间的球面距离为R.
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7.已知点P的柱坐标为（，，5），点B的球坐标为（，，），则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为（ ）【出处：21教育名师】
A.P点（5，1，1），B点（，，）
B.P点（1，1，5），B点（，，）
C.P点（，，），B点（1，1，5）
D.P点（1，1，5），B点（，，）
解析：此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为【来源：21·世纪·教育·网】
设P点的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=×=1,y=sin=1,z=5.
设B点的直角坐标为(x,y,z),则x=sincos=××=,
y=sinsin=××=,z=cos=×=.
所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(,,).选B.
答案：B
8.如图，在柱坐标系中，长方体ABCO-A1B1C1O1的一顶点在原点,另两个顶点坐标为A1（4，0，5），C1（6，，5），则此长方体外接球的体积为______________.21·世纪*教育网
解析：由顶点的柱坐标求出长方体的三边长,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.
由长方体的两个顶点坐标A1(4,0,5),C1(6,,5),
可知OA=4,OC=6,OO1=5.
则对角线长为.
那么球的体积为·π·()3=.
答案：
9.用两平行平面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A（25，arctan，θA）、B（25，π-arctan,θB）,求出这两个截面间的距离.
思路分析：根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO2中求出OO1及OO2的长度,从而可得两个截面间的距离O1O2.21教育网
解：由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,即在△AOO1中,tan∠AOO1==；www.21-cn-jy.com
在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==.
∵OA=25,∴OO1=7；
又∵OB=25,∴OO2=20.
则O1O2=OO1+OO2=7+20=27，
即两个截面间的距离O1O2为27.
10.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线OX为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A（R，，）、B（R，，），从A到B，飞机应该走怎样的航线最短，其最短航程为多少？
思路分析：我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走A、B两地的大圆时,航线最短,所走的航程实际上是求过A、B两地的球面距离.
解：如图所示,因为A(R,,),B(R,,),
可知∠AOO1=∠BOO1=.
又∠xOC=,∠xOD=,
∴∠COD=-=.
∴∠AO1B=∠COD=.
在Rt△OO1B中,∠O1OB=,OB=R,
∴O1B=R.同理，O1A=R.
∵∠AO1B=,∴AB=R.
在△AOB中,AB=OB=OA=R,
∴∠AOB=.
则经过A,B两地的球面距离为R.
即走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其最短航程为R.
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11.结晶体的基本单位称为晶胞，图（1）是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，如图（2），建立空间直角坐标系O—xyz后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.21cnjy.com
思路分析：在空间直角坐标系中,我们需要找点的x,y,z；在柱坐标系中,需要找到ρ,θ,z；在球坐标系中,需要找到r,θ,φ.2·1·c·n·j·y
解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.
下层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,,0),(,,),(1,,),(,,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(1,,0),(,,0)；21·cn·jy·com
中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别2-1-c-n-j-y
为(,,0),(arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,,)；
上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,,0),(,arctan,),(,,),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,,1),(1,,1),(,,1).
4.2.1 曲线的极坐标方程的意义
同步测控
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1.下列各点在方程ρ=8sinθ表示的曲线上的是（ ）
A.（8，） B.（，） C.（4，） D.（8，）
解析：代入验证，A、B、D都不对，C对.
答案：C
2.直线l1:ρsin(θ+α)=a和l2:θ=-α的位置关系是（其中θ为极角，α为常量）（ ）
A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1和l2重合 D.l1和l2斜交
解析：可以先化为直角坐标方程然后判断位置关系.
答案：B
3.如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，则直线l的极坐标方程是（ ）
A.ρ= B.ρ=
C.ρ= D.ρ=
解析：由ρ=，知ρcosθ-2ρsinθ=1,即x-2y=1.故直线l的直角坐标方程为x+2y-1=0.化为极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ-1=0,化简即为ρ=.
答案：A
4.极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为.
解析：本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式： 将ρ、θ消去,换成字母x、y即可.
因为ρ=可化为ρ=,即ρ=,
去分母,得ρ=2+ρcosθ，即x2+y2=(2+x)2,整理可得.
答案：y2=4(x+1)
5.判断点O（0,)是否在曲线ρ=sin2θ上.
解：由于O为极点，只需判断曲线是否过极点就行了，而sin2θ=0显然有解，故O（0，）在曲线ρ=sin2θ上.21·cn·jy·com
6.若以直角坐标系的原点作极点，x轴正半轴作极轴，化下列方程为极坐标方程.
（1）;(2);(3)y2=2px.
思路分析：本题考查直角坐标方程转化为极坐标方程，可用x=ρcosθ,y=ρsinθ代入直接得到.
解：（1）将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入方程，得
b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即
即以椭圆中心为极点的极坐标方程为
ρ2=.
(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入方程，得
即以双曲线中心为极点的极坐标方程为
ρ2=.
（3）将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入方程，得ρ=,
即以抛物线的顶点为极点，对称轴为极轴时，抛物线的极坐标方程为ρ=.
我综合，我发展
7.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为（ ）
A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4www.21-cn-jy.com
C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=421·世纪*教育网
解析：ρ=4sinθ,即ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.
答案：B
8.极坐标方程ρ2cos2θ-2ρcosθ=1表示的曲线是（ ）
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.双曲线
解析：∵ρ2cos2θ-2ρcosθ=1,
∴ρ2·(cos2θ-sin2θ)-2ρcosθ=1,
ρ2cos2θ-2ρcosθ+1-ρ2sin2θ=2,
(ρcosθ-1)2-ρ2sin2θ=2.
令ρcosθ=x,ρsinθ=y,则(x-1)2-y2=2.
∴曲线表示双曲线.
答案：D
9.极坐标方程ρ=cos(-θ)表示的曲线是（ ）
A.双曲线 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
解析：∵ρ=(cosθ+sinθ),∴ρ2=ρcosθ+ρsinθ.
∴直角坐标方程为（x2+y2)=x+y，表示圆.
答案：D
10.圆ρ=10cos(-θ)的圆心坐标是（ ）
A.（5，0） B.（5，-)
C.(5, ) D.(5,2)
解析：可以先化为直角坐标方程x2+y2-5x-5y=0，得圆心坐标为（,)，化为极坐标为（5，）.21世纪教育网版权所有
答案：C
11.已知点P的坐标为（1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）
A.ρ=1 B.ρ=cosθ
C.ρ= D.ρ=
解析：数形结合求直线的方程，关键是找出等量关系.
答案：C
12.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.2·1·c·n·j·y
思路分析：先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.
解：如图，以O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0.
由知代入有cosθ+sinθ-1=0,
∴ρ=2cosθ+4sinθ,表示一个圆(ρ≠0).
我创新，我超越
13.设圆C：ρ=10cosθ与极轴交于点A，由极点O引圆C的弦OQ，延长OQ至P，使|QP|=|AQ|，如图，求动点P的轨迹.【来源：21·世纪·教育·网】
思路分析：因为所求点P的轨迹形成与点Q有直接关系，而点Q在已知的圆C上，所以常用代入法求轨迹方程.
解：设P（ρ,θ),∵A（10，0），∴|AQ|=10sinθ.
∴Q(ρ-10sinθ,θ).
∵Q在圆C上，
∴ρ-10sinθ=10cosθ，
即点P的轨迹方程为ρ=10（sinθ+cosθ).其轨迹是以（5，5）为圆心，5为半径的圆.
14.已知锐角∠AOB=2α，角内有一动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数C2，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.21教育网
思路分析：建立适当坐标系，表示出各点的坐标，并求出各边长，由面积公式直接代入得方程.
解：以O为极点，∠AOB的平分线Ox为极轴建立极坐标系，如图.
设P点的坐标为（ρ，θ），
∵∠POM=α-θ，
∠NOP=α+θ，
∴|OM|=ρcos(α-θ),
|PM|=ρsin(α-θ),
|ON|=ρcos(α+θ),
|PN|=ρsin(α+θ).
又四边形PMON面积
S=·|OM|·|PM|+·|ON|·|PN|，
把|OM|，|ON|，|PM|，|PN|及S=C2代入，得
ρ2cos(α-θ)sin(α-θ)+ρ2cos(α+θ)sin(α+θ)=C2.
化简得ρ2sin2α·cos2θ=C2(-α<θ<α)，
即ρ2(cos2θ-sin2θ)·sin2α=2C2为所求方程.
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得
（x2-y2)sin2α=2C2.
∴x2-y2=.
因此，所求P点轨迹的极坐标方程为ρ2sin2α·cos2θ=2C2，表示双曲线的一部分（右支上在∠AOB内的部分）.21cnjy.com
4.2.2 常用曲线的极坐标方程
同步测控
我夯基，我达标
1.在极坐标系中，曲线ρ=4cos(θ-)关于（ ）
A.直线θ=对称 B.直线θ=对称
C.点（2,)中心对称 D.极点中心对称
解析：由曲线方程知，它是以（2,)为圆心，2为半径的圆.所以C正确.
答案：C
2.下列方程各表示什么曲线？
(1)y=a，答_______________；
(2)ρ=a，答_______________；
(3)θ=α，答_______________.
解析：方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,找到方程中的变量之间的关系.当然,我们首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线方程.21教育网
(1)在直角坐标系下,y=a表示与x轴平行或重合的直线；
(2)在极坐标系下,ρ=a表示圆心在极点,半径为a的圆；
(3)在极坐标系下,θ=α表示过极点,倾斜角为α的射线.
答案：（1）与x轴平行的直线 （2）圆心在极点，半径为a的圆（3）过极点且倾斜角为α的射线
3.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,)到直线l的距离为_______________21·cn·jy·com
解析：l的极坐标方程为ρsinθ=3,∴l的直角坐标方程为y=3.
点(2,)的直角坐标为(,1).
∴点(2,)到l的距离为2.
答案：2
4.画出极坐标方程为(θ-)ρ+(-θ)sinθ=0的图形.
解析：若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,合并在一起即为所求方程的曲线.www.21-cn-jy.com
解：将原方程分解因式，得(θ-)(ρ-sinθ)=0,
∴θ-=0或ρ-sinθ=0.
θ=时，为一条射线；ρ-sinθ=0时，为一个圆（如图）.
5.求出下列直线的极坐标方程.
（1）过两个定点P1（ρ1,θ1)和P2（ρ2，θ2）；
（2）过定点M（ρ0，θ0），关于极轴的倾角为α；
（3）过定点M（ρ0，θ0），且与直线θ=θ0垂直.
思路分析：在所给直线上任取一点P（ρ，θ），建立关于ρ、θ的一个方程即可.
解：（1）若θ1=θ2+nπ,则P1、P2与极点共线，方程为θ=θ1；现设θ1≠θ2+nπ(n∈Z)，P（ρ,θ)为直线P1P2上任意一点（如图），则2·1·c·n·j·y
S△OP2P1=S△OPP1+S△P2PO，即ρ1ρ2sin(θ1-θ2)=ρ1ρsin(θ1-θ)+ρ2ρsin(θ-θ2).由于θ1≠θ2+nπ(n∈Z),则直线不过极点，即ρρ1ρ2≠0，【来源：21·世纪·教育·网】
故
(2)设P(ρ,θ)为直线上任意一点（如图），且记∠OPM=∠1，∠OMP=∠2，则∠1=α-θ,∠2=π-(α-θ0).www-2-1-cnjy-com
在△OMP中应用正弦定理，有
,
即ρ=ρ0·=ρ0·，
即直线方程为ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
(3)设P（ρ,θ)为直线上任意一点（如图），由△OMP为直角三角形，显然有ρcos(θ-θ0)=ρ0.这就是所求的直线方程.21cnjy.com
6.求圆心在点（a,)处且过极点的圆的方程.
思路分析：∵ρ=a,θ0=,又∵r=a,∴可以直接代入圆的极坐标方程，也可以数形结合求圆的方程.
解：如图，OP⊥Ox于点P,在圆上任取一点M（ρ，θ），连结OM和MP，
则OM⊥MP.
在Rt△OMP中，ρ=2acos(-θ)=2asinθ,故该圆的方程为ρ=2asinθ,0≤θ≤π.
7.已知双曲线的极坐标方程为ρ=，过极点作直线与它交于A、B两点，且|AB|=6，求直线AB的极坐标方程.21·世纪*教育网
思路分析：直线和圆锥曲线的相交问题，通常采用设而不求的方法优化解题过程，即设出交点A、B的坐标，根据内在联系解决问题.21*cnjy*com
解：设直线AB的极坐标方程为θ=θ1,
则A（ρ1,θ1),B(ρ2,θ1+π)，ρ1=,ρ2=.
∴|AB|=|ρ1+ρ2|=||=||.
∴=±6.∴cosθ1=0或cosθ1=±.
故直线AB的极坐标方程为θ=,或θ=，θ=.
我综合,我发展
8.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ）
A.2 B. C.1 D.2-1-c-n-j-y
解析：本题有两种解法.第一种解法直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(,0)和(,),这两点间的距离是.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为ρ不恒为0,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcosθ和ρ2=ρsinθ,极坐标方程化直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是(,0),(0,),圆心距是.
答案：D
9.两条直线ρcos(θ-α)=a与ρsin(θ-α)=a的位置关系是（θ为极角，α为常量）（ ）
A.平行 B.垂直 C.重合 D.平行或重合【来源：21cnj*y.co*m】
解析：可以化为直角坐标方程，然后判断位置关系.
答案：B
10.直线ρcosθ=2关于直线θ=对称的直线方程为（ ）
A.ρcosθ=-2 B.ρsinθ=2 C.ρsinθ=-2 D.ρ=2sinθ21*cnjy*com
解析：数形结合，直线ρcosθ=2表示过（2，0）且与极轴垂直的直线；θ=表示一、三象限的角平分线.
答案：B
11.直线ρ=与圆ρ=2c·cosθ（c>0)相切的条件是______________.
解析：先化成直角坐标方程，然后由圆心到直线的距离等于半径，得出结论.
答案：b2c2+2ac=1
12.已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,求证：极点到直线l的距离是.
思路分析：数形结合，由直线的极坐标方程的意义得出结论.
证明：已知直线l:ρsin(θ+)=可看作是直线l′:ρsinθ=绕极点按顺时针方向旋转得到的，因此极点到直线l的距离等于极点到直线l′的距离.而极点到直线l′的距离为，所以极点到直线l的距离为.【出处：21教育名师】
我创新，我超越
13.点A、B在椭圆上，O为原点，OA⊥OB.
(1)求证：为定值；
(2)求△AOB面积的最大值和最小值.
思路分析：此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当我们把椭圆方程化为极坐标方程后,可以发现OA与OB长度的关系就很容易找到了；在△AOB中利用正弦定理的面积公式我们也容易找到其面积的最大值和最小值.
(1)证明：椭圆长半轴为a,短半轴为b,以O为极点,长轴一端与点O的射线为极轴,建立坐标系.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入椭圆方程,得b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,
∴
=
=
=
=
=,
即.
设点A的极角为α,则点B的极角为+α,且|OA|=ρ1,|OB|=ρ2,
∴===.
∴+=为定值.
(2)解：设A的极坐标为(ρ1,α),则B(ρ2,α+),点A、B满足方程=,,
∵OA⊥OB,
∴S△OAB=ρ1ρ2.
而
=
这里ρ1ρ2与同时取得最大值和最小值.
故当sin2θ=0时,有最大值,ρ1ρ2有最大值,
(S△OAB)max=；
当sin2θ=±1时,有最小值,
ρ1ρ2有最小值,(S△OAB)min=.
14.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如右图）的东偏南θ(θ=arccos)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（试用极坐标的思想解决）21世纪教育网版权所有
思路分析：这道题的解决方法,我们大部分同学都是建立直角坐标系来求解的.利用两点间的距离公式,使得城市与台风中心的距离小于等于圆形区域半径,该城市受到台风的侵袭,从而建立不等式,求出侵袭的时间.21教育名师原创作品
该题的求解还可以采用极坐标方程来进行.我们只要准确把握基本概念,较容易得出结果.只要极径小于或等于圆形区域的半径,建立不等式,也可以求出台风侵袭的时间来.
解：如图,建立极坐标系,以O为原点,正东方向为x轴正向.此时点P的坐标为(300,-θ),当台风以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动时,台风中心点的极径长设为ρ,若在t时刻城市O受到台风的侵袭,【版权所有：21教育】
则有ρ≤r(t),其中r(t)=10t+60.
又在△OP中,|OP|=300,|P|=20t,∠OP=-(-θ)=θ-.
又cos(θ-)=(cosθ+sinθ)= (+)=，
在△OP中,根据余弦定理得ρ2=3002+(20t)2-2×300×20t×,
则有3002+(20t)2-2×300×20t×≤(10t+60)2,
化简得t2-36t+288≤0,
解得12≤t≤24,
所以,12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换
同步侧控
我夯基，我达标
1.将图形F按向量a＝（h，k）（其中h＞０，k＞０）平移，就是将图形F( )
A.向x轴的正方向平移h个单位长度，同时向y轴的正方向平移k个单位长度
B.向x轴的负方向平移h个单位长度，同时向y轴的负方向平移k个单位长度
C.向x轴的正方向平移h个单位长度，同时向y轴的负方向平移k个单位长度
D.向x轴的负方向平移h个单位长度，同时向y轴的正方向平移k个单位长度
解析：设图形F：f(x,y)＝0，按向量a=(h,k)平移后的图形为F′：f(x-h,y-k)＝0，显然图形F′是由图形F向x轴的正方向平移h个单位长度，同时向y轴的正方向平移k个单位长度所得到的.2-1-c-n-j-y
答案：Ａ
2.已知点（１，3）按向量a平移后得到点（４，１），那么点（2，１）按向量a平移后的坐标是( )21*cnjy*com
A.（５，１） B．（－５，－１） C.（－５，１） D.（５，－１）
解析：a＝（４，１）－（１，３）＝（３，－２），则点（２，１）平移后的坐标为（２＋３，１－２），即（５，－１）．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：Ｄ
3.将一个点按向量a平移后，该点的横、纵坐标分别减少了4和2，则a等于（ ）
A.（４，2） B．（2，４） C.（－４，－2） D.（－2，－４）
解析：设P(x,y)点按向量a=(h,k)平移后的对应点为P′(x′,y′)，则即a＝（－４，－２）．【出处：21教育名师】
答案：Ｃ
4.将函数y=sin2x按向量a＝（－，１）平移后的函数解析式是( )
A.y=sin(2x+)+1 B.y=sin(2x-)+1
C.y=sin(2x+)+1 D.y=sin(2x-)+1
解析：函数y=sin2x的图象按向量a=(－,1)平移,得y=sin［2(x+)］＋１．
答案：A
5.将抛物线y=x2-4x＋5按向量a平移，使顶点与原点重合，则向量a的坐标为( )
A.（2，１） B．（－2，－１） C.（－2，１） D.（2，－１）
解析：y=x2-4x＋５＝(x-2)2＋１，顶点为（２，１）,将顶点移至与原点重合，则a＝（０，０）－（２，１）＝（－２，－１）．【版权所有：21教育】
答案：Ｂ
6.函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数解析式为y=cos2x+1，则a可能等于( )
A.（，１） B．（－，１） C.（－，１） D.（，１）
解析：设a=(h,k)，则代入y=sin2x,得y′-k=sin2(x′-h).整理得y′=sin2(x′-h)+k.21教育名师原创作品
∴cos2x′+1=sin(2x′-2h)+k．
当时,sin(2x-2h)+k=cos2x+1.
答案：B
7.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移１个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为( )21·cn·jy·com
A. B．－3 C. D.3
解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移３个单位，向上平移１个单位后，直线方程应为 y=k(x+3)+b＋１，即y=kx+3k+b＋１．因为此直线与原直线重合，所以两方程相同，比较常数项得3k+b+1=b．21*cnjy*com
∴k=.
答案：A
8.将函数y=3mx+n+m的图象按向量a平移后得到的图象的解析式为y=3mx+n，则a等于( )
A.（－，n-m） B．（，n-m） C.（－,m-n) D.（,m-n）
解析：y=3mx+n+my-m+n=+n，令
从而得向量a＝（,n-m）．
答案：Ｂ
我综合，我发展
9.函数f(x)=x2+mx+n的图象按向量a=(4,3)平移后得到的图象恰与直线4x+y－８＝０相切于点T(1,4)，则原函数的解析式为( )www.21-cn-jy.com
A.f(x)=x2+2x+1 B.f(x)=x2+2x+2 C.f(x)=x2+2x-2 D.f(x)=x2+2x
解析：函数f(x)=x2+mx+n的导数y′=2x+m，设原切点T′(x,y)，按向量a＝（４，３）平移为T(1,4)，则T′(-3,1)，由切线的斜率为-４，切点T′(-3,1)在函数f(x)=x2+mx+n的图象上，故2×(-3)+m=-4，所以m=2.
又(-3)2+(-3)×2+n=1,所以n=-2.从而原函数的解析式为f(x)=x2+2x-2.
答案：C
10.将y=sin2x的图象向右按a作最小的平移,使得平移后的图象在[kπ+,kπ＋π](k∈Z)上递减,则a＝_____________．
解析：设平移后的函数解析式为y=sin2(x-h)，由
2kπ+≤2(x-h)≤2kπ+π(k∈Z),得
kπ++h≤x≤kπ++h(k∈Z).
∵+h=,∴h=．∴a=(,0)
答案：（,0)
11.已知f(x+2 008)=4x2+4x+3(x∈R），那么函数f(x)的最小值为____________
解析：由f(x+2 008)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x+2 008)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的.
由y=4x2+4x+3=4(x+)2+2,立即求得f(x)的最小值,即f(x+2 008)的最小值是２.
答案：２
12.把函数y=32x-5的图象按向量a平移后，解析式变为y=32x，求向量a．
思路分析：关于图象平移，其关键是正确区分平移前后解析式中的（x,y）、（x′,y′），并找到其关系，就可求出a．【来源：21·世纪·教育·网】
解法一：设向量a＝（h,k），P（x,y）是函数y=32x-5图象上任一点，平移后，函数y=32x图象上的对应点为P′(x′,y′)，由平移公式得y+k=32(x+h).
整理得y=32x+2h-k，显然它与y=32x-5为同一函数，从而有即所以a＝（，０）.
解法二：设向量a=(h,k)，由平移公式得
将它代入y=32x-5，得y′-k=32(x′-h)-5.
整理，得y′=32x′-2h-5+k.
显然它与y′=32x′为同一函数，∴解得所以a=,0)．
我创新，我超越
13.已知抛物线y=x2-2x-８,求
（１）抛物线顶点的坐标；
（2）将这个抛物线的顶点平移到点（2，－3）时的函数解析式；
（3）将此抛物线按怎样的向量a=(h,k)平移，能使平移后的曲线的函数解析式为y=x2．
思路分析：将抛物线方程进行配方，化为y=a(x-h)2+k的形式．
解：（1）将y=x2-2x-8配方，得y=(x-1)2-9，故抛物线顶点O的坐标为（１，－９）．
(2)将抛物线y=(x-1)2-9的顶点平移到点（２，－３）时的函数解析式为
y=(x-2)2-3,即y=x2-4x+1.
（3）将平移公式即代入原抛物线的解析式,得y′-k=(x′-h)2-2(x′-h)-8.
化简,得y′=x′2-2(h+1)x′+h2+2h-8+k.
与平移后的曲线解析式y′=x′2比较,可得
解得
∴所求平移向量a＝（－１，９）．
14.已知函数f(x)=log2(2x-3)+4．
（１）将函数f(x)的图象按向量a＝（０，－４）平移后,求所得函数的解析式．
（2）是否存在一个平移，能将函数f(x)化为对数函数形式？若存在，求出这一对数函数的解析式，并借化简的结果研究函数f(x)的单调性；若不存在，请说明原因．
思路分析：问题（2）是一个探索型问题，可先利用待定系数法设出平移向量，再根据题意代入函数f(x)中，最后通过比较式子的结构，求出平移向量．21教育网
（１）解：设P(x,y)为函数f(x)图象上任一点，按a＝（０，－４）平移后对应点为P′(x′,y′),21cnjy.com
则把平移公式即代入y=log2(2x-3)＋４，得y′+4=log2(2x′-3)＋４，即y′=log2(2x′-3).2·1·c·n·j·y
故平移后所得图象的函数解析式为y=log2(2x-3)．
(2)解法一：设存在向量a=(h,k)满足题设，并设P(x,y)为f(x)图象上任意一点，其按a=(h,k)平移后的对称点为P′(x′,y′)，21·世纪*教育网
则即代入原函数解析式,得y′-k=log2[2(x′-h)-3]＋４，即
y′=log2（2x′-2h-3）+4+k
＝log22(x′-)+(4+k)
＝log2(x′-)+(5+k).
由题意即
∴当a=(,-5)时，平移后的函数解析式y=log2x为对数函数，该函数在其定义域上为单调增函数，故函数f(x)在其定义域上也为单调增函数．21世纪教育网版权所有
解法二：由已知f(x)=log2[2(x-)]+4，
令y=f(x),则y=log22+log2(x-)+4,
∴y-5=log2(x-).
令
则按向量a=(,-5)平移后，函数f(x)的解析式化为对数函数y=log2x，这一函数在其定义域上为单调增函数，∴函数f(x)在其定义域上也是单调增函数．www-2-1-cnjy-com
4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
同步测控
我夯基，我达标
1.已知同一直线上三点A、B、C，其中B是AC中点，若向着x轴按照伸缩系数k＝2进行伸缩变换后，对于它们的对应点A′、B′、C′有以下说法：①仍在同一直线上；②不在同一直线上；③B′是A′C′的中点；④B′是A′C′的三等分点；⑤A′、B′、C′有可能重合．其中正确的说法是( )www.21-cn-jy.com
A．② B．①③ C．①④ D．⑤
解析：由于在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变，所以②不在同一直线上不正确；根据教材中的例2可知B′仍是A′C′的中点．故选B．21·世纪*教育网
答案：B
2.在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为( )21*cnjy*com
A.25x2+36y2=0 B.9x2+100y2=0 C.10x+24y=0 D.
解析：将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．
将直接代入2x′2+8y′2＝０，得2×(5x)2+8×(3y)2＝０，即25x2+36y2＝０为所求曲线C的方程.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：Ａ
3.直线y=x按伸缩系数k＝2向着y轴进行伸缩变换后的方程为_______________
解析：设P(x,y)是变换前直线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由题意,知即代入y=x中，得.所以直线y=x经过伸缩变换后的方程为y=x．【版权所有：21教育】
答案：y=x
4.直线y=x按照伸缩系数k＝2向着x轴进行伸缩变换后的方程为___________
解析：设P(x,y)是变换前直线上的点，P′(x′,y′)是变换后曲线上的点，由题意,知
即代入y=x中，得，即y′=x′．所以直线y=x经过伸缩变换后的方程为y=x．
答案：y=x
5.下图是风筝的图案．
（1）写出图中所标各个顶点的坐标.
（2）纵坐标保持不变，横坐标分别乘2 ，所得各点的坐标分别是什么？所得图案与原来图案相比有什么变化？【出处：21教育名师】
（3）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－2 ，所得各点的坐标分别是什么？所得图案与原来图案相比有什么变化？21教育名师原创作品
思路分析：在坐标纸内,每格表示1个单位长度．
解：（1）A（0,4）、B（－3,1）、C（-3，-1）、D（0，-2）、E（3，-1）、F（3,1).
（2）A（0,4）、B（-6,1）、C（-6，-1）、D（0，-2）、E（6，-1）、F（6,1）;所得图案在x轴方向上扩大到原来的2 倍，y轴方向不变.21*cnjy*com
（3）A（0，-8）、B（-3，-2）、C（-3,2）、D（0,4）、E（3,2）、F（3，-2）;所得图案在y轴方向上扩大到原来的-2倍,x轴方向不变．www-2-1-cnjy-com
6.在平面直角坐标中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
（1）5x+2y＝０；
（2）x2+y2=１.
思路分析：根据伸缩变换公式，分清新旧坐标代入即可．
解：由得到
（1）将代入5x+2y＝０中，得到5x′+3y′＝０,
即经过伸缩变换后，直线仍然是直线．
（2）将代入x2+y2＝１，得到=1,
即经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．
我综合，我发展
7.已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosωx(ω＞０），f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )
A. B．2 C.3 D.
解析：本题直接考查伸缩变换规律：函数y=cosωx,x∈R（其中ω＞０，ω≠１）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．21世纪教育网版权所有
答案：Ｃ
8.为了得到函数y=2sin(),x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D.向右移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
解析：将y=2sinx向左平移个单位得到y=2sin(x+)的图象，将y=2sin(x+)图象上各点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到y=2sin(x+)的图象，故选Ｃ．
答案：Ｃ
9.圆x2+(y-1)2＝１经过变换后变为4x′2+y′2＝１，这种变换为( )
A. B. C. D.
解析：4x′2+y′2＝１,即(2x′)2+y′2＝１，令2x′=x,y′=y-1,代入方程4x′2+y′2＝１中，可得x2+(y-1)2＝１．故所求的变换为21cnjy.com
答案：Ｃ
10.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x＋12＝0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换．2-1-c-n-j-y
解：x2-36y2-8x＋12＝0
可化为()2-9y2=1. ①
x′2-y′2-4x′+3=0可化为（x′-2）2-y′2=1. ②
比较①②可得x′-2=,y′=3y．
故所求的伸缩变换为
我创新，我超越
11.如果不改变坐标轴的方向和长度单位，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴．设原坐标系xOy，平移后新坐标系x′Oy′，新坐标系的坐标原点在原坐标中的坐标是O′(h,k)，在坐标平面内的任意一点，都有两个坐标，它们有如下平移公式：在新旧坐标变换、方程变换时，可选择使用．试用上述移轴思想做下面的题目：21·cn·jy·com
平移坐标轴，把原点平移到O′(2,-4)，则曲线y2-2x+8y+20=0在新坐标系中的方程为______________．21教育网
解析：将移轴公式代入已知方程,得(y′-4)2-2(x′+2)+8(y′-4)+20=0，整理化简得y′2=2x′．2·1·c·n·j·y
答案：y′2=2x′．
4.4.1 参数方程的意义
同步测控
我夯基,我达标
1.当参数θ变化时，由点P（2cosθ,3sinθ）所确定的曲线过点（ ）
Ａ．（２，３） Ｂ．（１，５） Ｃ．（０，） Ｄ．（２，０）【来源：21·世纪·教育·网】
解析：当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0．
答案：Ｄ
2.曲线(t为参数)与坐标轴的交点是（ ）
A．(0,)、(,0) B．(0,)、(,0) C．(0,-4)、(8,0) D．(0,)、(8,0)21·世纪*教育网
解析：当x=0时，t=，而y=1-2t=，得与y轴的交点为(0,)；
当y=0时，t=，而x=-2+5t=，得与x轴的交点为(,0)．
答案：B
3.在方程（θ为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ）
Ａ．（２，－７） Ｂ．（,） Ｃ．（，） Ｄ．（１，０）
解析：由已知得|x|≤１，可排除Ａ．又因y=cos2θ可化为y=1-2sin2θ，分别将x的值、、１代入上式可得相应的y值分别为、、－１．故（，）是曲线上的点．
答案：Ｃ
4.若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
解析：.
答案：D
5.在直线参数方程（t为参数）中，用来表示直线上的任意一点到定点P(2,-1)的距离的是（ ）21教育网
A.|t| B.3|t| C.|t| D.t
解析：设M为直线上任一点，则|MP|=|t|．
答案：Ｃ
6.椭圆的离心率是________________．
解析：∵a=4，b=3，∴c=，椭圆的离心率．
答案：
7.若直线l的参数方程是则过点（４，－１）且与l平行的直线在y轴上的截距是_________________．21cnjy.com
解析：过点（４，－１）且与l平行的直线为令x=4+t=0，得t=-5.于是y=-1+×(-5)=-4．www.21-cn-jy.com
答案：-4
8.直线(t为参数)上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是______________.
解析：(-t)2+(t)2=()2,t2=,t=±．
答案：(-3,4)或(-1,2)
9.一质点作匀速直线运动，它在x轴与y轴方向上的分速度分别为６和８，运动开始时位于点P（１，２），求该质点的运动轨迹的参数方程．21·cn·jy·com
思路分析：设出质点的运动轨迹上任一点M(x,y)，根据物理学知识，沿x轴与y轴方向上的分位移分别用时间表示出来．2·1·c·n·j·y
解：设M(x,y)为该质点的运动轨迹上任一点，设时间为t，由题意知（t为参数，t≥0）．
我综合，我发展
10.设直线（t为参数）上两点A、B对应的参数分别为t1、t2，则|AB|等于（ ）
A.(a2+b2)|t1-t2| B.|t1-t2| C.|t1-t2| D.2-1-c-n-j-y
解析：|AB|=|t1-t2|.
答案：Ｂ
11.已知90°＜θ＜180°，方程x2+y2cosθ＝１表示的曲线是（ ）
Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线
解析：当90°<θ<180°时，－1＜cosθ＜0，方程x2+y2cosθ＝１表示的曲线是双曲线．
答案：Ｃ
12.已知方程x2+my2＝１表示焦点在y轴上的椭圆，则（ ）
A.m<1 B.-11 D.0解析：方程化为，若要表示焦点在y轴上的椭圆，需要＞1，解得０＜m＜１．
答案：Ｄ
13.参数方程为(t为参数)表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
解析：y=2表示一条平行于x轴的直线，而当t＞0时，x=t+≥2＝2;当t＜0时，x=t+=-［(-t)+］≤-2＝－2，即x≥2或x≤－2．所以该参数方程表示两条射线．
答案：D
14.点M(3,b)在曲线上，则b＝______________.
解析：由x=+1＝3,解得t＝±2.代入y=-2t-1中，解得y＝－5或3．
答案：－5或3
15.已知直线(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B，又点A(1,2)，则|AB|=________________.21世纪教育网版权所有
解析：把代入l2:2x-4y=5中，整理得到t=.于是B点坐标为(，0),所以|AB|=．
答案：
我创新，我超越
16.边长为a的等边△ABC的两个端点A、B分别在x轴、y轴两正半轴上移动，顶点C和原点O分别在A、B两侧，记∠CAx＝α，求顶点C的轨迹方程．www-2-1-cnjy-com
思路分析：设C点坐标为(x,y)，结合图形，运用三角函数知识把点C的横、纵坐标用角α的三角函数表示出来．21*cnjy*com
解：如图,过C作CD⊥x轴于D，设C点坐标为(x,y)，则x=OA+AD=acos(120°-α)+acosα，y=DC=asinα．于是顶点C的轨迹方程为
(α为参数，60°＜α＜120°）．
4.4.2 参数方程与普通方程的互化
同步测控
我夯基,我达标
1.已知三个方程：①②③（都是以t为参数）．那么表示同一曲线的方程是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．①② Ｃ．①③ Ｄ．②③
解析：①②③的普通方程都是y=x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.21世纪教育网版权所有
答案：Ｂ
2.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为（ ）
A.y=x-2 B.y=x+2 C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1)21教育网
解析：转化为普通方程为y=x-2，但由于x∈［2,3］,y∈［0,1］,故选C.
答案：C
3.参数方程（α为参数）表示（ ）
Ａ．圆 Ｂ．半圆 Ｃ．直线 Ｄ．线段
解析：x=cos2α+sin2α=(1-2sin2α)+sin2α=,
而y=sinα+cosα=sin(α+),∴-≤y≤．从而该参数方程化成普通方程为x=（-≤y≤），它表示一条线段．21cnjy.com
答案：Ｄ
4.若一直线的参数方程为（t为参数），则此直线的倾斜角为（ ）
A.60° B.120° C.300° D.150°
解析：y-y0=-(x-x0)，斜率k=-，倾斜角为120°．
答案：Ｂ
5.曲线的参数方程是（t是参数，t≠０）,它的普通方程是（ ）
A.(x-1)2(y-1)=1 B.y= C.y=-1 D.y=
解析：由x=1-,得=1-x.由y=1-t2,得t2=1-y.所以(1-x)2·(1-y)=()2·t2＝1，进一步整理得到y=．21·cn·jy·com
答案：B
6.直线(t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为．
解析：直线化为普通方程为x+y-1=0，圆心到直线的距离d==，所以弦长的一半为，得弦长为．21·世纪*教育网
答案：
7.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈［0,2π)),则圆C的圆心坐标为_____________,圆心到直线l的距离为_____________.2-1-c-n-j-y
解析：l的普通方程为x+y=6,
圆C的方程为x2+(y-2)2=4,
∴圆心(0,2),d=
答案：(0,2)
我综合,我发展
8.曲线（θ为参数,θ∈［0,2π)）表示的图形是（ ）
Ａ．第一、三象限的平分线
Ｂ．以（-a,-a）、（a,a）为端点的线段
Ｃ．以（－a，－a）、（-a,-a）为端点的线段和以（a,a）、（a,a）为端点的线段
Ｄ．以（－a，－a）、（a，a）为端点的线段
解析：显然y=x，但x=asinθ+acosθ=asin(θ+)，-|a|≤x≤|a|．故图形为以（-a,-a）、（a,a）为端点的线段．www.21-cn-jy.com
答案：Ｄ
9.参数方程(t为参数）表示的图形为（ ）
解析：从x=中解得t2＝-x，代入y=中，整理得到2x+y-5＝0．但由t2=≥0解得0≤x<3．所以化为普通方程为2x+y-5＝0（0≤x<3），表示一条线段,但不包括右端点.21*cnjy*com
答案：Ｃ
Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．线段(但不包括右端点) Ｄ．椭圆
10.已知曲线(t为参数，p为正常数）上的两点M、N对应的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，那么|MN|＝_______________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析：化为普通方程为y2=2px(p>0)，表示抛物线.由t1+t2=0,可知线段MN垂直于抛物线的对称轴（即x轴）．于是|MN|=2p|t1-t2|=2p|2t1|．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：4p|t1|
11.圆的参数方程为(θ为参数,θ∈［0,2π))，则此圆的半径为_______________．2·1·c·n·j·y
解析：由得x2+y2=(3sinθ+4cosθ)2+(4sinθ-3cosθ)2=25(sin2θ+cos2θ)＝25，
所以圆的半径为5．
答案：5
12.参数方程(t为参数)的普通方程为．
解析：．
答案：(x≥2)
我创新，我超越
13.参数方程(θ为参数,θ∈［0,2π))表示什么曲线？
解：显然=tanθ，则,.
x=cos2θ+sinθcosθ=sin2θ+cos2θ=×+cos2θ,
即,,
得x+=+1，即x2+y2-x-y=0．
表示的曲线是圆．
14.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）θ为参数，且θ∈［0,2π),t为常数；
（2）t为参数，θ为常数．
解：（1）当t=0时，y=0,x=cosθ，即|x|≤1,且y=0;当t≠0时，cosθ=,sinθ=.www-2-1-cnjy-com
而cos2θ+sin2θ=1,即+=1.
（2）当θ=kπ,k∈Z时，y=0,x=±(et+e-t)，
即|x|≥1，且y=0；
当θ=kπ+,k∈Z时，x=0,y=±(et-e-t)，即x=0；
当θ≠k,k∈Z时，得,即而2et·2e-t＝4，于是,
即.
4.4.3 参数方程的应用
同步测控
我夯基,我达标
1.已知动圆x2+y2-2axcosθ-2bysinθ=0（a、b是正常数，且a≠b，θ为参数,θ∈［0,2π)），则圆心的轨迹是（ ）2-1-c-n-j-y
A．直线 B．圆 C．抛物线的一部分 D．椭圆
解析：把圆的方程化为标准方程：
(x-acosθ)2+(y-bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ，其圆心坐标为（acosθ,bsinθ），于是动圆圆心的轨迹方程为消去参数θ,可得＝1，轨迹为椭圆．
答案：D
2.直线(t为参数）和圆x2+y2=16交于A、B两点，则AB的中点坐标为（ ）
A．(3,-3) B．(-,3) C．(,-3) D．(3,-)
解析：(1+t)2+(-3+t)2=16，得t2-8t+12=0.∴t1+t2=8,=4，中点为即21·世纪*教育网
答案：D
3.过点（1，1），倾斜角为135°的直线截椭圆所得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
解析：由题意，可设直线的参数方程为代入椭圆方程中，整理得到5t2+6t＋1＝0，|t1-t2|=，故所求弦长为|t1-t2|=．
答案：B
4.抛物线x2-2y-2mx+m2＋２＝6m的顶点的轨迹方程是_______________．
解析：抛物线方程可化为(x-m)2=2(y+3m-1)，设其顶点坐标为(x,y)，则满足消去参数m，可得y=-3x+1，即3x+y－１＝0．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：3x+y－１＝0
5.求椭圆的内接矩形的最大面积．
思路分析：恰当选择参变量，把椭圆内接矩形面积用参数表示出来，再利用函数的性质求解．
解法一：椭圆的参数方程为(参数t∈［0,2π)),设第一象限内椭圆上一点M(x,y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S=4xy=4×5cost×4sint=40sin2t．
当t=时，面积S取得最大值40．此时x=5cos=,y=4sin=2．
因此，矩形在第一象限的顶点为（,2）时,内接矩形的面积最大为40．
解法二：设点M(x,y)是椭圆上第一象限内的点，则=1，且x＞０，y＞０,即１＝()2+()2≥2××，【出处：21教育名师】
∴xy≤10，当且仅当时取等号．由椭圆的对称性知内接矩形的面积为S=4xy≤40，也就是内接矩形的面积的最大值为40．21*cnjy*com
6.求椭圆上的点到直线3x+4y－64＝０的最大、最小距离．
思路分析：利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题．【来源：21·世纪·教育·网】
解：将椭圆普通方程化为参数方程（０≤θ<2π）,则椭圆上任一点P的坐标可设为P(5cosθ,9sinθ)，于是点到直线3x+4y－６４＝０的距离为
,其中tanφ=,
∴dmax=，此时sin(θ+φ)＝－１；dmin＝５，此时sin(θ+φ)＝１．
7.如图，已知点P是圆x2+y2＝16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）,当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？【版权所有：21教育】
思路分析：由于点M为线段PA的中点，点A的坐标已知，点P在已知圆上，故而点P的坐标可以用参数θ表示，所以点M的坐标也就可以表示了，由此便可以求出线段PA的中点M的轨迹方程，进而知道其轨迹．21教育名师原创作品
解：设点M的坐标为(x,y)．由于圆的参数方程为(参数θ∈［0,2π))，故可设点P的坐标为(4cosθ,4sinθ)．由线段中点的坐标公式,得点M的轨迹参数方程为(参数θ∈［0,2π)).21*cnjy*com
∴线段PA的中点的轨迹是以点（６，０）为圆心、２为半径的圆．
我综合,我发展
8.已知A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
思路分析：△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．2·1·c·n·j·y
解：由题意知A（6,0)、B(0,3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为（6cosθ,3sinθ），点G的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得即消去参数θ得到+(y-1)2＝1.
9.过点P(,0)作倾斜角为α的直线与曲线x2+12y2=1交于点M、N，求|PM|·|PN|的最大值及相应的α的值．
思路分析：设出直线的参数方程，把|PM|·|PN|表示成α的函数．
解：设直线为(t为参数),代入曲线x2+12y2=1中，整理得
(1+11sin2α)t2+(cosα)t+=0，
于是|PM|·|PN|=|t1t2|=．
所以当sin2α=0，即α=0时，|PM|·|PN|的最大值为，此时α=0．
10.已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，
（1）求2x+y的取值范围；
（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
思路分析：因为所求问题中涉及到圆x2+y2=2y上动点P的坐标x与y的关系，而二者的关系可用参数θ表示出来，故可设出圆的参数方程，从而把（1）求2x+y取值范围的问题转化为求关于θ的函数的值域问题；对于（2）x+y+a≥0恒成立?a≥-(x+y)恒成立?a≥max{-(x+y)}.www.21-cn-jy.com
解：（1）x2+y2=2y化为标准方程为x2+(y-1)2=1.
设圆的参数方程为(参数θ∈［0,2π)),
则2x+y=2cosθ+sinθ+1=sin(θ+φ)+1,其中tanφ=2．
∵－1≤sin(θ+φ)≤1，∴-+1≤sin(θ+φ)+1≤+1．
∴2x+y的取值范围为［-+1,+1］．
（2）x+y+a≥0恒成立a≥-(x+y)恒成立a≥max{-(x+y)}．
而-(x+y)=-(cosθ+sinθ)-1=-sin(θ+)-1,
∵－1≤sin(θ+)≤1，
∴--1≤-sin(θ+)-1≤-1,
即-(x+y)的最大值为-1．
由a≥-(x+y)恒成立，可知a≥-1．
11.已知点A（１，２），过点（５，－２）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C，试探讨△ABC的形状．21教育网
思路分析：直线与圆锥曲线的相交问题常常设出交点坐标，利用整体代入法解决问题．
解：由抛物线的参数方程，可设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠１,t≠1，
则直线BC的斜率为,
方程为y-2t=(x-t2)．
因直线BC过点（5，－2），代入上式，并整理得到（s+1）（t＋１）＝－４．
因为kAB·kAC=·==-1,所以AB⊥AC，从而△ABC是直角三角形．
12.直线l：y=2x+b与椭圆交于A、B两点，当b变化时，求线段AB中点M的轨迹．
解：设AB中点M(x0,y0),直线l的方程为(tanθ＝２，t为参数）．代入椭圆方程,有＝１，可得21cnjy.com
(2cos2θ+3sin2θ)t2+2(2x0cosθ+3y0sinθ)t+2+3-6=0.
设A、B对应的参数值分别为t1、t2，则有t1+t2＝０.
又∵t1+t2=
∴2x0cosθ+3y0sinθ＝０．
又∵tanθ＝２，∴２x0＋６y0＝０，即x+3y＝０．
∴M点的轨迹是直线x+3y＝０在椭圆＝１内部的一条线段．
13.已知椭圆方程为，椭圆长轴的左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．
解：设椭圆的参数方程为（θ为参数，且0≤θ<2π），则P点坐标为（acosθ,bsinθ），由题意知cosθ≠1，sinθ≠0．∵=，=，21世纪教育网版权所有
∴==,==．
∴A1Q的方程为y=, ①
A2Q的方程为y=(x-a). ②
①×②得y2=．
化简整理得＝１即为所求的轨迹方程．
我创新，我超越
14.当s和t取遍所有实数时，(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值是多少？
思路分析：观察所求式的结构，可以把它看作点（s＋５，s）与点（3|cost|,2|sint|）的距离的平方，而这两个点的轨迹都可以用参数方程的形式写出来．故本题可考虑数形结合，并利用参数方程求解．21·cn·jy·com
解：已知式可看作是点A（s＋５，s）到点B（3|cost|，2|sint|）的距离的平方，由点A（s＋５，s）得消去参数s得直线l：x-y－５＝０．www-2-1-cnjy-com
由点B(3|cost|,2|sint|)，得消去参数t，得曲线C：＝１（x≥０，y≥０）．
作l和C的图象如图，可知
|AB|min2=()2＝２．
4.4.4 参数方程中曲线欣赏——平摆线、圆的渐开线
同步测控
我夯基,我达标
1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（ ）
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；21世纪教育网版权所有
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有（ ）
A.①③ B.②④ C.②③ D.①③④
解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题．对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
答案：C
3.已知圆的渐开线的参数方程是（θ为参数），则此渐开线对应的基圆的直径是___________，当参数θ＝时，对应的曲线上的点的坐标为_____________.
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2．求当θ=时对应的坐标只需把θ=代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为（＋，－）.
答案：2 （＋，－）
4.已知一个圆的摆线方程是（θ为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.
思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积,再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程.21cnjy.com
解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线的参数方程是（θ为参数）.21·cn·jy·com
5.已知圆C的参数方程是（α为参数，α∈［0,2π)）和直线l对应的普通方程是x-y-=0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线是什么关系？
(2)写出平移后圆的摆线方程.
(3)求摆线和x轴的交点.
思路分析：首先根据条件，可知圆的半径是6，平移后的圆心为O（0，0），根据圆心O到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系．再由圆的半径写出圆的摆线方程．求摆线和x轴的交点只需令y＝0，求出对应的参数θ，再代入求出x值.21教育网
解：(1)圆C平移后圆心为O（0，0），它到直线x-y-6=0的距离为d=＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是（θ为参数）．
(3)令y＝0,得6-6cosθ＝0cosθ=1，所以θ＝2kπ(k∈Z).代入x=6θ-6sinθ,得x=12kπ（k∈Z），即圆的摆线和x轴的交点为（12kπ，0）（k∈Z）.
我综合,我发展
6.已知一个圆的参数方程为（θ为参数,θ∈［0,2π)），那么圆的摆线方程中与参数θ＝对应的点A与点B(，2)之间的距离为（ ）21·世纪*教育网
A.-1 B. C. D.
解析：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为（θ为参数），把θ＝代入参数方程中可得即A(3(-1)，3)，
∴|AB|＝.
答案：C
7.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是（ ）
A.3π B.4π C.5π D.6π
解析：根据渐开线的定义，可知是半径为１的圆周长，长度为；继续旋转可得是半径为２的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为４的圆周长，长度为2π.所以，曲线AEFGH的长是5π.www-2-1-cnjy-com
答案：C
8.渐开线（θ为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的焦点坐标为_____________.
解析：根据圆的渐开线方程，可知基圆的半径r＝6，其方程为x2+y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的方程为(x)2+y2＝36，整理可得＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c=，故焦点坐标为（6，0）和（-6，0）.21*cnjy*com
答案：（6，0）和（-6，0）
9.我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线（θ为参数）关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为____________.www.21-cn-jy.com
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以，要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换即可.
答案：（θ为参数）
10.求摆线(０≤t≤2π)与直线y＝２的交点的直角坐标.
思路分析：本题考查交点坐标的求法，可利用代入法求解．
解：当y＝2时,有2(1-cost)＝2，∴cost＝０.又０≤t≤2π，∴t＝或t＝.
当t＝时，x＝π－２；当t＝时，x＝3π+2.
∴摆线与直线y＝２的交点为（，π-2），（，3π+2）.
我创新，我超越
11.星形线的参数方程一轴承的剖面如图所示，小圆表示滚球，半径为r，大圆表示轴瓦，半径为a＝4r.设想大圆固定，而小圆在大圆内无滑动地滚动．小圆上的一定点M在运动中的轨迹为一条曲线，称为星形线．试推导它的参数方程.2·1·c·n·j·y
思路分析：解实际应用题，一般先建立适当的坐标系，然后根据条件转化为数学问题.
解：取大圆圆心为坐标原点，设小圆的定点M开始时位于点A处，x轴正方向为向量的方向.小圆滚动α角后，圆心在C点，与大圆切点为B，小圆上的定点M的位置如题图所示．因为是无滑动的滚动，所以＝.记θ＝∠AOB，由＝rα，＝aθ＝4rθ得rα＝4rθ.由此知α＝４θ.作CD平行于x轴，则∠BCD＝θ，得∠DCM＝∠BCM－∠BCD＝α－θ＝3θ.由此知CM与x轴正向形成的任意角为-3θ.2-1-c-n-j-y
由|OC|＝a－r＝3r，用向量的坐标表达式，得
＝（3rcosθ，3rsinθ），
＝（rcos(-3θ),rsin(-3θ)）＝（rcos3θ，-rsin3θ）.
因此有＝（3rcosθ＋rcos3θ，3rsinθ-rsin3θ）.
用三角函数的三倍角公式
cos3θ＝4cos3θ-3cosθ，sin3θ＝3sinθ-4sin3θ，得
＝（4rcos3θ，4rsin3θ）＝（acos3θ，asin3θ）.
另一方面=(x,y).因此得星形线参数方程(０≤θ<2π).
方程易于化为直角坐标方程．由二式两端分别相加，得.
用描点法画出曲线，如图所示，星形关于x轴、y轴都对称.
