4.1.1 直角坐标系
练习
1．已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，满足，则x的值为__________．
2．椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为__________．2·1·c·n·j·y
3．已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长为16，顶点A的轨迹方程是________________．21·世纪*教育网
4．平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是__________．www-2-1-cnjy-com
5．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sin B－sin C＝sin A，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是__________．2-1-c-n-j-y
6．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程是__________．
7．平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(4,1)，B(－1,3)，若点C满足，其中m，n∈[0,1]，且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为__________．
8．已知△ABC的三边a，b，c满足b2＋c2＝5a2，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，则BE与CF的位置关系是__________．21*cnjy*com
9．在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程．21教育网
10．设有半径为3 km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进．A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇．设A，B两人的速度都一定，其比为3∶1，问两人在何处相遇？【来源：21cnj*y.co*m】
参考答案
1. 答案：7
解析：∵＝(1，－1)，＝(5，x－2)，
又，
∴，即5－(x－2)＝0.
∴x＝7.
2. 答案：
解析：设F1为右焦点，则F1(3,0)，
设P(x0，y0)，PF1的中点M(0，yM)，
则，得x0＝－3，
把(－3，y0)代入椭圆方程，得
∴.
当F1为左焦点时，F1(－3,0)，解法同上，所得答案相同．
3. 答案：(y≠0)
解析：∵△ABC的周长为16，|BC|＝6，
∴|AB|＋|AC|＝10.
以BC所在的直线为x轴，过BC的中点作BC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(－3,0)，C(3,0)，
设A(x，y)(y≠0)，
则(y≠0)，
化简得顶点A的轨迹方程是(y≠0)．
4. 答案：
解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分.2c＝4,c＝2,2a＝3，【来源：21·世纪·教育·网】
∴.
∴.
∴点P的轨迹方程为.
由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是.
5. 答案：(x＜－3)
解析：由题意知，B(－6,0)，C(6,0)，
由sin B－sin C＝sin A得b－c＝a＝6，
即|AC|－|AB|＝6.
所以，点A的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，实轴长为6的双曲线的左支且y≠0，其方程为(x＜－3)．21·cn·jy·com
6. 答案：(y≠0)
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，
其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6＞4，
∴A点的轨迹为椭圆除去与x轴相交的两点，且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴A点的轨迹方程为(y≠0)．
7. 答案：2x＋5y－13＝0(－1≤x≤4)
解析：由题意知，A，B，C三点共线且C在线段AB上，点A，B所在的直线方程为2x＋5y－13＝0，且点C的轨迹为线段AB，21世纪教育网版权所有
所以，点C的轨迹方程为2x＋5y－13＝0，x∈[－1,4]．
8. 答案：垂直
解析：如图，以△ABC的顶点A为原点O，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(c,0)，.
设C(x，y)，则，∴，，
由b2＋c2＝5a2，得|AC|2＋|AB|2＝5|BC|2，
即x2＋y2＋c2＝5[(x－c)2＋y2]，
整理得2y2＝(2x－c)(2c－x)，∴∴BE与CF互相垂直．
9. 解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，
过原点且与BC垂直的直线为y轴，
则B(6,0)，C(－6,0)，|BD|＋|CE|＝30，
可知|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20，
∴G的轨迹是椭圆，轨迹方程为(x≠±10)．
10. 解：以村落中心为原点，A，B开始前进方向分别为x轴正方向、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图．21cnjy.com
由题意可设A，B两人速度分别为3v km/h，v km/h，设A出发x0 h后，在点P处改变前进方向，又经y0 h在点Q处与B相遇，则P，Q两点的坐标分别是(3vx0,0)，(0，v(x0＋y0))．
由于A从P到Q行走的时间是y0 h，
于是由勾股定理，得|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，
有(3vx0)2＋[v(x0＋y0)]2＝(3vy0)2.
化简整理，得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0.
又x0＋y0＞0，∴5x0＝4y0. ①
又， ②
①代入②，得.
由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0＋y0)的值就是问题的答案，于是问题转化为“当直线与圆x2＋y2＝9相切时，求纵截距b的值”．利用圆心到切线的距离等于半径，得(b＞0)．www.21-cn-jy.com
答：A和B相遇的地点在村落中心正北km处．
4.1.2 极坐标系
练习
1．点M的极坐标为，化成直角坐标形式是__________．
2．点A的极坐标为，化成直角坐标形式是__________．
3．点P的直角坐标为(，)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．
4．已知两点的极坐标，，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为________．
5．直线l过点，，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．
6．在极坐标系中，若，，则△ABO的面积为__________．
7．点在条件：
(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；
(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．
8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为，求点M在直角坐标系中的坐标．21教育网
9．在极坐标系中，(1)求，两点间的距离；
(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．
10．将下列极坐标化成直角坐标．
(1)；(2)；(3)(5，π)．
参考答案
1. 答案：
解析：，，
所以点M的直角坐标为.
2. 答案：(－1，)
解析：因为点A的极坐标又可以写成，
所以，
.
所以点A的直角坐标为(－1，)．
3. 答案：
解析：，，
又点P在第一象限，得，
因此点P的极坐标是.
4. 答案：3
解析：根据极坐标的定义可得
|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝，
即△AOB为等边三角形，
所以|AB|＝|AO|＝|BO|＝3，
(O为极点，C为直线AB与极轴的交点)．
5. 答案：
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．21世纪教育网版权所有
因为|AO|＝|BO|＝7，，
所以
所以.
6. 答案：3
解析：由题意可知，在△AOB中，|OA|＝3，|OB|＝4，，
所以△ABO的面积为
|OA|·|OB|·sin∠AOB
3.
7. 答案：(1) (2)
解析：(1)当ρ＞0时，点A的极坐标形式为(k∈Z)，
∵θ∈(－2π，0)，令k＝－1，点A的极坐标为，符合题意．
(2)当ρ＜0时，的极坐标的一般形式是(k∈Z)．
∵θ∈(2π，4π)，当k＝1时，点A的极坐标为，符合题意．
8. 解：设M(x，y)，则，
∴，y－(－2)＝ρsin θ＝＝2.
∴y＝2－2＝0.
∴点M的直角坐标为(，0)．
9. 解：(1)A，B在过极点且与极轴夹角为的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB|＝5＋12＝17.21cnjy.com
(2)由于点P的极径恒为ρ＝1，且θ∈R，因此，点P在以1为半径，极点为圆心的圆上．
10. 解：(1)，，
所以点的直角坐标为(1,1)．
(2)，
，
所以点的直角坐标为(3，)．
(3)x＝5·cos π＝－5，y＝5·sin π＝0，
所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．
4.1.3 球坐标系与柱坐标系
练习
1．设点M的直角坐标为(－1，，2)，则它的柱坐标是__________．
2．设点P的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为__________．
3．如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，则此长方体的体积为__________．21世纪教育网版权所有
4．在柱坐标系中，已知，及O(0,0,0)三点，则△ABO的面积为__________．
5．如图，点M的球坐标是____________.
6．在球坐标系中，M与N两点间的距离是__________．
7．设点A的柱坐标为，则它的球坐标为__________．
8．将直角坐标系中的点M(－3，，3)转化成柱坐标．
9．如图，长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝2，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C，B′，P的柱坐标．21教育网
10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M是A1B1的中点．建立适当的坐标系，求点M的空间直角坐标和柱坐标．21cnjy.com
参考答案
1. 答案：
解析：设点M的柱坐标为(r，θ，z)，则.
∵0≤θ＜2π，x＜0，
∴，，z＝2.
∴点M的柱坐标为.
2. 答案：
解析：设P点的球坐标为(r，φ，θ)，则有.
∵0≤θ＜2π，x＜0，
∴，.
∴.
∵0≤φ≤π，∴.
∴P点的球坐标为.
3. 答案：120
解析：由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，21·cn·jy·com
故长方体的体积为4×5×6＝120.
4. 答案：1
解析：∵，，O(0,0,0)，
∴△OAB为直角三角形．
∴
5. 答案：(R，φ，θ)
解析：抓住球坐标定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．故点M的球坐标为(R，φ，θ)．www.21-cn-jy.com
6. 答案：4
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则
∴M点的直角坐标为(，，)，
同理，N点的直角坐标为(，，)．
∴|MN|＝＝4.
7. 答案：
解析：设A的直角坐标为(x，y，z)，
则，
，，
∴点A的直角坐标为(1,1，)．
设点A的球坐标为(r，φ，θ)．
则有
∴tan θ＝1.又∵0≤θ＜2π，x＞0，
∴，
.
∴.
又∵0≤φ≤π，∴.
∴点A的球坐标为.
8. 解：设点M的柱坐标为(r，θ，z)，
则由得
∵0≤θ＜2π且x＜0，∴，.
∴M点的柱坐标为.
9. 解：∵，|OC|＝3，
∴点C的柱坐标为.
∵，|BB′|＝2，，
∴点B′的柱坐标为.
同理，点P的柱坐标为.
10. 解：建立如图所示的坐标系，过点M作底面xCy的垂线MN交AB于点N.
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴N点在线段AB上．
由点N分别作x轴，y轴的垂线NE，NF，垂足为E，F，
根据已知，可得△ABC是等腰直角三角形，
∴|NE|＝|NF|＝.
故点M的空间直角坐标为.
由于点M在平面xCy上的射影为点N，
|CN|＝，∠ECN＝，
故点M的柱坐标为.
4.2 曲线的极坐标方程
练习
1．极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径为__________．
2．△ABC中，底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程为__________．21教育网
3．曲线的极坐标方程为ρ＝cos θ－sin θ，则其直角坐标方程为__________，轨迹为__________．21cnjy.com
4．已知一条直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是__________．
5．过且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．
6．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为__________．
7．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程为__________．
8．求圆心在，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．
9．已知双曲线的极坐标方程为，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的极坐标方程．21·cn·jy·com
10．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹的极坐标方程．www.21-cn-jy.com
参考答案
1. 答案：1
解析：∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x.
化简，得(x－1)2＋y2＝1.∴圆的半径为1.
2. 答案：ρ＝10＋20cos θ
解析：如图，令A(ρ，θ)．
在△ABC中，有∠B＝θ，，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.
3. 答案：以为圆心，为半径的圆
解析：由ρ＝cos θ－sin θ，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，
即x2＋y2＝x－y.
整理，得，
其轨迹为以为圆心，为半径的圆．
4. 答案：
解析：∵，
∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x＋y＝1.
则极点到该直线的距离.
5. 答案：ρsin θ＝
解析：如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，连接OM，并过M作MH⊥x轴于H，
∵，∴.
在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sin θ，
即ρsin θ＝，
∴过且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝.
6. 答案：x2＋y2＝0或x＝1
解析：ρ2cos θ－ρ＝0ρ(ρcos θ－1)＝0，
得ρ＝0或ρcos θ－1＝0，
即x2＋y2＝0或x＝1.
7. 解析：如图所示，圆的半径为，
∴圆的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2＝－2(x－y)，
化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，
即ρ＝2(sin θ－cos θ)．
答案：ρ＝2(sin θ－cos θ)
8. 解：如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有OB＝4，OM＝ρ，∠MOB＝θ－，，从而△BOM为直角三角形，所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB，即，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ，所以x2＋y2＝－4y，即x2＋(y＋2)2＝4为所求圆的直角坐标方程．21世纪教育网版权所有
9. 解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．则，
.
＝＝6，
∴.∴cos θ1＝0或.
故直线AB的极坐标方程为或或
10. 解：如图，取A为极点，AB所在射线为极轴，建立极坐标系，
∵AP平分∠BAC，MP为BC的中垂线，∴PB＝PC.
设，
则PC2＝AP2＋AC2－2AP·AC·cos θ＝ρ2＋16－8ρcos θ，
PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ，
∴ρ2＋16－8ρcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ，
即.
∴点P的轨迹的极坐标方程为
.
4.3 平面坐标系中几种常见变换
练习
1．点A(2,4)按a＝(－1,4)平移后得点A′的坐标为__________．
2．抛物线y2＝4x按向量(2，－1)平移后的抛物线方程为__________．
3．运用平移，将曲线x2－4y2＋4x－8y＝6化为标准方程，则平移向量为__________．
4．如图，在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的两倍的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－8,0)，C(－4,0)，则△ABC的面积为__________．
5．如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍，则方程x＋y＝－1的图形是__________．
6．点(－1，－2)经过伸缩变换后的点的坐标是__________．
7．将点(2,3)变成(3,2)的伸缩变换是__________．
8．将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4的伸缩变换是__________．
9．对曲线4x2－y2＝6向着y轴进行伸缩变换，伸缩系数k＝2.
10．说明方程9x2－16y2－36x＋32y－124＝0表示怎样的曲线．
参考答案
1. 答案：(1,8)
2. 答案：(y＋1)2＝4x－8
3. 答案：(2,1)
解析：x2－4y2＋4x－8y＝6可化为(x＋2)2－4(y＋1)2＝6，则平移向量为(2,1)．
4. 答案：8
5. 答案：直线
6. 答案：(－2，－6)
7. 答案：
8. 答案：
9. 解：设P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点，由题意得，即
由－y′2＝6x′2－y′2＝6，得双曲线4x2－y2＝6经过伸缩变换后的方程为x′2－y′2＝6.21世纪教育网版权所有
10. 解：原方程可化为9(x－2)2－16(y－1)2＝144，
即，
设x－2＝x′，y－1＝y′，
则有.
由(x，y)＋(－2，－1)＝(x′，y′)，
即(x，y)＝(x′，y′)＋(2,1)，得方程9x2－16y2－36x＋32y－124＝0所表示的曲线，可以看作由方程所表示的双曲线按向量(2,1)平移得到．
4.4.1 参数方程的意义 4.4.2 参数方程与普通方程的互化
练习
1．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则的最大值为__________．
2．“由方程所确定的点P(x，y)都在曲线C上”是“方程是曲线C的参数方程”的________条件．21世纪教育网版权所有
3．点E(x，y)在曲线(θ为参数)上，则x2＋y2的最大值与最小值分别为________．
4．动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为3 m/s和4 m/s，直角坐标系的长度单位是1 m，点M的起始位置在点M0(2,1)处，则点M的轨迹的参数方程是__________．21·cn·jy·com
5．将参数方程(t为参数)化为普通方程为__________．
6．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为__________．
7．点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是__________．2·1·c·n·j·y
8．已知点P(x，y)是曲线C：(θ为参数)上的任意一点，求3x＋y的取值范围．
9．化参数方程(t为参数，t≥0)为普通方程，并说明方程的曲线是什么图形．
参考答案
1. 答案：6
解析：由题意，设d2＝(x－5)2＋(y＋4)2＝(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝8sin α－6cos α＋26＝10sin(α－φ)＋26，其中φ为锐角，.www.21-cn-jy.com
∴＝10＋26＝36，从而dmax＝6，
即的最大值为6.
2. 答案：必要不充分
3. 答案：
解析：x2＋y2＝(1＋5cos θ)2＋(2＋5sin θ)2＝30＋(10cos θ＋20sin θ)＝30＋sin(θ＋α)，其中，α为锐角，故x2＋y2的最大值与最小值分别为，.21cnjy.com
4. 答案：(t为参数，t≥0)
解析：设在时刻t时，点M的坐标为M(x，y)，则(t为参数，t≥0)．
5. 答案：
解析：∵，
∴，即.
6. 答案：x2＝y(－≤x≤)
解析：由x＝sin θ＋cos θ，得x2＝1＋sin 2θ，
∴sin 2θ＝x2－1，代入y＝1＋sin 2θ，得y＝x2.
又∵，
∴普通方程为x2＝y(－≤x≤)．
7. 答案：
解析：曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.设，∴y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，k取得最小值与最大值．∴，解得.∴的取值范围是.21教育网
8. 解：设P(3＋cos θ，2＋sin θ)，
则3x＋y＝3(3＋cos θ)＋(2＋sin θ)
，
∴3x＋y的最大值为，最小值为，取值范围是．
9. 解：消去t，得x＝－4(y－1)2(y≥1)，
即(y－1)2＝(y≥1)．
所以方程的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分．
4.4.3 参数方程的应用
练习
1．过点M(2,1)作曲线C：(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为__________．21世纪教育网版权所有
2．如图，由圆x2＋y2＝9上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，则点P的轨迹的参数方程是__________．21教育网
3．点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则x＋y的最大值为________，最小值为________．
4．椭圆(φ为参数)的焦距是__________．
5．参数方程(θ为参数)表示的曲线为__________．
6．直线(θ为参数，θ∈[0，π))和圆(α为参数)相切，则θ＝__________.
7．已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．21cnjy.com
8．如图，已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．21·cn·jy·com
9．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求：
(1)点P(x＋y，xy)的轨迹；
(2)点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹．
10．已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．www.21-cn-jy.com
参考答案
1. 答案：2x＋y－5＝0
解析：把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，∴过点M的弦与线段OM垂直．又，2·1·c·n·j·y
∴弦所在直线的斜率为－2，
∴直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2. 答案：(θ为参数)
解析：圆x2＋y2＝9的参数方程为(θ为参数)．∴设M(3cos θ，3sin θ)，P(x，y)，则N(3cos θ，0)．【来源：21·世纪·教育·网】
∴ (θ为参数)．
3. 答案：
解析：因为P点在椭圆上，所以可设P点的坐标为(cos θ，2sin θ)，即x＝cos θ，y＝2sin θ，21·世纪*教育网
所以x＋y＝cos θ＋2sin θ＝(θ＋φ)，其中.
因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y的最大值为，最小值为.
4. 答案：
解析：根据参数方程，可知，，
∴，
∴焦距为.
5. 答案：椭圆
解析：参数方程(θ为参数)，
可化为.
①2＋②2，得，所以曲线为椭圆．
6. 答案：或
解析：直线的参数方程化为普通方程为y＝xtan θ，圆的参数方程化为普通方程为(x－4)2＋y2＝4.www-2-1-cnjy-com
由直线与圆相切得圆心到直线的距离，得，
∴或.
7. 答案：
解析：由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有
.
8. 解：设M(2cos φ，sin φ)，
由题意得B1(0，－1)，B2(0,1)．
则MB1的方程为，
令y＝0，则，即.
MB2的方程为，∴.
∴.
9. 解：(1)设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′)，
则
①2－2×②，得x′2－2y′＝1，即，
∴所求点P的轨迹为抛物线的一部分.
(2)设M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则
∴
将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得
∴所求点Q的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
10. 证明：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，
因为点M在双曲线x2－y2＝1上，则可设点M的坐标为.
，，
，
故d1与d2的乘积是常数．
4.4.4平摆线与圆的渐开线
练习
1．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
2．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为__________．21教育网
3．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________．21cnjy.com
4．已知圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数时对应的曲线上的点的坐标为________．【来源：21·世纪·教育·网】
5．参数方程(φ为参数)表示的曲线是__________．
6．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是__________．
7．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是__________．
8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线
(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为__________．
9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．
10．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．2·1·c·n·j·y
参考答案
1. 答案：(，0)和(，0)
解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为，整理可得，这是一个焦点在x轴上的椭圆．，故焦点坐标为(，0)和(，0)．21·世纪*教育网
2. 答案：
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把代入参数方程中可得)即.www-2-1-cnjy-com
∴.
3. 答案：(π，2)
解析：由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．
4. 答案：2
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标，只需把代入曲线的参数方程，得，，由此可得对应的点的坐标为.
5. 答案：半径为3的圆的渐开线
解析：由参数方程的形式可直接得出答案．
6. 答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)
解析：由y＝2得2＝2(1－cos t)，∴cos t＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2，www.21-cn-jy.com
∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．
7. 答案：5π
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.21世纪教育网版权所有
8. 答案：(φ为参数)
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．
9. 解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40 mm，∴此平摆线的参数方程为(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．21·cn·jy·com
10. 解：把已知点(3,0)代入参数方程
得
解得
所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.
