第三章函数 第17节 二次函数图像与性质（一）
■考点1. 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．www-2-1-cnjy-com
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．21*cnjy*com
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3. 二次函数的图象及性质
1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点 4. 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称
轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
（2015?福建模拟）当k为何值时，函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数？
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，令k2+k=2且同时满足k-1≠0即可解答．
解：∵函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数， ∴k2+k=2，k-1≠0， ∴k1=1，k2=-2，k≠1， ∴k=-2．21cnjy.com
◆变式训练
（2015?夏津县校级自主招生）已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？21·cn·jy·com
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
(2015昆明中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x＝.求抛物线的解析式．21教育网
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝，
b＝，
∴a＝－，
把A(4，0)，a＝－代入y＝ax2＋x＋c中，
解得c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.
◆变式训练
（2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-1 ），那么这个二
次函数的解析式可以是_______________．（只需写一个）
(2016曲靖中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2ax＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0，3)，tan∠OAC＝.求抛物线的解析式．
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
（2017?邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 _______．（写一个即可）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是-1， 故答案为：-1．
◆变式训练
（2017?兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为 ______________【来源：21cnj*y.co*m】
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
(2017连云港中考)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )21教育名师原创作品
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【解析】依据抛物线的对称性可知：(2，y1)在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
【答案】C
◆变式训练
（2017?广元）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有_______________
一、选择题
1.(2016泰安中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )
A B C D
(2017哈尔滨中考)抛物线y＝－－3的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
（四川省凉山州2016届中考适应性 ）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则
下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③9a+3b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＜0；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2017?鄂州）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能是（?? ）
A.??B.???C.???D.?
（2017年遵义市中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，
则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
（宁波市2016年中考 ）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的
是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
（曲靖市罗平县2016中考 ）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（安徽省十校联考2016届中考数学模）对于二次函数y=x2﹣4x+7的图象，下列说法正确
的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣2 C．顶点坐标是（2，3） D．与x轴有两个交点
(2017安顺中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠1)，其中结论正确的个数是( )21·世纪*教育网
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
（2016年上海市宝山区中考数学一模）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是__________．
（福建省南平市2016年中考）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶
点在y轴上：__________________．
（福建省南平市2016年中考）二次函数的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc>0。其中正确的结论是 （填写序号）21世纪教育网版权所有
（成都市高新区2016届中考数学一诊）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图形
经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列
结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号
是 ．
三、解答题
（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣
3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
一.选择题
（2017?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论： ①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（?? ） 【版权所有：21教育】
A.?①④???B.?②④?????C.?①②③????D.?①②③④
（2015?兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A.?y=3x﹣1??B.?y=ax2+bx+c??C.?s=2t2﹣2t+1????D.?y=x2+
（2017?绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上
画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2， 再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（??? ）
A.?y=x2+8x+14???B.?y=x2-8x+14??C.?y=x2+4x+3??D.?y=x2-4x+3
（2017?广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（? ）
A.??B.??C.???D.?
（2017?哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（?? ）
A.?（ ，﹣3）?B.?（﹣ ，﹣3）??C.?（ ，3）????D.?（﹣ ，3）
（2016?兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A.?y=（x﹣1）2+2??B.?y=（x﹣1）2+3??C.?y=（x﹣2）2+2??D.?y=（x﹣2）2+4
（2017?杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对
称轴，（?? ）
A.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0?????????B.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0?????????D.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0
（2017?黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，
③ ＜1，其中错误的个数是（?? ）
A.?1个 ?B.?2个???C.?3个?? ??D.?4个
（2017?鄂州）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负
半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a= ；③ac=b﹣1；④ ＞0；其中正确的个数有（?? ） 2·1·c·n·j·y
A.?1个 B.?2个????C.?3个????D.?4个
（2017?陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为
M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（?? ）
A.?（1，﹣5）??B.?（3，﹣13）??C.?（2，﹣8）???D.?（4，﹣20）
二.填空题
（2017?济宁）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：________.
（2017?兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1
对称，则Q点的坐标为________．
（2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个
二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）
（2017?百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
（2017?河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如
min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }=________；若min{（x﹣1）2 ， x2}=1，则x=________．
三.解答题
（2017·丽水节选）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度
沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示. 【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求a的值；
(2)求图2中图象C2段的函数表达式；
（2017?枣庄节选）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （Ⅰ）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2017?苏州节选）如图，二次函数 的图像与轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ， ．点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点． 图 ①?????????????图②
(1)求 b、c的值；
(2)如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标； 2-1-c-n-j-y
（宁波市2016年中考）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
（2015年江西省中考（样卷三））已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，3），
B（4，0）两点．
（1）用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式．
（2）该二次函数的对称轴不可能是（ ），并对你的选择进行证明．
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
（3）以﹣a代替（1）中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解析式．
①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？请说明理由．
②当x=t（0≤t≤4）时，求|y﹣y′|的最大值（用仅含字母a的式子表示）．
（福建省三明市2016年中考）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），
抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；【出处：21教育名师】
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
第三章函数 第17节 二次函数图像与性质（一）
■考点1. 二次次函数的定义
1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0，自变量x的最高次数是2这个关键条件．
2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
■考点2. 用待定系数法求二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
■考点3. 二次函数的图象及性质
1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
■考点 4. 二次函数图像与系数的关系
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
2a+b的符号，需判
对称
轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
b
决定对称轴（x=-）的位置
当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
■考点1. 二次函数的定义
◇典例：
（2015?福建模拟）当k为何值时，函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数？
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义，令k2+k=2且同时满足k-1≠0即可解答．
解：∵函数y=（k-1）xk2+k+1为二次函数， ∴k2+k=2，k-1≠0， ∴k1=1，k2=-2，k≠1， ∴k=-2．21cnjy.com
◆变式训练
（2015?夏津县校级自主招生）已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【出处：21教育名师】
【考点】二次函数的定义；一次函数的定义．
【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2-m=0 解得m=0或m=1 又∵m-1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2-m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数
■考点2：用待定系数法求二次函数的解析式
◇典例
(2015昆明中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x＝.求抛物线的解析式．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝，
b＝，
∴a＝－，
把A(4，0)，a＝－代入y＝ax2＋x＋c中，
解得c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.
◆变式训练
（2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，-1 ），那么这个二
次函数的解析式可以是_______________．（只需写一个）
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2-1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可．
解：∵抛物线的顶点坐标为（0，-1）， ∴该抛武线的解析式为y=ax2-1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2-1， 故答案为：y=2x2-1
(2016曲靖中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2ax＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0，3)，tan∠OAC＝.求抛物线的解析式．
解：∵C(0，3)，
∴OC＝3.
∵tan∠OAC＝＝，
∴OA＝4，
∴A(－4，0)．
把A(－4，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋2ax＋c中，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋3.
■考点3：二次函数的图象及性质
◇典例：
（2017?邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 _______．（写一个即可）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下， ∴a＜0， ∴a的值可能是-1， 故答案为：-1．
◆变式训练
（2017?兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为 ______________【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（-2，0）． 故答案为：（-2，0）21教育名师原创作品
■考点4：二次函数图像与系数的关系
◇典例：
(2017连云港中考)已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【解析】依据抛物线的对称性可知：(2，y1)在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
【答案】C
◆变式训练
（2017?广元）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有_______________
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵-＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项正确； ②当x=-1时，y=a-b+c＜0，故a+c＞b，错误； ③当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=-=1， 即b=-2a，代入得9a-6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确； ④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c， 而当x=m时，y=am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确． 故①③④正确． 故答案为：①③④．
选择题
(2016泰安中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )
A B C D
解:∵y＝ax2＋bx＋c的图象的开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b>0，∴一次函数y＝ax＋b的图象经过一，二，三象限．
故选A.
(2017哈尔滨中考)抛物线y＝－－3的顶点坐标是( B )
A. B. C. D.
【方法总结】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．关键是熟记：抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h.21教育网
（四川省凉山州2016届中考适应性 ）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则
下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③9a+3b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＜0；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①由抛物线的开口方向向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，确定出a，b及c的正负，即可对于abc的正负作出判断；
②函数图象的对称轴为：x=﹣=1，所以b=﹣2a，即2a+b=0；
③根据抛物线与x轴的交点即可求得抛物线的对称轴，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号；
④由图象得到函数值小于0时，x的范围即可作出判断；
⑤由图象得到当x＜0时，y随x的变化而变化的趋势．
解：根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交与负半轴，对称轴在y轴右侧，则a＞0，c＜0，b＜0，所以abc＞0．故①错误；
根据图象得对称轴x=1，即﹣=1，所以b=﹣2a，即2a+b=0，故②正确；
当x=3时，y=0，即9a+3b+c=0．故③错误；
根据图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜，故④正确；
根据图示知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故⑤正确；
故选C．
（2017?鄂州）已知二次函数y=（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能是（?? ）
A.??B.???C.?? D.?
【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象
【分析】二次函数解析式是顶点式，由图像可看出顶点坐标为（-m,-n),在第二象限，-m<0,-n>0,m＞0，n＜0，在此条件下，一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=?的图象在第二、四象限. 解：观察二次函数图象可知：m＞0，n＜0， ∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y= 的图象在第二、四象限． 故答案为：C．
（2017年遵义市中考 ）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，
则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【考点】 二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；
②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；
③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；
④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．
解：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2（a+c）+c＜0，
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；
④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，
∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．
故选D．
（宁波市2016年中考 ）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的
是（ ）
A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．21世纪教育网版权所有
解：A．∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选D．
（曲靖市罗平县2016中考 ）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0，其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．21·世纪*教育网
解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；
把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；
故选：B．
（安徽省十校联考2016届中考数学模）对于二次函数y=x2﹣4x+7的图象，下列说法正确
的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣2 C．顶点坐标是（2，3） D．与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】配方后确定对称轴、开口方向、顶点坐标后即可确定正确的选项．
解：∵y=x2﹣4x+7=（x﹣2）2+3，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
故B错误，C正确，
故选C
(2017安顺中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠1)，其中结论正确的个数是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答．
填空题
（2016年上海市宝山区中考数学一模）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是__________．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
解：y=﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
（福建省南平市2016年中考）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶
点在y轴上：______．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的图象的顶点在y轴上，则b=0，进而得出答案．
解：由题意可得：y=x2（答案不唯一）．
故答案为：y=x2（答案不唯一）．
（福建省南平市2016年中考）二次函数的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc>0。其中正确的结论是 （填写序号）www.21-cn-jy.com
【解析】由象可知当x=-1时，y小于0，所以a-b+c<0，即a+c【答案】①④
（成都市高新区2016届中考数学一诊）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图形
经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列
结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号
是 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）判断④．
解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
∵﹣＜1，
∴b＜﹣2a，
∴②a＜b＜﹣2a正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：＞2，
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，
由题意知，a+b+c=2，（1）
a﹣b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，
则a＜．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜﹣1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．
解答题
（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）将函数化成y=（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】（1）把一般式利用配方法化为顶点式即可；
（2）利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．
解：（1）y=x2﹣4x+4﹣4+3
=（x﹣2）2﹣1；
（2）图象的顶点坐标是（2，﹣1），
对称轴是：x=2．
（肇庆市端州区西片区2016届九年级上第二次联考）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣
3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）由图可以看出A点为抛物线的顶点，且开口向上，所以此点即为此函数的最小值；
（2）点p是抛物线与x轴的一个交点，而此时另一个交点是0，那么P与O是关于抛物线对称轴的两个对称点，知道了对称点的坐标，就很容易求出t的值；
（3）a＞0时，抛物线的开口向上，a＜0时，抛物线的开口向下，求出a的值就知道其开口方向．
解：（1）∵抛物线的对称轴经过点A，
∴A点为抛物线的顶点，
∴y的最小值为﹣3，
∵P点和O点对称，
∴t=﹣6；
（2）分别将（﹣4，0）和（﹣3，﹣3）代入y=ax2+bx，得：，
解得，
∴抛物线开口方向向上；
（3）将A（﹣3，﹣3）和点P（t，0）代入y=ax2+bx，
，
由①得，b=3a+1③，
把③代入②，得at2+t（3a+1）=0，
∵t≠0，∴at+3a+1=0，
∴a=﹣．
∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∴﹣＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞﹣3．
故t的值可以是﹣1（答案不唯一）．
（注：写出t＞﹣3且t≠0或其中任意一个数均给分）
一.选择题
（2017?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论： ①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（?? ） 2-1-c-n-j-y
A.?①④??B.?②④????C.?①②③?????D.?①②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断． 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1， ∴b=﹣2a＜0， ∴ab＜0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵x=1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 而c＜0， ∴a+b+2c＜0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1， ∴b=﹣2a， 而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，所以④错误． 故选C．
（2015?兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A.?y=3x﹣1??B.?y=ax2+bx+c??C.?s=2t2﹣2t+1???D.?y=x2+ 【考点】二次函数的定义
【分析】根据二次函数的定义，可得答案． A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误； B、y=ax2+bx+c? （a≠0）是二次函数，故B错误； C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确； D、y=x2+不是二次函数，故D错误； 故选：C．21·cn·jy·com
（2017?绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上
画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2 ， 再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（??? ）
A.?y=x2+8x+14???B.?y=x2-8x+14??C.?y=x2+4x+3??D.?y=x2-4x+3 【考点】二次函数的图象 www-2-1-cnjy-com
【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2 ， 就怎样平移到新的抛物线. 解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）. 由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位， 则抛物线的函数表达式为y=x2 ， 经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14， 故选A.
（2017?广州）a≠0，函数y= 与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（?? ）
A.???B.??C.??D.? 【考点】反比例函数的图象，二次函数的图象
【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 解：当a＞0时，函数y= 的图象位于一、三象限，y=﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 当a＜0时，函数y= 的图象位于二、四象限，y=﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 故选D．
（2017?哈尔滨）抛物线y=﹣ （x+ ）2﹣3的顶点坐标是（?? ）
A.?（ ，﹣3）?B.?（﹣ ，﹣3）??C.?（ ，3）????D.?（﹣ ，3） 【考点】二次函数的性质
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 解：y=﹣ （x+ ）2﹣3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣ ，﹣3）． 故选B．
（2016?兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A.?y=（x﹣1）2+2??B.?y=（x﹣1）2+3?C.?y=（x﹣2）2+2??D.?y=（x﹣2）2+4 【考点】二次函数的三种形式
【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．本题考查了二次函数的三种形式，配方法是解题关键． 解：y=x2﹣2x+4配方，得 y=（x﹣1）2+3， 故选：B．
（2017?杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对
称轴，（?? ）
A.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0?????????B.?若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0 C.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0?????????D.?若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案． 解：由对称轴，得 b=﹣2a． （m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a ∵a＜0 当m＜1时，（m﹣3）a＞0， 故选：C．
（2017?黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，
③ ＜1，其中错误的个数是（?? ）
【考点】二次函数图象与系数的关系
【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号． 解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∴ab＜0，故①错误； ∵抛物线和y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴ ＜1，故③正确； 故选A．
（2017?鄂州）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负
半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a= ；③ac=b﹣1；④ ＞0 其中正确的个数有（?? ）
A.?1个 ?B.?2个???C.?3个?????D.?4个 【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点
【分析】图像交y轴于负半轴，因此c<0,对称轴x=<0,可知a、b同号，开口向上，a>0,因此b>0,?＜0，故④错误;由OB=OC，得OB=﹣c， 点B坐标为（﹣c，0），ac2﹣bc+c=0，c不等于0，同除以c,ac﹣b+1=0，故③正确；再把A（﹣2，0）代入解析式，得4a-2b+c=0,代换b=ac+1,可得4a-2ac-2+c=0,2a(2-c)+(c-2)=0,(c-2)(1-2a)=0,c-2不会等于0，因此a=,故②正确;把a=代入ac﹣b+1=0中，得2b﹣c=2，故①正确，故答案为：C. 解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0， ∴ ＜0，故④错误； ∵OB=OC， ∴OB=﹣c， ∴点B坐标为（﹣c，0）， ∴ac2﹣bc+c=0， ∴ac﹣b+1=0， ∴ac=b﹣1，故③正确； ∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点， ∴2c= ， ∴2= ， ∴a= ，故②正确； ∵ac﹣b+1=0， ∴b=ac+1，a= ， ∴b= c+1 ∴2b﹣c=2，故①正确； 故答案为：C．
（2017?陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为
M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（?? ）
A.?（1，﹣5）??B.?（3，﹣13）??C.?（2，﹣8）????D.?（4，﹣20） 【考点】二次函数的性质，二次函数的三种形式
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式：y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4从而得出点M（m，﹣m2﹣4）．由已知条件得出点M′（﹣m，m2+4）；代入解析式求出m=±2；由m＞0，得出M坐标． y=x2﹣2mx﹣4=x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4=（x﹣m）2﹣m2﹣4． ∴点M（m，﹣m2﹣4）． ∴点M′（﹣m，m2+4）． ∴m2+2m2﹣4=m2+4． 解得m=±2． ∵m＞0， ∴m=2． ∴M（2，﹣8）． 故答案为：C．
二.填空题
（2017?济宁）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式：________.
【考点】反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质
【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点. 解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=1×1=1，所以反比例函数y= （答案不唯一）符合题意. 故答案可以是：y= （答案不唯一）.
（2017?兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1
对称，则Q点的坐标为________．
【考点】二次函数的性质
【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可． 解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称， ∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）．2·1·c·n·j·y
（2017?上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个
二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）
【考点】二次函数的三种形式
【分析】根据顶点坐标知其解析式满足y=ax2﹣1，由开口向上知a＞0，据此写出一个即可． 解：∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣1）， ∴该抛武线的解析式为y=ax2﹣1， 又∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1， 故答案为：y=2x2﹣1．
（2017?百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是________．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式
【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式． 解：根据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣ ， 则抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3， 故答案为y=﹣ x2+ x+3．
（2017?河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如
min{1，2}=1，因此，min{﹣ ，﹣ }=________；若min{（x﹣1）2 ， x2}=1，则x=________． 【考点】实数大小比较，二次函数的性质
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，min{（x﹣1）2 ， x2}=1时再分情况讨 解：min{﹣ ，﹣ }=﹣ ，
∵min{（x﹣1）2 ， x2}=1， ∴当x＞0.5时，（x﹣1）2=1， x﹣1=±1， x﹣1=1，x﹣1=﹣1， 解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去）， 当x≤0.5时，x2=1， 解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1， 故答案为： ；2或﹣1．论，当x＞0.5时和x≤0.5时，进而可得答案．
三.解答题）
（2017·丽水节选）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度
沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1 ， C2两段组成，如图2所示.
(1)求a的值；
(2)求图2中图象C2段的函数表达式； 【分析】（1）C1段的函数解析式是点P在AC线段时y与x的关系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可过P作PD⊥AB于D，则PD=PA·sin30°=2x· =x，则可写出y关于x的解析式，代入点（1， ）即可解出；（2）作法与（1）同理，求出用sinB表示出PD，再写出y与x的解析式，代入点（4， ），即可求出sinB，即可解答；
（1）解：在图1中，过P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x， ∴PD=PA·sin30°=2x· =x， ∴y= = . 由图象得，当x=1时，y= ，则 = . ∴a=1. （2）解：当点P在BC上时（如图2），PB=5×2-2x=10-2x. ∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB， ∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB. 由图象得，当x=4时，y= , ∴ ×4×（10-8）·sinB= ， ∴sinB= . ∴y= x·（10-2x）· = .
（2017?枣庄节选）如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于
点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． （Ⅰ）求抛物线的解析式及点D的坐标；
【分析】（Ⅰ）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
解：（Ⅰ）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+6， ∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8， ∴D（2，8）； 21*cnjy*com
（2017?滨州节选）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣
4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （Ⅰ）求直线y=kx+b的函数解析式；
【分析】（Ⅰ）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
解：（Ⅰ）由题意可得 ，解得 ， ∴直线解析式为y= x+3；
（2017?苏州节选）如图，二次函数 的图像与轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ， ．点 在函数图像上， 轴，且 ，直线 是抛物线的对称轴， 是抛物线的顶点． ??? 图 ①?????????????图②
(1)求 b、c的值；
(2)如图①，连接 ，线段 上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，求点 的坐标； 【考点】二次函数的图象，待定系数法求二次函数解析式， 【分析】（1）因为CD⊥x轴，所以C与D的纵坐标相等，即C与D关于抛物线的对称轴对称，则可得对称轴是直线l:x=1，从而由x=-代入a的值，求出b；又由OB=OC，可得B（-c,0）,代入二次函数解析式，求出c的值即可; （2）设点F的坐标为（0，m）关于直线x=1的对称点为（2，m），则求出BE的解析式，将（2，m）代入解出m的值即可；【版权所有：21教育】
（1）解：∵CD⊥x轴，CD=2， ∴抛物线对称轴为直线l:x=1， ∴=1，则b=-2。 ∵OB=OC，C（0，c）， ∴B点的坐标为（-c,0）， ∴0=c2+2c+c，解得c=-3或c=0（舍去）， ∴c=-3, （2）解：由（1）可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，则E（1，-4） 设点F的坐标为（0，m）， ∵对称轴为直线l:x=1, ∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）。 ∵直线BE经过点B（3，0），E（1，-4）， ∴利用待定系数法可得直线BE的表达式y=2x-6, ∵点F在BE上， ∴m=2×2-6=-2， 即点F的坐标为（0，-2）。
（宁波市2016年中考）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）．
（2015年江西省中考（样卷三））已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（0，3），
B（4，0）两点．
（1）用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式．
（2）该二次函数的对称轴不可能是（ ），并对你的选择进行证明．
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
（3）以﹣a代替（1）中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解析式．
①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？请说明理由．
②当x=t（0≤t≤4）时，求|y﹣y′|的最大值（用仅含字母a的式子表示）．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据对称轴公式求得对称轴，即可判断；
（3）①以﹣a代替（1）中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解析式，然后把A．B两点代入即可验证；21*cnjy*com
②解|y﹣y′|得到②|y﹣y′|=|2a（x﹣2）2﹣8a+6|，当x=t时，|y﹣y′|=|2a（t﹣2）2﹣8a+6|，所以当t=2时，有最大值|﹣8a+6|．
解答： 解：（1）将A（0，3），B（4，0）分别代入解析式得
，
解得，
故函数解析式为y=ax2﹣（4a+）x+3；
（2）对称轴为x=﹣=2+≠2，
故选C．
（3）①y′=﹣ax2+bx+c，
由（1）可得y′=﹣ax2﹣（﹣4a+）x+3，
将x=0代入解析式得，y′=3，故A（0，3）在抛物线上；
将x=4代入解析式得，y′=﹣16a+16a﹣3+3=0，故B（4，0）在抛物线上．
②|y﹣y′|=|ax2﹣（4a+）x+3﹣[﹣ax2﹣（﹣4a+）x+3]|
=|2ax2﹣8ax+6|
=|2a（x2﹣4x+4﹣4）+6|
=|2a（x﹣2）2﹣8a+6|
即|y﹣y′|=|2a（t﹣2）2﹣8a+6|，
故|y﹣y′|最大值为|﹣8a+6|．
（福建省三明市2016年中考）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），
抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；
（2）根据题意，可以求得yP的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；
（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题
解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；
（2）当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2；
（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴或，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
