3.1 系数的扩充
课后导练
基础达标
1．复数1-i的虚部是（）
A.1 B.-1 C.i D.-i
解析：由虚部定义可知B正确.
答案：B
2．设全集I={复数}，R={实数}，M={纯虚?数}，则（）
A.M∪R=I B.
C. D.
解析：∵={实部不为0的虚数}∪R，
∴∩R=R.
答案：C
3．以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是（）
A.3-3i B.3+I C.- +I D. +i
解析：3i-的虚部为3，3i2+i的实部为-3.
∴以3i-的虚部为实部，以3i2+i的实部为虚部的复数是3-3i.
答案：A
4．i2+i是（）
A.实数 B.虚数 C.0 D.1
解析：∵i2=-1,∴i2+i=-1+i.
答案：B
5．若a、b、c∈C,则(a-b)2+(b-c)2=0是a=b=c的（）
A.充要条件 B.充分但不必要条件
C.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：取a=2+i,b=2,c=1,
则(a-b)2+(b-c)2=(2+i-2)2+(2-1)2=i2+1=-1+1=0.显然a≠b≠c.21世纪教育网版权所有
∴充分性不成立，必要性显然成立.
答案：C
6．若x是实数,y是纯虚数且满足2x-1+2i=y,则x=_________,y=_________.
解析：由x是实数，y是纯虚数得
∴
答案： 2i
7．若log2（x2-3x-2）+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值（或范围）是_________.
解析：∵log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
∴
∴x=-2.
答案：-2
8．（2006上海高考，理5）若复数z同时满足z-=2i, =iz(i为虚数单位)，则z=_________.21教育网
解析：设z=x+yi(x,y∈R)，
则
即 ∴
∴z=-1+i.
答案：-1+i
9．若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数，求实数m的值.
解：∵log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,
∴∴m=4.
故当m=4时，
log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)是纯虚数.
10．已知+(x2-2x-3)i=0(x∈R),求x的值.
解：由复数相等的定义得
解得x=3.
∴x=3为所求.
综合运用
11．m取何实数时，复数z=+(m2-2m-15)i.
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
解：（1）当时，
即
∴m=5时，z是实数.
（2）当时，
即
∴当m≠5且m≠-3时，z是虚数.
（3）当时，
即
∴当m=3或-2时，z是纯虚数.
12．问m为何值时，复数z=(m-1)+(m-1)(m+2)i的值为零.
解析：∵z=0，
∴
∴m=1.
13．设z=log2(a2-3a-3)+i［1+(a+3)］(a∈R),如果z为纯虚数，试求a.
解析：∵z是纯虚数
∴
解①可知a2-3a-3=1，
则a=4或a=-1.
解②可知：a≠-1.
综上所述：a=4.
拓展探究
14．已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
解：∵M∪P=P,∴M?P.
∴由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1.
得解之，得m=1.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
得解之，得m=2.
综上，可知m=1或m=2.
3.1 系数的扩充
自主广场
我夯基 我达标
1．下列说法正确的是（ ）
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B.ai是纯虚数
C.如果复数x+yi是实数，则x=0,y=0
D.复数a+bi不是实数
思路解析:本题考查复数的基本概念与复数相等的概念.由复数相等的概念知A正确；若a=0，ai为实数，B错误；若x+yi是实数，只要求y=0即可，C错误；若b=0，则a+bi是实数，因此D错误.21世纪教育网版权所有
答案:A
2．下列说法正确的个数是（ ）
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集.
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析:本题考查复数的分类，由复数集、虚数集、实数集的关系知①、②、④正确.
答案:C
3．i2+i是（ ）
A.实数 B.虚数 C.0 D.1
思路解析:i2+i=-1+i,是虚数.
答案:B
4.以3i-的虚部为实部，以3i2-i的实部为虚部的复数是（ ）
A.3-3i B.3+I C.-+i D.+i
思路解析:本题考查复数的代数形式及概念，关键是分清实部与虚部，3i-的虚部为3；3i2-i的实部为-3，因此复数为3-3i.21教育网
答案:A
5.若x是实数，y是纯虚数且满足2x-1+2i=y,则x=_____________,y=_____________.
思路解析:本题考查复数相等的概念，可设y=ai,则2x-1+2i=ai ∴ ∴x=,y=2i21·cn·jy·com
答案:x=;y=2i
6.若log2(x2-3x+2)+ilog2(x2+2x+1)＞1，则实数x的值域范围是_____________.
思路解析:本题考查复数的概念.log2(x2-3x+2)+
ilog2(x2+2x+1)＞1 则满足解得x=-2满足条件.
答案:x=-2
7.若i=1+x，则x=_____________.
思路解析:本题考查复数相等的条件，由于x没有说明，因此应将x当成复数，可设x=a+bi，则（a+1)+bi=i ∴∴，因此x=-1+i.www.21-cn-jy.com
答案:x=-1+i.
8.若log2(m2-3m-4)+ilog2(m+2)为纯虚数，求实数m的值.
思路分析:本题考查复数相等的概念，要求为纯虚数，则满足实部为0，虚部不为0.
解：log2(m2-3m-4)+ilog2(m+2)为纯虚数.
∴
∴m=4,故当m=4时，log2（m2-3m-4)+ilog2（m+2）
是纯虚数.
9.已知+(x2-2x-3)i=0（x∈R),求x的值.
解：由复数相等的定义得
解得x=3
∴x=3为所求.
我综合 我发展
10.(2005年广东高考卷)若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位，则a2+b2=（ ）
A.0 B.2 C. D.5
思路解析:考查复数的运算，复数相等的条件，（a-2i)i=
b-i,2+ai=b-i,根据复数相等的条件得a=-1,b=2,∴a2+b2=5.
答案:D
11.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数的条件是（ ）
A.|a|=|b| B.a＜0且a=-b21cnjy.com
C.a＞0且a≠b D.a＞0且a=±b
思路解析:考查复数的概念，z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数，要求.
解得a＞0,且a=±b.
答案:D
12.已知方程x2-2ix-4=0，因为Δ=(-2i)2+16＞0,所以方程的根是（ ）
A.两个不等实数 B.一对虚根
C.一实根一虚根 D.以上都不正确
思路解析:考查复数相等的定义.
设x=a+bi(a,b∈R),则(a+bi)2-2i(a+bi)-4=0.
∴(a2-b2+2b-4)+(2ab-2a)i=0.
∴或或
∴x=2i或x=，或x=.
答案:D
13.设关于x的方程是x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0.
（1）若方程有实根，求锐角θ的实数根；
（2）证明对任意θ≠kπ+(k∈Z)方程无纯虚数根.
解：(1)设方程的实根为α,则α2-(tanθ+i)α-(2+i)=0,即α2-tanθ·α-2-(α+1)i=0
∵α·tanθ∈R ∴
∴α=-1且tanθ=1
又θ＜θ＜,∴θ=,α=-1
(2)若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0)则
(βi)2-(tanθ+i)·βi-(2+i)=0.
∴-β2+β-2=0 ①
且-tanθ·β-1=0 ②
由②得β=-cotθ,代入①得cot2θ+cotθ+2=0此方程Δ=1-8＜0,∴cotθ为虚数，与cotθ∈R矛盾，假设不成立，∴原方程对于任意实数θ不可能有纯虚数根.
14.已知复数Z1=m+(4-m)2i(m∈R),Z2=2cosθ+（λ+3sinθ)i(λ∈R)，若Z1=Z2，
证明：≤λ≤7.
思路分析:利用复数相等，将复数问题转化为实数问题，再利用函数的单调性或函数的最值求参数的取值范围.
证明：∵Z1=Z2 ∴m+(4-m2)i=2cosθ+(λ+3sinθ)i
由复数相等的条件，
得
∴λ=4-m2-3sinθ
=4sin2θ-3sinθ
=4(sinθ-) 2-.
∵-1≤sinθ≤1,
∴当sinθ=时，λmin=-;
当sinθ=-1时，λmax=7.
∴-≤λ≤7.
3.2 复数的四则运算
自主广场
我夯基 我达标
1．（经典回放）等于（ ）
A. B. C. D.
思路解析:本题考查复数的基本运算.
答案:B
2.(安徽高考卷)等于（ ）
A.5(1-38i) B.5(1+38i) C.1+38i D.1-38i
思路解析:本题考查复数的基本运算.
=1-38i.
答案:D
3.(2004年重庆高考卷)设复数Z=1+则Z2-2Z等于（ ）
A.-3 B.3 C.-3i D.3i
思路解析:本题考查复数的基本运算.
∵Z=1+,Z2-2Z=(1+)2-2(1+)
答案:A
4.当Z=时，Z100+Z50+1的值等于（ ）
A.1 B.-1 C.i D.-i
思路解析:本题考查复数的基本运算
Z2=（1-2i-1)=-i Z50=(-i)25=-i
Z100=(-i)2=-1 故原式=-i
答案:D
5.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0（a∈R)有实根b,且Z=a+bi,则复数Z=（ ）
A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i
思路解析:考查复数相等的定义.
把b代入方程有b2+(4+i)b+4+ai=0
答案:A
6.设复数Z=,则满足等式Zn=Z,且大于1的正整数n中最小的是（ ）
A.3 B.4 C.6 D.7
思路解析:Z3=1，Zn=Z,即Zn-1=1,n-1应是3的倍数，n-1=3时，n=4 故n的最小值为4.
答案:B
7.已知复数Z0=3+2i，复数Z满足Z·Z0=3Z+Z0，则实数Z=___________.
思路解析:复数代数形式的基本运算
Z=
答案: .
8.若对n个复数α1,α2,α3…αn存在n个不全为零的实数k1,k2…kn,使k1α1+k2α2+…+knαn=0成立，则称α1,α2…αn为线性相关，依次规定能使α1=1,α2=1-i,α3=2+2i线性相关的实数k1、k2、k3依次可以取_____________，（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.
思路解析:复数的相等的定义.
-4×1+2(1-i)+1×(2+2i)=0
答案:-4，2，1
9.复数Z=,若Z2+aZ+b=1+i,(a,b∈R)则a+b=_____________.
思路解析:本题主要考查复数的基本运算Z=1-i,则代入Z2+aZ+b=1+i得，
∴∴a+b=1.
答案:1
我综合 我发展
10.(2005年全国高考卷)复数=（ ）
A.i B.-i C. D.
思路解析:本题主要考查复数的基本运算及复数的概念.
答案:A
11.(2004年浙江高考卷)已知复数Z1=3+4i,Z2=t+i,且Z1是实数，则实数t等于（ ）
A. B. C.- D.-
思路解析:本题主要考查复数的基本概念、基本运算，由Z2=t+i得=t-i故
Z1=（3+4i）（t-i)=(3t+4)+(4t-3)i
∵Z1为实数,∴4t-3=0,∴t=.
答案:A
12.(2004年广东高考卷)已知复数Z与(Z+2)2-8i均是纯虚数，则Z=_____________.
思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算依题意，设Z=bi,(b∈R且b≠0)
∴(Z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i
∵(Z+2)2-8i为纯虚数，∴4-b2=0且4b-8≠0.
∴b=-2,即Z=-2i.
答案:-2i
13.(2005年北京高考卷)若Z1=a+2i,Z2=3-4i,且为纯虚数，则实数a的值为_____________.21世纪教育网版权所有
思路分析:本题主要考查纯虚数的概念及基本运算.
由为纯虚数，知=0且≠0知a=.
14.求（1+i)n(1-i)6-n的值.
思路分析:本题主要考查复数的基本运算.
解：原式=（1-i)6=(-2i)3in=8in+1
∴(k为非负整数）.
3.2 复数的四则运算
课后导练
基础达标
1．(5-i)-(3-i)-5i等于（）
A.5i B.2-5i C.2+5i D.2
解析：原式=（5-3）+(-1+1-5)i=2-5i.
答案：B
2．已知复数z满足z+i-3=3-i，则z等于（）
A.0 B.2i C.6 D.6-2i
解析：z=(3-i)-(-3+i)=6-2i.
答案：D
3．(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)等于（）
A.(a2+b2)2 B.(a2-b2)2 C.a2+b2 D.a2-b2
解析：原式=（a2+b2）(a2+b2)=(a2+b2)2.
答案：A
4．若(z-1)2=-1,则z的值为（）
A.1+I B.1±I C.2+I D.2±i
解析：经验证，选B.
答案：B
5．已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：z=z2-z1=（1+2i）-(2+i)=-1+i.
答案：B
6．复数4+3i与-2-5i分别表示向量与，则向量表示的复数是_________.
解析：∵由（-2-5i）-（4+3i）=-6-8i,知表示的复数是-6-8i.
答案：-6-8i
7．（）6+()6=_________;若n为奇数，则()4n+()4n=_________.21世纪教育网版权所有
解析：
=［（-）3］2+［（）3］2
=1+(-1)2=2.
=［（）2］2n+［（）2］2n
=i2n+(-i)2n=(-1)n+(-1)n=-2.
答案：2 -2
8．对于n个复数z1,z2,…,zn，如果存在n个不全为零的实数k1,k2,…,kn，使得k1z1+k2z2+…+knzn=0,就称z1,z2,…,zn线性相关.若要说明z1=1+2i,z2=1-i,z3=-2线性相关，那么可取{k1,k2,k3}=_________.（只要写出满足条件的一组值即可）.21·cn·jy·com
解析：k1(1+2i)+k2(1-i)+k3(-2)=0,
∴(k1+k2-2k3)+(2k1-k2)i=0.
∴
不妨取k1=1,则k2=2,k3=.
即{k1，k2,k3}={1，2，}.
答案：{1，2，}
9．设复数z=a+bi满足z2=3+4i，求z.
解：∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,z2=3+4i,
∴a2-b2+2abi=3+4i.
∴ 或
∴z=2+i或z=-2-i.
10．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+2i，-1+i，-2-2i，求第四个顶点所对应的复数.21cnjy.com
解：设正方形的三个顶点Z1、Z2、Z3对应的复数分别为1+2i、-2+i、-1-2i;点Z4为正方形的第四个顶点,www.21-cn-jy.com
它对应的复数为x+yi,则.
∴(-2+i)-（1+2i）=(-1-2i)-(x+yi),
即-3-i=(-1-x)+(-2-y)i.
∴即
∴第四个顶点对应的复数为2-i.
综合运用
11．设复数z1=a+bi，并且a2+b2=25,z2=3+4i，z1·z2是纯虚数，求z1.
解：z1·z2=(a+bi)(3+4i)=(3a-4b)+(4a+3b)i.
∵z1·z2是纯虚数,
∴3a-4b=0且4a+3b≠0, ①
且a2+b2=25. ②
由①和②，得
∴z1=4+3i或z1=-4-3i.
12．计算()12.
解析：∵()3
=()3+3·（）2·i+3··（i）2+(i)3
=
=-1，
∴()12=［（）3］4
=(-1)4=1.
13．已知z是复数,z+2i，均为实数（i为虚数单位）且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.21教育网
解：设z=x+yi(x,y∈R)，
z+2i=x+(y+2)i∈R则y+2=0， ①
∈R，
则x+2y=0. ②
解①②联立方程组得
∴z=4-2i,
∴(z+ai)2=(4-2i+ai)2=［4+（a-2）i］2
=16-(a-2)2+8(a-2)i.
由于（z+ai）2对应的点在第一象限,
∴解得2
拓展探究
14．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0,则代数式2 005+()2 005的值是多少？
解：∵x2+xy+y2=0,
∴()2++1=0,
故=ω或.
而当=ω时，=,则
原式=
=
=
=
3.3 复数的几何意义
自主广场
我夯基 我达标
1.已知复数Z的模为2，则|Z-i|的最大值是（ ）
A.1 B.2 C. D.321cnjy.com
思路解析：本题主要考查复数模的几何意义，可有两种思路：（1）不等关系，｜Z-i｜≤｜Z｜+｜i｜≤3；（2）｜Z｜=2，可知Z在以原点为圆心，2为半径的圆上运动；｜Z-i｜表示圆上的点到（0，1）的距离，由圆知1≤｜Z-i｜≤3.因此最大值为3.www.21-cn-jy.com
答案：D
2.已知复数Z满足|Z+2|-|Z-2|=1，则复数Z的对应点在复平面上的集合是（ ）
A.线段 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支
思路解析：｜Z+2｜-｜Z-2｜=1表示双曲线靠近（0，2）的一支.
答案：D
3.已知复数Z1Z2满足|Z1|=3，|Z2|=5，|Z1-Z2|=，那么|Z1+Z2|为（ ）
A. B. C.7 D.8
思路解析：本题主要考查复数及模的几何意义.如图设Z1、Z2对应点为A、B，以，为邻边作OACB，则对应的复数为，2·1·c·n·j·y
∵｜｜=3.｜｜=5，｜｜=.
∴cos∠AOB=，
∴cos∠OBC=-
∴｜Z1+Z2｜=｜｜=.
答案：B
4.△ABC的三个顶点对应的复数分别是Z1、Z2、Z3，若复数Z满足|Z-Z1|=|Z-Z2|=|Z-Z3|，则Z对应的点应为△ABC的（ ）21·cn·jy·com
A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
思路解析：由几何意义知，Z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，Z对应的点是△ABC的外心.
答案：D
5.已知Z∈C且|Z|=1，则复数（ ）
A.是实数 B.是虚数但不一定是纯虚数
C.是纯虚数 D.可能是实数也可能是虚数
思路解析：本题主要考查模的性质
∵｜Z｜=1，∴｜Z｜=1，，∴∈R.
答案：A
6.复平面内，过点A（1，0）作虚轴的平行线l，设l上的点对应的复数Z，求对应点的轨迹方程__________________________.【来源：21·世纪·教育·网】
思路解析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=1+ti，=x+yi，又
∴∴消去t得x2+y2=x.
答案：y2+x2=x
7.设Z=,则Z·等于_____________.
思路解析：本题主要考查复数代数形式的运算.
Z=
∴=1
8.在复平面内，复数Z1在连结1+i和1-i的线段上移动，设复数Z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数Z1+Z2在复平面上移动范围的面积.21世纪教育网版权所有
思路分析：本题主要考查复数的几何意义，可结合图形入手处理问题.
[解]设w=Z1+Z2，Z2=w-Z1，｜Z2｜=｜w-Z1｜
∵｜Z2｜=1，∴｜w-Z1｜=1
上式说明对于给定的Z1，w在以Z1为圆心，1为半径的圆上运动，又Z1在连结1+i和1-i的线段上移动.21*cnjy*com
∴w移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π.
9.已知复数|Z|=1，求|Z+|的最大值和最小值.
思路分析：本题主要考查复数的基本运算.
[解]设Z=x+yi，（xy∈R）则x2+y2=1
=｜x2-y2+1+2xyi｜=｜2x2+2xyi｜==2｜x｜
由于｜x｜≤1，于是当Z=±1时，有最大值2；
当Z=±i时，有最小值.
我综合 我发展
10.（经典回顾）复数Z=(m∈R,i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
思路解析：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义.
由已知Z=[(m-4)-2(m+1)i]在复平面上的对应点如果在第一象限，则而此方程组无解.因此不可能在第一象限.21·世纪*教育网
答案:A
11.（经典回顾）若Z∈C，且|Z+2-2i|则|Z-2-2i|的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
思路解析:本题考查复数代数形式的运算，数形结合思想.
方法1：设Z=a+bi(a,b∈R),因此有|a+2+(b-2)i|=1.
即（a+2)2+(b-2)2=1,又|Z-2-2i|=而|a+2|≤1,即-3≤a≤-1，∴当a=-1时，|Z-2-2i|取最小值3.21教育网
方法2利用数形结合法：
|Z+2-2i|=1表示圆心在（-2，2），半径为1的圆上，而|Z-2-2i|表示圆上的点与点（2，2）的距离，其最小值为3.2-1-c-n-j-y
答案:B
12.已知Z∈C，在复平面内，Z，对应的点分别为P、P2，O为坐标原点，则在下列结论中正确的为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
①当Z为纯虚数时P1、O、P2三点共线；
②当Z为实数时，；
③当Z为虚数时，P、O、P2三点构成等腰三角形；
④无论Z为何复数
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
思路解析:当Z为纯虚数时，Z与对应的点均在虚轴上，故P1、P2、O三点共线；①正确；显然③错误；当Z=0时，对应的点复数为0，对应的复数也为0，此时有=-成立，故④错误.www-2-1-cnjy-com
答案:A
13.（经典回放）对于任意两个复数Z1=x1+y1i,Z2=x2+y2i(x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为Z1⊙Z2=x1x2+y1y2，设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点，如果w1⊙w2=0，那么△P1OP2中，∠P1OP2的大小为_____________.【出处：21教育名师】
思路解析:本题主要考查复数的几何意义.设w1=x1+y1i,w2=x2+y2i,由复数的几何意义得P1（x1,y1)、P2(x2,y2)，又w1⊙w2=0，∴x1x2+y1y2=0.∴OP1⊥OP2【版权所有：21教育】
∴∠P1OP2=.
答案:
14.（经典回放）已知Z，w为复数，（1+3i)Z为纯虚数，w=，且|w|=,求w.
思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算.
方法1：设Z=a+bi(a、b∈R),则（1+3i)Z=a-3b+(3a+b)i.由题意知a=3b≠0.∵|w|=21教育名师原创作品
∴|Z|=.将a=3b代入，解得a=±15,b=±5.故w=±=±(7-i).
方法2：由题意设(1+3i)Z=Ki,(K≠0且K∈R)
则w=.∵|w|= ∴K=±50.
故w=±(7-i)
3.3 复数的几何意义
课后导练
基础达标
1．i2+i3+i4对应的点在（ ）
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第三象限
解析：∵i2+i3+i4=-1-i+1=-i,∴B正确.
答案：B
2．z1=1+2i、z2=2-i、z3=、z4=对应的点（ ）
A.在圆|z|=2上 B.在|z|=5上
C.在圆|z|2=5上 D.不共圆
解析：∵|z1|=,|z2|=,|z3|=,|z4|=,∴C正确.
答案：C
3．如果向量=0，则下列说法中正确的个数是（ ）
①点Z在实轴上 ②点Z在虚轴上 ③点Z既在实轴上，又在虚轴上
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：①②③正确.
答案：D
4．若=（0，-3），则对应的复数（ ）
A.等于0 B.等于-3
C.在虚轴上 D.既不在实轴上，也不在虚轴上
解析：向量对应的复数为-3i.
答案：C
5．复数2-3i对应的点在直线_________上（ ）
A.y=x B.y=-x
C.3x+2y=0 D.2x+3y=0
解析：复数2-3i对应的点为（2，-3），经验证在3x+3y=0上.
答案：C
6．满足条件|z|<3的复数z在复平面内对应的点Z的集合是__________.
解析：由复数的几何意义可知.
答案：以原点为圆心，3为半径的圆的内部
7．已知复数z=x-2+yi的模是，则点（x,y）的轨迹方程是__________.
解析：由|x-2+yi|=22,得(x-2)2+y2=8.
答案：(x-2)2+y2=8
8．复数z=x+3+i(y-2),(x,y∈R)且|z|=2,则点（x,y）的轨迹方程是__________.
解析：∵=2,
∴(x+3)2+(y-2)2=4.
答案：(x+3)2+(y-2)2=4
9．已知|z|=2+z-4i,求复数z.
解析：设z=x+yi(x、y∈R),则由题意知
=2+x+iy-4i=(x+2)+(y-4)i,
∴即
∴z=3+4i.
10．已知向量与实轴正向的夹角为45°，向量对应的复数z的模为1，求z.
解：设z=a+bi(a、b∈R).
∵与x轴正向的夹角为45°,|z|=1,
∴或
∴
∴z=或z=.
综合运用
11．实数x分别取什么值时，复数z=x2+x-6+(x2-?2x-15)i表示的点：（1）在实轴上？（2）在虚轴上？21世纪教育网版权所有
解：(1)当x2-2x-15=0,即x=-3或x=5时，复数z对应的点在实轴上.
（2）当x2+x-6=0,即x=2或x=-3时，复数z对应的点在虚轴上.
12．设z是虚数，ω=z+是实数，且-1<ω<2.求|z|的值及z的实部的取值范围.
解析：∵z是虚数，∴可设z=x+yi(x,y∈R且y≠0)，
ω=z+=(x+yi)+=x+yi+
=(x+)+(y-)i，
∵ω为实数且y≠0,
∴1-=0，
即x2+y2=1,∴|z|=1此时ω=2x,
由-1<ω<2得-1<2x<2.
∴-即z的实部的范围是（-，1）
13．已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈(0,2π)，设对应的复数为z.21教育网
（1）求复数z;
(2)若复数z对应的点P在直线y=x上，求θ的值.
解：（1）z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+i(cos2θ-1)
=-1-2sin2θ·i.
（2）点P的坐标为(-1,-2sin2θ),
由点P在直线y=x上,得-2sin2θ=-.
所以sin2θ=,则sinθ=±.
因为θ∈(0,2π),所以θ=,,,.
拓展探究
14．若复数z满足|z++i|≤1,求：
（1）|z|的最大值和最小值；
（2）|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值；
（3）|z-|2+|z-2i|2的最大值和最小值.
解：（1）如下图所示,||==2.
∴|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
(2)|z-1|2+|z+1|2=2|z|2+2.
∴|z-1|2+|z+1|2的最大值为20，最小值为4.
（3）如右图，在圆面上任取一点P，与复数z1=，z2=2i的对应点A、B相连，得向量，再以为邻边作平行四边形将问题再次转化为（1）的类型.
设za=,zb=2i,P为圆面上任一点，zP=z.
则2||2+2||2=||2+(2||)2
=7+4||2,
∴|z-|2+|z-2i|2=(7+4|z--i|2).
而|z--i|max=|O′M|+1=1+,
|z--i|min=|O′M|-1=-1,
∴|z-|2+|z-2i|2的最大值为27+，最小值为27-.
