第六章 万有引力与航天 新题型训练
（满分100分，90分钟完成） 班级_______姓名_______
目的要求：
1．掌握开普勒行星运动定律，能用开普勒定律解决有关的天体运动问题；
2．理解万有引力定律的含义、适用条件，能应用万有引力定律解题；
3．能用万有引力定律和匀速圆周运动的规律解决卫星运动问题。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1． 在绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船的地板上放一个质量较大的物体，该物体的受力情况是 （ ）
A．只受到重力
B．完全失重，不受力
C．只受重力和支持力
D．只受重力和向心力
2．地球的第一宇宙速度约为8km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度约为 （ ）
A．4km/s B．8km/s
C．16km/s D．32km/s
3．环绕地球表面的人造卫星的速度为v0，此时周期为T0。当卫星距地面高度为R时，其速度为v，周期为T，则下述关系中正确的是（R为地球半径） （ ）
A． B．
C． D．
4．某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运转，若要计算该行星的密度，惟一需要测出的一个物理量是(G为已知) （ ）
A．行星的半径 B．卫星轨道半径
C．卫星运转的线速度 D．卫星运行的周期
5．若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）
A．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
6．已知引力常量为G，月球到地心的距离为R，月球的运转周期为T，仅用这三个数据，可以求出的物理量有 （ ）
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运动的线速度
7．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律，以下说法正确的是 （ ）
A．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的
B．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大
C．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供
D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
8．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比 （ ）
A．地球与月球间的万有引力将变大
B．地球与月球间的万有引力将变小
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．观测表明，除了银河系附近几个星系外，几乎所有的星系都在远离银河系，而且远离的速度与距离成正比，这说明___________，这一事实为宇宙大爆炸理论奠定了基础。宇宙大爆炸理论，是建立在______________基础上的。
10．某星体的半径为地球半径的2倍，当宇航员到达该星体表面时，发现自己的体重较小了一半，请你估算该星体的密度为地球密度的 倍。
11．据报道，“嫦娥一号”预计在2006年底或2007年初发射，“嫦娥一号”将在距离月球高为h处绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0。“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为___________。
12．在一个半径为R的行星表面以初速度v0竖直上抛一物体，上升的最大高度为h，那么此行星表面卫星的环绕速度v1=___________。
三、计算题：本大题共3小题，计28分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
13．（8分）已知物体从某星球上的逃逸速度（第二宇宙速度），式中G、M、R分别是万有引力恒量、星球的质量和半径。
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞。设某黑洞的质量等于太阳的质量M0＝1.98×1030kg，求它的可能最大半径R0。
（2）在目前天文观察范围内，物质的平均密度为10－27kg/m3。如果认为我们的宇宙是这样的一个均匀大球体，其密度在它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能离宇宙，问宇宙的半径至少多少光年？
14．（10分）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球球心之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球作圆周运动，由得
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
15．（10分）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）
参考答案
一、选择题：
1．【答案】A
【点拨】卫星内的物体所受的重力完全提供物体作圆周运动的向心力，处于完全失重状态，对地板没有压力，故只受重力，A正确。
2．【答案】C
【点拨】已知地球第一宇宙速度=8 km/s；该行星第一宇宙速度＝＝16km/s，C正确。
3．【答案】BC
【点拨】人造卫星环绕地球运行的速度，所以，即；根据开普勒第三定律有：，得：。B、C正确。
4．【答案】D
【点拨】万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有：，又M＝ρ，
解得：，故只需测出周期，D正确。
5．【答案】BD
【点拨】卫星的运行速度，轨道半径越大，它的运行速度越小，A错误，B正确；卫星的向心力由万有引力提供，根据万有引力定律有，卫星的质量一定时，轨道半径越大，向心力越小，C错误，D正确。
6．【答案】BD
【点拨】月球绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，有，可求出地球的质量；又因为，可求出速度v。B、D正确。
7．【答案】C
【点拨】重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，A错误；根据可知，卫星离地球越远，受到的万有引力越小，B错误；卫星绕地球做圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供，C正确；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于万有引力用来提供他自身做圆周运动所需要的向心力，D错误。
8．【答案】BD
【点拨】设开始时地球的质量为M0，月球的质量为m0，两星球之间的万有引力为F0，开采后地球的质量增加Δm，月球质量相应减少Δm，它们之间的万有引力变为F，则：，，因M0＞m0，上式后一项必大于零，则F0＞F。不论是开采前还是开采后，月球绕地球做圆周运动的向心力都由万有引力提供，在开采前，又T0＝，所以月球绕地球运动的周期T0＝2π；同理得，因为Δm＞0，故T0＞T。B、D正确。
二、填空、实验题：
9．【答案】宇宙在膨胀着；观测事实
【点拨】（略）
10．【答案】0.25
【点拨】因为宇航员在星体表面的重力等于宇航员和星体间的万有引力，，得星体表面的重力加速度为，所以，星体表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为=0.5。又因ρ＝，所以==0.25。
11．【答案】
【点拨】物体在月球表面的重力等于万有引力，即，在高度h处，万有引力提供向心力有：，解得：T＝。
12．【答案】
【点拨】根据竖直上抛运动有，得。行星表面卫星的环绕速度＝。
三、计算题：
13．【答案】（1）2.93km；（2）4.2×1010光年。
【解析】（1）由题意知，黑洞的逃逸速度v＞c，结合已知条件得：
＞c
所以：R0＜＝2.93km。
（2）设宇宙的半径为R′，质量为，则有
如果宇宙是黑洞，则有
＞c
联立解得：R′＞＝4.2×1010（光年）。
14．【答案】（略）
【解析】（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。
正确的解法和结果是：
根据万有引力提供向心力有：
解得：。
（2）方法一：对月球绕地球作圆周运动，根据万有引力提供向心力有：
解得：。
方法二：在地面，物体的重力近似等于地球对它的万有引力，有：
解得：。
15．【答案】
【解析】设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有：
式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有 因
得
设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理
所求时间为：
由以上各式得：。
第六章 万有引力与航天 综合测试卷
（满分100分，90分钟完成） 班级_______姓名_______
目的要求：
1．掌握开普勒行星运动三定律，并能用开普勒定律解决有关的天体运动问题；
2．理解万有引力定律及其适用条件，能运用万有引力定律解决相关问题；
3．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度；
4．能用万有引力和匀速圆周运动的规律解决天体运动问题。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得4分，对而不全得2分。选错或不选的得0分。
1． 关于开普勒第三定律＝k的理解，以下说法中正确的是 （ ）
A．k是一个与绕太阳运行的行星无关的常量，可称为开普勒常量
B．T表示行星自转的周期
C．该定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R1，周期为T1，月球绕地球运转轨道的半长轴为R2，周期为T2，则。
2．要使两物体间万有引力减小到原来的，可采用的方法是 （ ）
A．使两物体的质量各减少一半，距离保持不变
B．使两物体间距离增至原来的2倍，质量不变
C．使其中一个物体质量减为原来的，距离不变
D．使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的
3．把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星 （ ）
A．周期越小 B．线速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
4．设想地球没有自转，竖直向下通过地心把地球钻通，如果在这个通过地心的笔直的管道一端无初速度地放下一物体，下列说法正确的是 （ ）
A．物体在地心时，它与地心间距离为零，地球对物体的万有引力无穷大
B．物体在地心时，地球对它没有吸引力，即它与地球之间的万有引力为零
C．物体在管道中将来回往返运动，通过地心时加速度为零，速率最大
D．物体运动到地心时由于万有引力为零，它将静止在地心不动
5．如图1所示，为卡文迪许测定引力常量的扭秤实验示意图，关于这个实验，下列说法中正确的是 （ ）
A．此装置须放在密闭的室内进行
B．T型架由细绳悬挂着
C．T型架扭转θ角时，由平面镜M反射的光线也转动θ角
D．卡文迪许测量的G值等于6.67×10－11 N·m2/kg2
6．一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体，经ts后物体落回宇航员手中，为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为 （ ）
A． B． C． D．
7．由于高空稀薄空气的阻力，人造地球卫星的轨道半径逐渐减小，那么卫星的 （ ）
A．速率变大，周期变小
B．速率变小，周期变大
C．速率变大，周期变大
D．速率变小，周期变小
8． 若地球每一年只自转一周，下列说法中不可能的是 （ ）
A．同一个人在赤道上的体重将增大
B．同一个人在竖直起跳时可以跳得更高
C．地球绕太阳公转的周期不变
D．地球同步卫星距地面的高度将增大
9．某同学通过Internet查询“神舟五号”飞船绕地球运转的相关数据，从而将其与地球同步卫星进行比较。他查阅到“神舟五号”在圆形轨道上的运转一周的时间大约为90min，由此可得出 （ ）
A．“神舟五号”在圆轨道上运转的速率比地球同步卫星的大
B．“神舟五号”在圆轨道上运转的角速度比地球同步卫星的小
C．“神舟五号”在圆轨道上运转离地面的高度比地球同步卫星低
D．“神舟五号”在圆轨道上运转的向心加速度比地球同步卫星的小
10．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则 （ ）
A．F1＝F2＞F3 B．a1＝a2＝g＞a3
C．v1＝v2＝v＞v3 D．ω1＝ω3＜ω2
11．2004年1月，国务院正式批准了绕月探测工程，第一颗绕月卫星被命名为“嫦娥一号”，为月球探测后续工程积累经验。如图所示，设宇宙飞船到了月球上空先以速度v绕月球做圆周运动，为了使飞船较安全地落在月球上的B点，在轨道A点处点燃火箭发动器，向外喷射高温燃气，则喷气的方向为 （ ）
A．与v的方向一致
B．与v的方向相反
C．垂直 v的方向向右
D．垂直 v的方向向左
12．如图3所示，a和b是某天体M的两个卫星，它们绕天体公转的周期为Ta和Tb，某一时刻两卫星呈如图所示位置，且公转方向相同，则下列说法中正确的是 （ ）
A．经后，两卫星相距最近
B．经后，两卫星相距最远
C．经后，两卫星相距最近
D．经后，两卫星相距最远
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
13．人造卫星离地面的距离等于地球半径R，卫星的环绕速度为v，地面上的重力加速度为g，则这三个量的关系是v＝___________。
14．两天体的半径相等，质量之比M1∶M2＝1∶4，则分别环绕它们做圆周运动的卫星的最小周期之比T1∶T2＝___________。
15．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力恒量为G，如果不考虑地球自转的影响，地球的平均密度可以表示为___________。
16．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种说法叫做“宇宙膨胀说”，认为引力常量G在缓慢地减小，根据这种理论分析：现在地球绕太阳公转的轨道半径、周期与很久以前相比变化的情况是：半径 ，周期 。（填“变大”“不变”或“减小”）
17．一颗人造卫星贴着某行星表面绕行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动的弧长为s，卫星与行星的中心连线转过的角度是1rad，卫星的环绕周期T＝___________，该行星的质量M＝___________（已知引力常量G）。
18．天文学家观察哈雷彗星的周期是75年，离太阳最近的距离是8.9×1010 m，但它离太阳最远的距离不能被测出，根据开普勒定律计算这个最远距离为 ，太阳系的开普勒常量k＝3.354×1018 m3/s2。
三、计算题：本大题共2小题，计28分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
19．（12分）同步通讯卫星是进行现代通讯的重要的工具，我国在卫星发射方面已取得了辉煌的成就，已进入了世界航天大国的行列。下面是关于同步卫星的一些问题，请回答或进行讨论（已知地球半径R＝6400km，地球质量M＝6.0×1024kg，地球自转的周期T＝24h，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2）。
（1）同步通讯卫星的轨道有什么特点？
（2）同步通讯卫星的轨道离地球表面的距离约为多大？
（3）在同步的轨道上均匀分布三颗通信卫星，能否实现全球的通讯，为什么？
20．（16分）如图4所示，质量为M的地球沿圆轨道绕太阳S运行。当地球运动到位置P时，有一质量为m的宇宙飞船在太阳和地球连线上的A处由静止出发，且在恒定的推进力F的作用下，沿AP方向做匀加速直线运动。两年后飞船在P处掠过地球上空，再过半年，飞船又在Q点处掠过地球上空。设地球与飞船、太阳与飞船之间的引力不计，求太阳与地球间的引力。
参考答案
一、选择题：
1．【答案】AC
【点拨】用开普勒第三定律描述绕太阳运动的各个行星间的关系时，T为行星公转周期，不是自转周期，其k值只与太阳有关，与各行星无关，A正确，B错误；开普勒定律同样适合于卫星绕行星的运动，这时T为卫星公转周期，k与卫星无关而只与行星有关，地球绕太阳运转，＝k；月球绕地球运转，＝k′，这两个常量k、k′不相等，故，C正确，D错误。
2．【答案】ABC
【点拨】由公式F＝G知，若要F变成，A、B、C正确。
3．【答案】BCD
【点拨】行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供，有G＝m，v＝，r越大，线速度越小，B正确；G＝mω2r，ω＝，r越大，角速度越小，C正确；ω越小，则周期T＝越大，A错误；G＝ma，a＝，r越大，则a越小，D正确。
4．【答案】BC
【点拨】由对称性可知，质量分布均匀的球体各部分对放在球心处的物体的吸引力互相抵消，合力为零，因此选项A错误，B正确；物体在管道口处受地球的引力下落，之后引力越来越小，到地心处变为零，此过程是加速运动的，不会在地心处静止，从对称性可以判定，C正确， D错误。
5．【答案】A
【点拨】为避免周围环境对实验的影响，此装置须放在密闭的室内进行，A正确；卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T型架，倒挂在一根金属丝的下端，B错误；T型架的竖直部分装有小平面镜M，它能把射来的光线反射到刻度尺上，当T型架扭转θ角时，由平面镜M反射的光线转动2θ角，C错误；D中常量的数值是是现代测量的结果，卡文迪许测量的G值与该值很接近，D错误。
6．【答案】B
【点拨】设星球对物体产生的“重力加速度”为，则由竖直上抛运动的公式得：＝，为使物体以最小速度抛出后不再落回星球表面，应使它所受的星球引力正好等于物体沿星球表面做圆周运动所需的向心力，即F引＝m＝，得＝，B正确。
7．【答案】A
【点拨】由得，卫星的速度，周期。卫星的轨道半径减小，速率将变大，周期将变小，A正确。
8．【答案】B
【点拨】地球自转变慢，地球赤道上物体随自转所需的向心力变小，同一个人在赤道上的体重将增大，A正确；地球自转变慢，赤道处的重力加速度将变大，故同一个人竖直起跳的高度会低一些，B错误；地球绕太阳公转的周期与地球自转的周期无关，C正确；地球自转周期变长，同步卫星的周期也变长，因，所以地球同步卫星距地面的高度将增大，D正确。本题答案为B。
9．【答案】AC
【点拨】从题意知，“神舟五号”的周期小球地球同步卫星的周期，根据卫星的轨道与各量的对应关系知，周期小的飞船离地面近，速度大，角速度大，向心加速度大，A、C正确。
10．【答案】D
【点拨】赤道上的物体随地球自转的向心力为物体所受万有引力与地面支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力等于同步卫星所在处的万有引力，故有F1＜F2，F2＞F3，加速度：a1＜a2，a2＝g，a3＜a2，线速度：v1＝ω1R，v3＝ω1(R＋h)。因此v1＜v3，而v2＞v3，角速度ω1＝ω3＜ω2。
11．【答案】A
【点拨】飞船在A点减速后，万有引力大于所需的向心力，飞船将靠近月球，由圆形轨道变为与月球表面相切的椭圆轨道。所以向与v的方向一致的方向喷气，飞船减速，A正确。
12．【答案】AB
【点拨】卫星a的周期小球卫星b的周期，当两卫星转过的角度相差2π时两卫星再次相距最近，有：，得t＝，A正确；当两卫星转过的角度相差π时两卫星第一次相距最远，有：，得t＝，B正确。
二、填空、实验题：
13．【答案】
【点拨】由，，得；又r＝R＋h＝2R，所以，v＝。
14．【答案】2∶1
【点拨】最小周期是近地卫星的周期，有，结合已知条件有＝2∶1。
15．【答案】
【点拨】不考虑地球自转，重力等于万有引力，所以mg＝G，而M＝ρV＝ρπR3，解得：ρ＝。
16．【答案】变大，变大
【点拨】若引力常量G减小，地球质量m、太阳质量M不变，太阳对地球的万有引力随之减小，将小于地球在轨道上该位置处所需的向心力，地球将做离心运动，偏离太阳，轨道半径增大。地球在远离太阳的过程中，太阳对它的引力成为运动的阻力，所以速率减小，再由周期公式T＝知，其公转周期T增大。
17．【答案】2πt；
【点拨】卫星做匀速圆周运动，有，得T＝2πt；根据万有引力提供向心力有：G＝，根据已知条件有：s＝R，解得：M＝。
18．【答案】5.225×1012 m
【点拨】设哈雷彗星离太阳的最远距离为r1，最近距离为r2，则轨道的半长轴为R＝。因为哈雷彗星绕太阳沿椭圆轨道运动，所以根据开普勒第三定律有：＝k，解得：r1＝，将k＝3.354×1018 m3/s2，T＝75×365×24×3600s，r2＝8.9×1010 m，代入计算，得哈雷彗星离太阳的最远距离r1＝5.225×1012 m。
三、计算题：
19．【答案】（1）略；（2）3.59×104km；（3）略。
【解析】（1）同步卫星的轨道平面必须与地球的赤道的平面重合，卫星转动的方向与地球自转的方向相同，周期和角速度与地球自转的周期和角速度相同，始终定点在赤道某地的正上方，轨道距地面的高度，卫星的向心加速度、速率等相同，地球上的同步轨道是唯一的；同步卫星的轨道平面虽然要与地球的赤道的平面重合，但发射并不一定要在赤道上发射，同步卫星发射后并不是直接进入同步轨道的，而是要先进入近地的停泊轨道在进入转移轨道，最后再经过一系列的调整进入同步轨道。
（2）地球对卫星的万有引力提供向心力，有：
G＝m(R＋h)
整理得：h＝－R
代入数据，解得：h＝3.59×104km。
（3）设地球为球体，从卫星处作与地球相切的两条直线，因为同步卫星的高度不是无限大，所以两切线总不能过地球的南、北极点。由此可见，不管在同步轨道上发射多少卫星，都不能覆盖全球。但在同步轨道上对称地放三颗卫星，基本可以实现全球通讯。
20．【答案】
【解析】因不知道太阳的质量，所以无法直接用万有引力定律计算太阳对地球的引力。须从引力产生的效果，提供向心力来计算。
设半年的时间为t，则飞船从A到达P所用的时间为4t，到达Q所用的时间为5t。设地球绕太阳做圆周运动的轨道半径为R，则P、Q间的距离为2R，根据运动学关系有
整理得：
地球绕太阳做匀速圆周运动的周期T＝2t，其向心力由太阳对地球的引力提供，所以有：
F引＝＝。
专题二：人造卫星与天体运动
（45分钟完成）
目的要求：
1．应用万有引力定律结合匀速圆周运动的知识解决天体运动的问题；
2．掌握人造卫星的特点，掌握同步卫星的有关计算。
1．当一个做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍时，则 （ ）
A．卫星的角速度减小到原来的倍
B．卫星所需向心力减小到原来的倍
C．卫星的线速度减小到原来的倍
D．卫星的周期增加到原来的2倍
2．地球半径为R，地面重力加速度为g，地球自转周期为T，地球同步卫星离地面的高度为h，则地球同步卫星的线速度大小为 （ ）
A． B．
C． D．
3．某球状行星的质量分布均匀，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星自转周期为（万有引力常量为G） （ ）
A． B．
C． D．
4． 中子星是恒星世界的“侏儒”，直径一般在2040km，但密度大得惊人，若某中子星半径为10km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星表面上的卫星环绕速度应为 （ ）
A．约7.9km/s
B．约16.7km/s
C．约5.3×104km/s
D．约5.8×104km/s
5．关于“神舟”六号宇宙飞船及期中物体的超重、失重问题，下列说法中正确的是（ ）
A．在发射过程中向上加速时产生超重
B．在降落过程中向下减速时产生失重
C．进入轨道做匀速圆周运动时产生失重
D．失重是由于地球对飞船内物体的吸引力减小而引起的
6．在环绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船里，能完成下列哪些实验 （ ）
A．可用弹簧秤称物体的重
B．可用天平测量物体的质量
C．可用托里拆利管测舱内的气压
D．可用测力计测力
7．要使人造卫星绕地球运行，它地面附近的发射速度必须等于或大于________km/s，并且小于_________km/s；要使卫星脱离地球引力不再绕地球运行，成为人造行星，必须使它的发射速度等于或大于________km/s；要使它飞到太阳系以外的地方去，发射速度必须等于或大于________km/s。
8．质量为60kg的宇航员，他在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上绕地球运行时，他所受地球的吸引力是________N，这时他对卫星中的座椅的压力是________（地面重力加速度g0=9.8m/s2）。
9．已知地球绕太阳公转的轨道半径为R，太阳半径为r，地球绕太阳运行周期为T，则在太阳表面的自由落体加速度为___________。
10．某物体在地球表面上受到地球对它的引力为800N，为使此物体受到的引力减至50N，物体距地面的高度为 （已知地球半径为R）。
11．某一中子星的自转周期T＝s，为使其赤道上的物质不脱离它的表面，它的密度至少是________kg/m3。(G取6.67×10－11N·m2/kg2，球的体积V=，R为球得半径）
12．某一星球半径与地球半径之比为1∶2，质量之比为1∶10，假如某人在星球和地球上跳高，则这人在星球上和地球上竖直跳起的最大高度之比是多少?
13．吴健雄是著名的美籍华裔物理学家，以她的名字命名的小行星（吴健雄星）半径约为R＝16km，该行星的密度与地球相近，若在此小行星上发射一颗卫星环绕其表面运行，试估算该卫星的环绕速度（已知地球半径R0＝6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2）。
14．假设宇宙间有三个质量均为m的天体，其天体中心位于边长为L的等边三角形的三个顶点A、B、C上，如图所示。如果不考虑其它天体对它们的引力，这三个天体要保持图中的稳定结构，角速度应为多少？
参考答案
1．【答案】C
【点拨】根据万有引力提供向心力，有：；当轨道半径增大到原来的2倍时，。万有引力减小为原来的，即向心力变为原来的；v1=v，ω1=ω，T1=T，C正确。
2．【答案】AC
【点拨】对地面物体有：；对同步卫星有：，得到，A正确；又，C正确。
3．【答案】C
【点拨】物体对行星表面的压力恰好为零，此时万有引力充当向心力，有，即；因为，即，联立解得：，C正确。
4．【答案】D
【点拨】对绕中子星表面的卫星有：，又，联立解得：。所以卫星的线速度为，代人数值得v＝5.8×104km/s。D正确。
5．【答案】AC
【点拨】在发射时向上加速和降落时向下减速时均有向上的加速度，产生超重，A正确，B错误；飞船在轨道上做匀速圆周运动时，地球对飞船（或飞船内的物）的万有引力提供向心力，处于完全失重状态，C正确；失重是物体对支持物或悬挂物的作用力小球地球对物体的引力，并不是地球对物体的作用力减小而引起的，D错误。
6．【答案】D
【点拨】在轨道上运行的宇宙飞船里，物体处于完全失重状态，无法完成与重力有关的实验，A、B、C错误；在宇宙飞船里可以用测力计测拉力等，D正确。
7．【答案】7.9；11.2；11.2；16.7
【点拨】（略）
8．【答案】147；0
【点拨】离地面高度为h处的重力加速度为gh＝＝，即所受重力为地球表面重力的，即147N；由于所受重力提供他作圆周运动的向心力，处于完全失重状态，所以对座位的压力为零。
9．【答案】
【点拨】地球绕太阳公转，万有引力提供向心力，有，设想物体在太阳表面，有重力等于万有引力，则，联立得：。
10．【答案】15R
【点拨】在地球表面有，在距地面高h处，有，联立得：，解得h＝15R。
11．【答案】1.27×1014kg/m3
【点拨】若赤道表面物质刚好不脱离，则万有引力完全充当向心力，有：，整理得；密度，代人数值即可。
12．【答案】5∶2
【解析】设人的质量为m，在地球上时：
在星球上时：
两式联立得：
人在星球和地球上跳高时起跳的初速度相同，起跳后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动有，在地球上跳起的最大高度为：
在星球上跳起的最大高度为：
所以有：
13．【答案】20m/s
【解析】对环绕地球或星球表面的卫星有：
①
由①式得：
对地球表面的物体有：
②
联立①②式得地球表面卫星的环绕速度为：＝8km/s。
所以吴健雄星表面卫星的环绕速度与地球表面卫星的环绕速度的关系是
所求的卫星的环绕速度＝20m/s。
14．【答案】
【解析】三个天体要保持图中的稳定结构，必须以同样的角速度绕三角形中心做圆周运动。每个天体受到的另两个天体的万有引力的合力提供向心力，如图。
根据几何关系知，旋转半径为：
每个天体做圆周运动的向心力为：
根据向心力公式得：
解得：。
专题一：行星的运动与万有引力
（45分钟完成）
目的要求：
1．掌握开普勒行星运动的定律，能用开普勒行星运动的定律解题；
2．掌握万有引力定律，能用万有引力定律解题。
1． 航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得了最新成果。探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时 （ ）
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速度将变大
D．探测器飞行的速度将变小
2．两大小相同的实心均匀小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个半径为实心小铁球两倍的实心均匀大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为 （ ）
A．2F
B．4F
C．8F
D．16F
3．以下说法中正确的是 （ ）
A．质量为m的物体在地球上的任何地方，其重力都相等
B．把质量为m的物体从地面移到高空上，其重力变小
C．同一物体在赤道处的重力比两极处重力大
D．同一物体在任何地方其质量都是相同的
4．两个行星的质量分别为m1、m2，它们绕太阳运动的轨道半径分别为R1、R2，如果m1＝2m2， R1＝4R2，那么它们的周期之比T1∶T2是 （ ）
A．2∶1
B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
5．如图1所示，两球的半径均小球r，两球质量均匀分布，大小分别为m1、m2，则两球间的万有引力的大小为 （ ）
A． B．
C． D．
6．木星绕太阳运转的周期为地球绕太阳运转周期的12倍，则木星绕太阳运转的轨道半径约为地球绕太阳运转的轨道半径的___________倍。
7．地球半径R＝6400km，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2，不考虑地球自转的影响，地球的质量M＝___________kg，地球的平均密度ρ＝___________ kg/m3。（引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。）
8．设想把物体放到地球的球心处，则此物体与地球间的万有引力是___________（将地球看作质量分布均匀的球体）。
9．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该星球表面的圆形轨道时仅受引力作用绕行数圈后，着陆在该行星上。飞船上备有以下实验器材：A．精确秒表一个；B．已知质量为m的物体一个；C．弹簧秤一个；D．天平一个。已知宇航员在绕行时及着陆后各做一次测量。依照测量数据，可求出该星球的半径R及星球的质量M（已知引力常量为G）
（1）两次测量所选用的器材分别为___________、___________（填序号）
（2）两次测量的物理量分别是_____________________、________________________。
（3）用测量的物理量写出半径R及质量M的表达式：R＝__________；M＝_________。
10．月球的半径是地球半径的，质量是地球质量的，在地球上质量为60kg的人，如果到月球上，他的重力是多大？（不考虑天体自转对重力的影响，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2）
11．地球的质量为M＝5.98×1024kg，极半径R1＝6357km，赤道半径R2＝6378km，地球的自转周期T＝24h，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。求：
（1）在两极和赤道上质量是1kg的物体随地球自转时需要的向心力；
（2）这个物体在两极和赤道上的重力；
（3）赤道和两极处的重力加速度。
12．如图2所示，在半径为R，质量为M的均匀铅球中，挖出一个半径为的球形空穴。在距球心O为d的地方有一个质量为m的质点。求空穴铅球与质点之间的万有引力。
13．已知月球质量是地球质量的，月球半径是地球半径的。
（1）在月球和地球表面附近，以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时，上升的最大高度之比是多少？
（2）在距月球和地球表面相同高度处（此高度较小），以同样的初速度分别水平抛出一个物体时，物体的水平射程之比为多少？
14．已知地球与火星的质量比M1∶M2＝9∶1，半径比R1∶R2＝2∶1。现用一根绳子水平拖动放在地球表面木板上的箱子，设箱子与木板间的动摩擦因数为0.5。在地球上拖动时，能获得10m/s2的最大加速度，将箱子、木板、绳子放到火星上，仍用同样的方式拖动木箱。求此木箱能获得的最大加速度。（已知地球表面的重力加速度g＝10m/s2）
参考答案
1．【答案】AC
【点拨】根据万有引力定律知，探测器经过质量密集区时，探测器受到的月球对它的万有引力将变大，A正确；由于万有引力变大，大于探测器绕月球做圆周运动的向心力，探测器将向内侧轨道偏移，半径变小，B错误；进入内侧轨道，万有引力使探测器速率变大，C正确，D错误。
2．【答案】D
【点拨】设小铁球的半径为r，质量为m，均匀铁球可看作质量集中在球心的质点，则两小铁球之间的万有引力为：；大铁球的半径是小铁球的两倍，所以大铁球的质量和小铁球的质量的关系是：M＝8m，因此两大铁球之间的万有引力为：，D正确。
3．【答案】BD
【点拨】由于地球的自转，同一物体在地球上不同位置处的重力不同，在赤道处的重力最小，在两极处的重力最大，A、C错误；把质量为m的物体从地面移到高空上，物体距地心的距离变大，地球对物体的万有引力变小，物体的重力变小，B正确；同一物体的质量不随地理位置而变，D正确。
4．【答案】C
【点拨】周期与行星的质量无关，根据开普勒第三定律，有，得T1＝8T2，C正确。
5．【答案】D
【点拨】质量分布均匀的球体等效为质量集中在球心的质点，两球球心间的距离为r＋r1＋r2，根据万有引力定律知，两球间的万有引力的大小为，D正确。
6．【答案】5.24
【点拨】根据开普勒第三定律，有，已知T1＝12T2，得R1＝5.24R2。
7．【答案】6.02×1024kg；6.48×103 kg/m3。
【点拨】地面物体的重力等于地球对物体的万有引力，有，得地球的质量＝6.02×1024kg；地球的平均密度＝6.48×103 kg/m3。
8．【答案】0
【点拨】将地球分割成无数个质点，根据对称性可知，所有质点对地球球心处的物体的万有引力相互抵消，所以物体与地球间的万有引力为零。
9．【答案】（1）A、C；（2）用秒表测出飞船在行星表面飞行的周期T；用弹簧秤测出已知质量的物体在行星表面处的重力F；（3）；。
【点拨】在行星表面，对已知质量的物体有：；对绕行星表面飞行的飞船有：，联立解得R、M值。
10．【答案】104.8N
【点拨】在地球表面，人的重力为：；在月球表面，人的重力为：，结合已知条件，联立两式解得：G1＝104.8N。
11．【答案】（1）F极＝0，F赤＝3.4×10－2N；（2）G极＝9.846N，G赤＝9.771N；（3）g极＝9.846m/s2，g赤＝9.771m/s2。
【点拨】（1）地球自转时，两极处物体在不动，向心力为零，F极＝0；赤道处：F赤＝＝3.4×10－2N。
（2）两极处物体的重力等于地球对它的万有引力，G极＝＝9.846N；赤道处物体的重力等于地球对它的万有引力与向心力之差，G赤＝＝9.771N。
（3）G极＝mg极，G赤＝mg赤，得： g极＝9.846m/s2，g赤＝9.771m/s2。
12．【答案】
【点拨】挖出空穴前，完整铅球与质点间的万有引力为；挖出小球的质量，小球与质点间的万有引力为，所以空穴铅球与质点之间的万有引力为：F＝＝。
13．【答案】（1）5.6∶1 ；（2）2.37∶1
【解析】（1）在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动，其上升的最大高度分别为：
h＝，h0＝
式中g和g0是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根据万有引力定律得：
，
于是得上升的最大高度之比为：
＝81×()2＝5.6∶1。
（2）设抛出点的高度为H，初速度为v0，在月球和地球表面附近的平抛物体在竖直方向做自由落体运动，从抛出到落地所用时间分别为：
t＝，t0＝
在水平方向做匀速直线运动，其水平的射程之比为：
＝2.37∶1。
14．【答案】12.8m/s2
【解析】绳子能承受的最大拉力一定，设为F。在地球表面有：
设在在火星表面能获得的最大加速度为a2，有：
联立解得：a2＝12.8m/s2。
第六章 万有引力与航天
一．考点整理 基本概念
1．开普勒行星运动定律：
⑴ 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 上．
⑵ 开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的 ．
⑶ 开普勒第三定律：所有行星的轨道的 的三次方跟它的 的二次方的比值都相等．
〖图解开普勒行星运动定律〗
2．万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的 上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成 ，与它们之间距离r的平方成 ．
⑴ 表达式：F = G为引力常量，G = 6.67×10－11 ；
⑵ 适用条件：① 公式适用于 间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．② 质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
3．宇宙速度：
⑴ 第一宇宙速度：又叫 速度，它是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度；它又是人造卫星的 环绕速度，也是人造地球卫星的 发射速度．推导过程为：由mg = mv2/R = GMm/R2得v = = = km/s．
⑵ 第二宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；v2 = km/s．
⑶ 第三宇宙速度：又叫 速度，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度；v3 = km/s．
4．卫星：
⑴ 模型：某一天体周围有绕其做圆周运动的物体，该物体叫做该天体的卫星．在研究过程中，一般仅考虑两者之间的万有引力，其忽略其他星体对它们的作用，且视为匀速圆周运动．
⑵ 基本原理：万有引力提供向心力 Fn = GMm/r2；Fn = man 其中an = v2/r、an = ω2r、an = (2π/T)2r．
⑶ 同步卫星：相对地球静止的卫星．其特点：① 周期一定：与地球自转周期相同，即T = h；② 角速度一定：与地球自转的角速度相同；③ 高度一定：卫星离地面的高度h = ；（写公式，下同）④ 速率一定：v = ；⑤ 轨道平面一定：轨道平面与 共面．
二．思考与练习 思维启动
1．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是（ ）
2．关于万有引力公式F = Gm1m2/r2，以下说法中正确的是 （ ）
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
3．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （ ）
A．第一宇宙速度又叫脱离速度 B．第一宇宙速度又叫环绕速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
4．如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a、b、c、d轨迹运动，其中a是一段曲线，b是贴近地球表面的圆，c是椭圆，d是双曲线的一部分．已知引力常量为G、地球质量为M、半径为R、地球附近的重力加速度为g．以下说法中正确的是 （ ）
A．沿a运动的物体初速度一定小于
B．沿b运动的物体速度等于
C．沿c运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度
D．沿d运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度
三．考点分类探讨 典型问题
〖考点1〗万有引力定律的应用
【例1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A．1– B．1 + C． D．
【变式跟踪1】美国航空航天局发射的“月球勘测轨道器”LRO，LRO每天在50 km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则 （ ）
A．LRO运行时的向心加速度为4π2R/T2 B． LRO运行时的向心加速度为4π2(R+h)/T2
C．月球表面的重力加速度为4π2R/T2 D．月球表面的重力加速度为4π2(R+h)3/(T2R2)
〖考点2〗对宇宙速度的理解及计算
【例2】我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R（Paksat – 1R）成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是（ ）
A．运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B．离地面的高度一定，相对地面保持静止
C．绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
【变式跟踪2】“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是 （ ）
A．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 1/n倍
B．同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的 1/n 倍
C．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 倍
D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的 倍
〖考点3〗天体运动中的基本参量的求解及比较
【例3】2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 （ ）
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
【变式跟踪3】2012年6月24日，“神舟九号”飞船与“天宫一号”飞行器成功手动对接，“神舟九号”与“天宫一号”对接前按如图所示的轨道示意图运行，下列说法中正确的是 （ ）
A．“神舟九号”的加速度比“天宫一号”小
B．“神舟九号”运行的速率比“天宫一号”小
C．“神舟九号”运行的周期比“天宫一号”长
D．“神舟九号”运行的角速度比“天宫一号”大
〖考点4〗描述天体运动的五大物理量之间的关系
【例4】 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v．假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F．已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 （ ）
A．mv2/GF B．mv4/GF C．Fv2/Gm D．Fv4/Gm
【变式跟踪4】美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星——“开普勒－226”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 （ ）
A．3.3×103 m/s B．7.9×103 m/s C．1.2×104 m/s D．1.9×104 m/s
〖考点5〗卫星的变轨问题
【例5】航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的与地球相切的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 （ ）
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【变式跟踪5】如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是 （ ）
A．地球对b、c两星的万有引力提供了向心力，因此只有a受重力，b、c两星不受重力
B．周期关系为Ta = Tc > Tb
C．线速度的大小关系为va < vc < vb
D．向心加速度的大小关系为aa > ab > ac
四．考题再练 高考试题
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （ ）
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【预测1】 冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的 （ ）
A．轨道半径约为卡戎的1/7 B．角速度大小约为卡戎的1/7
C．线速度大小约为卡戎的7倍 D．向心力大小约为卡戎的7倍
2．2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是 （ ）
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
【预测2】“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G = 6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km，利用以上数据估算月球的质量约为 （ ）
A．8.1×1010kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
五．课堂演练 自我提升
1．“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为（月球半径取1 700 km） （ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的（ ）
A．动能大
B．向心加速度大
C．运行周期长
D．角速度小
3．2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器将与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的1/9，火星的半径约为地球半径的1/2．下列关于火星探测器的说法中正确的是（ ）
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为第一宇宙速度的1/2
4．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且“双星系统”一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知 （ ）
A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3
B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为2L/5
D．m2做圆周运动的半径为L
5．我国在西昌成功发射第八颗北斗导航卫星，第八颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星．如图所示，假若第八颗北斗导航卫星先沿椭圆轨道1飞行，后在远地点P处点火加速，由椭圆轨道1变成地球同步轨道2，下列说法正确的是 （ ）
A．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时完全失重，不受地球引力作用
B．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度小
C．第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时的速度大于7.9 km/s
D．第八颗北斗导航卫星在轨道1上的P点和其在轨道2上的P点的加速度大小相等
6．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R．下列说法正确的是 （ ）
A．地球对一颗卫星的引力大小为GMm/(r - R)2
B．一颗卫星对地球的引力大小为GMm/r2
C．两颗卫星之间的引力大小为Gm2/3r2
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMm/r2
参考答案
一．考点整理 基本概念
1．焦点 面积 半长轴 公转周期
2．连线 正比 反比 Gm1m2/r2 N·m2/kg2 质点
3．环绕 最大 最小 7.9 脱离 11.2 逃逸 16.7
4．24 –R 赤道平面
二．思考与练习 思维启动
1．B；根据开普勒周期定律：R3/T2 = R03/T03 = kk，则T2/T02 = R3/R03，两式取对数，得：lg(T2/T02) = lg(R3/R03)，整理得2lg(T/T0) = 3lg(R/R0)，选项B正确．
2．C；万有引力公式F = Gm1m2/r2，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G的值，是卡文迪许在实验室里实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C．
3．B；由于对第一宇宙速度与环绕速度两个概念识记不准，造成误解，其实第一宇宙速度是指最大的环绕速度．
4．AB；b是贴近地球表面的圆，沿此轨迹运动的物体满足GMm/R2 = mv2/R，解得v = ，或满足mg = mv2/R，解得v = ，以上得到的两个速度均为第一宇宙速度，发射速度小于第一宇宙速度则不能成为人造卫星，如a，故A、B正确；发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，卫星的轨道为椭圆，如c，故C错误；发射速度大于第二宇宙速度，轨迹将不闭合，发射速度大于第三宇宙速度，轨迹也不闭合，故d轨迹不能确定其发射速度是否大于第三宇宙速度，D错误．
三．考点分类探讨 典型问题
例1 A；设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g = GM/R2.地球质量可表示为M = (4πR3/3)ρ，因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以（R - d)为半径的地球的质量为M ′ = [4π(R–d)3/3]ρ，解得M′＝M，则矿井底部处的重力加速度g′ = G M′/( R–d)2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为 = 1 – ，选项A正确，选项B、C、D错误．
变式1 BD；LRO运行时的向心加速度为a = ω2r = (2π/T)2(R + h)，B正确；根据Gm月m/(R + h)2 = m(2π/T)2(R + h)，又Gm月m′/R2 = mg′，两式联立得g′ = 4π2(R + h)3/(T2R2)，D正确．
例2 B；人造地球卫星(包括地球同步卫星)的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，而其运行速度小于第一宇宙速度，选项A错误；地球同步卫星在赤道上空相对地面静止，并且距地面的高度一定，大约是3.6×104 km，选项B正确；地球同步卫星绕地球运动的周期与地球自转周期相同，即T = 24 h，而月球绕地球运行的周期大约是27天，选项C错误；地球同步卫星与静止在赤道上物体的运行周期相同，角速度也相同，根据公式a = ω2r可知，运行半径大的向心加速度大，所以地球同步卫星的向心加速度大于静止在赤道上物体的向心加速度，选项D错误．
变式2 C；设地球半径为R，质量为M，则第一宇宙速度v1 =，根据万有引力等于向心力得同步卫星的运行速度v =，所以同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的 倍，A错、C对；同步卫星和地球赤道上随地球自转的物体角速度相同，根据v = ωr，同步卫星的运行速度是地球赤道上随地球自转的物体速度的n倍，B错；由GMm/r2 = ma，可得同步卫星的向心加速度a = GM/(nR)2，地球表面重力加速度g = Gm/R2，所以同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1/n2倍，D错．
例3 AB；飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动，所以ω飞 = ω地，由圆周运动线速度和角速度的关系v = rω得v飞 ＞ v地，选项A正确；由公式a = rω2知，a飞 ＞ a地，选项B正确；飞行器受到太阳和地球的万有引力，方向均指向圆心，其合力提供向心力，故C、D选项错．
变式3 D；由题图可知：“天宫一号”和“神舟九号”都在围绕地球做匀速圆周运动，且“天宫一号”比“神舟九号”的轨道半径大．由万有引力公式和向心力公式可得：GMm/r2 = ma = mv2/r = mω2r = m(2π/T)2r，故卫星的轨道半径越大，其向心加速度、速率、角速度均越小，其周期越长，A、B、C错误，D正确．
例4 B；设卫星的质量为m′，由万有引力提供向心力，得GMm′/R2 = m′v2/R ① m′v2/R = m′g ② 由已知条件：m的重力为F得F = mg ③ 由 ③ 得g = F/m，代入②得：R = mv2/F，代入 ① 得M = mv4/GF，故A、C、D三项均错误，B项正确．
变式4 D；设地球的密度为ρ，半径为R，第一宇宙速度为v1，“开普勒－226”的第一宇宙速度为v2，Gρ(4π/)R3m/R2 = mv12/R，Gρ(4π/)(2.4R)3m0/R2 = m0v22/2.4R 得v2 = 2.4 v1 = 1.9×104 m/s，故D正确．
例5 ABC；椭圆轨道远地点A的速度小于近地点B的速度，故选A；在A点由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，动能减小，故选B；由开普勒第三定律a3/T2 = 常数（其中a为椭圆半长轴或圆轨道半径），知，因aⅡ
变式5 BC；a物体在赤道上还受到地面对其支持力，b、c万有引力就可以看成其所受的重力，A错；b、c的周期满足T = 2π ，由于rb < rc，得Tb < Tc，a、c的周期都为地球的自转周期，B对；b、c的速度满足v = ，由于rb < rc，得vb > vc，a、c的角速度相等，v = ωr，由于ra < rc，得va < vc，C对；b、c的向心加速度满足a = GM/r2，由于rb < rc，得ab > ac，a、b的角速度相等，a =ωr2，由于ra < rc，得aa < ac，D错．
四．考题再练 高考试题
1．C；太阳应位于行星运行轨道的一个焦点上，而焦点不是圆心，A错误．火星和木星绕太阳运行时是不在同一个轨道上的，根据开普勒第二定律可知，同一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D错误．火星和木星绕太阳运行速度的大小也是不可能始终相等的，B错误．根据开普勒第三定律 a火3/T火2 = a木3/T木2可知T火2/ T木2 = a火3/ a木3，C正确．
预测1 A；设冥王星的质量、轨道半径、线速度大小分别为m1、r1、v1，卡戎的质量、轨道半径、线速度大小分别为m2、r2、v2，两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力，且两星的角速度相等，故B、D均错；由Gm1m2/L2 = m1ω2r1 = m2ω2r2（L为两星间的距离），因此r1/r2 = m2/m1 = 1/7，v1/v2 = ωr1/ωr2 = m2/m1 = 1/7，故A对、C错．
2．BC；只要是绕地球运行的天体，其运行速率必定小于第一宇宙速度，故A错误；如不加干预，由于轨道处稀薄大气的阻力，则天宫一号的速率减小而做向心运动，当达到新的轨道而万有引力又重新能提供向心力时，天宫一号在新的轨道做圆周运动，此时轨道高度降低，运行的速率增大，故B、C正确；天宫一号中的航天员不是不受地球引力，而是地球引力全部充当向心力，故D错误．
预测2 D；由万有引力充当向心力，G＝m，可得环绕周期T＝2π，代入数据，解得月球质量M = 7.4×1022 kg，选项D正确．
五．课堂演练 自我提升
1．A；根据v = ，得v1：v2 = = =，A对．
2．CD；飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引 = F向，所以GMm/r2 = ma向 = mv2/r = 4π2mr/T2 = mrω2，即a向 = GM/r2，Ek = mv2/2 = GMm/2r，T = 2π，ω = （或用公式T = 2π/ω求解）．因为r1Ek2，a向1>a向2，T1ω2，选项C、D正确．
3．CD；由宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火 = M地/9，R火 = R地/2，则vm/v1 = ∶ ＝ ≈ 0.5，选项D正确．
4．C；由于T1 = T2，故ω相同，A错．根据F万 = F向，对m1得 Gm1m2/L2 = m1v12/r1 = m1r1ω2 ① 对m2得Gm1m2/L2 = m2v22/r2 = m2r2ω2 ② 又r1 + r2 = L ③ 由①②③得v1/ v2 = r1/ r2 = m2/m1，B错；r1 = 2L/5、r2 = 3L/5，C对、D错．
5．D；第八颗北斗导航卫星在轨道2运行时引力完全提供向心力，处于完全失重状态，A错；由a = ω2r可知B错；由v = 知北斗导航卫星在轨道2运行时的速度小于第一宇宙速度，C错；由a = GM/r2知在两轨道在P点的加速度相等，D对．
6．BC；地球与一颗卫星的万有引力可由万有引力定律直接求出， F地卫 = G，故A错误，B正确．卫星间的万有引力也可由万有引力定律直接求出， F卫卫 = G = G，故C正确．三颗卫星对地球的万有引力大小相等，相邻两个力的夹角均为120°，合力为零，故D错误．
