6.4 万有引力理论的成就 评测练习
【课内练习】
1．某行星半径为R，万有引力常数为G，该行星表面的重力加速度为g
，则该行星的质量为______．
（忽略行星的自转）
2．火星的质量和半径分别约为地球的0.1倍和0.5倍，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为
（
）
A．0.2g
B．0.4g
C．2.5g
D．5g
3．宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一小球，经过时间t落地，该星球的半径为R，你能求解
出该星球的质量吗？
4．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入。若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径r
【课后训练】
1．所有行星绕太阳运转其轨道半径的立方和运转周期的平方的比值即r3/T2=k,那么k的大小决定于(
)
A．只与行星质量有关
B．只与恒星质量有关
C．与行星及恒星的质量都有关
D．与恒星质量及行星的速率有关
2．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力．关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是( )
Ａ．离地面高度R处为4mg
Ｂ．离地面高度R处为mg/2
Ｃ．离地面高度3R处为mg/3
Ｄ．离地心R/2处为4mg
3．关于天体的运动，下列叙述正确的是( )
A．地球是静止的，是宇宙的中心
B．太阳是宇宙的中心
C．地球绕太阳做匀速圆周运动
D．九大行星都绕太阳运动，其轨道是椭圆
4．假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火/M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火/R地＝q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于( )
A．p/q2
B．pq2
C．p/q
D．pq
5．设在地球上和在x天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K(均不计阻力)，且已知地球和x天体的半径比也为K，则地球质量与x天体的质量比为( )
A．1
B．K
C．K2
D．1/K
6．(1988年·全国高考)设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
Ａ．1
Ｂ．1/9
Ｃ．1/4
Ｄ．1/16
7．已知以下哪组数据，可以计算出地球的质量M（
）
A．地球绕太阳运行的周期T地及地球离太阳中心的距离R地日
B．月球绕地球运动的周期T月及地球离地球中心的距离R月地
C．人造地球卫星在地面附近绕行时的速度v和运行周期T卫
D．若不考虑地球的自转，已知地球的半径及重力加速度
8．已知月球中心到地球中心的距离大约是地球半径的60倍，则月球绕地球运行的加速度与地球表面的重力加速度之比为（
）
A．1：60
B．1：
C．1：3600
D．60：1
9．一艘宇宙飞船贴近一恒星表面发行，测得它匀速圆周运动的周期为T，设万有引力常数G，则此恒星的平均密度为（
）
A．GT2/3π
B．3π/GT2
C．GT2/4π
D．4π/GT2
10．A、B两颗人造地球卫星质量之比为1：2，轨道半径之比为2：1，则它们的运行周期之比为（
）
A．1：2
B．
1：4
C．
：1
D．
4：1
11．火星的半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的1/9，那么地球表面质量为50
kg的物体受到地球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的______倍．
12．飞船以a＝g/2的加速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10
kg的物体重量为75
N．由此可知，飞船所处位置距地面高度为多大？(地球半径为6400
km，（g＝10
m/s2)
【课内练习】答案：
1.
2.B
3.
4.
【课后训练】答案：
1．B
2．D
3．D
4．A
5．B
6．D
7．BCD
8．C
9．B
10．C
11.
12．6400km6.4
万有引力理论的成就
导学案
〖学习目标〗
1、了解万有引力定律在天文学上的重要应用，会用牛顿第二定律和万有引力定律计算天体(行星和太阳)质量和密度。
2、体会万有引力定律在人类认识自然界奥秘中的巨大作用，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点.
〖重点难点〗
1、地面物体、月球和行星的运动都遵守牛顿运动定律。
2、会用牛顿运动定律、万有引力定律和已知条件求中心天体的质量和密度。
〖目标导学〗
Ⅰ、知识回顾
(1)万有引力公式F=
，引力的方向
。
(2)匀速圆周运动的向心力公式F=
=
=
。
Ⅱ、合作探究
一、计算行星质量和平均密度
问题1、应用牛顿运动定律和万有引力定律如何推导出地球的质量和平均密度的表达式？
方法一：
方法二：
〖检测 1〗、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（
）
A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r
〖检测2〗、宇航员在某星球表面，将一小球从离地面h高处以初速水平抛出，测出小球落地点与抛出点间的水平位移S，若该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量。
二、计算太阳的质量和平均密度
问题2、应用牛顿运动定律和万有引力定律如何推导出太阳的质量和平均密度的表达式？
〖检测3〗、如果某恒星有一颗卫星，此卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则此恒星的平均密度表达式为
。(万有引力恒量为G)
三、发现未知天体
（自读填空）
问题3、18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据
________________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在
天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________使其轨道产生了偏离．
________________和________________________确立了万有引力定律的地位．
Ⅲ、总结提升
应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：
1、不考虑地球（行星）自转的影响，行星地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球（行星）间的____________，即
＝mg，即
＝gR2。涉及行星近低表面重力加速度的计算。
2、把天体(行星或卫星)的运动近似看成是____________运动，向心力由它们之间的____________提供，即F万＝F向，可以用来计算天体的质量，基本公式：
=
=
=
。
〖能力提升〗
1．设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常G=6.67×10-11nm2/kg2，试估算地球的质量和平均密度。（写出解题过程。）
2．把月球绕地球公转看做是匀速圆周运动，轨道半径为r=3.8×108 m，周期为T=27.3T天；地球半径R =6.4×106m，已知引力常量为：G=6.67×10-11 N·m2/kg2，试估算地球的质量和平均密度。（结果取一位有效数字，写出规范解答过程）
3．把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，轨道半径为r=1.5×1011 m，已知引力常量为：G=6.67×10-11 n·m2/kg2，试估算太阳的质量。（结果取一位有效数字，写出规范解答过程）
4．宇航员在地球表面以某一初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某一星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g’；
（2）已知该星球的半径r与地球的半径R之比为1:4，求星球的质量M星与地球质量M地之比。
5．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角，已知该星球的半径为，引力常量为，求该星球的密度(已知球的体积公式是)。
6．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度ρ.
答案
〖检测1〗、CD
〖检测2〗、
〖检测3〗、
〖能力提升〗
1、2、5.6×1024kg
5.48kg/m3
3、1.4×1030kg
4．（14分）解题思路：由竖直上抛运动规律得到星球表面附近的重力加速度g’；由星球表面万有引力等于重力解得星球的质量M星与地球质量M地之比。
考查要点：竖直上抛运动规律、万有引力定律等。
解:(1)设竖直上抛小球初速度v，由匀变速速度公式得：
地球表面：
---------------①
星球表面：
--------------②
联解①②式得：g’=2m/s2。
--------------③
小球在地球或星球表面附近受到的万有引力等于小球重力，得：
星球表面附近：
---------④
地球表面附近：
------------⑤
联解③④式得：
------------⑥
5解析：由题意得
由
得
又有，，
联立解得：
6、根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为
设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt．有
当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x'=
2vt．所以有
②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G
③
联立以上三个方程解得
而天体的体积为，由密度公式得天体的密度为4．万有引力理论的成就
三维目标
知识与技能
1．了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，计算地球质量；
2．行星绕恒星运动、卫星的运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力，会用万有引力定律计算天体的质量；
3．了解万有引力定律在天文学上有重要应用。
过程与方法
1．培养学生根据数据分析找到事物的主要因素和次要因素的一般过程和方法；
2．培养学生根据事件的之间相似性采取类比方法分析新问题的能力与方法；
3．培养学生归纳总结建立模型的能力与方法。
情感态度与价值观
1．培养学生认真严禁的科学态度和大胆探究的心理品质；
2．体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美。
教学重点
1．地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。
2．通过数据分析、类比思维、归纳总结建立模型来加深理解。
教学难点
根据已有条件求中心天体的质量。
教学方法
教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。
教具准备
多媒体课件
教学过程
［新课导入］
天体之间的作用力主要是万有引力，引力常量的测出使万有引力定律有了实际意义，万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用，揭示了天体运动的规律。这节课我们将举例来学习万有引力定律在天文学上的应用。
［新课教学］
一、
“科学真是迷人”
地球的质量是多少？这不可能用天平称量，但是可以通过万有引力定律来“称量”。
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离。由此得到
GM＝R2g（黄金代换式）
地面的重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就已知道，一旦测得引力常量G，就可以算出地球的质量M。卡文迪许把他自己的实验说成是“称量地球的重量”，是不无道理的。
在实验室里测量几个铅球之间的作用力，就可以称量地球，这不能不说是一个科学奇迹。难怪一位外行人、著名文学家马克·吐温满怀激情地说：“科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多收获！”
二、计算天体的质量
1．中心天体质量计算的公式
应用万有引力定律还可以计算太阳等中心天体的质量。思考这个问题的出发点是：行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以列出方程，从中解出中心天体的质量。
设M是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，ω是行星公转的角速度。
根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力，有：
F＝
行星的质量m在方程两侧被消去，所以只能求出中心天体的质量。将万有引力和右侧向心加速度的不同表达式联立，得到中心天体质量的计算公式为
测出行星的公转周期T和它与太阳的距离r等，就可以算出太阳的质量。
根据已知条件的不同，应选择不同的计算公式来计算中心天体的质量。对同一个中心天体，M是一个定值。所以
即在开普勒第三定律中，k是由中心天体质量M决定的常量。
同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以算出行星的质量。目前，观测人造卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。
【课堂练习】地球质量的计算
已知月球到地球的球心距离为r＝4×108m，月亮绕地球运行的周期为30天，求地球的质量。
解：月球绕地球运行的向心力，由月地间的万有引力提供，即有：
F＝
得：
太阳质量和地球质量的数量级希望同学们能记住，在今后判断有关问题时可使用。
2．天体平均密度的计算
利用环绕中心天体表面运行的行星或卫星，可以计算中心天体的平均密度。
设中心天体的半径为R，平均密度为ρ，中心天体表面的重力加速度为g。行星或卫星的质量为m，轨道半径为r，线速度为v，角速度为ω，T为行星或卫星的周期。当行星或卫星环绕中心天体表面运行时，轨道半径r近似认为与中心天体的半径R相等。根据万有引力提供向心力有
由上式可得中心天体平均密度的计算公式为
由上式还可得到一个有用的结论：对环绕任何中心天体表面的行星或卫星，有
是一个普适常量。
3．星球表面附近的重力加速度
（1）重力及重力加速度与纬度的关系
由于地球的自转，地面上物体将随地球一起做匀速圆周运动。地球对地面物体的万有引力F的一个分力F1提供物体做圆周运动的向心力，另一个分力表现为物体的重力mg。所以除赤道和两极外，物体的重力并不严格指向地球的球心。同一物体的重力在赤道位置最小，两极处最大。导致赤道位置的重力加速度最小，随纬度位置的增加而逐渐增大，两极处最大。
①在两极位置：
②在赤道位置：
（2）重力加速度与高度的关系
设中心天体的质量为M，半径为R。距星体表面高度为h处有一质量为m的物体。物体在该处的重力等于星体对它的万有引力，该处的重力加速度为g＇，则
当h＝0，物体在星球表面时，。
由此可知：物体在地球表面处的重力加速度，一方面与纬度位置有关，另一方面还与高度有关。
三、发现未知天体
到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七个行星──天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。有人据此认为万有引力定律的准确性有问题。但另一些人则推测，在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏离。到底谁是谁非呢？
有人问李政道教授，在他做学生时，刚一接触物理学，什么东西给他的印象最深？他毫不迟疑地回答，是物理学法则的普适性深深地打动了他。
物理学基本规律的简洁性和普适性，使人充分领略了它的优美，激励着一代又一代科学家以无限热情献身于对科学规律的探索。
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星命名为海王星。
用类似的方法，人们又发现了太阳系外的其它天体。1705年英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归。
海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”最终确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔物理学奖获得者，物理学家冯·劳厄说：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”
海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们在这里发现了冥王星、卡戎等几个较大的天体。但是，距离遥远，太阳的光芒到达那里已经太微弱了，从地球上很难看出究竟。尽管如此，黑暗寒冷的太阳系边缘依然牵动着人们的心，搜寻工作从来没有停止过。
［小结］
这节课我们主要掌握的知识点是万有引力定律在天文学中的应用，解题时通常根据万有引力提供向心力、地面（或某星球表面）物体的重力等于万有引力来建立关系式。通过本节的学习，我们一方面应用了万有引力，另一方面了解了万有引力定律在天文学中具有的重要意义。
天体运动问题有行星或卫星绕着中心天体作匀速圆周运动，分为行星绕恒星与卫星绕行星两种类型。基本思路是根据行星（或卫星）运动的情况，求出行星（或卫星）的向心加速度，而向心力是由万有引力提供的，这样，列出方程即可求得中心天体（太阳或行星）的质量。由此可知，计算中心天体质量的思路只有一条：万有引力提供向心力，结合向心力公式计算。
［布置作业］
教材第40页“问题与练习”
板书设计：
4．万有引力理论的成就
一、
“科学真是迷人”
二、计算天体的质量
1．中心天体质量计算的公式
设M是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，ω是行星公转的角速度。
根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力，有：
F＝
2．天体平均密度的计算
设中心天体的半径为R，平均密度为ρ，中心天体表面的重力加速度为g。行星或卫星的质量为m，轨道半径为r，线速度为v，角速度为ω，T为行星或卫星的周期。当行星或卫星环绕中心天体表面运行时，轨道半径r近似认为与中心天体的半径R相等。根据万有引力提供向心力有
由上式可得中心天体平均密度的计算公式为
是一个普适常量。
3．星球表面附近的重力加速度
（1）重力及重力加速度与纬度的关系
①在两极位置：
②在赤道位置：
（2）重力加速度与高度的关系
当h＝0，物体在星球表面时，。
三、发现未知天体
r
M
m
F
v
r＝R
m
F
v
F
F1
mg
r＝R＋h
m
h
r
M
m
F
v
r＝R
m
F
v
F
F1
mg
r＝R＋h
m
h
