7.8机械能守恒定律
【课程标准分析】本节是规律教学课,在本章中处于核心地位,使前面各节内容的综合，同时又是下节能量守恒定律的基础。根据新课标的要求，这节课要让学生掌握规律，同时还要引导学生积极主动学习，贯彻“学为主体，教为主导”的教学思想。主导作用表现在，组织课堂教学，激发学习动机；提供问题背景，引导学生学习；注意评价学生的学习，促进积极思考，主动获取知识。主体作用体现在，学生通过对生活实例和物理实验的观察，产生求知欲，主动探究机械能守恒定律的规律；通过探究，提高学生的推理能力，形成科学的思维方法，并通过规律的应用巩固知识，逐步掌握运用能量转化与守恒的思想来解释物理现象，体会科学探究中的守恒思想。
【教材分析】本节内容是本章的重点内容，它既是对前面的几节内容的总结，也是对能量守恒定律的铺垫。通过本节的学习，学生对功是能量转化的量度会有更加深刻的理解，也对从不用角度处理力学问题有了深刻的体会。通过学习，学生不难掌握机械能守恒的内容和表达式，但对具体问题中机械能守恒条件是否满足的判断还有一定的困难。
【教法学法分析】机械能守恒定律的得出、含义、适用条件是本节的重点，教学中用演示实验法，使学生有身临其境质感，为新知识的学习建立感知基础；机械能守恒的适用条件是本节的难点，通过“启发法、演示实验法、举例法、归纳法、演绎推导法”让学生分析受力情况及物理情景，分析物体运动时发生动能和势能相互转化时什么力做功。从感知认识上升到理论，从而形成物理概念，通过理论推导得出物理规律；培养学生的观察、分析、归纳问题的能力、和利用数学进行演绎推导的能力。
【教学目标】
知识与技能：
1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。
2.理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。
3.在具体问题中，判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式
过程与方法：
通过科学探究机械能的过程，对物理现象（动能和势能的转化）的分析提出假设，再进行理论推导的物理研究方法；
经历归纳概括“机械能守恒条件”的过程，体会归纳的思想方法；
情感态度价值观：
通过有趣的演示实验，激发学生的学习热情，体会科学的魅力
通过机械能守恒定律，感悟自然界的守恒思想，体会自然的对称美、自然美。
【重点】
掌握机械能守恒定律的建立、推导过程，理解机械能守恒定律的内容。
在具体问题中能判断机械能是否守恒，并能列出定律的数学表达式。
【难点】
从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒定律的条件。
能正确判断研究对象在所经历过程中机械能是否守恒。
【教学过程】
教师活动
学生活动
设计意图
（一）引入（2min）：“碰鼻演示”取一条1.5米的细线，下端拴一个小球。请学生中的“勇敢者”上台来配合实验。将小球拉离平衡位置恰好至该生的鼻尖，由静止释放小球。为什么小球最终没有碰到这位同学的鼻子？其实小球是“注定”不会碰到我们同学的鼻子的，为什么呢？学了这节课我们就知道怎么专业的解释这个现象了。
当小球摆回来时，无论下面的观察者还是讲台上的“勇敢者”都很害怕铁球运动回来砸到他的鼻子。但是小球却在鼻尖附近，戛然而止，参与者安然无恙。学生自然会思考：为什么小球不会碰到鼻子？是不是与前面学过的动能和势能有关？
以简单有趣的实验，引起学生探索新知的兴趣，调动学生的积极性。
（二）动能和势能的相互转化(5min)1.（演示摆球摆动）当摆球向下运动过程中
能转化为
能；摆球向上运动过程中
能转化为
。2.
弓箭手拉弓射箭过程
能转化为
能。因此动能和势能之间可以相互转化，其中
动能和势能统称为机械能。
1.2.3.学生观察实验并回答问题。
（三）(16min)机械能守恒定律1.(8min)(过渡)提问：动能和势能的相互转化是否存在某种定量关系呢？上述各运动过程中机械能是否变化呢？下面以动能和重力势能的转化为例，讨论这个问题。投影：如图所示：物体沿光滑曲面滑下，在下滑过程中任意选取两个位置A、B,以地面为参考平面，当物体经过位置A时的动能为Ek1,重力势能Ep1;经过位置B时，动能Ek2,重力势能Ep2。提问：1.动能和势能怎样转化的？2.重力势能的减少量和动能的增加量是不是相等呢？3.能不能证明？4.总结：重力势能减少量等于动能增加量，能量在机械能内部转化，体现总的机械能守恒。移项后：初状态的机械能与末状态的机械能相等，也体现了守恒。5.由此得到什么结论？
学生思考、讨论得出结论：物体受重力和光滑曲面的支持力，支持力不做功，只有重力对物体做功，物体的重力势能转化为动能。讨论后在学案上写出过程，用幻灯片展示。动能减少，重力势能增加重力势能的减少量和动能增加量相等。根据动能定理：根据重力做功与重力势能变化量的关系：两式相等得到：移向得：结论：在只有重力做功的物体系统内，动能和重力势能可以相互转化，总的机械能保持不变。
让学生利用所学的知识得出机械能守恒的结论，提高了学生的分析问题能力，又对机械能守恒产生理性认识。
2.(4min)在只有弹力做功的系统呢？在只有重力做功的情况下，机械能是守恒的；同样作为势能的弹性势能，是不是在只有弹力做功的情况下，机械能也守恒呢？教师演示：弹簧连接的滑块在气垫导轨上往复运动。滑块运动过程中能量如何转化？动能和势能的总和是否保持不变？能不能类比重力做功？教师适当加以辅助；再对弹簧与物块的运动过程简要分析，得出动能和势能的转化关系，并明确：在只有弹力做功是物体和弹簧的机械能守恒。
学生观察实验，并讨论怎样证明弹力做功的时候，弹性势能和动能之和为定值。学生讨论后，请一个学生：只需把上面推导中的“重力做功”改成“弹力做功”就可以推出，任意两个状态的弹性势能和动能之和相等，即机械能守恒。
让学生掌握一定的分析问题，解决问题的能力，进一步强化机械能守恒的建立和推导方法。
3.(4min)（1）.根据以上两个实例，谁能把刚才得到的结论完整的叙述一下？（2）.机械能守恒定律的表达式怎么写？（3）.请同学们讨论：机械能守恒的对象是什么？机械能守恒的条件是什么？只有重力或弹力做功，能否换成只受重力或弹力？从能量转化的角度，只能是势能和动能相互转,为什么？它们都属于机械能。
学生回答：（1）.在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。（2）.表达式为①状态式②过程式（3）机械能守恒的对象是系统：“物体和地球”或“物体和弹簧”机械能守恒的条件是：只有重力做功或者弹力做功（老师引导，只有重力或弹力做功时发生动能和势能的转化，其他力做功会引起机械能与其他形式的能量之间的转化）只有重力或弹力做功，可以受到其他力作用，但其他力不做功。
（四）（14min）课堂反馈练习1.下列实例中（除1外，都不计空气阻力），哪些情况机械能守恒？说明理由。①跳伞员利用降落伞在空中匀速下落②抛出的篮球在空中运动③用绳拉着一个物块沿着光滑斜面匀速上滑④光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来回顾课前的游戏，小球有没有可能碰到小帅的鼻子？
学生一一分析，并给出原因
体会强化机械能守恒条件
课堂反馈练习2：把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（如图），摆长为l
,最大偏角为θ
.小球运动到最低位置时的速度是多大？请用本节学的机械能守恒定律解答。选择小球在最低位置时所在的水平面为参考平面。1.通过以上的解答，我们发现用机械能守恒定律解这个题，有什么好处？2.下面大家总结一下：用机械能守恒定律解决问题的一般思路。
1.机械能守恒定律，不涉及运动过程的加速度和时间，用他来处理问题，比用牛顿运动定律简单。2.解题思路（步骤）：①选取研究对象（单个物体或系统）②确定研究过程，分析各力做功及能量转化情况，判断机械能是否守恒③确定研究对象在始末状态的机械能（需确定参考平面）或机械能的变化情况④选择合适的表达式列式求解
通过巧设的题目，让学生自己总结归纳应用机械能守恒定律的解题步骤，达到学以致用，应用延伸，知识升华的目的。
（五）(2min)小结：我们一起总结学了本节，我们有哪些收获？
一.机械能：物体的动能和势能之和称为机械能:Ｅ＝ＥＫ＋ＥＰ
二. 机械能守恒定律：在只有重力或系统内弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
两种表达式：①状态式②过程式三.守恒条件：（1）从做功角度：只有重力或系统内弹力做功，其它力不做功或其它力合力所做功为零。
（2）从能量的角度：系统内只有动能和势能相互转化，无其它形式能量之间（如内能）转化。
教学板书：
7.8机械能守恒定律
一. 动能和势能可以相互转化
机械能:
Ｅ＝Ｅk＋ＥＰ
二. 机械能守恒定律：在只有重力或系统内弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
两种表达式：
①状态式
②过程式
三.守恒条件：
（1）从做功角度：只有重力或系统内弹力做功;
（2）从能量的角度：系统内只有动能和势能相互转化.
根据机械能守恒定律有：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
末状态的机械能为：Ek2+Ep2=1/2mv2
初状态的机械能：Ek1+Ep1=mg(l-lcosθ）第8节
机械能守恒定律 新题型训练（一）
（满分100分，60分钟完成）
班级_____姓名__________
目的要求：
1．理解机械能的定义，并能进行有关的计算；
2．掌握机械能守恒定律的内容、表达式，能推导机械能守恒定律；
3．理解机械能守恒定律的成立条件，能用机械能守恒定律进行简单的计算。
第Ⅰ卷(选择题
共48分)
一、选择题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得8分，对而不全得4分。选错或不选的得0分。
1．如图1所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的.图A、B中的F为木块沿斜面所受的外力，方向如图中箭头所示.图A、B、D中的木块沿斜面向下运动，图C中的木块向上运动.在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是
（
）
图1
2．某物体做变速直线运动，则下列说法中不正确的是
（
）
A．若改变物体速度的是重力，物体的机械能不变
B．若改变物体速度的是摩擦力，物体的机械能必定减少
C．若改变物体速度的是摩擦力，物体的机械能可能增加
D．在物体速度增加的过程中，物体的机械能必定增加
3．如图2所示，斜面置于光滑水平面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是
（
）
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
图2
4．如图3所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，物体的动能为
（
）
A．mv02＋mgH
B．mv02＋mgh
C．mgH－mgh
D．mv02＋mg(H－h)
5．一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，那么如图4所示，表示物体的动能Ek随高度h变化的图象A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图象B（图线形状为四分之一圆弧）、物体的机械能E随高度h变化的图象C、物体的动能Ek随速度v的变化图象D（图线形状为开口向上的抛物线），可能正确的是
（
）
图4
6．发射同步通信卫星的常用方法是，先用火箭将星体送入近地圆形轨道运行，然后再由地面控制中心启动星载火箭将其送上与地球自转的同步运行的轨道，那么变轨后与变轨前相比，通信卫星的
（
）
A．机械能增大了，动能也增大了
B．机械能减少了，动能增大了
C．机械能增大了，动能减少了
D．机械能减少了，动能也减少了
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共3小题，每个空格6分，共24分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
7．某人以初速度v0＝2m/s将质量为m的小球抛出，小球落地时的速度为4m/s，则小球刚被抛出时离地面的高度H＝___________m（g＝10m/s2）。
8．以初速度v0＝30m/s竖直向上抛出一物体，并以抛出点所在处的水平面为参考平面，则当物体的重力势能为其动能的2倍时，物体所在的高度h＝___________m，当物体的动能为其重力势能的2倍时，其速度大小为v＝___________m/s。
9．如图4所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为___________。
三、计算题：本大题共2小题，计28分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
10．（12分）如图5所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮.一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m．开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。
图5
11．（16分）如图6所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
（2）此过程中杆对A球所做的功；
（3）分析杆对A球做功的情况。
参考答案
一、选择题：
1．【答案】C
【点拨】机械能守恒的条件是只有重力和弹簧的弹力做功。在A、B图中木块受四个力作用，即重力、支持力和推力F，而推力F对物体又做功，故机械能不守恒；D图中因有摩擦力做功，故也不符合机械能守恒的条件。因此，本题只有C图符合机械能守恒条件。
2．【答案】BD
【点拨】若改变物体速度的是重力，只引起动能和重力势能的转化，物体的机械能不变，A正确；若改变物体速度的是摩擦力，物体的机械能不一定减少，如摩擦力可以使物体加速，B错，C正确；物体的速度增加，动能增加，物体的机械能不一定增加，D错。本题选择的是不正确的选项。
3．【答案】AD
【点拨】物体下滑过程中，由于物体与斜面相互间有垂直于斜面的作用力，使斜面加速运动，斜面的动能增加，物体则克服其相互作用力做功，物体的机械能减少，但动能增加，重力势能减少，A正确，B错误；物体下滑过程中，由于斜面置于光滑水平面上，斜面将相对于地面向右运动，因此物体沿斜面下滑时既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面但与速度方向之间的夹角大于90 ，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面组成的系统，仅有重力做功，因此系统机械能守恒，D正确。
4．【答案】B
【点拨】在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，其机械能守恒。以地面为重力势能的零势能位置，根据机械能守恒定律有：mv02＋mgH＝mvB2＋mg(H－h)，解得：mvB2＝mv02＋mgh，所以，本题的选项B正确。
5．【答案】ACD
【点拨】设物体的初速度为v0，物体的质量为m，由机械能守恒定律得：mv02＝mgh＋mv2
所以，物体的动能与高度h的关系为：Ek＝mv02－mgh，图象A正确；物体的重力势能与速度v的关系为：Ep＝mv02－mv2，则Ep－v图象为开口向下的抛物线（第一象限中的部分），图象B错误；由于竖直上抛运动过程中机械能守恒，所以，E－h图象为一平行h轴的直线，C图象正确；由Ek＝mv2知，Ek－v图象为一开口向上的抛物线（第一象限中部分），所以，D图象可能正确。
6．【答案】C
【解析】发射同步通信卫星先用火箭将星体送入近地圆形轨道运行，然后再由地面控制中心启动星载火箭将其送上与地球自转的同步运行的轨道，那么变轨后与变轨前相比，火箭对通信卫星的做了功，卫星的机械能增大了。进入离地球更远的轨道后，半径增大，卫星在轨道上运动的线速度减小，动能减小。C正确。
二、填空、实验题：
7．【答案】0.6
【点拨】根据机械能守恒定律有：，解得：H＝0.6m。
8．【答案】30；10
【点拨】根据机械能守恒定律有：。当物体的重力势能为其动能的2倍时，有：，解得：h＝30
m；当物体的动能为其重力势能的2倍时，有：，解得：v＝10
m/s。
9．【答案】
【点拨】设h长液柱的质量为m0，液柱减少的重力势能转化为整个液柱的动能，根据机械能守恒有：，解得：v＝。
三、计算题：
10．【答案】H
＝1.04s
【解析】设物体A沿斜面下滑距离s时的速度为v，对系统用机械能守恒定律得：
4mgssin30 －mgs＝（4m＋m）v2－0
在细线断的瞬间，物块B竖直上升的速度就是v，此后B做竖直上抛运动。设继续上升的高度为h，由机械能守恒定律得：
mgh＝mv2－0
物体B上升的最大高度为：
H＝h＋s
联立解得：H＝1.04s。
11．【答案】（1）；（2）（3）（略）
【解析】（1）由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒。两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
解得：
（2）因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B从h处自由滑下的速度大，增加的动能就是杆对B做正功的结果。B增加的动能为：
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A做负功。所以杆对A球做的功为：。
（3）当系统在斜面和水平面上运动时，A、B的运动状态相同，杆中无作用力，杆对A不做功；当B球从斜面进入水平面，而A球仍在斜面上运动时，A、B的运动状态不同，此过程中杆对A球做功。
图3
h
图4
θ
h
A
B
图6第8节机械能守恒定律
同步检测（一）
（满分100分，45分钟完成）
班级_____姓名_________
目的要求：
1．理解机械能的定义，并会用定义式进行计算；
2．掌握机械能守恒定律的内容、表达式；
3．知道机械能守恒定律的成立条件。
第Ⅰ卷(选择题
共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1．关于机械能守恒，下列说法正确的是
（ ）
A．做匀速直线运动的物体，其机械能一定守恒
B．做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒
C．平抛运动的物体，其机械能一定守恒
D．物体不受摩擦力，机械能一定守恒
2．下列说法正确的是
（ ）
A．物体所受的合力为零，机械能一定守恒
B．物体所受合力不为零，机械能一定不守恒
C．物体受到重力、弹力以外的力作用时，机械能一定不守恒
D．物体在重力、弹力以外的力做功时，机械能一定不守恒
3．如图1所示，m1＞m2，滑轮光滑且质量不计，在m1下降一段距离d的过程中（不计空气阻力），下列说法正确的是
（ ）
图1
A．m1的机械能守恒
B．m2的机械能增加
C．m1和m2总的机械能减少
D．m1和m2总的机械能守恒
4．
如图2所示，从高处自由下落的物体，它的重力势能Ep和机械能E随下落的高度h的变化图线正确的是
（ ）
图2
5．
如图3所示，某人以拉力F将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法正确的是
（ ）
图3
A．物体做匀速运动
B．合外力对物体做功等于零
C．物体的机械能保持不变
D．物体的机械能减小
6．
物体在地面附近以3
m/s2的加速度匀减速上升，则物体在上升的过程中，物体的机械能的变化是
（
）
A．不变
B．增加
C．减少
D．无法判断
7．
质量为m的小球，从桌面上竖直抛出，桌面离地面高为h，小球能达到的最大高度离地面为H。若以桌面作为重力势能的参考面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为
（
）
A．mgH
B．mgh
C．mg（H＋h）
D．mg（H－h）
8．
从同一地点同时抛出几个质量均为m的物体，若它们的初动能相等，初速度不同，下列说法正确的是（不计空气阻力）
（
）
A．到达最高点时势能相等
B．到达最高点时动能相等
C．到达最高点时机械能相等
D．在同一时刻动能一定相等
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．___________和___________统称为机械能，系统内各物体___________的动能和势能的总和称为该状态的机械能。
10．机械能守恒定律的研究对象是物体和___________组成的系统，习惯上说是物体的机械能守恒。
11．机械能守恒的条件是：只有___________和___________做功。
12．质量相同的三个小球在同一高度以相同的速率分别做竖直上抛、下抛和平拋运动，不计空气阻力，则三个小球落地时的速度__________、动能__________、机械能__________。（选
“相同”“不同”或“无法确定”
填空）
13．一物体从半径为0.45m的光滑半球外表面的顶点自由滑下，其落地速度大小是________m/s（g＝10
m/s2）。
三、计算题：本大题共2小题，计27分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
14．（12分）如图4所示，轻弹簧k一端与墙相连处于自然状态，质量为4
kg的木块沿光滑的水平面以5
m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求弹簧的最大弹性势能及木块被弹回速度增大到3
m/s时弹簧的弹性势能。
图4
15．（15分）如图5所示，在一个很长的斜面上的某处A，水平抛出一个物体.已知物体抛出时的动能为1.5
J，斜面的倾角θ＝30 ，空气阻力不计，求它落到斜面上B点时的动能。
图5
参考答案
一、选择题：
1．【答案】C
【点拨】机械能守恒的条件是只有重力或弹簧的弹力做功，如果物体竖直下落，机械能减小，如果物体在竖直方向上做匀速圆周运动，机械能不守恒，物体不受摩擦力但是可能受到其它外力。
2．【答案】D
【点拨】物体受到的合力为零，机械能不一定守恒，例如物体匀速下落时机械能减小，A错误；只要重力、弹力以外的力不做功，机械能就守恒，B、C错误；重力、弹力以外的力做功时，机械能一定不守恒，D正确。
3．【答案】BD
【点拨】两个物体组成的系统符合机械能守恒定律的条件，机械能守恒。对其中的一个物体来讲，机械能是不守恒的，系统中m1的机械能减少，m2的机械能增加。
4．【答案】C
【点拨】重力势能应该随着高度的减小而减小，A、B错误；系统只受到重力作用，机械能守恒，下落过程中机械能不变，C正确。
5．【答案】C
【点拨】当拉力大小等于摩擦力时，拉力做的正功和摩擦力做的负功相等，重力以外的力总功等于零，机械能守恒。
6．【答案】B
【点拨】根据题意，物体运动的加速度方向竖直向下，a＝3
m/s2＜g＝10
m/s2，由牛顿第二定律可知，该物体在上升过程中，除受到重力外，还受到与重力方向相反(即竖直向上)的其他力作用，并且这个力对物体做了正功，故物体的机械能增加了。
7．【答案】D
【点拨】运动过程中小球的机械能守恒，小球落地时的机械能与在最高点处的机械能相等。
8．【答案】C
【点拨】几个物体刚抛出时，机械能相同。抛出后，只有重力做功，每个物体的机械能均守恒，所以到达最高点时机械能相等。因各个物体抛出的方向不同，可能竖直上抛或斜抛，故最高点时的动能、势能及同一时刻的动能不一定相等。
二、填空、实验题：
9．【答案】动能；势能；同一状态
【点拨】（略）
10．【答案】地球
【点拨】机械能中的势能是物体和地球系统共有的。
11．【答案】重力；系统内弹簧的弹力
【点拨】（略）
12．【答案】不同；相同；相同
【点拨】三个小球落地时的速度大小是相等的，但是速度方向不同，所以速度不同；动能与速度方向无关，根据机械能守恒知，球落地时的动能和机械能相等。
13．【答案】3
【点拨】由于没有没摩擦力，所以机械能守恒。根据机械能有：，得＝3m/s。
三、计算题：
14．【答案】50
J；32
J
【解析】物体和弹簧构成的系统机械能守恒。当弹簧的弹性势能最大时，物体的动能为零。由机械能守恒定律得，弹簧的最大弹性势能为：
Epm＝mv02＝×4×52
J＝50
J
当物体的速度为v＝3
m/s时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律得：
Ep＋mv2＝mv02
Ep＝mv02－mv2＝32
J。
15．【答案】3.5
J
【解析】设物体的质量为m，初速度为v0，A、B两点的高度差为h，水平距离为s，则
h＝stan30
由平抛运动规律可得：
h＝gt2
s＝v0t
解得：h＝
以B点所在平面为参考平面，根据机械能守恒定律得：
EkB＝mv02＋mgh
则EkB＝mv02＝EkA＝3.5
J。7.8《机械能守恒定律》导学案
基础学习与能力提升
主题1：机械能的概念：
问题：阅读教材第75页“动能与势能之间的相互转化”标题下面的内容，完成下面的填空，归纳出什么是机械能？
（1）.物体沿光滑斜面下滑时
能转化为
能。
（2）.物体冲上光滑斜面时
能转化为
能。
（3）.弓箭手拉弓射箭过程
能转化为
能。
（4）.
能，
能和
能统称为机械能。
主题2：探究机械能守恒定律
知识记忆与理解
重力势能表达式：
；重力做功与重力势能变化的关系：
WG
=
.
弹性势能表达式：
；
弹力做功与弹性势能变化的关系：
W弹
=
.
动能表达式：
；合外力做功与动能变化的关系：
W合外力=
.（动能定理）
情景一：如图，质量为m的小球从光滑曲面上滚下，到A点时速度为v1，距地面的高度为h1，到B点时速度为v2
，距地面的高度为h2。
1、小球的机械能由哪几种能量组成？在A、B两点的机械能分别如何表示（取地面为零势能面）？
2、重力做功与重力势能变化的关系式：
3、从A到B的过程的动能定理表达式：
4、观察上述两个表达式，你会发现A、B两点的机械能有什么关系。
在只有
做功的物体系统（研究对象是物体和地球组成的系统）内，
能和
能发生相互转化，但机械能的总量
。
情景二：如图在，质量为m的滑块在光滑水平面上自由地往复运动。
1.试类比上述“重力做功机械能守恒”的证明过程，证明Ek1+Ep1弹=Ek2+Ep2弹
只有弹簧弹力做功的物体系统(研究对象是物体与弹簧组成的系统)内，
与物体的
发生相互转化，但机械能的总量
。
结合上述“情景一和情景二”结论总结出：
机械能守恒定律：在只有
或
做功的物体系统内，
能和
能发生相互转化，但机械能的总量
。
机械能守恒定律的表达式：_____________________或者
。
机械能守恒的对象是
；
机械能守恒的条件：从做功的角度
；
从能量转化的角度
.
技能应用与拓展
1.下列实例中（除①外，都不计空气阻力），哪些情况机械能守恒？说明理由。
①跳伞员利用降落伞在空中匀速下落
②抛出的篮球在空中运动
③用绳拉着一个物块沿着光滑斜面匀速上滑
④光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来
⑤回顾课前的游戏，小球为什么不会碰到那位同学的鼻子？
2.例题：把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆（如图），摆长为l
,最大偏角为θ
.小球运动到最低位置时的速度是多大？请用本节学的机械能守恒定律解答。
思考：能否用牛顿第二定律求出O点小球的速度？
请你总结一下用机械能守恒定律解决问题的思路：
随堂小练：
1．如图所示，桌顶高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为(
)
A．mgh；
B．mgH；
C.
mg(H十h)；
D．mg(H—h)．
2.如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4kg的木块沿光滑的水平面以5m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求弹簧的最大弹性势能及木块被弹回速度增大到3m/s时弹簧的弹性势能。
A
B第8节机械能守恒定律
综合检测（一）
（满分100分，60分钟完成）
班级_____姓名_________
目的要求：
1．理解机械能的定义，并能进行有关的计算；
2．掌握机械能守恒定律的内容、表达式，能推导机械能守恒定律；
3．理解机械能守恒定律的成立条件。
第Ⅰ卷(选择题
共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1．物体在平衡力作用下的运动中
（
）
A．物体的机械能一定不变
B．如果物体的重力势能有变化，则它的机械能一定有变化
C．物体的动能一定不变，但重力势能一定变化
D．物体的重力势能可能变化，但它的机械能一定不变
2．从离水平地面同样的高度分别竖直上抛质量不同的甲、乙两个小球，甲球的初速度为v1，乙球的初速度为v2，不计空气阻力，当两球落地时，甲的速率为乙的2倍，则
（
）
A．v1＞2v2
B．v1＝2v2
C．v2＜v1＜2v2
D．以上三种情况都有可能
3．人在高h处向斜上抛出一质量为m的物体，物体到最高点的速度为v1，落地速度为v2，人对这个物体做的功为
（
）
A．mv22－mv12
B．mv22
C．mv22－mgh
D．mv12－mgh
4．
如图1所示，一根长为l1的橡皮条和一根长为l2的绳子（l1＜l2）悬于同一点，橡皮条的另一端系一A球，绳子的另一端系一B球，两球质量相等，现从悬线水平位置（绳拉直，橡皮条保持原长）将两球由静止释放，当两球摆至最低点时，橡皮条的长度与绳子长度相等，此时两球速度的大小为
（
）
图1
A．A球速度较大
B．B球速度较大
C．两球速度相等
D．不能确定
5．
从地面以仰角θ斜上抛一个质量为m的物体，初速度为v0，不计空气阻力，取地面物体的重力势能为零，当物体的重力势能是其动能3倍时，物体离地面的高度为
（
）
A．
B．
C．
D．
6．某同学身高1.8
m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8
m高度的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（g＝10
m/s2）
（
）
A．2
m/s
B．4
m/s
C．6
m/s
D．8
m/s
7．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的应是
（
）
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
图2
8．水平抛出一物体，落地时的速度方向与水平方向的夹角为θ，取地面为参考平面，则物体被抛出时，其重力势能和动能之比为
（
）
A．tanθ
B．cotθ
C．cot2θ
D．tan2θ
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．某人在20m高的平台上抛出一个质量为1kg的小球，落地时小球的动能是抛出时动能的5倍，则小球抛出时的速度为___________m/s，人对小球做的功为___________J（g＝10
m/s2）。
10．物体从离地面高为h处自由落下，其能量随高度变化的关系如图3所示的三条直线，则表示动能随高度变化的是___________；表示势能随高度变化的是___________；表示机械能随高度变化的是___________；
11．如图4所示，长为l的细绳一端固定，另一端拴质量为m的小球，将小球拉至水平位置后由静止释放，则小球摆到最低点速度为________，此时细绳对小球拉力为________。
图4
12．气球以10
m／s的速度匀速上升，当它上升到离地15
m高时，从气球里掉下一个物体，如果不计空气阻力，则物体落地时的速度为________m/s。
13．将物体由地面竖直上抛，不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H。当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍，则这一位置的高度为___________（取地面为参考面）。
三、计算题：本大题共2小题，计27分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
14．（12分）小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB＝d，如图5所示。开始时，小球与O在同一水平面处无初速释放，绳长为L.不计轻绳与钉子碰撞时的能量损失，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围。
图5
15．（15分）如图6所示，半径为R的半圆槽木块固定在水平地面上，质量为m的小球以某速度从A点无摩擦地滚上半圆槽，小球通过最高点B后落在水平地面C处，已知AC＝AB＝2R，求：
图6
（1）小球在A点的速度；
（2）小球在B点时木块对它的压力。
参考答案
一、选择题：
1．【答案】B
【点拨】物体在平衡力作用下，动能一定不变.但重力势能可能变化，故机械能可能变化.例如，空中匀速下落的物体，重力势能减小，机械能减小。物体在外力作用下沿粗糙水平面匀速前进，重力势能不变，机械能不变。
2．【答案】A
【点拨】设两球的抛出高度为h，两球的落地速度分别为、，则＝2。由机械能守恒定律得：mgh＋mv2＝，所以，抛出速度为v＝。对乙球：v2＝
对甲球：v1＝＝＞＝2v2，所以，v1＞2v2，A正确。
3．【答案】C
【点拨】人对物体做的功，等于在人抛出物体时物体获得的动能。
4．【答案】B
【点拨】这里要考虑橡皮筋的弹性势能的变化情况，二者下落的高度相同，两个物体的质量又相同，所以初状态的机械能是相等的，在球下落的过程中，拉A球的橡皮筋的弹性势能增大，所以A球的机械能要减小，A球到达最低点时的速度较小。
5．【答案】B
【点拨】不考虑空气阻力，斜上抛的物体在运动的全过程中，只有重力做功，其机械能守恒，设物体在高h处速度为v1，则有mv02＝mv12＋mgh，由题意有mgh＝3×mv12，整理得mv02＝mgh，解得h＝，B正确。
6．【答案】B
【点拨】设该同学的重心在其身体的中点上，把他看成质点，他上升的最大高度是0.9
m，根据机械能守恒，mv02＝mgh，v02＝2
gh＝18
m2/s2，所以v0最接近4
m/s。
7．【答案】D
【点拨】在球从高处下落到弹簧压缩到最短的过程中，重力势能、动能、弹性势能相互转化，其总和不变，选项D正确。
8．【答案】D
【点拨】设物体抛出点的高度为h，初速度为v0，则落地时速度为v＝，平抛过程只有重力做功，物体机械能守恒，得mgh＋mv02＝mv2＝m，所以mgh＝mv02·tan2θ，D正确。
二、填空、实验题：
9．【答案】10；50
【点拨】根据机械能守恒，结合已知条件有：，解得：v0＝10m/s；人对小球做的功提供小球的初动能，有：＝50J。
10．【答案】Ⅱ；Ⅰ；Ⅲ
【点拨】物体在下落过程中动能随离地高度的减小而增大，势能随离地高度的减小而减小，机械能不变。
11．【答案】；3mg
【点拨】要求在最低点的速度，可以根据机械能守恒来进行求解，而要求小球对细绳的拉力，合力提供小球做有圆周运动的向心力。
12．【答案】20
【点拨】物体离开气球后，以10m/s的初速度做竖直上抛运动，由机械能守恒定律得：mgh＋mv02＝mvt2，物体落地时的速度为vt＝＝20m/s。
13．【答案】H
【解析】设物体上升到高h处时，动能是重力势能的2倍，即mv2＝2mgh。由机械能守恒定律得：mgH＝mv2＋mgh，解得：h＝H。
三、计算题：
14．【答案】＜
d≤L
【解析】由圆周运动的知识可知，当小球以B点为圆心做圆周运动时，到达最高点时向心力由重力提供时速度最小，即
mg＝m＝m
解得：v0＝
取v0所在处的平面为零势能面，对小球由开始运动到v0所在处运用机械能守恒定律可得：mg（L－2r）＝mv02
又r＝L－d
解得：d＝
小球做圆周运动的轨道半径越小，即d越大，小球越容易通过圆周的最高点，综合上述分析，距离d的值范围应为：＜d≤L。
15．【答案】（1）vA＝；（2）FN＝0
【解析】（1）小球由B到C做平抛运动，则有
解得：vB＝
小球由A到B的过程中，机械能守恒，有
mg×2R＝mvA2－mvB2
解得：vA＝。
（2）在B点，根据向心力公式，有：
FN
＋mg＝
解得：FN＝m－mg＝0。
EK
h
O
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
图3第8节机械能守恒定律
同步检测（二）
（满分100分，45分钟完成）
班级_____姓名_________
目的要求：
1．进一步理解机械能守恒定律及其成立条件；
2．知道守恒定律处理问题的基本思路。
第Ⅰ卷(选择题
共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1．两个质量不同的物块A和B，分别从高度相同的光滑斜面和曲面的顶点从静止开始滑向底部，如图1所示。下列说法中正确的是
（ ）
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时的动能相等
C．它们到达底部时的速率相等
D．物块A在最高点时的机械能和它到达底部时的机械能相等
2．已知一个物体在某一运动过程中，动能由23J增加到41J，重力势能由27J减少到9J。下列说法中正确的是
（ ）
A．物体一定是由高处向低处运动
B．初、末状态的机械能总量相等
C．物体一定做匀加速运动
D．物体一定受到摩擦力的作用
3．如图2所示，质量为m的物体，以水平速度v０离开桌面，若以桌面为零势能面，不计空气阻力，则当它经过离地高度为h的A点时，所具有的机械能是
（
）
图2
A．
B．
C．
D．
4．一个人站在高出地面h处，抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速率为v，不计空气阻力，则人对物体所做的功为
（
）
A．mgh
B．mgh
C．mv2
D．mv2－mgh
5．质量相等的A、B两物体在同一水平线上，当A物体正对B物体水平抛出的同时，B物体开始自由下落（空气阻力不计）。如图3所示，曲线AC为A物体的运动轨迹，直线BD为B物体的运动轨迹，两轨迹相交于O点，则两物体
（ ）
A．经过O点时速率相等
B．在O点相遇
C．在O点时具有的机械能一定相等
D．在O点时重力的功率一定相等
6．如图4所示，两质量相等的小球A、B，分别用线悬在等高的O1、O2两点，且A球的悬线比B球的长。现把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则两球在最低点（空气阻力不计，以悬点所在平面为参考平面）
（ ）
A．A球的速率大于B球的速率
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
7．
某人将质量为1
kg的物体，由静止匀加速举高1m，且获得2
m/s的速度，则在这一过程中，下列说法错误的是（g＝10
m/s2）
（
）
A．物体的机械能守恒
B．合外力对物体做功2
J
C．物体的机械能增加12
J
D．人对物体做功为12
J
8．质量为m的物体，从静止开始以的加速度竖直向下加速下降h时，下列说法中正确的是
（
）
A．物体的机械能增加了mgh
B．物体的动能增加了mgh
C．物体的机械能减少了mgh
D．物体的重力势能减少了mgh
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．如图5所示，一轻绳跨过定滑轮悬挂质量m1＝6kg、m2＝2kg的两物块。开始时，用手托住m1，使其保持静止状态。放开手后，当物块m1下落0.4m时，两物块的速度为___________m/s（g取10m/s2）。
10．小球从h高处自由下落，着地时速率为v，若将它从H高处以速率v水平抛出，不计空气阻力，落地时速率为2v，则H＝_____h。
11．如图6所示，要竖直平面内固定一个光滑的四分之一圆弧槽，半径为R，它的末端水平，上端离地高H。一个小球从上端无初速滑下，小球落地时离槽口的水平距离为___________。
12．上题中，若H一定，欲使小球落地时离槽口的水平距离最大，圆弧槽的半径为__________，最大的水平距离为___________。
13．如图7所示，在光滑的水平桌面上，放置一条长为l的均匀的链条，开始时链条沿桌子下垂部分的长度为a，从此位置由静止开始释放，链条刚好全部滑出桌面时的速度v＝___________（设h＞l）。
三、计算题：本大题共2小题，计27分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
14．（12分）质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8m，如图8所示。若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动，求：
（1）物体A着地时的速度；
（2）物体A着地后物体B还能沿斜面上滑的最大距离。
15．（15分）如图9所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静释放，求：
（1）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
（2）在杆刚转到竖直位置的瞬间，杆对B球的作用力为多大？是推力还是拉力？
参考答案
一、选择题：
1．【答案】CD
【点拨】根据机械能守恒知，两物块到达底部时的速率相等，C正确；两物块质量不同，到达底部时的动能不相等，B错误；高度相同，重力做的功不相等，A错误；
物块A的机械能守恒，D正确。
2．【答案】AB
【点拨】重力势能减少，物体一定是由高处向低处运动，A正确；初、末状态的动能与重力势能之和相等，B正确；物体的受力情况和运动情况无法确定，C、D错误。
3．【答案】D
【点拨】因不计空气阻力，仅有重力做功，故机械能守恒，选桌面为势能参考面，故物体在抛出时的机械能为，
则在运动过程中任何位置的机械能均为，选项D正确。
4．【答案】D
【点拨】设物体抛出时的初速度为v０，因不计空气阻力，故机械能守恒，根据机械能守恒定律，有，则人对物体所做的功为Ｗ＝＝，选项D正确。
5．【答案】BD
【点拨】经过O点时A、B的竖直分速度相等，A的速率大于B的速率，A错误；A、B的竖直分运动相同，同时开始运动，必在O点相遇，B正确；A、B两物体的质量相等，在O点的动能不等，重力势能相同，机械能不等，C错误；A、B两物体的重力相同，在O点的竖直分速度相同，在O点时重力的功率一定相等，D正确。
6．【答案】ABD
【点拨】根据机械能守恒知，到达最低点的速率，所以A球的速率大于B球的速率，A正确；两球质量相等，A球的动能大于B球的动能，B正确；两球的质量相等，初始高度相同，初动能均为零，所以两球初状态的机械能相等，两球各自的机械能均守恒，所以到达最低点时的机械能相等，C错误，D正确。
7．【答案】A
【点拨】物体举高过程中，人对物体有向上的力做功，物体的机械能增加。根据动能定理得：W合＝mv2＝2
J，即合外力对物体做功2
J；WF－mgh＝mv2，WF＝mgh＋mv2＝12
J，即人对物体做功为12
J；物体机械能增量为mgh＋mv2＝12
J。本题答案为A。
8．【答案】BCD
【点拨】物体匀加速下降h时，速度为v2＝2ah，得v＝。则物体的动能增加ΔEK＝mv2＝mgh，物体的重力势能减少mgh，物体的机械能减少mgh－mv２＝mgh。
二、填空、实验题：
9．【答案】2
【点拨】根据系统的机械能守恒，有系统减少的势能等于增加的动能，有＝，解得：v＝2m/s。
10．【答案】3
【点拨】根据机械能守恒定律，在第一种情况下，mgh＝，第二种情况下，mgH＋＝，解得：H＝3h。
11．【答案】
【点拨】设小球离开槽口的水平速度为v，根据机械能守恒有：。小球离开槽口后做平抛运动，根据平抛运动的规律有：，。联立解得：s＝。
12．【答案】；H
【点拨】从s＝知，R＋(H－R)＝H＝定值，所以当R＝时，s有最大值，代入求得smax＝H。
13．【答案】
【点拨】选桌面处为零势能参考平面，根据机械能守恒有：，解得：v＝。
三、计算题：
14．【答案】（1）2m/s；（2）0.4m
【解析】（1）运用机械能守恒，以地面为零势能面，所以：
mgh＝mghsin30o＋＋
因为：vA＝vB
解得：vA＝vB＝2m/s。
（2）物体A准着地后，以B此时所在的位置为零势能，对B物体根据机械能守恒，有：
＝mgsB×sin30
解得：sB＝0.4m。
15．【答案】（1）；（2），推力
【解析】（1）系统机械能守恒。设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有：
vA＝2lω
vB＝lω
对A球，由动能定理得：
联立解得：W＝。
（2）转到竖直位置的瞬间，设杆对B球有向下的拉力F，根据向心力公式有：
解得：F＝
负号表示杆对B球的作用力方向与假设方向相反，即向上，所以杆对B球为推力。
A
B
图1
A
B
O
C
D
图3
O1
O2
A
B
图4
m1
m2
图5
H
R
O
图6
h
a
图7
30
B
A
0.8m
图8
A
B
O
图98．机械能守恒定律
三维目标
知识与技能
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化；
2．正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件；
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒并能列出机械能守恒的方程式。
过程与方法
1．学会在具体的问题中判定物体的机械能是否守恒；
2．初步学会从能量转化和守恒的观点来解释物理现象，分析问题。
情感、态度与价值观
通过能量守恒的教学，使学生树立科学观点，理解和运用自然规律，并用来解决实际问题。
教学重点
1．掌握机械能守恒定律的推导、建立过程，理解机械能守恒定律的内容；
2．在具体的问题中能判定机械能是否守恒，并能列出定律的数学表达式。
教学难点
1．从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒的条件；
2．能正确判断研究对象在所经历的过程中机械能是否守恒，能正确分析物体系统所具有的机械能，尤其是分析、判断物体所具有的重力势能。
教学方法
演绎推导法、分析归纳法、交流讨论法。
教学工具
投影仪、细线、小球、带标尺的铁架台、弹簧振子。
教学过程
［新课导入］
我们已学习了动能、重力势能和弹性势能。各种形式的能可以相互转化，物体所受合外力所做的功等于物体动能的改变，重力对物体所做的功等于物体初位置的重力势能与末位置重力势能的差。
在一定条件下，物体的动能与势能（包括重力势能和弹性势能）可以相互转化，本节课我们就来定量地研究它们间相互转化时遵循的规律。
［新课教学］
一、动能与势能的相互转化
1．动能和重力势能的相互转化
【演示】
如图所示，一个用细线悬挂的小球从A点开始摆动。记住它向右能够达到的最大高度。然后用一把直尺在P点挡住摆线，看一看这种情况下小球所能达到的最大高度。
你认为这个小实验说明了什么？
用细线、小球、带有标尺的铁架台等做实验。把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，小球在摆动过程中，重力势能和动能相互转化。我们看到，小球可以摆到跟A点等高的C点，如图甲。如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到C点，但摆到另一侧时，也能达到跟A点相同的高度，如图乙。
问题：这个小实验中，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？这个小实验说明了什么？
观察演示实验，思考问题。
小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用。拉力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有重力对小球能做功。
结论：小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化。在摆动过程中，小球总能回到原来的高度。可见，重力势能和动能的总和保持不变。即机械能保持不变。
物体自由下落或沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减少。减少的重力势能到哪里去了？我们发现，在这些过程中，物体的速度增加了，表示物体的动能增加了。这说明，物体原来具有的重力势能转化成了动能。
原来具有一定速度的物体，由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面上升，这时重力做负功，物体的速度减小，表示物体的动能减少了。但这时物体的高度增加，表示它的重力势能增加了。这说明，物体原来具有的动能转化成了重力势能。
2．动能和弹性势能的相互转化
不仅重力势能可以与动能相互转化，弹性势能也可以与动能相互转化。被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，而物体得到一定的速度，动能增加。射箭时弓的弹性势能减少，箭的动能增加，也是这样一种过程。
【演示】
如图所示，水平方向的弹簧振子。用弹簧振子演示动能和弹性势能的相互转化。
问题：这个小实验中，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？这个小实验说明了什么？
观察演示实验，思考问题。
小球在往复运动过程中，竖直方向上受重力和杆的支持力作用，水平方向上受弹力作用。重力、支持力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有弹簧的弹力对小球能做功。
结论：小球在往复运动过程中弹性势能和动能在不断转化。小球在往复运动过程中总能回到原来的位置，可见，弹性势能和动能的总和应该保持不变。即机械能保持不变。
【思考讨论】
动能转化为重力势能或弹性势能时，重力或弹力做负功。你能举出这样的例子吗？
通过上述分析可知，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。动能和势能之间可以相互转化，那么在动能和势能的转化过程中，动能和势能的和是否真的保持不变？下面我们就来定量讨论这个问题。
二、机械能守恒定律
1．机械能
（1）物体的动能和势能之和称为物体的机械能。机械能包括动能、重力势能和弹性势能。
动能和势能（包括重力势能和弹性势能）属于力学范畴，统称为机械能。
（2）表达式
动能和势能都是标量、状态量，某状态的机械能E也是标量、状态量。
同一状态的动能和势能之和为该状态的机械能，即
E＝EK＋EP
不同时刻或状态的动能与势能之和不表示机械能。
2．机械能守恒定律的推导
动能与势能的相互转化是否存在某种定量的关系？这里以动能与重力势能的相互转化为例，讨论这个问题。
我们讨论物体只受重力的情况，如自由落体运动或各种抛体运动；或者虽受其他力，但其他力并不做功，如物体沿如图所示光滑曲面滑下的情形。一句话，在我们所研究的情形里，只有重力做功。
在图中，物体在某一时刻处在位置A，这时它的动能是Ek1，重力势能是EP1，总机械能是E1＝Ek1＋EP1。经过一段时间后，物体运动到另一位置B，这时它的动能是Ek2，重力势能是EP2，总机械能是E2＝EK2＋EP2。
以W表示这一过程中重力所做的功。从动能定理知道，重力对物体所做的功等于物体动能的增加，即
W＝EK2－EK1
另一方面，从重力的功与重力势能的关系知道，重力对物体所做的功等于重力势能的减少（见本章第四节“重力势能”），即
W＝EP1－EP2
从以上两式可得
EP1－Ep2＝Ek2－EK1
移项后，有
Ek2＋EP2＝Ek1＋EP1
即
E2＝E1
可见，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
同样可以证明，在只有弹簧弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以互相转化，总的机械能也保持不变。
3．机械能守恒定律
（1）内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。这叫做机械能守恒定律（law
of
conservation
of
mechanical
energy）。
它是力学中的一条重要定律，是普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。
（2）机械能守恒的条件
①只有重力对物体做功时物体的机械能守恒
在前面的证明过程中可以看到，在只有重力做功的情况下，只引起动能和重力势能之间的相互转化，物体的机械能守恒。
只有重力做功与物体只受重力不同。
所谓只有重力做功，包括两种情况：a．物体只受重力，不受其他的力；
b．物体除重力外还受其他的力，但其他力不做功。
而物体只受重力仅包括一种情形。
②弹簧和物体组成的系统的机械能守恒
以弹簧振子为例（未讲振动，不必给出弹簧振子名称，只需讲清系统特点即可），简要分析系统的弹性势能与动能的转化。
放开被压缩的弹簧，可以把跟它接触的小球弹出去，在小球被弹簧弹出的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能。类比得到：如果有弹力做功，动能和弹性势能之和保持不变，即机械能守恒。
所谓只有弹力做功，包括物体只受弹力作用，不受其他的力；物体除受弹力外还受其他的力，但其他力不做功。
进一步定量研究可以证明，在只有弹簧弹力做功条件下，物体的动能与势能可以相互转化，物体的机械能总量不变。
从功的角度来表述机械能守恒的条件是：
只有重力和弹簧弹力对物体做功，其它力不做功或功等于零。
在中学阶段主要定量计算重力势能和动能之间相互转化时的机械能守恒，因而课本中只强调只有重力做功这个条件。但要注意分析含有弹簧弹力做功情况下机械能守恒的定性分析。
从能量的角度来表述机械能守恒的条件：
对某一物体系统，如果没有摩擦和介质阻力，只发生动能和势能的相互转换，无机械能和非机械能的转换，则物体系统的机械能保持不变。
（3）表达式
初状态的机械能跟末状态的机械能相等。
E1＝E2
机械能的变化量为零。
ΔE＝0
初状态的动能和势能之和等于末状态的动能和势能之和。
EP1＋Ek1＝EP2＋Ek2
动能（或势能）的增加量等于势能（或动能）的减少量。
ΔEP＝－ΔEK
A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。
ΔEA＝－ΔEB
（4）说明
①机械能守恒定律说明了机械能中的动能和势能这两种形式的能量在一定条件下可以相互转化，同时还说明了动能和势能在相互转化的过程中所遵循的规律，即总的机械能保持不变。
②机械能守恒定律的研究对象为物体系统，因机械能中的势能属物体系统共有。定律中所说“物体”为习惯说法，它实际上应为包括地球在内的物体系统。
4．机械能守恒定律的应用
【例题1】把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图），摆长为l，最大偏角为θ。小球运动到最低位置时的速度是多大？
分析
小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。
小球在最高点只有重力势能，没有动能，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。
小球在最高点与最低点的高度差为l－lcosθ，这点可由几何关系得出。
解
小球在最高点作为初状态，如果把最低点的重力势能定为0，在最高点的重力势能就是EP1＝mg（l－lcosθ），而动能为零，即EK1＝0。
小球在最低点为末状态，势能EP2＝0，而动能可以表示为EK2＝。
运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即
Ek2＋EP2＝Ek1＋EP1
把各个状态下动能、势能的表达式代入，得
由此解出
解决一个问题之后要对结论进行分析。如果与已有的知识或日常经验不一致，则要认真考虑，看看是否出现了错误。
从得到的表达式可以看出，初状态的θ角越大，cosθ越小，（1－cosθ）就越大，v也就越大。也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最下端时的速度也就越大。这与生活经验是一致的。
另解：选择A、C点所在的水平面作为参考平面时，小球在最高点时的机械能为E1＝Ep1＋Ek1＝0，小球摆球到达最低点时的，重力势能Ep2＝－mgh＝－mgl(1－cosθ)，动能Ek2＝，机械能E2＝Ep2＋Ek2＝－mgl(1－cosθ)。
根据机械能守恒定律有
0＝－mgl(1－cosθ)
所以
【例题2】一个物体从光滑斜面项端由静止开始滑下，如图。斜面高1m，长2m。不计空气阻力，物体滑到斜面底端的速度是多大？
解法一：用动力学运动学方法求解。
物体受重力mg和斜面对物体的支持力FN，将重力mg沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解，沿斜面方向根据牛顿第二定律有
mgsinθ＝ma
得a＝gsinθ
又sinθ＝
故a＝4.9
m/s2
又
所以vt＝＝4.4
m/s。
解法二：用机械能守恒定律求解。
物体沿光滑斜面下滑，只有重力做功，物体的机械能守恒。以斜面底端所在平面为零势能参考平面。物体在初状态的机械能E1＝Ep1＋Ek1＝mgh，末状态的机械能E2＝Ep2＋Ek2＝。
根据机械能守恒定律有
mgh＝
所以＝4.4m/s。
把两种解法相比较，可以看出，应用机械能守恒定律解题，可以只考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态之间的过程的细节，不涉及加速度的求解。所以用机械能守恒定律解题，在思路和步骤上比较简单。如果把斜面换成光滑的曲面（如右图），同样可以应用机械能守恒定律求解，而中学阶段则无法直接用牛顿第二定律求解。
5．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
①确定研究对象
②对研究对象进行正确的受力分析
③判定各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件
④视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能。
⑤根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解。
［小结］
本节课我们学习了机械能守恒定律，机械能守恒的条件是：只有重力或弹簧弹力做功；
在具体判断机械能是否守恒时，一般从以下两方面考虑：①对于某个物体，若只有重力做功，而其他力不做功，则该物体的机械能守恒；②对于由两个或两个以上物体(包括弹簧在内组成的系统，如果系统只有重力做功或弹簧弹力做功，物体间只有动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统与外界没有机械能的转移，系统内部没有机械能与其他形式能的转化系统的机械能就守恒。这种从能量的角度判断的方法对复杂问题更适用，也便于说明。
如果除重力或弹簧弹力之外的其他力做了功，物体系统的机械能将不守恒。其他力做了的功与机械能变化之间存在怎样的关系呢，请同学们自己去推证。
［布置作业］
教材第72页“问题与练习”。
A
C
甲
乙
A
C
P
θ
l
C
A
O
A
B
h
mg
FN
A
B
h第8节机械能守恒定律
综合检测（二）
（满分100分，60分钟完成）
班级_______姓名_______
目的要求：
1．进一步理解机械能守恒定律及其成立条件，能用机械能守恒定律解决力学问题；
2．知道守恒定律处理问题的基本思路及特点。
第Ⅰ卷(选择题
共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1．关于机械能是否守恒的叙述，正确的是
（
）
A．作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．作匀变速运动的物体机械能可能守恒
C．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒
2．物体在做下列哪些运动时机械能不守恒
（
）
A．自由落体运动
B．竖直上抛运动
C．沿斜面向下匀速运动
D．沿光滑的竖直圆环轨道的内壁做圆周运动
3．从同一高度以相同的速率分别抛出质量相等的三个小球，一个竖直上抛，一个竖直下抛，另一个平抛，则它们从抛出到落地，以下说法正确的是
（
）
A．运行的时间相等
B．加速度相同
C．落地时的速度相同
D．落地时的动能相等
4．
自由下落的小球，从接触竖直放置的轻弹簧开始，到压缩弹簧有最大形变的过程中，以下说法中正确的是
（
）
A．小球的动能逐渐减少
B．小球的重力势能逐渐减少
C．小球的机械能守恒
D．小球的加速度逐渐增大
5．质量1.0kg的铁球从某一高度自由落下，当下落到全程中点位置时，具有36J的动能，如果空气阻力不计，取地面为零势能处，g取10m/s2，则
（
）
A．铁球在最高点时的重力势能为36J
B．铁球在全程中点位置时具有72J机械能
C．铁球落到地面时速度为12m/s
D．铁球开始下落时的高度为3.6m
6．如图1所示，B物体的质量是A物体质量的，在不计摩擦阻力的情况下，A物体自H高处由静止开始下落.以地面为参考平面，当物体A的动能与其势能相等时，物体距地面的高度是
（
）
图1
A．H
B．H
C．H
D．H
7．如图2所示，细轻杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它在竖直平面内做圆周运动，a、b分别表示轨道的最低点和最高点，则小球在这两点对杆的作用力大小之差可能为
（
）
A．3mg
B．4mg
C．5mg
D．6mg
8．质量相同的两个小球，分别用长l和2l的细绳悬挂在天花板上，分别拉起小球，使细绳伸直呈水平状态后轻轻释放，当小球到达最低位置时
（
）
A．它们的线速度相等
B．它们的角速度相等
C．它们的向心加速度相等
D．绳对球的拉力相等
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．如图3所示，圆弧轨道AB是竖直平面内的半径为R的四分之一圆周，在B点，轨道的切线是水平的，一质点自A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B点时的加速度大小为
，刚滑过B点时的加速度大小为
。
图3
10．竖直向上抛出质量为0.1kg的石头，石头上升过程中，空气阻力忽略不计，石头离手时的速度是20m/s，g取10m/s2。石头离手时的动能EK0＝___________J，石头能够上升的最大高度H＝___________m，石头离地面15m高处的速度大小v＝___________m/s。
11．某人从离地面某高度处抛出一个质量为m的物体，他对物体做了W的功，该物体落地时的速度为v，则物体被抛出点离地面的高度为___________（阻力不计）。
12．如图5所示，轻杆两端各系一质量均为m的小球A、B，轻杆可绕O的光滑水平轴在竖直面内转动，A球到O的距离为L1，B球到O的距离为L2，且L1＞L2，轻杆水平时无初速释放小球，不计空气阻力，杆竖直时两球的角速度为____________。
图5
13．物体的质量为m，沿光滑的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图6所示，与弯曲轨道相接的圆轨道的半径为R，要使物体沿光滑圆轨道能通过最高点，物体应从离轨道最低处h
＝____________的地方由静止开始滑下。
图6
三、计算题：本大题共2小题，计27分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
14．（12分）如图7所示，有一条长为L的均匀链条，有一半长度在光滑的斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后下滑，求链条刚好滑出斜面的瞬间，速度是多大？
15．（15分）如图8所示，光滑水平面AB与竖直面内半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点。求：
（1）弹簧的弹力对物体做的功；
（2）物体从B点运动至C点克服阻力做的功；
（3）物体离开C点后落回水平面时的动能。(空气阻力不计)
参考答案
一、选择题：
1．【答案】BD
【点拨】作匀速直线运动的物体的机械能不一定守恒，如物体匀速上升时机械能增加，A错误；作匀变速运动的物体如果只有重力做功，机械能守恒，B正确；合外力对物体做功为零，但重力和弹簧弹力以外的力的功不一定为零，机械能不一定守恒，C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，D正确。
2．【答案】C
【点拨】物体在做自由落体运动、竖直上抛运动、沿光滑竖直圆环轨道的内壁做圆周运动时，均仅有重力做功，故机械能守恒。物体沿斜面匀速下滑，必有滑动摩擦力做负功，故机械能不守恒，本题答案为C。
3．【答案】BD
【点拨】因初速度方向不同，运行时间不同，A错误；三个小球在运动过程中加速度均为重力加速度g，B正确；因速度是矢量，三小球落地的速度方向不一样，C错误；根据机械能守恒定律知，D正确。
4．【答案】B
【点拨】分析小球的受力情况，在刚开始接触弹簧的阶段重力大于弹力，所以小球运动的过程是先自由落体再变加速再变减速，重力势能减小，动能先增加再减小，弹性势能增加，小球的机械能减小。
5．【答案】BC
【点拨】铁球从自由落下，机械能守恒，有，当下落到全程中点位置时，动能与势能相等，故铁球的机械能为72J，即铁球在最高点时的重力势能为72J，开始下落时的高度为7.2m，铁球落到地面时的动能为72J，落地时的速度速度为12m/s。
6．【答案】B
【点拨】A的质量mA＝2m，B的质量mB＝m。设当A的动能等于A的势能时，A离地高度为h，A和B的共同速率为v，有：mAgh＝mAv2。A、B运动过程中，A、B系统的机械能守恒，即A减少的势能等于A、B两物体增加的动能之和，有：mAg（H－h）＝mAv2＋mBv2，
解得：h＝H，B正确。
7．【答案】BCD
【点拨】轻杆约束的小球，到达最高点时小球的最小速度可以是零，根据机械能守恒结合向心力公式计算，当到达最高点时的速度为零时，小球在最低点和最高点对杆的作用力大小之差为4mg；当到达最高点时的速度为时，小球在最低点和最高点对杆的作用力大小之差为5mg；当到达最高点时的速度大于时，小球在最低点和最高点对杆的作用力大小之差为6mg。
8．【答案】CD
【点拨】物体从悬线水平释放后到最低点，由机械能守恒定律得：mgl＝mv2，所以，小球到达最低点时的速度为：v＝，v与l有关，线越长，球到达最低点时的速度越大，A错误；在最低点的角速度为ω＝＝，ω与l有关，线越长，球到达最低点时的角速度越小，B错误；球在最低点时的向心加速度为a＝＝2g，a与l无关，两球的向心加速度相等，C正确；由牛顿第二定律得
F－mg＝m，球在最低点时绳对球的拉力为F＝3mg，F与l无关，球到达最低点时，绳对球的拉力相等，D正确。
二、填空、实验题：
9．【答案】2g；g
【点拨】设质点到达B点时的速度为v，根据机械能守恒定律有，到达B点时的向心加速度为，解得：a＝2g；当小球滑过B点后，只受到重力，加速度为重力加速度g。
10．【答案】20J；20m；10m/s
【点拨】石头离手时的动能EK0＝＝20J；设石头能上升的最大高度为H，以抛出点为重力势能的零势能参考面，根据机械能守恒定律有：＝mgH，解得：H＝20m。以抛出点为重力势能的零势能参考面，根据机械能守恒定律有：＝mgh＋，解得：v＝10m/s。
11．【答案】
【点拨】物体抛出时的初动能等于人对物体做的功，有，根据机械能守恒有：＝，解得：h＝。
12．【答案】
【点拨】设杆到达竖直时A、B两球的速度分别为vA、vB，A、B系统的机械能守恒，选初始位置为零势能面，有：0＝mgL2－mgL1＋mvB２＋mvA2，又vA＝ωL1，vB＝ωL2，解得：ω＝。
13．【答案】R
【点拨】物体恰能通过圆轨道的最高点，有：mg＝m，根据机械能守恒，有：mg（h－2R）＝mv2，解得h＝R。
三、计算题：
14．【答案】
【解析】链条在下滑的过程中机械能守恒，取斜面的顶点处重力势能为零。设链条的质量为m，初状态的机械能为：
设链条刚好滑出斜面瞬间的速度为v，末状态的机械能为：
根据机械能守恒定律有：
＝
解得：v＝。
15．【答案】（1）3mgR；（2）0.5mgR；（3）2.5mgR
【解析】（1）物块在B点时，由牛顿第二定律得：
(FN＝7mg)
根据动能定理，弹簧弹力对物体做的功为
＝
解得：W＝3mgR
（2）物块到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有：
有
物体从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：
W阻－mg×2R＝EKC－EKB
解得：W阻＝－0.5mgR
所以，物体从B点运动至C点克服阻力做的功为0.5mgR。
(3)物体离开轨道后作平抛运动，仅有重力做功，以光滑水平面为零势能点，根据机械能守恒有：
EK＝EKC＋mg×2R＝2.5mgR。
O
a
b
图2
θ
图7
图8第8节
机械能守恒定律 新题型训练（二）
（满分100分，60分钟完成）
班级_____姓名________
目的要求：
1．熟练运用机械能守恒定律解决力学问题；
2．知道守恒定律处理问题的基本思路及其优点。
第Ⅰ卷(选择题
共48分)
一、选择题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得8分，对而不全得4分。选错或不选的得0分。
1．对于做变速运动的物体而言，下列说法正确的是
（ ）
A．若改变物体速度的仅是重力，则物体的机械能保持不变
B．若改变物体速度的不是重力和弹力，则物体的机械能一定改变
C．若改变物体速度的是摩擦力，则物体的机械能一定改变
D．在物体速度增大的过程中，其机械能可能减小
2．
如图1所示，长为2L的轻杆上端及其正中央固定两个质量均为m的小球，杆竖直立在光滑的水平面上，杆原来静止，现让其自由倒下，设杆在倒下过程中着地端始终不离开地面，则A着地时的速度为
（ ）
图1
A．
B．
C．
D．
3．如图2所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短.现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧至最短的过程中系统的
（ ）
图2
A．机械能守恒
B．机械能不守恒
C．产生的热能等于子弹动能的减少量
D．弹簧压缩至最短时，动能全部转化成势能
4．一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦地转动，如图3所示.开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则
（
）
图3
A．A球的最大速度为2
B．A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝2∶1
5．如图4所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球.支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动.开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动.在不计任何阻力的情况下，下列说法中正确的是
（
）
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
6．如图5所示，质量均为m的小球A、B用长为L的细线相连，放在高为h的光滑水平桌面上（L＞2h），A球刚好在桌边。从静止释放两球，若A、B两球落地后均不再弹起，则下面说法中正确的是
（
）
A．A球落地前的加速度为
B．B球到达桌边的速度为
C．A、B两落地的水平距离为h
D．绳L对B球做的功为
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共3小题，每个空格8分，共24分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
7．如图6所示，通过空间任意一点A可作无数个斜面，如果物体从A点分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面滑下，那么物体在这些斜面上速率相同的点所构成的面是___________。
8．某同学在离地面高为10m的地方奋力抛出一个小石块，已知石块落地时的速度为20m/s，则该同学抛出石块时的速度为v0＝___________m/s。
9．如图7所示，ABCD为光滑轨道，其中ABC为半径是R的四分之一圆弧，CD水平。今有一根粗细均匀的细杆恰好搁在AC之间，现由静止开始释放细杆，最后细杆在CD上滑行的速度为v＝___________。
三、计算题：本大题共2小题，计28分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
10．（12分）如图8所示，一个质量为m的物体自高h处自由下落，落在一个劲度系数为k的轻质弹簧上。求：当物体速度达到最大值v时，弹簧对物体做的功为多少？
图8
11．（16分）如图9所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少 已知重力加速度g。
参考答案
一、选择题：
1．【答案】A
【点拨】若改变物体速度的仅是重力，则只有重力对物体做功，物体的机械能保持不变，A正确；若改变物体速度的不是重力和弹力，如果物体在水平面内做匀速圆周运动，则物体速度改变而机械能不变，B错误；若改变物体速度的是摩擦力，只要摩擦力对物体不做功，则物体的机械能就可以不变，C错误；在物体速度增大的过程中，物体的动能增加，但如果有重力和弹簧弹力以外的力对物体做了负功，其机械能可能减小，D正确。
2．【答案】D
【点拨】A物体落地时B物体同时落地，且B物体落地时的速度是A物体落地时速度的一半，两个物体组成的系统机械能守恒，有，解得vA＝。
3．【答案】B
【点拨】在子弹射入木块的过程中，由于子弹和木块两个物体间的摩擦力做功，内能增加，机械能不守恒。子弹动能的减小量用于系统内能的增加和弹性势能的增加。
4．【答案】BCD
【点拨】因为两球的角速度相同，而线速度正比于半径，故A、B两球的速度之比vA∶vB＝2∶1，当然其最大速度之比也是2∶1，D正确；由机械能守恒定律可知当两小球的总重力势能最小时两球的动能最大，当然此时A球速度最大，B是正确；设O点为零势能面，OA转过θ时，B球达到最大速度vB，A球达到最大速度vA（如图所示），由机械能守恒定律得
mvA2+·2mvB2－mg·2lsinθ－2mglcosθ＝－2mgl
又vA∶vB＝2∶1
联立解得：vA＝，根据数学知识我们可以看出，当θ＝45°时A球速度最大，最大速度为vAm＝，A错误、C正确。
5．【答案】BCD
【点拨】两球在运动过程中只有重力做功，A、B两球及地球所组成的系统机械能应守恒。若以初始状态B球所在水平面为零势能面，则总的机械能为2mgh，当A球在最低点时B球的势能为mgh，系统减少的重力势能mgh转化成了A、B两球的动能，因此，B球还要继续上升。在整个过程中系统机械能守恒，则A球机械能减少量等于B球机械能增加量。本题答案应为BCD。
6．【答案】ACD
【点拨】A球落地前以两球整体为对象，根据牛顿第二定律有，求得加速度为，A正确；从释放到A球落地，根据机械能守恒，有：，解得：，两球落地后均不再弹起，所以A、B两落地的水平距离为Δs＝vt＝，B错误，C正确；绳L对B球做的功等于B球获得的动能，W＝，D正确。
二、填空、实验题：
7．【答案】水平面
【点拨】物体沿光滑斜面滑下，仅有重力做功，机械能守恒。因在A点时速度均为零，即初态机械能相等；故速率相同（末动能相同）的点，其势能必相同，即离A点的高度相同，因此这些点所构成的面是水平面。
8．【答案】10
【点拨】选地面处为重力势能的零势能参考平面，根据机械能守恒有：，解得：v0＝10m/s。
9．【答案】
【点拨】细杆在下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，取CD为参考平面，有：，解得：v＝。
三、计算题：
10．【答案】mv2－mgh－
【解析】在物体与弹簧相互作用的过程中，开始时弹力较小，故物体向下加速，这时弹力F逐渐增大，物体的加速度a逐渐变小，当重力与弹力相等时，物体的速度刚好达到最大值v。设物体向下的速度v最大时，弹簧的形变量即压缩量为x，则
mg＝kx
①
物体与弹簧组成的系统只有重力、弹力做功，故系统的机械能守恒。当物体速度达到最大v时，弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律有
mg(h＋x)＝mv2＋Ep
②
由①②两式可得：
Ep＝mgh＋－mv2。
由功能关系可知，弹簧弹性势能的增加量与弹簧力做功的数值相等，故弹簧对物体所做的功为：
W＝－Ep＝mv2－mgh－。
11．【答案】
【解析】开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有：
kx1＝mlg
①
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有：
kx2＝rn2g
②
B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为：
ΔE＝
③
C换成D后，当B
刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得
④
由③④式得
⑤
由①②⑤式得
v＝
⑥
图4
h
L
A
B
图5
A
图
O
R
B
A
C
D
图7
图9
