第2节 平抛运动
（满分100分，45分钟完成） 班级_______姓名_______
目的要求：
1．知道平抛运动的特点是初速度方向水平，只在竖直方向受重力作用，运动轨迹是抛物线；
2．知道平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动；
3．理解平抛运动是匀变速运动，加速度为g。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1．在水平匀速飞行的飞机上相隔1 s先后落下物体A和B，设空气阻力不计，A物体在落地前将 （ ）
A．在B物体之前方
B．在B物体之后方
C．在B物体正下方
D．在B物体前下方
2．从匀速直线行驶的火车窗口释放一石子，不计风对石子的影响，站在路边的人看到石子的运动是 （ ）
A．自由落体运动 B．平抛运动
C．匀速直线运动 D．匀变速直线运动
3．关于平抛运动的性质，以下说法中正确的是 （ ）
①是变加速运动 ②是匀变速运动
③是匀速率曲线运动 ④是两个直线运动的合运动
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
4．物体在做平抛运动中，在相等时间内，下列哪些量相等 （ ）
①速度的增量 ②加速度
③位移的增量 ④位移
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
5．将物体以v0的速度水平抛出，不计空气阻力，当其竖直分位移的大小与水平分位移的大小相等时，以下说法中不正确的是 （ ）
A．瞬时速度的大小为v0
B．运动的时间为
C．运动的位移的大小为
D．竖直分速度的大小等于水平分速度的大小
6．一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则 （ ）
A．物体在空中运动的时间是 B．物体在空中运动的时间是
C．物体抛出时的竖直高度是 D．物体抛出时的竖直高度是
7．在空中某点以相同的速率同时分别竖直向上、竖直向下、水平向右、水平向左抛出四个小球，不计空气阻力。在最先一个小球落地前的一瞬间，以四个球所在位置为顶点所构成的图形是 （ ）
A．任意四边形 B．长方形
C．菱形 D．正方形
8．一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔一秒释放一个铁球，先后释放四个，若不计空气阻力，则四个小球 （ ）
A．在空中任意时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B．在空中任意时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C．在空中任意时刻总是在飞机的正下方，排列成竖直直线，它们的落地点是等间距的
D．在空中任意时刻总是在飞机的正下方，排列成竖直直线，它们的落地点是不等间距的
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．平抛运动是物体 的运动，在运动中只受到 作用。
10．平抛运动的性质是 ，轨迹是 。
11．平抛运动的速率随时间的变化是 ，而速度随时间的变化是 的。
12．平抛运动的处理方法，可以分解为水平方向的 和竖直方向的 ，这两个运动同时存在，互不影响。
13．以抛出点为坐标原点，以初速度v0的方向为x正方向，竖直向下为y正方向，则有：分速度：vx＝___________，vy＝___________。
三、计算题：本大题共2小题，计27分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
14．（12分）炮台高出海面45 m，水平射击一艘以36 km／h的速度沿射击方向直线逃离的敌舰，如果炮弹的出口速度为610 m/s，问敌舰距我水平距离多大时开炮才能命中。（g＝10 m/s2）
15．（15分）在距地面7.2 m高处水平抛出一小球，小球在第1 s内位移为13 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，求小球的落地速度。
参考答案
一、选择题：
1．【答案】C
【点拨】从水平匀速飞行的飞机上落下的物体做平抛运动，它在水平方向上的分速度与飞机的飞行速度相同，因而从飞机上先后落下的物体在落地前均在飞机的正下方，所以A物体在B的正下方。
2．【答案】B
【点拨】石子离开窗口瞬间，具有与火车相同的水平速度，故石子相对路边的人做平抛运动，故B选项正确。
3．【答案】 D
【点拨】平抛运动是水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，其加速度为重力加速度g，故D选项正确。
4．【答案】A
【点拨】（略）
5．【答案】D
【点拨】依题意有：gt2=v0t,t=，B正确；vt=v0，则A正确；s=，C正确，，故D错误，故应选D。
6．【答案】 BD
【点拨】做平抛运动的物体在竖直方向的运动为自由落体运动，故：vy=，而vy=gt，所以t==，故B正确。物体抛出时的竖直高度由得：，故D正确。
7．【答案】D
【点拨】如果选一个做自由落体运动的坐标系作为参考系，则四个球都是以相同的速率向四个垂直的方向做匀速直线运动，经过相同的时间，它们离开出发点的位移相等。
8．【答案】C
【点拨】铁球虽然离开了飞机，但是在水平方向上仍然和飞机具有相同的速度，所以在空中时一定处于飞机的正下方。它们抛出的时间间隔相同，因此落地时的时间间隔也相同，故落地点是等间距的。
二、填空、实验题：
9．【答案】水平抛出且只受到重力作用下；重力
【点拨】（略）
10．【答案】匀变速曲线运动；抛物线
【点拨】（略）
11．【答案】不均匀的；均匀
【点拨】（略）
12．【答案】匀速直线运动；自由落体运动
【点拨】（略）
13．【答案】v0；gt
【点拨】（略）
三、计算题：
14．【答案】1800 m
【解析】设炮弹从发射到击中敌舰所用的时间为t，有
h＝gt2
解得：t＝＝3 s
设敌舰到炮台的水平距离为x时开炮能击中，则有：
v t＋x＝v0t
解得：x＝v0t－v t＝1800 m。
15．【答案】小球落地速度12m/s；方向与水平方向夹角为45°
【解析】小球在第1 s内，水平分位移：x1= v0t
竖直分位移：y1=g t2
总位移：
解得：v0=12 m/s。
小球落地时水平分速度vx= v0，竖直分速度
故小球落地速度
解得v＝12m/s。
速度方向与水平方向夹角为θ，则
tanθ=
解得：θ＝45°。
第2节 平抛运动
（满分100分，60分钟完成） 班级_______姓名______
目的要求：
1．知道平抛运动的特点，会对平抛运动进行合成与分解；
2．掌握平抛运动的规律，会用平抛运动规律解答有关问题。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得8分，对而不全得4分。选错或不选的得0分。
1．如图1所示，以9.8 m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上，则物体完成这段飞行的时间是 （ ）
图1
A．s B．s C．s D．2 s
2．如图2所示，为物体做平抛运动的x—y图象，此曲线上任意一点P（x，y）的速度方向的反向延长线交于x轴上的A点，则A点的横坐标为 （ ）
A．0.6 x
B．0.5 x
C．0.3 x
D．无法确定
3．如图3所示，在光滑的水平面上有一小球a以初速度v0运动，同时刻在它的正上方有小球b也以初速度v0水平抛出，并落于c点，则 （ ）
图3
A．小球a先到达c点 B．小球b先到达c点
C．两球同时到达c点 D．不能确定
4．火车以1 m/s2的加速度在轨道上加速行驶，车厢中一乘客把手伸到窗外，从距地面2.5 m高处自由释放一物体，不计空气阻力，则物体落地时与乘客的水平距离（g＝10 m/s2）（ ）
A．0 B．0.50 m
C．0.25 m D．因不知火车速度，故无法判断
5．在高度为h的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度vA大于B球的初速度vB，则下列说法中正确的是 （ ）
A．A球比B球先落地
B．在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于B球的水平位移
C．若两球在飞行中遇到一堵墙，A球击中墙的高度大于B球击中墙的高度
D．在空中飞行的任意时刻，A球的速率总是大于B球的速率
6．如图4所示，从一根空心竖直钢管A的上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地（球与管壁相碰时间不计），若换一根等高但较粗的钢管B，用同样的方法抛入此钢球，则运动时间 （ ）
图4
A．在A管中的球运动时间长 B．在B管中的球运动时间长
C．在两管中的运动时间一样长 D．无法确定
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共3小题，每小题8分，共24分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
7．某一物体以一定的初速度水平抛出，在某1s内其速度与水平方向成37°变成53°，则此物体初速度大小是___________m/s，此物体在这1s内下落的高度是___________m（g取10 m/s2）
8．如图5所示，A、B是两块竖直放置的薄纸片，子弹m以水平初速度穿过A后再穿过B，在两块纸片上穿的两个洞高度差为h，A、B间距离为l，则子弹的初速度是________。
图5
9．A、B两物体距地面高度均为10 m，它们在同一水平线上相距33.6 m，现将两物体以相同大小的初速度21 m/s相向水平方向抛出，它们在空中相遇，相遇时离地面的高度为______m。
三、计算题：本大题共2小题，计28分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
10．（12分）如图6所示，排球场总长为18m，设球网高为2m，运动员站在离网3m的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出，球在飞行过程中所受空气附阻力不计。
（1）设击球点在3m线的正上方高度为2.5m，试求击球速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界。
（2） 若击球点在3m线的正上方的高度小于某个值时，则无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。（）
11．（16分）如图7所示，物体分别由A、B点水平抛出，OB＝h，AB＝3h时，水平射程之比为。若保持AB＝3h不变，平抛初速度亦不变，欲使两水平射程相等，则AB应上移还是下移？移动多少？
图7
参考答案
一、选择题：
1．【答案】C
【点拨】将速度v分解为水平方向的vx。则vx＝v0＝9.8 m/s，竖直方向为vy，则vy＝vxcot30o，而vy＝gt，所以gt＝vx＝×9.8，所以t＝s。
2．【答案】B
【点拨】如下图所示，速度矢量三角形与△APx相似，对应边成比例：＝；因为y＝gt2，vy＝gt，则：，得＝x－OA；又因为x＝v0t，t＝，所以OA＝。
3．【答案】C
【点拨】b小球的水平分运动为匀速直线运动且速度为v0，a球也是沿水平方向做匀速直线运动，它们同时以相同的水平速度从同一竖直线上开始运动，必然同时到达c点，C正确。
4．【答案】C
【点拨】以乘客为参考系，小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做初速为零，加速度为1 m/s2的匀加速运动，由h＝gt2，所以t＝，。
5．【答案】BCD
【点拨】平抛物体的落地时间由高度决定，因高度相同，两球同时落地，故A错；水平位移等于v0t，时间相同，初速度大的水平位移大，故B正确；又因为经过同样的水平位移，初速度大的时间短，下落高度小，故C正确；在空中飞行任意时刻，v＝，v0A＞v0B，所以vA＞vB，D正确。
6．【答案】C
【点拨】小球做平抛运动，平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，球跟管壁碰撞中受水平方向弹力作用，只改变水平方向速度大小，而竖直方向始终仅受重力作用，保持自由落体运动，由公式h＝gt2，得t＝，因A、B管等高，故t相同。
二、填空、实验题：
7．【答案】17.1；17.9
【点拨】物体在竖直方向的速度大小分别为gt及g（t+1），所以gt＝v0tan37°，g（t＋1）＝v0tan53°
解方程组得：t＝s，v0＝17.1m/s。物体在这1 s内下落的高度＝17.9m。
8．【答案】 l
【点拨】 由竖直分运动得h＝gt2，t＝，由水平分运动得l＝v0t，v0＝。
9．【答案】6.8
【点拨】物体相遇所经历的时间为t，则：因为x＝v0t+v0t＝2v0t，所以t＝＝0.8 s。物体相遇时离地面的高度为：h＝H－gt2＝10－×10×0.82＝6.8 m。
三、计算题：
10．【答案】（1）m/s＜v≤m/s；（2）2.13m
【解析】（1）如图所示，球擦网而过时，设击球速度为v1，根据平抛运动的规律有：
，
解得：m/s。
球恰好落在边界线时，设击球速度为v2，根据平抛运动的规律有：
，
解得：m/s。
所以，球既不触网也不越界的速度范围是：m/s＜v≤m/s；
（2）当球刚好触网又压底线时，设此时击球的高度为，击球速度为，球刚好触网时有：
，
球刚好压底线时有
，
消去v0，代入数值解得：m＝2.13m。
即击球高度小于2.13m时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界。
11．【答案】下移
【解析】题目中要求“两水平射程相等”，当两图线的交点正好位于地面上时，则两物体的水平射程相等。
根据平抛运动规律可知，两物体初速度分别为：
、。
设AB下移的距离为x，根据移动后两物体的水平位移相等列方程：
v01 t1＝ v02 t2
代入数据得到：
··
解得：。
2．平抛运动
三维目标
知识与技能
1．知道什么是平抛运动及物体做平抛运动的条件。知道平抛运动的特点是初速度方向水平，只受竖直方向重力作用，运动轨迹是抛物线；
2．掌握平抛运动的基本规律。理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。理解平抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动，并且这两个分运动并不互相影响；
3．掌握抛体运动的位置与速度的关系。
过程与方法
1．掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题；
2．通过例题分析再次体会平抛运动的规律。
情感、态度与价值观
1．有参与实验总结规律的热情，从而能更方便地解决实际问题；
2．通过实践，巩固自己所学的知识。
教学重点
分析归纳抛体运动的规律。
教学难点
应用数学知识分析归纳抛体运动的规律。
教学方法
探究、讲授、讨论、练习
教具准备
平抛运动演示仪、自制投影片
教学过程
［新课导入］
理论上通过运动的合成与分解能够研究曲线运动的规律，这节课我们就来完成这一项任务，通过运动的合成与分解来研究一种生活中常见的运动──抛体运动。
［新课教学］
一、平抛运动
1．抛体运动
以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动叫做抛体运动（projectile motion）。
2．平抛运动
（1）概念
将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，叫做平抛运动。
（2）形成平抛运动的条件：①物体具有水平方向的初速度；②运动过程中物体只受重力。
（3）平抛运动的性质
【思考】平抛运动是匀变速运动还是非匀变速运动？
分析：只受重力 → 加速度恒为g →相同时间内的速度变化量相同（均竖直向下）→匀变速运动。
合外力（重力）方向与速度方向不再一条直线上 → 曲线运动。
平抛运动是匀变速曲线运动。
本节课的重点是研究平抛运动的规律，所用的方法是运动的合成和分解。
二、平抛运动的速度
1．平抛运动的分解
【思考】怎样研究平抛物体的运动呢？
用运动的分解来研究，可将平抛运动分解为水平方向和竖直方向的两个分运动来研究。
（1）水平分运动是匀速直线运动
水平方向物体不受力，但物体有一个初速度，因此在水平方向上由于惯性，物体做匀速直线运动。
（2）竖直分运动是自由落体运动
在竖直方向上物体的初速度为0，且只受重力作用，物体做自由落体运动。
平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，水平方向的速度大小并不影响平抛物体在竖直方向上的运动。
2．平抛运动的速度
物体抛出后速度的大小和方向都在不断地变化。如果想知道抛体在某一时刻运动速度的大小和方向，可以通过两个分运动在这一时刻的速度来求得。
例如，初速度为v0的平抛运动，水平初速度为v0，水平方向受力为0；竖直初速度为0，竖直方向受力为重力。
（1）分速度
建立右图所示的坐标系，用vx和vy分别表示物体在时刻t的水平分速度和竖直分速度，在这两个方向上分别应用运动学的规律，有
vx＝v0
vy＝gt
（2）合速度
根据vx和vy的值，按照勾股定理可以求得物体在这个时刻的速度（即合速度）大小和方向。
合速度v是由水平分运动的速度vx和竖直分运动的速度vy合成的。
合速度的大小：
这个式子表示，抛体在下落过程中速度v越来越大，这与日常经验是一致的。
合速度的方向：
用v与x轴正方向夹角θ来表示：
这个式子表示，速度v在抛体下落的过程中与水平方向夹角的正切越来越大。对于锐角来说，角越大，它的正切也就越大，所以随着抛体的下落，解θ越来越大。也就是说，抛体下落的方向越来越接近竖直向下的方向，这也与日常经验一致。
例题1 一个物体以10 m/s的速度从10 m的高度水平抛出，落地时速度方向与地面的夹角θ是多少（不计空气阻力）。
分析 按题意作图。物体在水平方向不受力，所以加速度为0，速度总等于初速度v0＝10m/s；在竖直方向的加速度为g，初速度为0，可以应用匀变速运动的规律。
解 以抛出时物体的位置为原点建立坐标系，x轴沿初速度方向，y轴竖直向下。
落地时，物体在水平方向的速度
vx＝v0＝10 m/s
落地时物体在竖直方向的速度记为vy，在竖直方向应用匀变速运动的规律，有
由此解出
＝14.1m/s
＝1.41
θ＝55o
物体落地时速度与地面的夹角是55o。
三、平抛运动的位移
1．平抛运动的位置
首先研究以速度v0水平抛出的物体的位置随时间变化的规律。
用手把小球水平抛出，小球从离开手的瞬间（此时速度为v0，方向水平）开始，做平抛运动。我们以小球离开手的位置为坐标原点；以水平抛出的方向为x轴的方向，竖直向下的方向为y轴的方向，建立坐标系（如右图），并从这一瞬间开始计时。
小球在抛出后的运动过程中，由于只受重力的作用，即在水平方向不受力，所以小球在水平方向没有加速度，水平方向的分速度保持v0不变。也就是说，小球的水平坐标随时间变化的规律是
x＝v0t （1）
小球在竖直方向受重力的作用，根据牛顿第二定律，它在竖直方向产生加速度g，小球在竖直方向的初速度是0。根据运动学的规律，小球在竖直方向的坐标与随时间变化的规律是
（2）
小球的位置是用它的坐标x、y描述的，所以（1）（2）两式确定了小球在任意时刻t的位置。
2．平抛运动的位移
合位移大小：
合位移的方向：
合位移方向与x轴正方向的夹角α来表示，有
四、平抛运动的规律
1．抛体的轨迹
例题2 讨论物体以速度v0水平抛出后运动的轨迹。
分析 在初中数学中已经学过，直角坐标系中的一条曲线可以用包含x、y两个变量的一个关系式来描述，如图。研究这个关系式可以得知曲线的性质。
从图的例子中可以看出，曲线中并不包含时间t，因此，为了得到只含x、y的关系式，应该从（1）（2）两式中消去t。
解 建立研究平抛运动的直角坐标系。以速度v0水平抛出的物体，其x、y坐标随时间变化的规律分别为前面的（1）（2）两式。
从（1）中解出，代入（2）式，得到
（3）
式中g、v0都是与x、y无关的常量，所以也是常量。这正是初中数学中的抛物线方程y＝ax2，二次函数的图象是一条抛物线！“抛物线”的名称就是这样得到的。
平抛物体运动的轨迹是一条抛物线。
2．结论
设合速度的反向延长线与x轴的交点的横坐标为，则
将x＝v0t 、代入，得
故合速度的反向延长线交于该时刻横坐标的中点。
3．平抛运动的计算公式
设抛出点距地面的高度为h，水平初速度为v0。
（1）平抛运动的飞行时间t
根据h＝有t＝
所以飞行时间t只取决于下落的高度h。
（2）平抛运动飞行的水平距离x
x＝v0t＝
所以飞行的水平距离x由v0、h共同决定。
五、一般的抛体运动
在第四章牛顿运动定律的学习中我们已经体会到，已知物体受力情况而想知道它的运动情况时，要先对物体所受的力进行分析，然后应用牛顿定律得到物体的加速度，进而根据运动学的规律得到物体的位置与时间的关系。
在研究抛体运动时，我们的思路基本相同。不同的是，抛体的运动发生在平面内，需要在x、y两个方向上分别受力分析，在两个方向上分别应用牛顿定律和运动学的规律，然后再根据要求做综合处理。
如果物体抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向仍不受力，加速度仍是0；在竖直方向仍只受重力，加速度仍为g。但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同，分别是vx＝v0cosθ和vy＝v0sinθ。因此，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v0cosθ的匀速运动和竖直方向初速度为v0sinθ的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。下图是根据这一规律描绘的斜抛运动的轨迹。
【说一说】
1．尝试导出表达右图所示斜抛物体轨迹的关系式。讨论这个关系式中物理量之间的关系，看看能够得出哪些结论。
2．以上讨论都有一个前提，即空气的阻力可以忽略。如果速度不大，例如用手抛出一个石块，这样处理的误差不大。但是物体在空气中运动时，速度越大，阻力也越大，所以，研究炮弹的运动时就不能忽略空气的阻力。炮弹运动的实际轨迹大致是怎样的？
1．斜抛运动的分运动
我们可以把斜向初速度分解为水平方向和竖直方向，水平方向由于不受力，仍然做匀变速直线运动，竖直方向由于受到重力作用，做的是加速度为g的竖直上抛或竖直下抛运动。
2．斜抛运动的位置
我们以斜向上抛为例，与平抛类似建坐标系，如图。
因为vx＝vcosθ，vy＝vsinθ。所以
x＝vcosθ·t
3．斜抛运动的速度
在任意时刻两个方向的速度分别为
vx＝vcosθ
vy＝vsinθ－gt
物体的实际速度（即合速度）为
，方向根据两个分速度决定。
［小结］
具有水平速度的物体，只受重力作用时，所做的运动为平抛运动，平抛运动是一种匀变速曲线运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。平抛运动的位移等于水平位移和竖直位移的矢量和，平抛运动的瞬时速度等于水平分运动的速度和竖直分分运动速度的矢量和。飞行时间只由竖直分运动即自由落体运动决定，即飞行时间t决定于高度h，与水平方向的分运动无关。飞行的水平距离x由v0、h共同决定。
如果物体受到恒定合外力作用，并且合外力跟初速度垂直，形成类似平抛运动，只需把公式中的g换成a，可类似平抛运动的方法进行研究。
［布置作业］
教材第12页“问题与练习”。
