第三章函数 第18节 二次函数图像与性质（二）
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
■考点2.二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y= ，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
■考点3.二次函数的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
◇典例：
(2017云南中考)已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；
(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．
【分析】由顶点坐标(3，8)可求解析式，进而可算b＋2c＋8＝0故(1)成立．注意：点M可以在x轴的上方，也可能在x轴的下方，可能在对称轴的左侧，也可能在右侧，故要分情况讨论．
解：(1)∵二次函数顶点坐标为(3，8)，
∴解析式为y＝－2(x－3)2＋8＝－2x2＋12x－10，
∴b＝12，c＝－10，
∴b＋2c＋8＝0，∴b＋2c＋8≥0成立；
(2)设M(m，－2m2＋12m－10)，
∴S＝OA·|yM|＝9，
∴|－2m2＋12m－10|＝6，
①－2m2＋12m－10＝6，
解得m1＝2，m2＝4，∴M1(2，6)，M2(4，6)；
②－2m2＋12m－10＝－6，
解得m1＝3＋，m2＝3－，
∴M3(3＋，－6)，M4(3－，－6)．
综上所述，M的坐标为(2，6)或(4，6)或(3＋，－6)或(3－，－6)．
◆变式训练
(2017张家界中考)已知抛物线C1的顶点为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．
(1)求C1的解析式；
(2)若直线l1：y＝x＋m与c1仅有唯一的交点，求m的值．
【分析】知道顶点为A(－1，4)可设成顶点式y＝a(x＋1)2＋4，把D(0，3)代入即可．有唯一的交点可Δ＝9－4m＋12＝0，从而得解．
解：(1)∵抛物线c1的顶点为A(－1，4)，
∴设抛物线C1的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
把D(0，3)代入y＝a(x＋1)2＋4得3＝a＋4，
∴a＝－1，∴抛物线C1的解析式为：y＝－(x＋1)2＋4，
即y＝－x2－2x＋3；
(2)联立抛物线和直线l1的解析式可得
得x2＋3x＋m－3＝0，
∵直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，
∴Δ＝9－4m＋12＝0，
∴m＝.
■考点2.二次函数的最值
◇典例
（2017?广州）当x=________时，二次函数y=x2-2x+6有最小值 _____
【考点】二次函数的最值．
【分析】把x2-2x+6化成（x-1）2+5，即可求出二次函数y=x2-2x+6的最小值是多少．
解：∵y=x2-2x+6=（x-1）2+5， ∴当x=1时，二次函数y=x2-2x+6有最小值5． 故答案为：1、5．
◆变式训练
（2017?眉山）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2-ax（ ）
A．有最大值 B．有最大值- C．有最小值 D．有最小值-
【考点】二次函数的最值；一次函数图象与系数的关系．
【分析】一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，得到-1＜a＜0，于是得到结论．
解：∵一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限， ∴a+1＞0且a＜0， ∴-1＜a＜0， ∴二次函数y=ax2-ax由有最大值-， 故选B．
■考点3.二次函数的平移
◇典例：
（2017?宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A．y=（x+2）2+1
B．y=（x+2）2-1
C．y=（x-2）2+1
D．y=（x-2）2-1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x-2）2+1． 故选：C．
◆变式训练
（2017?襄阳）将抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2x2+1
B．y=2x2-3
C．y=2（x-8）2+1
D．y=2（x-8）2-3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
解：抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2，即y=2x2+1； 故选A
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
◇典例：
（2017?兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：
?x
?1
?1.1
?1.2
?1.3
?1.4
?y
-1
-0.49
?0.04
?0.59
?1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（ ）
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
解：观察表格得：方程x2+3x-5=0的一个近似根为1.2， 故选C
（2017?包头）已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一
个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】首先判断直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．
解：由消去y得到：x2-2x+1=0， ∵△=0， ∴直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示， 观察图象可知：y1≤y2， 故选D．
◆变式训练
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图
象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（ ） A．-1.3 B．-2.3 C．-0.3 D．-3.3
【分析】利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答） 解：方法一： ∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2） ∴-=-1则-=-2 ∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根 ∴x1+x2=- 又∵x1=1.3 ∴x1+x2=1.3+x2=-2 解得x2=-3.3． 方法二： 根据对称轴为；x=-1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3， 则=-1，即=-1， 解得：x2=-3.3， 故选D
（2017?咸宁）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（4，q）两
点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ________________
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：观察函数图象可知：当x＜-1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方， ∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜-1或x＞4． 故答案为：x＜-1或x＞4．
选择题
（2017?辽阳）如图，抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，-1），在第
四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）
A．1+ B．1- C．-1 D．1- 或1+
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．
【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
解：令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为×（-1-3）=-2， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=1-，x2=1+， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为1+． 故选A．
（2017?乐山）已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值
为-2，则m的值是（ ）
A． B． C． 或 D．-或
【考点】二次函数的最值．
【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜-1、m＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．
解：y=x2-2mx=（x-m）2-m2， ①若m＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2， 解得：m=-； ②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2， 解得：m=＜2（舍）； ③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2， 解得：m=
或m=-＜-1（舍）， ∴m的值为-或 故选：D．
（2017?苏州）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程
a（x-2）2+1=0的实数根为（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6 C．x1= ，x2= D．x1=-4，x2=0
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=- ，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到结论．
解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0）， ∴4a+1=0， ∴a=-， ∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0， 解得：x1=0，x2=4， 故选A．
（2017?丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）
的方法是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移规律，可得答案．
解：A、平移后，得y=（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意； B、平移后，得y=（x-3）2，图象经过A点，故B不符合题意； C、平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意； D、平移后，得y=x2-1图象不经过A点，故D符合题意； 故选：D．
（2015?泸州）若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为
x=-1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜-4或x＞2 B．-4≤x≤2 C．x≤-4或x≥2 D．-4＜x＜2
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=-1， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（-4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 则使函数值y＞0成立的x的取值范围是-4＜x＜2． 故选D．
（2017?绵阳）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得
到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞-8 C．b≥8 D．b≥-8
【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【分析】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x-3）2-1， 则有y＝(x?3)2?1，y＝2x+b， （x-3）2-1=2x+b， x2-8x+8-b=0， △=（-8）2-4×1×（8-b）≥0， b≥-8， 故选D．
填空题
（2017?青岛）若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 _________
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．
解：∵抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点， ∴△=b2-4ac＜0， ∴（-6）2-4×1?m＜0， 解得m＞9， ∴m的取值范围是m＞9． 故答案为：m＞9．
（2017?牡丹江）若将图中的抛物线y=x2-2x+c向上平移，使它经过点（2，0），则此
时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是____________
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】设平移后的抛物线解析式为y=x2-2x+c+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到c+b的值，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，即可得到结论．
解：设平移后的抛物线解析式为y=x2-2x+c+b， 把A（2，0）代入，得 0=c+b， 解得c+b=0， 则该函数解析式为y=x2-2x． 当y=0时，x2-2x=0， 解得：x1=0，x2=2， ∴此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是：0＜x＜2， 故答案为：0＜x＜2．
（2017?遂宁）函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2-4c＞0；
②b+c=0；③b＜0；④方程组的解为 ， ；⑤当1＜x＜3时，x2+（b-1）x+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【考点】二次函数与不等式（组）；正比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系．
【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2-4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点， ∴b2-4ac＜0； 故①错误； 当x=1时，y=1+b+c=1，则b+c=0， 故②正确； 对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0， 故③正确； 根据抛物线与直线y=x的交点知：方程组的解为 ，． 故④正确； ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（b-1）x+c＜0． 故⑤错误． 故选：B．
解答题
（2015?绍兴）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x-4，请你写出一个不同于小敏的答案； （2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．
【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可； （2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=-1，进而得出抛物线的解析式．
解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1， 根据顶点式得：y=x2-2x+2； （2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且-1+2b+c+1=1， ∴c=1-2b， ∵顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=（b-1）2+1， ∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x．
（2017?南京）已知函数y=-x2+（m-1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ___________． A.0????? B.1?????? C.2?????? D.1或2 （2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上． （3）当-2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果； （2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可； （3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
解：（1）∵函数y=-x2+（m-1）x+m（m为常数）， ∴△=（m-1）2+4m=（m+1）2≥0， 则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2， 故选D； （2）y=-x2+（m-1）x+m=-（x-）2+， 把x=代入y=（x+1）2得：y=（+1）2=， 则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上； （3）设函数z=， 当m=-1时，z有最小值为0； 当m＜-1时，z随m的增大而减小； 当m＞-1时，z随m的增大而增大， 当m=-2时，z=；当m=3时，z=4， 则当-2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．
(2016龙东中考)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线
上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
解：(1)由题意，得(－1＋2)2＋m＝0.∴m＝－1.
二次函数的解析式为y＝(x＋2)2－1，即y＝x2＋4x＋3.∴C(0，3)，∴B(－4，3)．
∵y＝kx＋b经过点A，B.
∴解得
∴一次函数解析式为y＝－x－1；
(2)满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1.
选择题
（2017?牡丹江）若抛物线y=-x2+bx+c经过点（-2，3），则2c-4b-9的值是（ ）
A．5 B．-1 C．4 D．18
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把（-2，3）代入y=-x2+bx+c可得-2b+c=7，再将所求的式子变形，整体代入即可求出答案
解：∵抛物线y=-x2+bx+c经过点（-2，3）， ∴-（-2）2-2b+c=3， 整理得，-2b+c=7， ∴2c-4b-9=2（c-2b）-9=2×7-9=5， 故选A．
（2017?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从
点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
【考点】二次函数的最值；勾股定理．
【分析】根据已知条件得到CP=6-t，得到PQ= =
= ，于是得到结论．
解：∵AP=CQ=t， ∴CP=6-t， ∴PQ= PQ= = =
∵0≤t≤2， ∴当t=2时，PQ的值最小， ∴线段PQ的最小值是2， 故选C．
（2017?徐州）若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，与y轴有一个交点．
解：∵函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点， ∴△＝(?2)2?4b＞0 且b≠0 解得b＜1且b≠0． 故选：A．
（2017?淄博）将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函
数表达式是（ ）
A．y=（x+3）2-2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x-1）2+2 D．y=（x-1）2-2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．
解：∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2， ∴二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2， 故选D．
（2016?常州）已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的自变
量和对应函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
-1
1
3
4
…
y2
…
0
-4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜-1 B．x＞4 C．-1＜x＜4 D．x＜-1或x＞4 解：如图， 由表得出两函数图象的交点坐标（-1，0），（4，5）， ∴x＞4或x＜-1， 故选D．
（2017?绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸
上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2-8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2-4x+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．
解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴， ∴矩形ABCD关于坐标原点对称， ∵A点C点是对角线上的两个点， ∴A点、C点关于坐标原点对称， ∴C点坐标为（-2，-1）； ∴抛物线由A点平移至C点，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位； ∵抛物线经过A点时，函数表达式为y=x2， ∴抛物线经过C点时，函数表达式为y=（x+4）2-2=x2+8x+14， ?? 故选A．
（2017?泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向
点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
【考点】二次函数的最值．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=t2-6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC==6cm． 设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm， ∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ=AC?BC-PC?CQ=×6×8-（6-t）×2t=t2-6t+24=（t-3）2+15， ∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15． 故选C．
（2017?泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
?x
-1
?0
?1
?3
?y
-3
?1
?3
?1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=
= ，再由图象中的数据可以得到当x= 取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜ 时，y随x的增大而增大，当x＞ 时，y随x的增大而减小，然后跟距x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
解：由表格可知， 二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值， ∴抛物线的开口向下，故①正确， 其图象的对称轴是直线x=，故②错误， 当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确， 方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于2×=3，小于3+1=4，故④错误， 故选B．
（2017?枣庄）已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象经过点（-1，1）
B．当a=-2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】A、将a=1代入原函数解析式，令x=-1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B、将a=2代入原函数解析式，令y=0，根据根的判别式△=8＞0，可得出当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．此题得解．
解：A、当a=1时，函数解析式为y=x2-2x-1， 当x=-1时，y=1+2-1=2， ∴当a=1时，函数图象经过点（-1，2）， ∴A选项不符合题意； B、当a=-2时，函数解析式为y=-2x2+4x-1， 令y=-2x2+4x-1=0，则△=42-4×（-2）×（-1）=8＞0， ∴当a=-2时，函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴B选项不符合题意； C、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a， ∴二次函数图象的顶点坐标为（1，-1-a）， 当-1-a＜0时，有a＞-1， ∴C选项不符合题意； D、∵y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-1-a， ∴二次函数图象的对称轴为x=1． 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大， ∴D选项符合题意． 故选D．
（2017?盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n），
与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③- ≤a≤-1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质．
【分析】根据抛物线开口向下判断出a＜0，再根据顶点横坐标用a表示出b，根据与y轴的交点求出c的取值范围，然后判断出①错误，②正确，根据点A的坐标用c表示出a，再根据c的取值范围解不等式求出③正确，根据顶点坐标判断出④正确，⑤错误，从而得解．
解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵顶点坐标（1，n）， ∴对称轴为直线x=1， ∴-=1， ∴b=-2a＞0， ∵与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点）， ∴3≤c≤4， ∴abc＜0，故①错误， 3a+b=3a+（-2a）=a＜0，故②正确， ∵与x轴交于点A（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴a-（-2a）+c=0， ∴c=-3a， ∴3≤-3a≤4， ∴-≤a≤-1，故③正确， ∵顶点坐标为（1，n）， ∴当x=1时，函数有最大值n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故④正确， 一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1，故⑤错误， 综上所述，结论正确的是②③④共3个． 故选B．
填空题
（2017?镇江）若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n= _____．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则b2-4ac=0，据此即可求得．
解：y=x2-4x+n中，a=1，b=-4，c=n， b2-4ac=16-4n=0， 解得n=4． 故答案是：4．
（2017?株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于
点A（-1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，-2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②-1＜b＜0；③c=-1；④当|a|=|b|时x2＞ -1；以上结论中正确结论的序号为 __________
．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，-2），可得c=-2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x= ，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
解：由A（-1，0），B（0，-2），得b=a-2， ∵开口向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧， ∴-＞0， ∴-＞0， ∴a-2＜0， ∴a＜2； ∴0＜a＜2； ∴①正确； ∵抛物线与y轴交于点B（0，-2）， ∴c=-2，故③错误； ∵抛物线图象与x轴交于点A（-1，0）， ∴a-b-2=0， ∵0＜a＜2， ∴0＜b+2＜2， -2＜b＜0，故②错误； ∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧， ∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=， ∴x2=2＞-1，故④正确． 故答案为：①④．
（2017?包头）已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一
个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】首先判断直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．
解：由消去y得到：x2-2x+1=0， ∵△=0， ∴直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示， 观察图象可知：y1≤y2， 故选D．
解答题
（2017?杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x-a-1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，-2），求函数y1的表达式； （2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； （3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案； （3）根据二次函数的性质，可得答案．
解：（1）函数y1的图象经过点（1，-2），得 （a+1）（-a）=-2， 解得a1=-2，a2=1， 函数y1的表达式y=（x-2）（x+2-1），化简，得y=x2-x-2； 函数y1的表达式y=（x+1）（x-2）化简，得y=x2-x-2， 综上所述：函数y1的表达式y=x2-x-2； （2）当y=0时（x+a）（x-a-1）=0，解得x1=-a，x2=a+1， y1的图象与x轴的交点是（-a，0），（a+1，0）， 当y2=ax+b经过（-a，0）时，-a2+b=0，即b=a2； 当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=-a2-a； （3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小， （1，n）与（0，n）关于对称轴对称， 由m＜n，得0＜x0≤； 当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， 由m＜n，得＜x0＜1， 综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
(2017广东中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，
0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式；
(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．
解：(1)将点A，B代入抛物线y＝－x2＋ax＋b中，
得解得
∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋4x－3；
(2)∵点C在y轴上，
∴C点横坐标x＝0.
∵点P是线段BC的中点，B(3，0)，
∴点P横坐标xP＝＝.
∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，
∴yP＝－＋4×－3＝，
∴点P的坐标为；
(3)∵点P的坐标为，点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为2×＝，
∴点C的坐标为，
∴BC＝＝，
∴sin∠OCB＝＝＝.
(2016安顺中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，)．点
D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点(不与点A，B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．
解：(1)y＝－x2＋2x＋；(2)设直线AB为：y＝kx＋b，则有解得
∴y＝x＋.则：D(m，－m2＋2m＋)，C(m，m＋)，CD＝(－m2＋2m＋)－(m＋)＝－m2＋m＋2.
∴S＝(m＋1)·CD＋(4－m)·CD＝×5×CD＝×5×(－m2＋m＋2)＝－m2＋m＋5.∵－＜0，∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m＋＝×＋＝.
∴点C(，)．
(2017年江汉油田中考)已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数
根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．
【分析】（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；
（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；
（3）首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；
解：（1）对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0，
△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，
∵方程有实数根，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m=1．
（2）由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
图象如图所示：
平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．
（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，
由题意△≥0，
∴36﹣4n﹣8≥0，
∴n≤7，
∵n≤m，m=1，
∴1≤n≤7，
令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，
∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，
n=7时，y′的值最大，最大值为21，
∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．
18.如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A．B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．
（1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可；
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+3过（3，0），
∴0=﹣9+3m+3，
∴m=2
（2）由，得，，
∴D（，﹣），
∵S△ABP=4S△ABD，
∴AB×|yP|=4×AB×，
∴|yP|=9，yP=±9，
当y=9时，﹣x2+2x+3=9，无实数解，
当y=﹣9时，﹣x2+2x+3=﹣9，x1=1+，x2=1﹣，
∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）．
19.如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°
得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
【考点】 待定系数法求二次函数解析式； 二次函数图象上点的坐标特征； 坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】（1）由旋转性质可得CD=AB=1、OA=OC=2，从而得出点B、D坐标，代入解析式即可得出答案；
（2）由直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分且OB=OD，知DQ=BQ，即点Q为BD的中点，从而得出点Q坐标，求得直线OP解析式，代入抛物线解析式可得点P坐标．
解：（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，
∴CD=AB=1、OA=OC=2，
则点B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+；
（2）如图，
∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，
∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，
∴点Q坐标为（，），
设直线OP解析式为y=kx，
将点Q坐标代入，得： k=，
解得：k=3，
∴直线OP的解析式为y=3x，
代入y=﹣x2+x+，得：﹣ x2+x+=3x，
解得：x=1或x=﹣4（舍），
当x=1时，y=3，
∴点P坐标为（1，3）．
第三章函数 第18节 二次函数图像与性质（二）
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
■考点2.二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y= ，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
■考点3.二次函数的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下：
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征
◇典例：
(2017云南中考)已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
(1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由；
(2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．
【解析】由顶点坐标(3，8)可求解析式，进而可算b＋2c＋8＝0故(1)成立．注意：点M可以在x轴的上方，也可能在x轴的下方，可能在对称轴的左侧，也可能在右侧，故要分情况讨论．
解：(1)∵二次函数顶点坐标为(3，8)，
∴解析式为y＝－2(x－3)2＋8＝－2x2＋12x－10，
∴b＝12，c＝－10，
∴b＋2c＋8＝0，∴b＋2c＋8≥0成立；
(2)设M(m，－2m2＋12m－10)，
∴S＝OA·|yM|＝9，
∴|－2m2＋12m－10|＝6，
①－2m2＋12m－10＝6，
解得m1＝2，m2＝4，∴M1(2，6)，M2(4，6)；
②－2m2＋12m－10＝－6，
解得m1＝3＋，m2＝3－，
∴M3(3＋，－6)，M4(3－，－6)．
综上所述，M的坐标为(2，6)或(4，6)或(3＋，－6)或(3－，－6)．
◆变式训练
(2017张家界中考)已知抛物线C1的顶点为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．
(1)求C1的解析式；
(2)若直线l1：y＝x＋m与c1仅有唯一的交点，求m的值．
■考点2.二次函数的最值
◇典例
（2017?广州）当x=________时，二次函数y=x2-2x+6有最小值 _____
【考点】二次函数的最值．
【分析】把x2-2x+6化成（x-1）2+5，即可求出二次函数y=x2-2x+6的最小值是多少．
解：∵y=x2-2x+6=（x-1）2+5， ∴当x=1时，二次函数y=x2-2x+6有最小值5． 故答案为：1、5．
◆变式训练
（2017?眉山）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2-ax（ ）
A．有最大值 B．有最大值- C．有最小值 D．有最小值-
■考点3.二次函数的平移
◇典例：
（2017?宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A．y=（x+2）2+1
B．y=（x+2）2-1
C．y=（x-2）2+1
D．y=（x-2）2-1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x-2）2+1． 故选：C．
◆变式训练
（2017?襄阳）将抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2x2+1
B．y=2x2-3
C．y=2（x-8）2+1
D．y=2（x-8）2-3
■考点4.二次函数与一元二次方程以及不等式
◇典例：
（2017?兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：
?x
?1
?1.1
?1.2
?1.3
?1.4
?y
-1
-0.49
?0.04
?0.59
?1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（ ）
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
解：观察表格得：方程x2+3x-5=0的一个近似根为1.2， 故选C
（2017?包头）已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】首先判断直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．
解：由消去y得到：x2-2x+1=0， ∵△=0， ∴直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示， 观察图象可知：y1≤y2， 故选D．
◆变式训练
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=（ ）
A．-1.3 B．-2.3 C．-0.3 D．-3.3
2.（2017?咸宁）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（-1，p），B（4，q）两
点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ________________
一、选择题
1.（2017?辽阳）如图，抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，-1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ）
A．1+ B．1- C． -1 D．1- 或1+
2.（2017?乐山）已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1≤x≤2时，函数值y的最小值
为-2，则m的值是（ ）
A． B． C． 或 D．-或
3.（2017?苏州）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程
a（x-2）2+1=0的实数根为（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6 C．x1= ，x2= D．x1=-4，x2=0
4.（2017?丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）
的方法是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
5.（2015?泸州）若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为
x=-1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜-4或x＞2 B．-4≤x≤2 C．x≤-4或x≥2 D．-4＜x＜2
6.（2017?绵阳）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得
到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞-8 C．b≥8 D．b≥-8
二、填空题
7.（2017?青岛）若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 _________
8.（2017?牡丹江）若将图中的抛物线y=x2-2x+c向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是____________
9.（2017?遂宁）函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2-4c＞0；②b+c=0；③b＜0；④方程组的解为 ， ；⑤当1＜x＜3时，x2+（b-1）x+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤
三、解答题
10.（2015?绍兴）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x-4，请你写出一个不同于小敏的答案； （2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
11.（2017?南京）已知函数y=-x2+（m-1）x+m（m为常数）．
（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是 ___________． A.0????? B.1?????? C.2?????? D.1或2 （2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上． （3）当-2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
12.(2016龙东中考)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线
上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
选择题
1.（2017?牡丹江）若抛物线y=-x2+bx+c经过点（-2，3），则2c-4b-9的值是（ ）
A．5 B．-1 C．4 D．18
2.（2017?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从
点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（ ）
A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm
3.（2017?徐州）若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
4.（2017?淄博）将二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函
数表达式是（ ）
A．y=（x+3）2-2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x-1）2+2 D．y=（x-1）2-2
5.（2016?常州）已知一次函数y1=kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的自变
量和对应函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
-1
1
3
4
…
y2
…
0
-4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
x＜-1 B．x＞4 C．-1＜x＜4 D．x＜-1或x＞4
6.（2017?绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸
上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（ ）
A．y=x2+8x+14 B．y=x2-8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2-4x+3
7.（2017?泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向
点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
8.（2017?泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
?x
-1
?0
?1
?3
?y
-3
?1
?3
?1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.（2017?枣庄）已知函数y=ax2-2ax-1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象经过点（-1，1）
B．当a=-2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
10.（2017?盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n），
与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③- ≤a≤-1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题
11.（2017?镇江）若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n= _____．
12.（2017?株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（-1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，-2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②-1＜b＜0；③c=-1；④当|a|=|b|时x2＞ -1；以上结论中正确结论的序号为 __________
．
13.（2017?包头）已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
解答题
14.（2017?杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x-a-1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，-2），求函数y1的表达式； （2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式； （3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
15.(2017广东中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，
0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式；
(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．
16.(2016安顺中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，)．点
D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点(不与点A，B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．
17.(2017年江汉油田中考)已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数
根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．
18.如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于点A．B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=﹣x+3交于C、D两点．连接BD、AD．
（1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．
19.如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°
得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．
