第四章 图形的性质 第20节 图形的认识
■考点1.直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点 一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间， 最短．
■考点2.角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝ ′，1′＝ ''，1°＝ ''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3.立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4.相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角 ，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点 一条直线与已知直线垂直．
② 最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等
②内错角相等
③ 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点， 一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线 ．
■考点5.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21世纪教育网版权所有
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.21·世纪*教育网
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.www-2-1-cnjy-com
■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2016?台湾）如图（一），OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP =1：3，OB：BP =3：5．若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（ ）【出处：21教育名师】
A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：2：2 D．1：2：5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
解：设OP的长度为8a，
∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，
故选B．
【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
◆变式训练
（2016?宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）21*cnjy*com
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2016?宜昌）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132°
C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ与∠MOP互补
【分析】根据已知量角器上各点的位置，得出各角的度数，进而得出答案．
解：如图所示：∠NOQ=138°，故选项A错误；
∠NOP=48°，故选项B错误；
如图可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；
由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了余角和补角，正确得出各角的度数是解题关键．
◆变式训练
（2016?烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2016?连云港）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面是的字是（ ）
A．丽 B．连 C．云 D．港
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“美”与“港”是相对面，
“丽”与“连”是相对面，
“的”与“云”是相对面．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
◆变式训练
（2016?安顺）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是（ ）
A．的 B．中 C．国 D．梦
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
（2015吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
【答案】对顶角相等．
解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．21cnjy.com
故答案为：对顶角相等
◆变式训练
（2015?贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2016·福建龙岩·4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；
B、两直线平行，同位角相等，故B正确；
C、对顶角相等，故C正确；
D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；
故选：A．
◆变式训练
（2017?泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
1.（2017?常德）若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
2.（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
3.（2017?玉林）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
4.（2017?深圳）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
5.（2017?枣庄）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆
放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
6.（2017?恩施州）如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠2=∠4
7.（2017?湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用
如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
A． B．
C． D．
8.（2016?黄石）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里
的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
9.（2016?雅安）1.45°= __________
10.（2017?河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，图
所示，设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．www.21-cn-jy.com
11.（2016?南京）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．2-1-c-n-j-y
证法1：∵ ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． ∵ 21*cnjy*com
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．【来源：21cnj*y.co*m】
（2017?贺州）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
（2016?柳州）如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
（2017?南京）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描
述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（ ）【版权所有：21教育】
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
（2017?长春）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
（2017?舟山）一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，
“你”字对面的字是（ ）
A．中 B．考 C．顺 D．利
（2017?扬州）经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
（2017?黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一
根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），
发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
（2017?河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2017?河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B
同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ） 21·cn·jy·com
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
（2017?百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（ ）
A． ∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC
（2017?广东）已知∠A=70°，则∠A的补角为（ ）
A．110° B．70° C．30° D．20°
（2017?桂林）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4 C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°
（2017?阿坝州）如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为
（ ）
A．20° B．35° C．45° D．70°
（2017?宿迁）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°，
∠3=85°，则∠4度数是（ ）
A．80° B．85° C．95° D．100°
（2017?桂林）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，
则AB= ___________
（2016?茂名）已知∠A=100°，那么∠A补角为 _________．
（2016?温州）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，
小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是______________ 21教育网
（2017?金华）如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一
块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1=130°，则∠2= __________
（2016?安徽）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D
是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求C、D两点间的距离．
（2016?内江）问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交
点，若∠A=α，则∠BOC= _________用α表示）；如图②，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，则∠BOC= ______________（用α表示）2·1·c·n·j·y
拓展研究： （2）如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= _____________（用α表示），并说明理由． 类比研究： （3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=
∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= ___________________
第四章 图形的性质 第20节 图形的认识
■考点1.直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
■考点2.角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3.立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4.相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等 两直线平行
②内错角相等 两直线平行
③同旁内角互补 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
■考点5.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21教育网
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.www-2-1-cnjy-com
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.
■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2016?台湾）如图（一），OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP =1：3，OB：BP =3：5．若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（ ）
A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：2：2 D．1：2：5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
解：设OP的长度为8a，
∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二） 的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，
故选B．
【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
◆变式训练
（2016?宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．经过两点，有且仅有一条直线
D．两点之间，线段最短
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2016?宜昌）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ）
A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132°
C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ与∠MOP互补
【分析】根据已知量角器上各点的位置，得出各角的度数，进而得出答案．
解：如图所示：∠NOQ=138°，故选项A错误；
∠NOP=48°，故选项B错误；
如图可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON比∠MOQ大，故选项C正确；
由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，故选项D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了余角和补角，正确得出各角的度数是解题关键．
◆变式训练
（2016?烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°
【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．
解：如图，点O是AB中点，连接DO．
∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，
∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，
∠BCD=40°或70°，
∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，
故选D．
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2016?连云港）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面是的字是（ ）
A．丽 B．连 C．云 D．港
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“美”与“港”是相对面，
“丽”与“连”是相对面，
“的”与“云”是相对面．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 21*cnjy*com
◆变式训练
（2016?安顺）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是（ ）
A．的 B．中 C．国 D．梦
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“们”与“中”是相对面，
“我”与“梦”是相对面，
“的”与“国”是相对面．
故选：D．
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
（2015吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
【答案】对顶角相等．
解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．21*cnjy*com
故答案为：对顶角相等
◆变式训练
（2015?贺州）如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠5 C．∠3和∠4 D．∠1和∠5
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角是否有公共边，没有公共边有公共顶点的是对顶角．
解：由对顶角的定义可知：∠3和∠5是一对对顶角，
故选B．
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2016·福建龙岩·4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；
B、两直线平行，同位角相等，故B正确；
C、对顶角相等，故C正确；
D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；
故选：A．
◆变式训练
（2017?泸州）下列命题是真命题的是（ ）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】命题与定理．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
（2017?常德）若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
【考点】余角和补角．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
解：它的余角=90°-75°=15°， 故选D．
2.（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【考点】点到直线的距离．
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
解：由题意，得 点P到直线l的距离是线段PB的长度， 故选：B．
3.（2017?玉林）如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图所示，两条直线a、b被直线c所截形成的角中，∠1与∠2都在a、b直线的之间，并且在直线c的两旁，所以∠1与∠2是内错角． 故选：B．
4.（2017?深圳）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
【考点】平行线的判定．
【分析】分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠1=∠2，∴l1∥l2，故本选项错误； B、∵∠2=∠3，∴l1∥l2，故本选项错误； C、∠3=∠5不能判定l1∥l2，故本选项正确； D、∵∠3+∠4=180°，∴l1∥l2，故本选项错误． 故选C．
5.（2017?枣庄）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，
两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【考点】平行线的性质．
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b， ∴∠3=∠4=30°， 而∠2+∠3=45°， ∴∠2=15°， ∴∠1=15°． 故选：A．
6.（2017?恩施州）如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠2=∠4
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】先根据题意得出AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．
解：∵∠A+∠ABC=180°， ∴AD∥BC， ∴∠2=∠4． 故选D．
7.（2017?湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图
所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】七巧板．
【分析】解答此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答．【来源：21cnj*y.co*m】
解：图C中根据图7、图4和图形不符合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 故选C
8.（2016?黄石）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里
的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
【考点】方向角；等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据等腰三角形的性质，可得答案．
解：一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 4海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处 故答案为：4．
9.（2016?雅安）1.45°= __________
【考点】度分秒的换算．
【分析】直接利用度分秒的转化将0.45°转化为分即可．
解：1.45°=60′+0.45×60′=87′． 故答案为：87′．
10.（2017?河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图
所示，设点A，B，C所对应数的和是p． （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．21·世纪*教育网
【考点】两点间的距离；数轴．
【分析】（1）根据以B为原点，则C表示1，A表示-2，进而得到p的值；根据以C为原点，则A表示-3，B表示-1，进而得到p的值； （2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，可得C表示-28，B表示-29，A表示-31，据此可得p的值．21教育名师原创作品
解：（1）若以B为原点，则C表示1，A表示-2， ∴p=1+0-2=-1； 若以C为原点，则A表示-3，B表示-1， ∴p=-3-1+0=-4； （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示-28，B表示-29，A表示-31， ∴p=-31-29-28=-88．
11.（2016?南京）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵ ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． ∵
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【考点】度分秒的换算．
【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论； 证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．21·cn·jy·com
证明：证法1：∵平角等于180°， ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）， ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°． 故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3=180°．
（2017?贺州）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．
解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是． 故选：D．
（2016?柳州）如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】直线、射线、线段．
【分析】根据线段的概念求解．
解：图中线段有AB、AC、BC这3条， 故选：C．
（2017?南京）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描
述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
【考点】认识立体图形．
【分析】根据四棱锥的特点，可得答案．
解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形， 底面有四条棱，侧面有4条棱， 故选：D．
（2017?长春）下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图．
【分析】观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可．
解：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是
， 故选D
（2017?舟山）一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，
“你”字对面的字是（ ）
A．中 B．考 C．顺 D．利
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “祝”与“考”是相对面， “你”与“顺”是相对面， “中”与“利”是相对面． 故选C．21世纪教育网版权所有
（2017?扬州）经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】截一个几何体．
【分析】根据已知的特点解答．
解：经过圆锥顶点的截面的形状可能B中图形， 故选：B．
（2017?黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一
根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；平行线的性质．
【分析】直接利用直线的性质分析得出答案．
解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线， 这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B．2-1-c-n-j-y
（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），
发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【分析】根据两点之间，线段最短进行解答．
解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：A．
（2017?河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】角的概念．
【分析】根据量角器的使用方法进行选择即可．
解：量角器的圆心一定要与O重合， 故选C．
（2017?河北）如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B
同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ） 21cnjy.com
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
【考点】方向角．
【分析】根据已知条件即可得到结论．
解：∵甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞， ∴乙的航向不能是北偏西35°， 故选D．
（2017?百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（ ）
A． ∠BAC=∠BAM B．∠BAM=∠CAM C．∠BAM=2∠CAM D．2∠CAM=∠BAC
【考点】角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义即可求解．
解：∵AM为∠BAC的平分线， ∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC． 故选：C．【版权所有：21教育】
【点评】此题考查了角平分线
（2017?广东）已知∠A=70°，则∠A的补角为（ ）
A．110° B．70° C．30° D．20°
【考点】余角和补角．
【分析】由∠A的度数求出其补角即可．
解：∵∠A=70°， ∴∠A的补角为110°， 故选A
（2017?桂林）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4 C．∠3+∠4=180° D．∠2=30°，∠4=35°
【考点】平行线的判定．
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可判断．
解：∵∠1=∠4， ∴a∥b（同位角相等两直线平行）． 故选B．
（2017?阿坝州）如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为
（ ）
A．20° B．35° C．45° D．70°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．
解：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°， ∵CD∥OB， ∴∠BOC=∠C=35°， 故选B．2·1·c·n·j·y
（2017?宿迁）如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°，
∠3=85°，则∠4度数是（ ）
A．80° B．85° C．95° D．100°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】先根据题意得出a∥b，再由平行线的性质即可得出结论．
解：∵∠1=80°，∠2=100°， ∴∠1+∠2=180°， ∴a∥b． ∵∠3=85°， ∴∠4=∠3=85°． 故选B．
（2017?桂林）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，
则AB= ___________
【考点】两点间的距离．
【分析】根据中点定义解答．
解：∵点C是线段AD的中点，若CD=1， ∴AD=1×2=2， ∵点D是线段AB的中点， ∴AB=2×2=4． 故答案为4．
（2016?茂名）已知∠A=100°，那么∠A补角为 _________．
【考点】余角和补角．
【分析】根据两个角之和为180°时，两角互补求出所求角度数即可．
解：如果∠A=100°，那么∠A补角为80°， 故答案为：80
（2016?温州）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，
小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是______________
【考点】七巧板．
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长．
解：如图所示：图形1：边长分别是：16，8，8； 图形2：边长分别是：16，8，8； 图形3：边长分别是：8，4， ,4； 图形4：边长是：4； 图形5：边长分别是：8，4，4； 图形6：边长分别是：4，8； 图形7：边长分别是：8，8，8； ∴凸六边形的周长=8+2×8+8+4×4=32+16（cm）； 故答案为：32+16．
（2017?金华）如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一
块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1=130°，则∠2= __________
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，得到∠BDC=50°，再根据∠ADB=30°，即可得出∠2=20°．
解：∵∠1=130°， ∴∠3=50°， 又∵l1∥l2， ∴∠BDC=50°， 又∵∠ADB=30°， ∴∠2=20°， 故答案为：20°．www.21-cn-jy.com
（2016?安徽）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D
是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求C、D两点间的距离．
【考点】两点间的距离．
【分析】直接利用等腰三角形的判定与性质得出DE=AE=20，进而求出EF的长，再得出四边形ACDF为矩形，则CD=AF=AE+EF求出答案．
解：过点D作l1的垂线，垂足为F，
∵∠DEB=60°，∠DAB=30°， ∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°， ∴△ADE为等腰三角形， ∴DE=AE=20， 在Rt△DEF中，EF=DE?cos60°=20×=10， ∵DF⊥AF， ∴∠DFB=90°， ∴AC∥DF， 由已知l1∥l2， ∴CD∥AF， ∴四边形ACDF为矩形，CD=AF=AE+EF=30， 答：C、D两点间的距离为30m．
（2016?内江）问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交
点，若∠A=α，则∠BOC= _________用α表示）；如图②，∠CBO= ∠ABC，∠BCO= ∠ACB，∠A=α，则∠BOC= ______________（用α表示）
拓展研究： （2）如图③，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= _____________（用α表示），并说明理由． 类比研究： （3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=
∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC= ___________________
【考点】角的计算．
【分析】（1）如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+ α；如图②，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+ α； （2）如图③，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°- α； （3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=
解：（1）如图①，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =90°+∠A =90°+α；如图②，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =120°+∠A =120°+α； （2）如图③，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠DBC+∠ECB） =180°-（∠A+∠ACB+∠A+ABC） =180°-（∠A+180°） =120°-α； （3）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠DBC+∠ECB） =180°-（∠A+∠ACB+∠A+ABC） =180°-（∠A+180°） =
