第四章 图形的性质 第21节 三角形的有关概念
■考点1三角形的分类
由 三条线段 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫 , 到三边的距离相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 ：每条中线平分三角形的
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪*教育网
中位线: 三角形 的连线段．平行于 ，且等于
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
（2015青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的可能取得的值．
解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
◆变式训练
（2017?嘉兴）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9·y
■考点2.角的关系
◇典例：
1.（2015绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A= 60°，则∠BFC= ( )
A.118° B.119° C.120° D.121°
【答案】C
解题点拨：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得到结果。
2.（2016内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角
的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（ ）
A．75° B．65° C.45° D.30°
【答案】A
解题点拨：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.
◆变式训练
1.（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
2.（2017?黔东南州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
(2015云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1，分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3，分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为＿＿＿（n为正整数）．www.21-cn-jy.com
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可．
解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点， 可得：P1M1=，P2M2=×＝，
故PnMn=， 故答案为：
◆变式训练
1.（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足
为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
1.（2017?扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
2.（2017?泰州）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平分线的交点
3.（2017?吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，
连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
4.（2009?邵东县自主招生）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5.（2017?黔东南州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
6.（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b-2）2=0，
第三边c为奇数，则c= ___________
7.（2016?大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
则∠BDC=____________
8.（2017?泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ________
9.(2015聊城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB
＝6，求点D到AB的距离．
10.(2013湖南邵阳,21,8分)将一幅三角板拼成如图(七)所示的图形，过点C作CF平分
∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF∥AB；
(2)求∠DFC的度数
1.（2016·青海西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的
是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
2.（2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）
A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0
3.（2017?湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC
的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
4.（2017?永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻
璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
5.（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（ ）
A．28 B．32 C．18 D．25
6.（2017?德阳）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠
BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7.（2017?郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
A．180° B．210° C．360° D．270°
8.（2016?台湾）如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、
∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9.（2016武城）如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则( )．
A．∠A＝∠1＋∠2 B．∠A＝(∠1＋∠2)
C．∠A＝(∠1＋∠2) D．∠A＝(∠1＋∠2)
10.（2016东营市））如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( )
A.30° B．35° C.40° D．50°
11.（2017?成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 _____________
12.（2017?盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放
置，则∠1= ____________________
13.（2015广东）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若=12，则图
中阴影部分面积是＿＿＿＿．
14.（2016陕西）如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，AB=8．BC＝6．若DE是△ABC的中位
线，延长DE交△ABC的外有∠ACM的平分线于点F，求线段DF的长．
15.（2016贵阳）(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB= 10，AC=6，求BC边上的中
线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE =AD．再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，
(1)中线AD的取值范围是_____＿＿；
(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．21*cnjy*com
16.（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
第四章 图形的性质 第21节 三角形的有关概念
■考点1三角形的分类
由 不在同一直线上的 三条线段 首尾顺次 相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类:
（2）按边的关系分类:
■考点2.三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3.角的关系
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
■考点4.三角形中的重要线段 四线性质
角平分线:(1)角平线上的点到角两边的距离相等
(2)三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心,内心 到三边的距离相等．
中线:(1) 三条中线交于三角形内部一点，叫其 重心 ：每条中线平分三角形的 面积
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
高:（1）三条高线所在的直线交于一点，叫其为 垂心
（2）锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部21·世纪*教育网
中位线: 三角形 两边中点 的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；【出处：21教育名师】
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.
■考点1.三边关系
◇典例
（2015青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．16
【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的可能取得的值．
解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．
故选C．
【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
◆变式训练
（2017?嘉兴）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9． 因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式， 故选：C．2·1·c·n·j·y
■考点2.角的关系
◇典例：
1.（2015绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A= 60°，则∠BFC= ( )
A.118° B.119° C.120° D.121°
【答案】C
解题点拨：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得到结果。
2.（2016内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角
的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（ ）
A．75° B．65° C.45° D.30°
【答案】A
解题点拨：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.
◆变式训练
1.（2017?株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（ ）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x， ∴6x=180°， ∴x=30°， ∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°， 故选B．
2.（2017?黔东南州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∠A=∠ACD-∠B =120°-20° =100°， 故选：C．
■考点3.三角形中的重要线段 四线性质
◇典例：
(2015云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1，分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3，分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为＿＿＿（n为正整数）．www.21-cn-jy.com
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可．
解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点， 可得：P1M1=，P2M2=×＝，
故PnMn=， 故答案为：
◆变式训练
1.（2015?长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
2.（2017?泸州）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足
为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
【考点】三角形的重心；勾股定理．
【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．21世纪教育网版权所有
解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE==2， ∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线， ∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心， ∴AH是中线，又BD⊥CE， ∴OH=BC=2， ∵O是△ABC的重心， ∴AO=2OH=4， 故答案为：4．
1.（2017?扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（ ）
A．6 B．7 C．11 D．12
【考点】三角形三边关系．
【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．
解：设第三边的长为x， ∵三角形两边的长分别是2和4， ∴4-2＜x＜2+4，即2＜x＜6． 则三角形的周长：8＜C＜12， C选项11符合题意， 故选C．
2.（2017?泰州）三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平分线的交点
【考点】三角形的重心．
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．
解：三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A．
3.（2017?吉林）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，
连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵AB=BD，∠B=40°， ∴∠ADB=70°， ∵∠C=36°， ∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°． 故选C．
4.（2016?宜昌）设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°
【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4﹣2）?180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选B．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
5.（2017?黔东南州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∠A=∠ACD-∠B =120°-20° =100°， 故选：C．
6.（2017?巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 +（b-2）2=0，
第三边c为奇数，则c= ___________
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．
解：∵a、b满足+（b-2）2=0， ∴a=9，b=2， ∵a、b、c为三角形的三边， ∴7＜c＜11， ∵第三边c为奇数， ∴c=9， 故答案为9． 21·cn·jy·com
7.（2016?大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
则∠BDC=____________
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．21教育名师原创作品
解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点， ∴∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∴∠DBC+∠DCB=70°， ∴∠BDC=180°-70°=110°， 故答案为：110°．
8.（2017?泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 ________
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°-45°=15°， 故答案为：15°．
9.(2015聊城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB
＝6，求点D到AB的距离．
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°－30°－90°＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝AB＝3，21cnjy.com
∴CD＝BC·tan30°＝3×＝，
∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴点D到AB的距离＝CD＝．
(2013湖南邵阳,21,8分)将一幅三角板拼成如图(七)所示的图形，过点C作CF平分
∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF∥AB；
(2)求∠DFC的度数
(1)证明：由题意知，△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCB=90°，
∴∠B=45°.
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF=∠ECF=45°，
∴∠B=∠ECF，
∴CF∥AB.
(2)解：由三角板知，∠E=60°，
由(1)知，∠ECF=45°，
∵∠DFC=∠ECF+∠E，
∴∠DFC=45° +60°=105°.
【点评】：(1)首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可.
1.（2016·青海西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的
是（ ）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
2.（2017?白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（ ）
A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0
【考点】三角形三边关系．
【分析】先根据三角形的三边关系判断出a-b-c与c-b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
解：∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b） =a+b-c+c-a-b=0． 故选D．
3.（2017?湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC
的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=
CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心， ∴CD是△ABC的中线，PD=CD， ∵∠C=90°， ∴CD=AB=3， ∵AC=BC，CD是△ABC的中线， ∴CD⊥AB， ∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1， 故选：A．21*cnjy*com
4.（2017?永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻
璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．
解：由题意可得， 所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆， ∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点， 故选B．
5.（2017?德阳）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠
BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC-∠BAD计算即可得解．【版权所有：21教育】
解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°． 故选B．
6.（2017?郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）
A．180° B．210° C．360° D．270°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
解：∠α=∠1+∠D， ∠β=∠4+∠F， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F =∠2+∠D+∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90° =210°， 故选：B．
7.（2016?临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
故这个正多边形的每一个外角等于： =72°．
故选C．
8.（2016?台湾）如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
解：延长BC交OD与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
故选A．
9.（2016武城）如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则( )．
A．∠A＝∠1＋∠2 B．∠A＝(∠1＋∠2)
C．∠A＝(∠1＋∠2) D．∠A＝(∠1＋∠2)
解：根据折叠及邻补角的性质，得∠1=180°-2∠ADE，∠2=180°-2∠AED，
∴∠1＋∠2= 360°-2( ∠ADE+∠AED)，
∴∠ADE+ ∠AED=[360°－(∠1＋∠2)]＝180°－(∠1＋∠2)，
∴在△ADE中，由内角和定理得∠A =180°一（∠ADE+∠AED）=180° -180°＋(∠1+∠2)＝(∠1+∠2)．
故选B．
10.（2016东营市））如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( )
A.30° B．35° C.40° D．50°
【分析】平行线——平行线的性质；与三角形有关的线段、角——三角形的外角.
解：∵m∥n，
∴∠3＝∠1＝70°.
∵∠3是△ABD的一个外角，
∴∠3＝∠2＋∠A.
∴∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.
故选C.
11.（2017?成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 _____________
【考点】三角形内角和定理．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4， ∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2x+3x+4x=180°， 解得：x=20°， ∴∠A的度数为：40°． 故答案为：40°．21教育网
12.（2017?盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放
置，则∠1= ____________________
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°， 故答案为：120．
13.（2015广东）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若=12，则图
中阴影部分面积是＿＿＿＿．
解：∵△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G，∴，
，
∵，
∴，，
∴．
14.（2016陕西）如图，在△ABC中，∠ABC= 90°，AB=8．BC＝6．若DE是△ABC的中位
线，延长DE交△ABC的外有∠ACM的平分线于点F，求线段DF的长．
解：在RtAABC中，∵∠ABC= 90°，AB=8，BC=6，
∴AC=＝10，
∵DE是△ABC的中位线．
∴DF∥BM，DE＝BC=3，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF＝＝5，
15.（2016贵阳）(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB= 10，AC=6，求BC边上的中
线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE =AD．再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，
(1)中线AD的取值范围是_____＿＿；
(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．21*cnjy*com
解：(1)2
(2)证明：延长FD至点M，使DM =DF，连接BM、EM，如图②所示：
同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE＋BM＞EM，∴BE＋CF＞EF
16.（2010?玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明） （3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D； （2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得； （3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D 延长BP交CD于点E， ∵AB∥CD ∴∠B=∠BED 又∵∠BPD=∠BED+∠D， ∴∠BPD=∠B+∠D． （2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D． （3）连接EG并延长， 根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E， 又∵∠AGB=∠CGF， 在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【来源：21cnj*y.co*m】
