第四章 图形的性质 第22节 全等三角形
全等图形:能够完全重合的两个图形叫做 .
注:能够完全重合即形状、大小完全相同.
全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做 三角形
■考点1全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等.
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
(3)全等三角形的周长等、面积等.
失分点警示:运用全等三角形的性质时,要注意找准对应边与对应角.
■考点2.三角形全等的判定
一般三角形全等 SSS(三边对应相等)
SAS(两边和它们的夹角对应相等)
ASA(两角和它们的夹角对应相等)
AAS(两角和其中一个角的对边对应相等)
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS.
失分点警示
如图,SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
■考点3.全等三角形的运用
(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到两个全等的三角
形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行
条件.
(2)全等三角形中的辅助线的作法:
①直接连接法:如图①,连接公共边,构造全等.
②倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS可得△ACD≌△EBD,则AC=BE.在△ABE中,AB+BE>AE,即 .【来源:21·世纪·教育·网】
③截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图③、④.
■考点1全等三角形的性质
◇典例:
(2004?南山区)如图,若△ABC≌△DEF,则∠E等于( )
A.30° B.50° C.60° D.100°
【考点】全等三角形的性质;三角形内角和定理.
【分析】由图形可知:∠E应该是个钝角,那么根据△ABC≌△DEF,∠E=∠B=180°-50°-30°=100°由此解出答案.2·1·c·n·j·y
解:∵△ABC≌△DEF,∴∠E=∠B=180°-50°-30°=100°.故选D.
◆变式训练
(2016?厦门)如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE=( )www-2-1-cnjy-com
A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB
■考点2.三角形全等的判定
◇典例
(2016云南)如图,已知∠ABC= ∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ( )
A.AC = BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D D.BC=AD21教育名师原创作品
觯题点拨:本题考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.【来源:21cnj*y.co*m】
◆变式训练
(2015泰州)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、
AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
(2017?福建)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
∠A=∠D.
■考点3.全等三角形的运用
◇典例:
(2012?柳州)如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( )21*cnjy*com
A.PO B.PQ C.MO D.MQ
【考点】全等三角形的应用.
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长,只需求得其对应边PQ的长,据此可以得到答案.
解:要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长,只需求得线段PQ的长,故选:B.
◆变式训练
(2015?义乌市)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )21*cnjy*com
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
1.(2016?新疆)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF
2.(2016?湖州)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
3.(2016·山东省济宁市·3分)如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,
AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件: (只要符合要求即可) ,使△AEH≌△CEB.21·cn·jy·com
4.(2017?黔西南州)四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,则下列结论中错误的是( )
A.∠A=∠C B.AD∥BC C.∠A=∠B D.对角线互相平分
5.(2003?烟台)如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,若
BF=AC,则∠ABC的大小是( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
6.(2015?柳州)如图,△ABC≌△DEF,则EF= ___________
7.(2017?黑龙江)如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件 ,使得△ABC≌△DEF.www.21-cn-jy.com
8.(2016?泉州)如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E
在AB上.求证:△CDA≌△CEB.
9.(2015?通辽)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,
且BC=CE,求证:△ABC与△DEC全等.
10.(2017?吉林)如图,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.
11.(2017?郴州)已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB、AC的中点,求证:
BE=CD.
12.(2017?恩施州)如图,△ABC、△CDE均为等边三角形,连接BD、AE交于点O,BC
与AE交于点P.求证:∠AOB=60°.
13.(2014?西宁)课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图.
(1)求证:△ADC≌△CEB;(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).2-1-c-n-j-y
(2016?永州)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,
现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
(2016?怀化)如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分
别是C、D,则下列结论错误的是( )
A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
(2017?滨州)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,
若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )21教育网
A.4 B.3 C.2 D.1
(2017?鄂州)如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E
为CD上一点,且∠BAE=45°.若CD=4,则△ABE的面积为( )
A. B. C. D.
(2007?贵港)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,若CD⊥AB,DE
⊥BC垂足分别是D、E.则图中全等的三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
(2016?成都)如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B=________
7.(2017?怀化)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件: ,使得△ABC≌△DEC.
8.(2017?陕西)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,
则四边形ABCD的面积为 ________________________
9.(2017?娄底)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,
点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是
______________(用含m的代数式表示).
10(2017?新疆)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O,
下列结论中:①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分;③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;④四边形ABCD的面积S= AC?BD.正确的是 ______________(填写所有正确结论的序号)21cnjy.com
11.(2017?娄底)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条
件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 ______
12.(2017?广州)如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:△ADF≌△BCE.
13.(2017?聊城)如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,求证:AC∥DF.
14.(2017?黄冈)已知:如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM,求证:∠B=∠ANM.
15.(2017?温州)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD
(1)求证:△ABC≌△AED;(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.
16.(2017?荆门)已知:如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是
CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△FCE;(2)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的长.21世纪教育网版权所有
17.(2017?哈尔滨)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接
AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.21·世纪*教育网
18.(2017?齐齐哈尔)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,
AC的中点.
(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.
19.(2016?宜昌)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通
过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.【出处:21教育名师】
第四章 图形的性质 第22节 全等三角形
全等图形:能够完全重合的两个图形叫做 全等图形 .
注:能够完全重合即形状、大小完全相同.
全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做 全等 三角形
■考点1全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角相等.
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.
(3)全等三角形的周长等、面积等.
失分点警示:运用全等三角形的性质时,要注意找准对应边与对应角.
■考点2.三角形全等的判定
一般三角形全等 SSS(三边对应相等)
SAS(两边和它们的夹角对应相等)
ASA(两角和它们的夹角对应相等)
AAS(两角和其中一个角的对边对应相等)
直角三角形全等
(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA和AAS.
失分点警示
如图,SSA和AAA不能判定两个三角形全等.
■考点3.全等三角形的运用
(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度:将特征的边或角放到两个全等的三角
形中,通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时,注意公共角、公共边、对顶角等银行
条件.
(2)全等三角形中的辅助线的作法:
①直接连接法:如图①,连接公共边,构造全等.
②倍长中线法:用于证明线段的不等关系,如图②,由SAS可得△ACD≌△EBD,则AC=BE.在△ABE中,AB+BE>AE,即AB+AC>2AD.www-2-1-cnjy-com
③截长补短法:适合证明线段的和差关系,如图③、④.
■考点1全等三角形的性质
◇典例:
(2004?南山区)如图,若△ABC≌△DEF,则∠E等于( )
A.30° B.50° C.60° D.100°
【考点】全等三角形的性质;三角形内角和定理.
【分析】由图形可知:∠E应该是个钝角,那么根据△ABC≌△DEF,∠E=∠B=180°-50°-30°=100°由此解出答案.【来源:21·世纪·教育·网】
解:∵△ABC≌△DEF,∴∠E=∠B=180°-50°-30°=100°.故选D.
◆变式训练
(2016?厦门)如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE=( )
A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB
【考点】全等三角形的性质.
【分析】由全等三角形的性质:对应角相等即可得到问题的选项.
解:∵△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,∴∠DCE=∠B,故选A.
■考点2.三角形全等的判定
◇典例
(2016云南)如图,已知∠ABC= ∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ( A )
A.AC = BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D D.BC=AD
觯题点拨:本题考查了全等三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
◆变式训练
(2015泰州)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、
AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是( D )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
解题点拨:根据已知条件“AB=AC.D为BC中点”,得出△ABD≌△ACD,然后再由AC的垂直平分线
分别交AC、AD、AB于点E、O、F,推出△AOE≌△EOC,从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形,要由易到难,不重不漏.
(2017?福建)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
∠A=∠D.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】证明BC=EF,然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF,然后根据全等三角形的对应角相等即可证得.
证明:如图,∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠A=∠D.
■考点3.全等三角形的运用
◇典例:
(2012?柳州)如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( )21教育名师原创作品
A.PO B.PQ C.MO D.MQ
【考点】全等三角形的应用.
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长,只需求得其对应边PQ的长,据此可以得到答案.
解:要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长,只需求得线段PQ的长,故选:B.
◆变式训练
(2015?义乌市)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
【考点】全等三角形的应用.
【分析】在△ADC和△ABC中,由于AC为公共边,AB=AD,BC=DC,利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC,进而得到∠DAC=∠BAC,即∠QAE=∠PAE.
解:在△ADC和△ABC中,
,∴△ADC≌△ABC(SSS),∴∠DAC=∠BAC,即∠QAE=∠PAE.故选:D.
1.(2016?新疆)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
A.∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF
【分析】根据全等三角形的判定,利用ASA、SAS、AAS即可得答案.
解:∵∠B=∠DEF,AB=DE,
∴添加∠A=∠D,利用ASA可得△ABC≌△DEF;
∴添加BC=EF,利用SAS可得△ABC≌△DEF;
∴添加∠ACB=∠F,利用AAS可得△ABC≌△DEF;
故选D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法:SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键.【版权所有:21教育】
2.(2016?湖州)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过
点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是( )
A.8 B. 6 C.4 D.2
【分析】过点P作PE⊥BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE,那么PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE=4.
解:过点P作PE⊥BC于E,
∵AB∥CD,PA⊥AB,
∴PD⊥CD,
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,
∴PA=PE,PD=PE,
∴PE=PA=PD,
∵PA+PD=AD=8,
∴PA=PD=4,
∴PE=4.
故选C.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质并作辅助线是解题的关键.
3.(2016·山东省济宁市·3分)如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,
AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件: AH=CB等(只要符合要求即可) ,使△AEH≌△CEB.2-1-c-n-j-y
【考点】全等三角形的判定.
【分析】开放型题型,根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,就只需要找它们的一对对应边相等就可以了.
解:∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,
∴∠BEC=∠AEC=90°,
在Rt△AEH中,∠EAH=90°﹣∠AHE,
又∵∠EAH=∠BAD,
∴∠BAD=90°﹣∠AHE,
在Rt△AEH和Rt△CDH中,∠CHD=∠AHE,
∴∠EAH=∠DCH,
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE,
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB;
根据ASA添加AE=CE.
可证△AEH≌△CEB.
故填空答案:AH=CB或EH=EB或AE=CE.
4.(2017?黔西南州)四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,则下列结论中错误的是( )
A.∠A=∠C B.AD∥BC C.∠A=∠B D.对角线互相平分
【考点】全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.
【分析】由AB=CD,AB∥CD,推出四边形ABCD是平行四边形,推出∠DAB=∠DCB,AD∥BC,OA=OC,OB=OD,由此即可判断.
解:如图,∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠DCB,AD∥BC,OA=OC,OB=OD,∴选项A、B、D正确,故选C
5.(2003?烟台)如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,若
BF=AC,则∠ABC的大小是( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
【考点】直角三角形全等的判定;全等三角形的性质;等腰直角三角形.
【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC,从而得出BD=DA,即△ABD为等腰直角三角形.所以得出∠ABC=45°.2·1·c·n·j·y
解:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,∴∠BEA=∠ADC=90°.∵∠FBD+∠BFD=90°,∠AFE+∠FAE=90°,∠BFD=∠AFE, ∴∠FBD=∠FAE,在△BDF和△ADC中,
,∴△BDF≌△ADC(AAS),∴BD=AD,∴∠ABC=∠BAD=45°,故选:B.
6.(2015?柳州)如图,△ABC≌△DEF,则EF= ___________
【考点】全等三角形的性质.
【分析】利用全等三角形的性质得出BC=EF,进而求出即可.
解:∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF则EF=5.故答案为:5.
7.(2017?黑龙江)如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF或
AD=BE(只需添加一个即可),使得△ABC≌△DEF.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF,易证∠A=∠EDF,∠ABC=∠E,故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题.
解:∵BC∥EF,∴∠ABC=∠E,∵AC∥DF,∴∠A=∠EDF,∵在△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF,同理,BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF.故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE(只需添加一个即可).
8.(2016?泉州)如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E
在AB上.求证:△CDA≌△CEB.
【考点】全等三角形的判定;等腰直角三角形.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD,BC=AC,再利用全等三角形的判定证明即可.
证明:∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴CE=CD,BC=AC,∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE,∴∠ECB=∠DCA,在△CDA与△CEB中
,∴△CDA≌△CEB.
9.(2015?通辽)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,
且BC=CE,求证:△ABC与△DEC全等.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5,结合条件可得到∠1=∠D,再加上BC=CE,可证得结论.
解:∵∠BCE=∠ACD=90°,∴∠3+∠4=∠4+∠5,∴∠3=∠5,在△ACD中,∠ACD=90°,∴∠2+∠D=90°,∵∠BAE=∠1+∠2=90°,∴∠1=∠D,在△ABC和△DEC中,
,∴△ABC≌△DEC(AAS).
10.(2017?吉林)如图,点E、F在BC上,BE=FC,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】可通过证△ABF≌△DCE,来得出∠A=∠D的结论.
证明:∵BE=FC,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE;又∵AB=DC,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠A=∠D.
11.(2017?郴州)已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB、AC的中点,求证:
BE=CD.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC,又点D、E分别是AB、AC的中点.得到AD=AE,通过△ABE≌△ACD,即可得到结果.
证明:∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∵点D、E分别是AB、AC的中点.∴AD=AE,在△ABE与△ACD中,
∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.
12.(2017?恩施州)如图,△ABC、△CDE均为等边三角形,连接BD、AE交于点O,BC
与AE交于点P.求证:∠AOB=60°.
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等,可得∠CAD=∠CBE,然后求出∠OAB+∠OBA=120°,再根据“八字型”证明∠AOP=∠PCB=60°即可.
证明:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,
,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠CAE=∠CBD,∵∠APC=∠BPO,∴∠BOP=∠ACP=60°,即∠AOB=60°.
13.(2014?西宁)课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图.
(1)求证:△ADC≌△CEB;(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
【考点】全等三角形的应用;勾股定理的应用.
【分析】(1)根据题意可得AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,进而得到∠ADC=∠CEB=90°,再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC,再证明△ADC≌△CEB即可.(2)由题意得:AD=4a,BE=3a,根据全等可得DC=BE=3a,根据勾股定理可得(4a)2+(3a)2=252,再解即可.
(1)证明:由题意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC,在△ADC和△CEB中,
,∴△ADC≌△CEB(AAS);(2)解:由题意得:∵一块墙砖的厚度为a,∴AD=4a,BE=3a,由(1)得:△ADC≌△CEB,∴DC=BE=3a,在Rt△ACD中:AD2+CD2=AC2,∴(4a)2+(3a)2=252,∵a>0,解得a=5,答:砌墙砖块的厚度a为5cm.
(2016?永州)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,
现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A.∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
【考点】全等三角形的判定.
【分析】欲使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件,逐一证明即可.21世纪教育网版权所有
解:∵AB=AC,∠A为公共角,A、如添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;B、如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;C、如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;D、如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件.故选:D.21cnjy.com
(2016?怀化)如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分
别是C、D,则下列结论错误的是( )
A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD,再利用HL证明△OCP≌△ODP,根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO,OC=OD.
解:∵OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,
∴PC=PD,故A正确;
在Rt△OCP与Rt△ODP中,
,
∴△OCP≌△ODP,
∴∠CPO=∠DPO,OC=OD,故C、D正确.
不能得出∠CPD=∠DOP,故B错误.
故选B.
【点评】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了全等三角形的判定与性质,得出PC=PD是解题的关键.
(2017?滨州)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,
若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
【分析】如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF,△PEM≌△PFN,即可一一判断.
解:如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°,∴∠EPF+∠AOB=180°,∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠EPF=∠MPN,∴∠EPM=∠FPN,∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,∴PE=PF,在△POE和△POF中,
,∴△POE≌△POF,∴OE=OF,在△PEM和△PFN中,,
∴△PEM≌△PFN,∴EM=NF,PM=PN,故(1)正确,∴S△PEM=S△PNF,∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(3)正确,∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值,故(2)正确,MN的长度是变化的,故(4)错误,故选B.
(2017?鄂州)如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E
为CD上一点,且∠BAE=45°.若CD=4,则△ABE的面积为( )
A. B. C. D.
【考点】全等三角形的判定与性质;三角形的面积.
【分析】如图取CD的中点F,连接BF延长BF交AD的延长线于G,作FH⊥AB于H,EK⊥AB于K.作BT⊥AD于T.由△BCF≌△GDF,推出BC=DG,BF=FG,由△FBC≌△FBH,△FAH≌△FAD,推出BC=BH,AD=AH,由题意AD=DC=4,设BC=TD=BH=x,在Rt△ABT中,∵AB2=BT2+AT2,可得(x+4)2=42+(4-x)2,推出x=1,推出BC=BH=TD=1,AB=5,设AK=EK=y,DE=z,根据AE2=AK2+EK2=AD2+DE2,BE2=BK2+KE2=BC2+EC2,可得42+z2=2y2??? ①,(5-y)2+y2=12+(4-z)2??? ②,由此求出y即可解决问题.
解:如图取CD的中点F,连接BF延长BF交AD的延长线于G,作FH⊥AB于H,EK⊥AB于K.作BT⊥AD于T. ∵BC∥AG,∴∠BCF=∠FDG,∵∠BFC=∠DFG,FC=DF,∴△BCF≌△GDF,∴BC=DG,BF=FG,∵AB=BC+AD,AG=AD+DG=AD+BC,∴AB=AG,∵BF=FG,∴BF⊥AF,∠ABF=∠G=∠CBF,∵FH⊥BA,FC⊥BC,∴FH=FC,易证△FBC≌△FBH,△FAH≌△FAD,∴BC=BH,AD=AH,由题意AD=DC=4,设BC=TD=BH=x,在Rt△ABT中,∵AB2=BT2+AT2,∴(x+4)2=42+(4-x)2,∴x=1,∴BC=BH=TD=1,AB=5,设AK=EK=y,DE=z,∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2,BE2=BK2+KE2=BC2+EC2,∴42+z2=2y2??? ①,(5-y)2+y2=12+(4-z)2??? ②由②得到25-10y+2y2=5-8z+z2??? ③,①代入③可得z=?? ④④代入①可得y=(负根已经舍弃),∴S△ABE=×5×=,故选D.
(2007?贵港)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,若CD⊥AB,DE
⊥BC垂足分别是D、E.则图中全等的三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【考点】直角三角形全等的判定;等腰直角三角形.
【分析】有两对.分别为△CDE≌△BDE,△CAD≌△CBD.
解:∵∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,CD=CD,∴△CAD≌△CBD.(HL)同理可证明△CDE≌△BDE.故选A.21*cnjy*com
(2016?成都)如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B=________
【考点】全等三角形的性质.
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数,根据三角形内角和定理计算即可.
解:∵△ABC≌△A′B′C′,∴∠C=∠C′=24°,∴∠B=180°-∠A-∠C=120°,故答案为:120°.
7.(2017?怀化)如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件: AB=DE,使得△ABC≌△DEC.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC,已知AC=DC,BC=EC,具备了两组边对应相等,利用SSS即可判定两三角形全等了.
解:添加条件是:AB=DE,在△ABC与△DEC中,
,∴△ABC≌△DEC.故答案为:AB=DE.本题答案不唯一.
8.(2017?陕西)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,
则四边形ABCD的面积为 ________________________
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】作辅助线;证明△ABM≌△ADN,得到AM=AN,△ABM与△ADN的面积相等;求出正方形AMCN的面积即可解决问题.
解:如图,作AM⊥BC、AN⊥CD,交CD的延长线于点N;
∵∠BAD=∠BCD=90°∴四边形AMCN为矩形,∠MAN=90°; ∵∠BAD=90°,∴∠BAM=∠DAN;在△ABM与△ADN中,
,∴△ABM≌△ADN(AAS),∴AM=AN(设为λ);△ABM与△ADN的面积相等;∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积;由勾股定理得:AC2=AM2+MC2,而AC=6;∴2λ2=36,λ2=18,故答案为:18.
9.(2017?娄底)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB=2,点D为AC的中点,
点E,F分别是线段AB,CB上的动点,且∠EDF=90°,若ED的长为m,则△BEF的周长是
______________(用含m的代数式表示).
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【分析】先判断出∠ADE=∠BDF,进而判断出△ADE≌△BDF得出AE=BF,DE=DF,利用勾股定理求出EF即可得出结论.
解:如图,
连接BD,在等腰Rt△ABC中,点D是AC的中点,∴BD⊥AC,∴BD=AD=CD,∠DBC=∠A=45°,∠ADB=90°,∵∠EDF=90°,∴∠ADE=∠BDF,在△ADE和△BDF中,
,∴△ADE≌△BDF(ASA),∴AE=BF,DE=DF,在Rt△DEF中,DF=DE=m.∴EF=DE=m,∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+m,故答案为:(m+2)21·世纪*教育网
10.(2017?新疆)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O,
下列结论中:①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分;③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;④四边形ABCD的面积S= AC?BD.正确的是 ______________(填写所有正确结论的序号)
【考点】全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】①证明△ABC≌△ADC,可作判断;②③由于AB与BC不一定相等,则可知此两个选项不一定正确;④根据面积和求四边形的面积即可.
解:①在△ABC和△ADC中,∵
∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠ABC=∠ADC,故①结论正确;②∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,∵AB=AD,∴OB=OD,AC⊥BD,而AB与BC不一定相等,所以AO与OC不一定相等,故②结论不正确;③由②可知:AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD,而AB与BC不一定相等,所以BD不一定平分四边形ABCD的对角;故③结论不正确;④∵AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD?AO+BD?CO=BD?(AO+CO)=AC?BD.故④结论正确;所以正确的有:①④;故答案为:①④.21*cnjy*com
11.(2017?娄底)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 ______
【考点】直角三角形全等的判定.
根据:斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等,使Rt△ABC≌Rt△DCB,添加的条件是:AB=DC.
解:∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等,∴在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,使Rt△ABC≌Rt△DCB,添加的条件是:AB=DC.故答案为:AB=DC.
12.(2017?广州)如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:△ADF≌△BCE.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】根据全等三角形的判定即可求证:△ADF≌△BCE
解:∵AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,∴AF=BE,
在△ADF与△BCE中,
∴△ADF≌△BCE(SAS)
13.(2017?聊城)如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,求证:AC∥DF.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF,然后利用边角边证明△ABC≌△DEF,最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题.21教育网
证明:∵AB∥DE,∴∠ABC=∠DEF,又∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即:BC=EF,在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,∴AC∥DF.
14.(2017?黄冈)已知:如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM,求证:∠B=∠ANM.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】要证明∠B=∠ANM,只要证明△BAD≌△NAM即可,根据∠BAC=∠DAM,可以得到∠BAD=∠NAM,然后再根据题目中的条件即可证明△BAD≌△NAM,本题得以解决.
证明:∵∠BAC=∠DAM,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAM=∠DAC+∠NAM,∴∠BAD=∠NAM,在△BAD和△NAM中,
,∴△BAD≌△NAM(SAS),∴∠B=∠ANM.
15.(2017?温州)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD
(1)求证:△ABC≌△AED;(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据∠ACD=∠ADC,∠BCD=∠EDC=90°,可得∠ACB=∠ADE,进而运用SAS即可判定全等三角形;(2)根据全等三角形对应角相等,运用五边形内角和,即可得到∠BAE的度数.
(1)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,又∵∠BCD=∠EDC=90°,∴∠ACB=∠ADE,在△ABC和△AED中,【来源:21cnj*y.co*m】
,∴△ABC≌△AED(SAS); (2)解:当∠B=140°时,∠E=140°,又∵∠BCD=∠EDC=90°,∴五边形ABCDE中,∠BAE=540°-140°×2-90°×2=80°.【出处:21教育名师】
16.(2017?荆门)已知:如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是
CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证:△ADE≌△FCE;(2)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的长.
【考点】全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
【分析】(1)先根据点E是CD的中点得出DE=CE,再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC,根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE;(2)根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB,再由AB∥CF可知∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°,由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°,进而可得出结论.
(1)证明:∵点E是CD的中点,∴DE=CE.∵AB∥CF,∴∠BAF=∠AFC.在△ADE与△FCE中,∵
∴△ADE≌△FCE(AAS);(2)解:由(1)得,CD=2DE,∵DE=2,∴CD=4.∵点D为AB的中点,∠ACB=90°,∴AB=2CD=8,AD=CD=AB.∵AB∥CF,∴∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°,∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°,∴BC=AB=×8=4.21·cn·jy·com
17.(2017?哈尔滨)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接
AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.(1)如图1,求证:AE=BD;(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【分析】(1)根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD,从而可知AE=BD;(2)根据条件即可判断图中的全等直角三角形;
解:(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,∴∠BCD=∠ACE,在△ACE与△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,(2)∵AC=DC,∴AC=CD=EC=CB,△ACB≌△DCE(SAS);由(1)可知:∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°,∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,∴△EMC≌△BCN(ASA),∴CM=CN,∴DM=AN,△AON≌△DOM(AAS),∵DE=AB,AO=DO,∴△AOB≌△DOE(HL)
18.(2017?齐齐哈尔)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,
AC的中点.
(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.
【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理.
【分析】(1)证明△BDG≌△ADC,根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明;(2)根据直角三角形的性质分别求出DE、DF,根据勾股定理计算即可.
(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在△BDG和△ADC中,
,∴△BDG≌△ADC,∴BG=AC,∠BGD=∠C,∵∠ADB=∠ADC=90°,E,F分别是BG,AC的中点,∴DE=BG=EG,DF=AC=AF,∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD,∴∠EDG+∠FDA=90°,∴DE⊥DF;(2)解:∵AC=10,∴DE=DF=5,由勾股定理得,EF=
19.(2016?宜昌)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通
过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.
【考点】全等三角形的应用;平行线之间的距离.
【分析】由AB∥CD,利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO,由垂直的定义可得∠CDO=90°,易得OB⊥AB,由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB,利用ASA定理可得△ABO≌△CDO,由全等三角形的性质可得结果.
解:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°,∴∠ABO=90°,即OB⊥AB,∵相邻两平行线间的距离相等,∴OD=OB,在△ABO与△CDO中,
,∴△ABO≌△CDO(ASA),∴CD=AB=20(m)