第四章 图形的性质 第23节 等腰三角形
■考点1.等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 .
■考点2.等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.21*cnjy*com
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.【出处：21教育名师】
■考点3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．
■考点4.垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.2·1·c·n·j·y
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1.等腰三角形
◇典例：
1.（2016?武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，
使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．21·世纪*教育网
解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴AB=2， ①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4）， ∵点（0，4）与直线AB共线， ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个； ②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故选A【版权所有：21教育】
2.（2016·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为
两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【考点】等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．21教育网
解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
◆变式训练
1.（2016?阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 B．3 C．4 D．5
2.(2016·黑龙江哈尔滨·3分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为 或 ．21*cnjy*com
■考点2.等边三角形
◇典例
（2016·广西百色·3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论． 2-1-c-n-j-y
解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，
∴A′C=2×A′B=2．
故选C．
◆变式训练
（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．不能确定
■考点3.角平分线
◇典例：
（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
◆变式训练
（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）21教育名师原创作品
A．8 B． 6 C．4 D．2
■考点4.垂直平分线
◇典例：
（2016?黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．21cnjy.com
解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=50°， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故选：B． 【来源：21·世纪·教育·网】
◆变式训练
（2016?荆州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1.（2015新疆乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度是 ．
2.（2016·湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，
使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.（2016·黑龙江龙东）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC的面积为（ ）
A．2+ B． C．2+或2﹣ D．4+2 或2﹣
4.（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，
过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
5.（2017?台州）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则
点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
6.（2016?广州）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE
交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
7.（2017?黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周
长是 _________
8.（2017?江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角
为30°，则∠A= _________
9.（2012?海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分
别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ___________
10.（2016?泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠
β等于 _____
11.（2017校级模拟）已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方
程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
12.（2016?宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥
AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
1.（2017?海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，
将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（2017?武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，
使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.（2017?南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1， ）
4.（2017?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，
分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
5.（2016?恩施州）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△
ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
6.（2017?丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ___________
7.（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，
若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ________________
8.（2017?徐州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连
接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= _________．
9.（2017?淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别
作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=________________
10.（2017?抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取
点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为 ___________．（n≥2，且n为整数） 21·cn·jy·com
11.（2017?常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，
若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ___________
12.（2017?湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平
分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段 ___________
13.（2016?遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于
点D，连接BD，则∠ABD=__________________
14.（2017?内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC． 求证：△BDE是等腰三角形．www.21-cn-jy.com
15.（2017?宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作
PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足． （1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
第四章 图形的性质 第23节 等腰三角形
■考点1.等腰三角形
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高
互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
■考点2.等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.21*cnjy*com
■考点3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
■考点4.垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1.等腰三角形
◇典例：
（2016?武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，
使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2 ，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．
解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴AB=2， ①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4）， ∵点（0，4）与直线AB共线， ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个； ②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故选A
（2016·贵州安顺）已知实数x，y满足，则以x，y的值为
两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【考点】等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
◆变式训练
1.（2016?阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE，从而得到∠ABD=∠BDE，再根据等角对等边可得BE=DE，然后求出△AED的周长=AB+AD，代入数据计算即可得解．
解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵ED∥BC， ∴∠CBD=∠BDE， ∴∠ABD=∠BDE， ∴BE=DE， △AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD， ∵AB=3，AD=1， ∴△AED的周长=3+1=4． 故选C．
2.(2016·黑龙江哈尔滨·3分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为 _____或 ．
【考点】等腰直角三角形的性质．勾股定理
【分析】①如图1根据已知条件得到PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；
②如图2，根据已知条件得到PC=BC=1，根据勾股定理即可得到结论．
解：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∵PB=BC=1，
∴CP=2，
∴AP==，
②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∵PC=BC=1，
∴AP==，
综上所述：AP的长为或，
故答案为：或．
■考点2.等边三角形
◇典例
（2016·广西百色·3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2+
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】连接CC′，连接A′C交y轴于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C的长度，从而得出结论． 2·1·c·n·j·y
解：连接CC′，连接A′C交l于点D，连接AD，此时AD+CD的值最小，如图所示．
∵△ABC与△A′BC′为正三角形，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°，
∴A′C=2×A′B=2．
故选C．
◆变式训练
（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．不能确定
【考点】勾股定理，三角形面积公式，等边三角形的性质
解：如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H．则【版权所有：21教育】
BH＝，AH＝＝．
连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC．
∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH．
∴PD＋PE＋PF＝AH＝．
故选B．
■考点3.角平分线
◇典例：
（2016?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．
◆变式训练
（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）21教育网
A．8 B． 6 C．4 D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
■考点4.垂直平分线
◇典例：
（2016?黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
解：∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=50°， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°， 故选：B．
◆变式训练
（2016?荆州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（ ）21教育名师原创作品
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
解：∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠DAB， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°， ∴3∠CAD=90°， ∴∠CAD=30°， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1， 故选A．
（2015新疆乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度是 ．
【分析】本题主要考虑与这个外角相邻的内角是顶角或是底角，利用内角和定理即可得解.
解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
（2016·湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，
使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质
【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。
【答案】A
（2016·黑龙江龙东·3分）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，
则△ABC的面积为（ ）
A．2+ B． C．2+或2﹣ D．4+2 或2﹣
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．
解：由题意可得，如右图所示，
存在两种情况，
当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD=，
∴=2﹣，
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1⊥BC于点D，
∴CD=1，OD=，
∴S△A2BC===2+，
由上可得，△ABC的面积为或2+，
故选C．
（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，
过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．21·cn·jy·com
解：如图，
设BD=x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB， ∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°， ∴BF=2x， ∴CF=12-2x， ∴CE=2CF=24-4x， ∴AE=12-CE=4x-12， ∴AD=2AE=8x-24， ∵AD+BD=AB， ∴8x-24+x=12， ∴x=4， ∴AD=8x-24=32-24=8． 故选C．【出处：21教育名师】
（2017?台州）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则
点P到边OA的距离是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【考点】角平分线的性质．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．
解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE=PD=2， 故选：B．
（2016?广州）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE
交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理．
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．
解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线， ∴DE=3， ∴AD=DC==5． 故选：D．21·世纪*教育网
（2017?黔西南州）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周
长是 _________
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．21世纪教育网版权所有
解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故答案为：15．
（2017?江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA=OB．若剪刀张开的角
为30°，则∠A= _________
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：∵OA=OB，∠AOB=30°， ∴∠A=（180°-30°）=75°， 故答案为：75．
（2012?海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分
别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ___________
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．
解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O， ∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO， ∵DE∥BC， ∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO， ∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC， ∴OD=BD，OE=CE， ∵AB=5，AC=4， ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9． 故答案为：9．
（2016?泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠
β等于 _____
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．21cnjy.com
解：过点A作AD∥l1，如图，
则∠BAD=∠β． ∵l1∥l2， ∴AD∥l2， ∵∠DAC=∠α=40°． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°． 故答案为20°．
（2017校级模拟）已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方
程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
【考点】等腰三角形的判定；根的判别式．
【分析】先根据关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，可知△=（-4）2-4b=0，求出b的值为4，再根据a，c的值来判断△ABC的形状．
解：∵方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根 ∴△=（-4）2-4b=0 ∴b=4 ∵c=4 ∴b=c=4 ∴△ABC为等腰三角形．
（2016?宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥
AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴DE=DC=2， 在RT△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=2， ∴DF=2DE=4， ∴EF=www-2-1-cnjy-com
（2017?海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，
将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．
解：如图所示： 当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选B．
（2017?武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，
使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
解：如图：
? 故选D．
（2017?南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1， ）
【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标．
解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则 ∵△AOB是等边三角形， ∴OC=AO=1， ∴Rt△BOC中，BC==， ∴B（1，）， 故选：D．
（2017?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，
分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°， ∴DE=CD， ∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30． 故选B．www.21-cn-jy.com
（2016?恩施州）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△
ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE= AC，求出AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出AC，即可得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=DC，AE=CE=AC， ∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm， ∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm， ∴AC=6cm， ∴AE=3cm， 故选A．
（2017?丽水）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ___________
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据100°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．
解：∵100°＞90°， ∴100°的角是顶角， 故答案为：100°．
（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，
若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 ________________
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；21*cnjy*com
解：∵AB=AC， BE=a，AE=b， ∴AC=AB=a+b， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴AE=CE=b， ∴∠ECA=∠BAC=36°， ∵∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠BCE=∠ACB-∠ECA=36°， ∴∠BEC=180°-∠ABC-∠ECB=72°， ∴CE=BC=b， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b 故答案为：2a+3b．
（2017?徐州）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连
接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP= _________．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
【分析】先根据勾股定理得到AC的长，再根据AQ=AD，得出CP=CQ=2，进而得到BP的长，最后在Rt△ABP中，依据勾股定理即可得到AP的长．
解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC， ∴AC=5， 又∵AQ=AD=3，AD∥CP， ∴CQ=5-3=2，∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ， ∴CP=CQ=2， ∴BP=3-2=1， ∴Rt△ABP中，AP==， 故答案为：．
（2017?淄博）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别
作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=________________
【考点】等边三角形的性质．
【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2．
解：如图，作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴AG=AB=2， 连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC， ∴AB?DE+AC?DF=BC?AG， ∵AB=AC=BC=4， ∴DE+DF=AG=2， 故答案为：2
（2017?抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取
点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为 ___________．（n≥2，且n为整数）
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长即可解决问题．
解：∵等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1， ∴A1D1=D1C2， ∴△A2C2C3的周长=△A1C1C2的周长=， ∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长分别为， ∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周长和为
故答案为．
（2017?常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，
若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ___________
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15， 故答案为：15．
（2017?湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平
分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段 ___________
【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
解：∵DE垂直平分AB， ∴BE=EA， 故答案为：BE=EA．
（2016?遵义）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于
点D，连接BD，则∠ABD=__________________
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由已知条件和等腰三角形的性质可得∠A=∠C=35°，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD=∠A，问题得解．
解：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°， ∴∠A=∠C=35°， ∵AB的垂直平分线DE交AC于点D， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=35°， 故答案为：35．
（2017?内江）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．
证明：如图
∵DE∥AC， ∴∠1=∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∵AD⊥BD， ∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE， ∴△BDE是等腰三角形．
（2017?宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作
PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足． （1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
【考点】等边三角形的性质；二次函数的最值．
【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）设BP=x，则CP=2-x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM= x，PM= x，CN= （2-x），PN= （2-x），根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵S△ABC=S△ABP+S△ACP， ∴AB?CD=AB?PM+AC?PN， ∴PM+PN=CD， 即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2）设BP=x，则CP=2-x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵PM⊥AB，PN⊥AC， ∴BM=x，PM=x，CN=（2-x），PN=（2-x）， ∴四边形AMPN的面积=×（2-x）?x+×[2-（2-x）]? （2-x）=-x2+x+=-（x-1）2+，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．
