第四章 图形的性质 第24节 直角三角形
■考点1.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■考点2.直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△【来源：21·世纪·教育·网】
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.2-1-c-n-j-y
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.（2015?菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°， ∴∠COA=90°-20°=70°， ∴∠BOC=90°+70°=160°． 故选：B．21*cnjy*com
2.（2016·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=12sin30°=12×=6，
故答选A．
3.(2017襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，
CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线
解:连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.由作法可知BC＝CD＝4，
CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6.
故选A
4.（2015?桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．21·cn·jy·com
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．【版权所有：21教育】
◆变式训练
1.（2014?黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2.（2016·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，
AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
3.(2017毕节中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为( )
A．6 B．4 C．7 D．12
4.（2013·潍坊）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）2·1·c·n·j·y
A．海里/小时 B． 30海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．
2.（2015?毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.(2017长沙中考)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2.（2016?南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
3.(2017昆明中考模拟)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，
使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )
A. B. C．4 D．5
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
（2016·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．www.21-cn-jy.com
解：连接BC′，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′=AB′=3，
在Rt△AB′C′中，AC′==3，
∴B′C=3﹣3，
在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，
在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，
∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，
∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
◆变式训练
（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )21*cnjy*com
A． B． C． D．不能确定
1.（2017?荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根
六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（?? ）
A.x2﹣6=（10﹣x）2?? B.x2﹣62=（10﹣x）2??
C.x2+6=（10﹣x）2?? D.x2+62=（10﹣x）2
2.（2017?大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（?? ）
A.30°????B.?15°????C.?45°??????D.?25°
3.（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，
则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A.?60°??????B.?75°????C.?90°?????D.?105°
4.(2017?陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其
中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（?? ）
A.3 B.6 C.3 D.
5.（2017?葫芦岛）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点
C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（?? ）
A.???????B.?4??????C.?4.5???????D.?5
6.(2017株洲中考)如图，在△ABC中，∠B＝____________．
7.(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA ，PD⊥OA于点D，PC＝4，则
PD＝ ．
8.（2017?东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，
有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． www-2-1-cnjy-com
9.(2017常德中考)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．
11.（2016·四川内江）如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别
交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．
12.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为
（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2；
（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．
13.(2016黄石)在△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．
(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：
(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．
图1 图2
一.选择题
1.（2017?大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（?? ） 21教育网
A.?2a?????B.?2a?????C.?3a ?D.? 【出处：21教育名师】
2.（2015?资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面
周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A.?13cm???B.?2cm?? ?C.?cm????D.?2cm
3.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆
心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为（???）
A.????? B.??????C.π??????D.
4.（2017?无锡）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将
△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（?? ）
A.?2?????B.????????C.????????D.?
5.（2017?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从
点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（?? ）
A.?20cm???B.?18cm????C.?2 cm????D.?3 cm
6.（2017?眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
A.1.25尺???B.57.5尺? C.6.25尺????D.56.5尺
7.（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点
E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（?? ）
A.?3????? B.?4?????C.?8???????D.?9
8.（2017?毕节市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为
CD上一点，且CF= CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（?? ）
A.?6????B.?4??????C.?7????????D.?12
9（2017·衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B
落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（? ）
A. ????B.??????C.?????D.
10.（2017?包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，
交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（?? ）
A.?????B.???????C.????????D.?
11.（2017?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC
绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（?? ）
A.? B.（2﹣ ）π????C.π?????D.π 21世纪教育网版权所有
12.（2017?淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的
平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（?? ）
A.??????B.???????C.????????D.?
13.（2017?陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接
AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（?? ）
A.??????B.??? ?C.?? ?D.? 21教育名师原创作品
二、填空题
1.（2017·金华）如图，已知l1//l2 ， 直线l与l1 ， l2相交于C,D两点，把一块含
30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1=130°，则∠2=________°.
2.（2017?白银）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于________．（结果保留π）
3.（2017?青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．
4.（2017?绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= BC，则△ABC的顶角的度数为________．
5.（2017?常德）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是________．
6.（2017?益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=________．
7.（2017?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=________． 三.解答题21·世纪*教育网
8.（2016?台湾）如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请
完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．
9.（2017?广州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2 ．
(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
10.（2017?荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长
11.（2017?包头）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE
∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
第四章 图形的性质 第24节 直角三角形
■考点1.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■考点2.直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■考点3.直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
（2015?菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．
解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°， ∴∠COA=90°-20°=70°， ∴∠BOC=90°+70°=160°． 故选：B．
（2016·广西百色·3分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=12sin30°=12×=6，
故答选A．
(2017襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，
CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】直角三角形斜边上的中线
解:连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.由作法可知BC＝CD＝4，
CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝6.
故选A
（2015?桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A． 30，40，50 B． 7，12，13 C． 5，9，12 D． 3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．21世纪教育网版权所有
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选A．
点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．【来源：21·世纪·教育·网】
◆变式训练
（2014?黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余解答．
解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形， 所以，∠1+∠2=90°． 故选：C．
（2016·四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，
AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=0.5 AB=1．
故选：A．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
(2017毕节中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F
为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为( )
A．6 B．4 C．7 D．12www-2-1-cnjy-com
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝4.5
.∵CF＝CD，
∴DF＝CD＝×4.5＝3.
∵BE∥DC，
∴DF是△ABE的中位线，
∴BE＝2DF＝6.
【答案】A
4.（2013·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与
B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）21*cnjy*com
A．海里/小时 B． 30海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时
答案：D
考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理．
点评;理解方向角的含义，证明出三角形ABC是直角三角形是解决本题的关键．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．【来源：21cnj*y.co*m】
（2015?毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
【解析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．21cnjy.com
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
(2017长沙中考)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为x， 2x，3x，， 依题意得2x+3x+x=180°， 解得x=30°． 故三角30°，60°，90°． 故选B．
（2016?南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意； B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意； C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意； D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：C．
(2017昆明中考模拟)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，
使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( C )
A. B. C．4 D．5
【方法总结】勾股定理与折叠问题中，找到目标三角形，设其中一条边为x，接着表示出另外一条边，用勾股定理求出x.
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
（2016·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A． B．6 C． D．
【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．
解：连接BC′，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′=AB′=3，
在Rt△AB′C′中，AC′==3，
∴B′C=3﹣3，
在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，
在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，
∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，
∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
◆变式训练
（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )
A． B． C． D．不能确定
【考点】勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。
解：如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H．则
BH＝，AH＝＝．
连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC．
∴AB·PD＋BC·PE＋CA·PF＝BC·AH．
∴PD＋PE＋PF＝AH＝．
故选B．
1.（2017?荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根
六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（?? ）
A.x2﹣6=（10﹣x）2?? B.x2﹣62=（10﹣x）2??
C.x2+6=（10﹣x）2?? D.x2+62=（10﹣x）2
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可． 解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ， 即x2+62=（10﹣x）2 ． 故选D．
2.（2017?大庆）如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°，
∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（?? ）
?30°????B.?15°????C.?45°??????D.?25°
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形
【分析】因为E为DC中点，根据直角三角形的性质可得BE=CE，又因为∠BCD=60°，根据等腰三角形性质可求出∠CBE=60°，进而求得∠DBF=30°，再根据△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，可求得∠ABD=45°，即∠ABF=∠DBF+∠ABD=75°，最后根据三角形内角和即可求出∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°. 解：∵∠DBC=90°，E为DC中点， ∴BE=CE= CD， ∵∠BCD=60°， ∴∠CBE=60°，∴∠DBF=30°， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABF=75°， ∴∠AFB=180°﹣90°﹣75°=15°， 故答案为：B．
3.（2017?黄石）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DE= ，
则∠CDE+∠ACD=（?? ）
A.?60°??????B.?75°????C.?90°?????D.?105°??????? 【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理
【分析】根据直角三角形的性质得到BC=2CE= ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义得到∠A=60°，求得∠ACD=∠B=30°，得到∠DCE=60°，于是得到结论． 解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点， ∴BC=2CE= ， ∵AB=2，AC=1， ∴AC2+BC2=12+（ ）2=4=22=AB2 ， ∴∠ACB=90°， ∵tan∠A= = ， ∴∠A=60°， ∴∠ACD=∠B=30°， ∴∠DCE=60°， ∵DE=CE， ∴∠CDE=60°， ∴∠CDE+∠ACD=90°， 故选C．21教育网
4.(2017?陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其
中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（?? ）
A.3 B.6 C.3 D. 【考点】勾股定理
【分析】由已知条件根据勾股定理得出AB=3 ，∠CAB=45°，再根据全等三角形的性质得出∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ，∠CAB′=90°，再由勾股定理求出B′C=3 . ∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3， ∴AB= =3 ，∠CAB=45°， ∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同， ∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3 ， ∴∠CAB′=90°， ∴B′C= =3 ， 故答案为：A．
5.（2017?葫芦岛）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点
C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（?? ）
A.???????B.?4??????C.?4.5???????D.?5 ??????
【考点】勾股定理，矩形的性质
【分析】由折叠的性质可转化FC'=FC,Rt△FC′D中由勾股定理列出方程，求出x. 设FC′=x，则FD=9﹣x， ∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点， ∴AD=BC=6，C′D=3． 在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3， ∴FC′2=FD2+C′D2 ， 即x2=（9﹣x）2+32 ， 解得：x=5． 故答案为：D．
6.(2017株洲中考)如图，在△ABC中，∠B＝25°．
7.(2016西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA ，PD⊥OA于点D，PC＝4，则
PD＝ ．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形.?
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD.? 解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），? ∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB， ∴∠ACP=∠AOB=30°，? ∴在Rt△PCE中，PE=?PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），? ∴PD=PE=2，? ?【版权所有：21教育】
8.（2017?东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，
有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺． 【考点】勾股定理的应用
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3=15（尺）， 因此葛藤长为 =25（尺）． 故答案为：25．
9.(2017常德中考)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段
AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．
解：当点D与点E重合时，CD＝0；
当点D与点A重合时，∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，∠CDB＝∠B，
∴CE＝CD，CD＝CB，
∴CD＝BE＝5，
∴0≤CD≤5.
故答案为：0≤CD≤5
11.（2016·四川内江）如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别
交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．
[考点]勾股定理，对称问题。
[解析]作点C关于y轴的对称点C1(－1，0)，点C关于x轴的对称点C2，连接C1C2交OA于点E，交AB于点D，则此时△CDE的周长最小，且最小值等于C1C2的长．
∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°．
∵AB垂直平分CC2，
∴∠CBC2＝90°，C2的坐标为(7，6)．
在△C1BC2中，C1C2＝＝＝10．
即△CDE周长的最小值是10．
故答案为：10．
12.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为
（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．21·cn·jy·com
（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2；
（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；21*cnjy*com
（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）OA==4，
点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2π．
13.(2016黄石)在△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．
(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：
(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．
图1 图2
解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF＝DE，AF＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠CAD，
∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝ AC
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2 ＋CE2，
所以，DE2＝BD2＋CE2；
(2) DE2＝BD2＋CE2还能成立．
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠CAD，
∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝ CF2＋CE2，
所以，DE2＝BD2＋CE2．
一.选择题
1.（2017?大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（?? ） 21教育网
A.?2a?????B.?2a?????C.?3a ?D.? 【考点】直角三角形斜边上的中线 21教育名师原创作品
【分析】根据勾股定理得到CE= a，根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：∵CD⊥AB，CD=DE=a， ∴CE= a， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点， ∴AB=2CE=2 a， 故选B．
2.（2015?资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面
周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A.?13cm???B.?2cm?? ?C.?cm????D.?2cm
【考点】平面展开-最短路径问题
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B= ==13（Cm）．故选：A
3.（2017?宁波）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝ ．以BC的中点O为圆
心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点，则 的长为（???）
A.????? B.??????C.π??????D.
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，正方形的判定，切线的性质，弧长的计算
【分析】根据O为BC中点.BC=2.求出OA=OB=OC=；再根据AC、AB是⊙O的切线，得出四边形ODAE为正方形；由勾股定理求出r的值，再根据弧长公式得出弧DE的长度. 解： ∵O为BC中点.BC=2. ∴OA=OB=OC=. 又∵AC、AB是⊙O的切线， ∴OD=OE=r.OE⊥AC,OD⊥AB, ∵∠A＝90°. ∴四边形ODAE为正方形. ∴∠DOE=90°. ∴（2r）2+（2r）2=. ∴r=1. ∴弧DE===. 故答案为B.
4.（2017?无锡）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将
△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（?? ）
A.?2?????B.????????C.????????D.?
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，翻折变换（折叠问题）
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题． 解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3， ∴BC= =5， ∵CD=DB， ∴AD=DC=DB= ， ∵ ?BC?AH= ?AB?AC， ∴AH= ， ∵AE=AB，DE=DB=DC， ∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形， ∵ ?AD?BO= ?BD?AH， ∴OB= ， ∴BE=2OB= ， 在Rt△BCE中，EC= = = ， 故选D． www.21-cn-jy.com
5.（2017?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从
点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（?? ）
A.?20cm???B.?18cm????C.?2 cm????D.?3 cm 【考点】二次函数的最值，勾股定理
【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t，得到PQ= = = ，于是得到结论． 解：∵AP=CQ=t， ∴CP=6﹣t， ∴PQ= = = ， ∵0≤t≤2， ∴当t=2时，PQ的值最小， ∴线段PQ的最小值是2 ， 故选C．
6.（2017?眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
A.1.25尺???B.57.5尺? C.6.25尺????D.56.5尺
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B．
7.（2017?河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点
E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（?? ）
A.?3????? B.?4?????C.?8???????D.?9
【考点】等边三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论． 解：如图，
设BD=x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB， ∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°， ∴BF=2x， ∴CF=12﹣2x， ∴CE=2CF=24﹣4x， ∴AE=12﹣CE=4x﹣12， ∴AD=2AE=8x﹣24， ∵AD+BD=AB， ∴8x﹣24+x=12， ∴x=4， ∴AD=8x﹣24=32﹣24=8． 故选C．
8.（2017?毕节市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为
CD上一点，且CF= CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（?? ）
A.?6????B.?4??????C.?7????????D.?12
【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理
【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论． 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点， ∴CD= AB=4.5． ∵CF= CD， ∴DF= CD= ×4.5=3． ∵BE∥DC， ∴DF是△ABE的中位线， ∴BE=2DF=6． 故选A．
9（2017·衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B
落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（? ）
A. ????B.??????C.?????D.
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【分析】根据折叠前后的图形是全等形，得出EC=BC=6，AE=AB=4，∠BCA=∠FCA，再根据AD∥BC，从而得出∠FAC=∠BCA，∠FAC=∠FCA, AF=CF，DF=FE．在在Rt△CDF中，根据勾股定理得出DF的长度即可。 解：由题意得： ?EC=BC=6，AE=AB=4，∠BCA=∠FCA， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC,AB=CD, ∴∠FAC=∠BCA,
∴∠FAC=∠FCA, ?∴AF=CF，
∴AD-AF=CE-CF，
即DF=FE． 设DF=FE=x，CF=6-x，
在Rt△CDF中，．
即，
解得：x=, 即DF=. 故选B.
10.（2017?包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，
交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（?? ）
A.?????B.???????C.????????D.?
【考点】角平分线的性质，勾股定理
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴ = ， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴ = ， ∵FC=FG， ∴ = ， 解得：FC= ， 即CE的长为 ． 故选：A．
11.（2017?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC
绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（?? ）
A.? B.（2﹣ ）π????C.π?????D.π 【考点】含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，旋转的性质
【分析】根据题意在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，得到AC=2 ，AB=4，再根据旋转的性质得到△ABC的面积等于△ADE的面积，从而计算出阴影部分的面积S=S扇形BAD+S△ABC﹣S扇形CAE﹣S△ADE，此题计算时需认真仔细. 解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2， ∴AC=2 ，AB=4， ∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△ADE，
∴△ABC的面积等于△ADE的面积，∠CAB=∠DAE，AE=AC=2 ，AD=AB=4， ∴∠CAE=∠DAB=90°， ∴阴影部分的面积S=S扇形BAD+S△ABC﹣S扇形CAE﹣S△ADE = + 2×2 ﹣ ﹣ 2×2 =π． 故答案为：D．
12.（2017?淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的
平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（?? ）
A.??????B.???????C.????????D.? 【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质
【分析】根据三角形角平分线的定理得出ED=EH=EG，再根据正方形的判定和性质得出全等三角形△DAE≌△HAE，同理△CGE≌△CHE，再根据勾股定理得出AD=4，再由△ADF∽△ABC得出EF的长. 解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H， ∵EF∥BC、∠ABC=90°， ∴FD⊥AB， ∵EG⊥BC， ∴四边形BDEG是矩形， ∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB， ∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE， ∴四边形BDEG是正方形， 在△DAE和△HAE中， ∵ ， ∴△DAE≌△HAE（SAS）， ∴AD=AH， 同理△CGE≌△CHE， ∴CG=CH， 设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x， ∵AC= = =10， ∴6﹣x+8﹣x=10， 解得：x=2， ∴BD=DE=2，AD=4， ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴ = ，即 = ， 解得：DF= ， 则EF=DF﹣DE= ﹣2= ， 故答案为：C．
13.（2017?陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接
AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（?? ）
A.??????B.??? ?C.?? ?D.? 【考点】勾股定理，矩形的性质
【分析】连接BE．由矩形的性质得出AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得出AE=；再由S△ABE= S矩形ABCD=3= ?AE?BF求出BF的值.
如图，连接BE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°， 在Rt△ADE中，AE= = = ， ∵S△ABE= S矩形ABCD=3= ?AE?BF， ∴BF= ． 故答案为：B．
二、填空题
（2017·金华）如图，已知l1//l2 ， 直线l与l1 ， l2相交于C,D两点，把一块含
30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1=130°，则∠2=________°. 【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形 【出处：21教育名师】
【分析】根据对顶角的性质求出∠ACD的度数，再由平行线的性质得出∠BDC的度数，从而求出∠2的度数。 解：∵∠1=130°， ∴∠ACD=130°， ∵//, ∴∠ACD+∠BDC=180°, ∴∠BDC=50°, ∵∠BDA=30°, ∴∠2=50°-30°=20°.
（2017?白银）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC
的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于________．（结果保留π）
【考点】含30度角的直角三角形，弧长的计算
【分析】先根据ACB=90°，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30°，进而得出∠A=60°，再根据AC=1，即可得到弧CD的长． 解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2， ∴∠ABC=30°， ∴∠A=60°， 又∵AC=1， ∴弧CD的长为 = ， 故答案为： ． 21·世纪*教育网
（2017?青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中
点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB=116°，根据直角三角形的性质得到DE=BE= AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 解：∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上， ∵∠BAD=58°， ∴∠DEB=116°， ∵DE=BE= AC， ∴∠EBD=∠EDB=32°， 故答案为：32．
（2017?绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= BC，则△ABC
的顶角的度数为________． 【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD= BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD= BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD= ×180°=90°， ∴顶角∠BAC=90°， 综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°． 故答案为：30°或150°或90°．
（2017?常德）如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的
一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是________．
【考点】含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线
【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 解：当点D与点E重合时，CD=0， 当点D与点A重合时， ∵∠A=90°，∠B=60°， ∴∠E=30°， ∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B， ∴CE=CD，CD=CB， ∴CD= BE=5， ∴0≤CD≤5， 故答案为：0≤CD≤5．
（2017?益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则
CD=________．
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13， ∴AC2+BC2=52+122=132=AB2 ， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， ∵CD是AB边上的中线， ∴CD=6.5； 故答案为：6.5．
（2017?淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点
F是AD的中点．若AB=8，则EF=________． 【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理
【分析】由中位线定理可知要求EF，须求CD，CD是斜边上的中线，由直角三角形的性质定理可知CD=ABAB已知,即可求出CD. 在Rt△ABC中，∵AD=BD=4， ∴CD= AB=4， ∵AF=DF，AE=EC， ∴EF= CD=2． 故答案为2 三.解答题
（2016?台湾）如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请
完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．
【考点】含30度角的直角三角形 【分析】求出∠B、∠C、∠DAC的度数，根据等腰三角形的判定方法以及30度直角三角形的性质即可解决问题．本题考查等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
解：∵∠4=60°，∠1=30°， 根据三角形外角定理可得：∠ABD=∠4﹣∠1=60°﹣30°=30°=∠1． ∴BD=AD． ∵∠ABD=30°， 又∵AB=AC， ∴∠C=∠ABD=30°， ∴∠2=180°﹣∠4﹣∠C=180°﹣60°﹣30°=90°， ∵∠C=30°， ∴CD=2AD=2BD．
（2017?广州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2 ．
(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
【考点】含30度角的直角三角形，作图—基本作图 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE= ，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
（1）解：如图所示，DE即为所求；
（2）解：由题可得，AE= AC= ，∠A=30°， ∴Rt△ADE中，DE= AD， 设DE=x，则AD=2x， ∴Rt△ADE中，x2+（ ）2=（2x）2 ， 解得x=1， ∴△ADE的周长a=1+2+ =3+ ， ∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1， ∴当a=3+ 时，T=3（3+ ）+1=10+3 ．
（2017?荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长
【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．
（1）证明：∵点E是CD的中点， ∴DE=CE． ∵AB∥CF， ∴∠BAF=∠AFC． 在△ADE与△FCE中， ∵ ， ∴△ADE≌△FCE（AAS） （2）解：由（1）得，CD=2DE， ∵DE=2， ∴CD=4． ∵点D为AB的中点，∠ACB=90°， ∴AB=2CD=8，AD=CD= AB． ∵AB∥CF， ∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°， ∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°， ∴BC= AB= ×8=4
（2017?包头）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE
∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形，菱形的判定与性质 【分析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题；
（1）解：∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD= ∠CAB=30°， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°， ∴AD=2CD=6． （2）解：∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠EAD=∠ADF=∠DAF， ∴AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， 在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°， ∴DE= =2 ， ∴四边形AEDF的周长为8 ．
