第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形
■考点1. 锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
解：∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．
（2016?天津）sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
解：sin60°=．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．
◆变式训练
1.(2017云南中考)sin60°的值为( )
A. B. C. D.
2.(2017哈尔滨中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2016?呼伦贝尔）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，
∴BD=AD?tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，
∴AC===13，
∴sinC==．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
◆变式训练
（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
【考点】 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．
解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．
即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
2.（2017?临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
【考点】 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．
解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，
∴ED=AEtan30°=10m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，
∴AB=30m，
则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30﹣10=20m．
3.（2017?天水）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC?tan60°=x，根据AC不变列出方程x=20+x，解方程即可．
解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC=BC=x海里，
在Rt△APC中，∵tan∠APC=，
∴AC=PC?tan60°=x，
∴x=20+x，
解得x=10+10，
则PC=（10+10）海里．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10+10）海里．
◆变式训练
1.（2016?黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）
2.（2017?乐山）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．
3.（2017?鞍山）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）
1.（2017.湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2017.云南）sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2017.益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．h?cosα
4.（2017.温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，
则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
5.（2017.烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
6.（2017.玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．15海里 B．30海里 C．45海里 D．30海里
7.（2017.大庆）计算：2sin60°= ．
8.（2017.无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
9.（2017.德阳）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
10.（2017. 阜新）如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）
11.（2017. 苏州）如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则= （结果保留根号）．
12.（2017. 湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
13.（2017.舟山）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）
14.（2017. 海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
15.（2017. 荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
16.（2017. 长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
一．选择题
1.（2017.阿坝）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
2.（2017.天津）cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
3.（2017.金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
4.（2017. 重庆）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
5.（2017.深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
6.（2017. 百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（+1） B．20（﹣1） C．200 D．300
7.（2017. 宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
8.（2017. 聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
9.（2017.滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
10.（2017. 怀化）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
11.（2017. 杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
二．填空题
1（2017. 烟台）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin= ．
2.（2017. 铜仁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α= ．
3.（2017. 宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
4.（2017. 山西）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）
5.（2017. 葫芦岛）一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里（结果保留根号）．
6.（2017. 舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C= ，…按此规律，写出tan∠BAnC= （用含n的代数式表示）．
三．解答题
7.（2017. 广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．
8.（2017. 威海）图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：
如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．
（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为 cm；
（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）
（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．
9.（2017. 新疆）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）
10（2017.成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
11.（2017. 西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？
12.（2017. 桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
13.（2017. 黔西南）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1= ，sin2A2+cos2A2= ，sin2A3+cos2A3= ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．
第四章 图形的性质 第25节 解直角三角形
■考点1. 锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■考点2：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■考点3：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
解：∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．
（2016?天津）sin60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
解：sin60°=．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．
◆变式训练
1.(2017云南中考)sin60°的值为( )
A. B. C. D.
【解析】根据锐角三角函数特殊角可得答案．
【答案】B
2.(2017哈尔滨中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2016?呼伦贝尔）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，
∴BD=AD?tan∠BAD=12×=9，
∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，
∴AC===13，
∴sinC==．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
◆变式训练
（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】解直角三角形．
【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；
（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，
∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，
∴CE==8，
∴BC=BE﹣CE=6﹣8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE====，
解得，DE=，
∴AD=AE﹣DE=10﹣=，
即AD的长是．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
【考点】 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．
解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．
即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
2.（2017?临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
【考点】 解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．
解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°，
∴ED=AEtan30°=10m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m，
∴AB=30m，
则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30﹣10=20m．
3.（2017?天水）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．
【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC?tan60°=x，根据AC不变列出方程x=20+x，解方程即可．
解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC=BC=x海里，
在Rt△APC中，∵tan∠APC=，
∴AC=PC?tan60°=x，
∴x=20+x，
解得x=10+10，
则PC=（10+10）海里．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10+10）海里．
◆变式训练
1.（2016?黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．
解：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=，
∴BH=800?sin30°=400，
∴EF=BH=400m；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，
∴CE=200?sin45°=100≈141.4，
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．
2.（2017?乐山）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．
解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，BC=6m，
∴（m）；
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴（m）；
在Rt△DEA中，∠EAD=60°，，
答：树DE的高为米．
3.（2017?鞍山）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB=AB=65m，AD=BD=65m．再解Rt△ADC，得出CD=AD=65m，根据BC=BD+CD即可求解．
解：如图，过A作AD⊥BC于D．
根据题意，得∠ABC=40°+20°=60°，AB=130m．
在Rt△ADB中，∵∠DAB=30°，
∴DB=AB=×130=65m，AD=BD=65m．
∵∠BAC=180°﹣65°﹣40°=75°，
∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣75°=45°．
在Rt△ADC中，∵tanC==1，
∴CD=AD=65m，
∴BC=BD+CD=65+65≈177.5m．
故观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m．
1.（2017.湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】 锐角三角函数的定义．
【分析】根据余弦的定义解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，
∴cosB==，
故选：A．
2.（2017.云南）sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
解：sin60°=．
故选B．
3.（2017.益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A． B． C． D．h?cosα
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．
解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴BC==，
故选：B．
4.（2017.温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，
则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα==，
∴AB=12，
∴BC===5，
∴小车上升的高度是5m．
故选A．
5.（2017.烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米，≈1.414）（ ）
A．34.14米 B．34.1米 C．35.7米 D．35.74米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，解直角三角形即可得到结论．
解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，
∵∠BDB'=∠B'DC=22.5°，
∴EB'=B'C，
∵∠BEB′=45°，
∴EB′=B′F=10√2，
∴DF=20+10√2，
∴DC=DF+FC=20+10√2+1.6≈35.74=35.7，
故选C，
6.（2017.玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．15海里 B．30海里 C．45海里 D．30海里
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】作CD⊥AB，垂足为D．构建直角三角形后，根据30°的角对的直角边是斜边的一半，求出BP．
解：作BD⊥AP，垂足为D
．
根据题意，得∠BAD=30°，BD=15海里，
∴∠PBD=60°，
则∠DPB=30°，BP=15×2=30（海里），
故选：B．
7.（2017.大庆）计算：2sin60°= ．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
解：2sin60°=2×=．
8.（2017.无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=，
∴O′E==，
∴tanBO′E=，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
9.（2017.德阳）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．
解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，
∴AE=6×sin45°=6（m），
∵背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），
∴tan∠C==，
∴∠C=30°，
则DC=2DF=2AE=12m，
故答案为：12．
10.（2017. 阜新）如图，从楼AB的A处测得对面楼CD的顶部C的仰角为37°，底部D的俯角为45°，两楼的水平距离BD为24m，那么楼CD的高度约为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin37°≈0.6；cos37°≈0.8；tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在Rt△ACE中，根据正切函数求得EC=AE?tan∠CAE，在Rt△AED中，求得ED=AE，再根据CD=DE+CE，代入数据计算即可．
解：在Rt△ACE中，
∵AE=24，∠CAE=37°，
∴CE=AE?tan37°≈24×0.75=18，
在Rt△AED中，
∵∠EAD=45°，
∴AE=ED=24，
∴DC=CE+DE=18+24≈42．
故楼BC的高度大约为42m．
11.（2017. 苏州）如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC=4km．游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则= （结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中利用三角函数求得CD的长，然后在Rt△BCD中求得BC的长，然后根据=求解．
解：作CD⊥AB于点B．
∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
∴CD=AC?sin∠CAD=4×=2（km），
∵Rt△BCD中，∠CBD=90°，
∴BC=CD=2（km），
∴===．
故答案是：．
12.（2017. 湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
【考点】解直角三角形．
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；
（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．
解：（1）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE=AE=×80=40（米）；
（2）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE=≈=40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）．
13.（2017.舟山）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK=80°），身体前倾成125°（∠EFG=125°），脚与洗漱台距离GC=15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．
（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？
（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？
（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；
（2）求出OH、PH的值即可判断；
解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，
∴EF=66，
∵∠FGK=80°，
∴FN=100?sin80°≈98，
∵∠EFG=125°，
∴∠EFM=180°﹣125°﹣10°=45°，
∴FM=66?cos45°=33≈46.53，
∴MN=FN+FM≈144.5，
∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB=48，O为AB中点，
∴AO=BO=24，
∵EM=66?sin45°≈46.53，
∴PH≈46.53，
∵GN=100?cos80°≈17，CG=15，
∴OH=24+15+17=56，OP=OH﹣PH=56﹣46.53=9.47≈9.5，
∴他应向前9.5cm．
14.（2017. 海南）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】设BC=x米，用x表示出AB的长，利用坡度的定义得到BD=BE，进而列出x的方程，求出x的值即可．
解：设BC=x米，
在Rt△ABC中，
∠CAB=180°﹣∠EAC=50°，
AB=≈==x，
在Rt△EBD中，
∵i=DB：EB=1：1，
∴BD=BE，
∴CD+BC=AE+AB，
即2+x=4+x，
解得x=12，
即BC=12，
答：水坝原来的高度为12米．
15.（2017. 荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列出方程即可解决问题．
解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME=DC=3．CM=ED，
在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE=x，
在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°，
∴DF=3，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠MAC=∠ACM=45°，
∴MA=MC，
∵ED=CM，
∴AM=ED，
∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，
∴x﹣3=x+3，
∴x=6+3，
∴AE=（6+3）=6+9，
∴AB=AE﹣BE=9+6﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
16.（2017. 长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；
解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．
（2）作PH⊥AB于H．
∵∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=50，
在Rt△PBH中，PH=PB?sin60°=50×=25，
∵25＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
一．选择题
1.（2017. 阿坝）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
解：sin∠A=，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
2.（2017.天津）cos60°的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】 特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
解：cos60°=，
故选：D．
3.（2017.金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；
故选：D．
4.（2017. 重庆）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．
解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图
，
设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2=1952，
解得x≈75m，
DE=75m，CE=2.4x=180m，
EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．
∵AF∥DG，
∴∠1=∠ADG=20°，
tan∠1=tan∠ADG==0.364．
AF=EB=126m，
tan∠1==0.364，
DF=0.364AF=0.364×126=45.9，
AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，
故选：A．
5.（2017.深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：在Rt△CDE中，
∵CD=20m，DE=10m，
∴sin∠DCE==，
∴∠DCE=30°．
∵∠ACB=60°，DF∥AE，
∴∠BGF=60°
∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．
∵∠BDF=30°，
∴∠DBF=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC===20m，
∴AB=BC?sin60°=20×=30m．
故选B．
6.（2017. 百色）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒．
A．20（+1） B．20（﹣1） C．200 D．300
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得AD的长，在Rt△BCD中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得，进而求得速度．
解：作BD⊥AC于点D．
∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
∴AD=BD?tan∠ABD=200（米），
同理，CD=BD=200（米）．
则AC=200+200（米）．
则平均速度是=20（+1）米/秒．
故选A．
7.（2017. 宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，
∴sinα=cosα=，故A正确，
tanC==2，故B正确，
tanα=1，故D正确，
∵sinβ==，cosβ=，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
故选C．
8.（2017. 聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
解：∵Rt△ABC中，cosA=，
∴sinA==，
故选B
9.（2017.滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【考点】解直角三角形．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC==AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+）AC，
∴tan∠DAC===2+．
故选：A．
10.（2017. 怀化）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．
【分析】作AB⊥x轴于B，如图，先利用勾股定理计算出OA=5，然后在Rt△AOB中利用正弦的定义求解．
解：作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB=3，AB=4，
∴OA==5，
在Rt△AOB中，sinα==．
故选C．
11.（2017. 杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．
解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，
∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴==y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E为AC中点，
∴CM=QM=CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2=9，
故选B．
二．填空题
（2017. 烟台）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin= ．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．
解：∵sinA==，
∴∠A=60°，
∴sin=sin30°=．
故答案为：．
（2017. 铜仁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α= ．
【考点】解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得tan2α的值，本题得以解决．
解：连接BE，
∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A=α，
∴ED是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠EBA=∠A=α，
∴∠BEC=2α，
∵tanα=，设DE=x，
∴AD=3a，AE=，
∴AB=6a，
∴BC=，AC=
∴CE=，
∴tan2α==，
故答案为：．
（2017. 宁波）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】如图在Rt△ABC中，AC=AB?sin34°=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．
解：如图在Rt△ABC中，
AC=AB?sin34°=500×0.56≈280m，
∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．
故答案为280
（2017. 山西）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD=CE=1.5，由此即可解决问题．
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD=CE=1.5m，
在Rt△ACD中，CD=EB=10m，∠ACD=54°，
∵tan∠ACE=，
∴AD=CD?tan∠ACD≈10×1.38=13.8m．
∴AB=AD+BD=13.8+1.5=15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为15.3
（2017. 葫芦岛）一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】根据题意得：PC=4海里，∠PBC=45°，∠PAC=30°，在直角三角形APC中，由勾股定理得出AC=PC=4（海里），在直角三角形BPC中，得出BC=PC=4海里，即可得出答案．
解：根据题意得：PC=4海里，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PAC=90°﹣60°=30°，
在直角三角形APC中，∵∠PAC=30°，∠C=90°，
∴AC=PC=4（海里），
在直角三角形BPC中，∵∠PBC=45°，∠C=90°，
∴BC=PC=4海里，
∴AB=AC=BC=（4﹣4）海里；
故答案为：（4﹣4）．
（2017. 舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C= ，…按此规律，写出tan∠BAnC= （用含n的代数式表示）．
【考点】解直角三角形；KQ：勾股定理；正方形的性质．
【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答．
解：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4==，A4C=，
△BA4C的面积=4﹣2﹣=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12﹣1+1，
3=22﹣2+1，
7=32﹣3+1，
∴tan∠BAnC=，
故答案为：；．
三．解答题
（2017. 广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据特殊角的三角函数值，即可求得生命所在点C的深度．
解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如右图所示，
由已知可得，
AB=8米，∠CBD=45°，∠CAD=30°，
∴AD=，BD=，
∴AB=AD﹣BD=，
即8=，
解得，CD=米，
即生命所在点C的深度是米．
（2017. 威海）图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：
如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．
（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为 83.2 cm；
（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）
（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．
【考点】 解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）作EP⊥BC、DQ⊥EP，知CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，由∠1+∠θ=90°且∠1=∠2知∠3=∠θ=37°50′，根据EQ=DEsin∠3和AB=EP=EQ+PQ可得答案；
（2）延长ED、BC交于点K，结合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，从而由CK=、KF=可得答案．
解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，
则CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，
∴∠3=∠θ=37°50′，
则EQ=DEsin∠3=120×sin37°50′，
∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2，
故答案为：83.2；
（2）如图，延长ED、BC交于点K，
由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，
在Rt△CDK中，CK==，
在Rt△KGF中，KF===，
则CF=KF﹣KC=﹣==．
（2017. 新疆）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．
解：
如图，过A作AF⊥CD于点F，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，
∵=tan∠DBC，
∴CD=BC?tan60°=30m，
∴乙建筑物的高度为30m；
在Rt△AFD中，∠DAF=45°，
∴DF=AF=BC=30m，
∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，
∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．
（2017.成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
【考点】 解直角三角形的应用﹣方向角问题； 勾股定理的应用．
【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长．
解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，AD=AB?cos∠BAD=4cos60°=4×=2（千米），
BD=AB?sin∠BAD=4×=2（千米），
∵△BCD中，∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BD=2（千米），
∴BC=BD=2（千米）．
答：B，C两地的距离是2千米．
（2017. 西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？
【考点】 解直角三角形的应用．
【分析】如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°===，由此求得DH的长度．
解：过点D作DH⊥AC于点H．
∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°，
∴∠BDA=∠DAC=30°，
∴AB=DB=200．
在直角△BHD中，sin60°===，
∴DH=100≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
（2017. 桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
【考点】 解直角三角形的应用．
【分析】在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长．
解：
∵BN∥ED，
∴∠NBD=∠BDE=37°，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴BE=DE?tan∠BDE≈18.75（cm），
如图，过C作AE的垂线，垂足为F，
∵∠FCA=∠CAM=45°，
∴AF=FC=25cm，
∵CD∥AE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
∵AE=AB+EB=35.75（cm），
∴CD=EF=AE﹣AF≈10.8（cm），
答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．
（2017. 黔西南）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin2A1+cos2A1= 1 ，sin2A2+cos2A2= 1 ，sin2A3+cos2A3= 1 ；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A= 1 ；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=，求cosA．
【考点】解直角三角形．
【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；
（2）由（1）中的结论可猜想sin2A+cos2A=1；
（3）由sinA=、cosA=且a2+b2=c2知sin2A+cos2A=（）2+（）2===1；
（4）根据直角三角形中sin2A+cos2A=1知（）2+cosA2=1，据此可得答案．
解：（1）sin2A1+cos2A1=（）2+（）2=+=1，
sin2A2+cos2A2=（）2+（）2=+=1，
sin2A3+cos2A3=（）2+（）2=+=1，
故答案为：1、1、1；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin2A+cos2A=1，
故答案为：1；
（3）在图2中，∵sinA=，cosA=，且a2+b2=c2，
则sin2A+cos2A=（）2+（）2=+===1，
即sin2A+cos2A=1；
（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∵sin2A+cos2A=1，
∴（）2+cosA2=1，
解得：cosA=或cosA=﹣（舍），
∴cosA=．
