第四章 图形的性质 第30节 与圆有关的计算■考点1.正多边形与圆
(1)正多边形：各边 ，各角 的多边形叫做正多边形．
(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．21教育网
(3)正n边形酌内角和= ；正n边形的每个内角度数= ；正n边形外角和= ；正n边形的每个外角度数= ．21cnjy.com
边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2 a:r:R=2: ：2
■考点2.与圆有关的计算
1．弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）21·cn·jy·com
2．有关阴影部分面积的求法
(1)扇形的面积公式： S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．
(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．
3．圆柱的侧面展开图是 ，圆柱侧面积= ，圆柱全面积=
■考点1.正多边形与圆
◇典例：
（2015?成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）21·世纪*教育网
A．2， B．2，π C．， D．2，
【考点】 正多边形和圆； 弧长的计算．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．2-1-c-n-j-y
解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．21*cnjy*com
◆变式训练
（2015?杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ）
A． B． C． D．
■考点2.与圆有关的计算
◇典例
（2017?齐齐哈尔）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【考点】圆锥的计算；几何体的展开图．
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．2·1·c·n·j·y
解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度． 由题意得S底面面积=πr2， l底面周长=2πr， S扇形=3S底面面积=3πr2， l扇形弧长=l底面周长=2πr． 由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R， 故R=3r． 由l扇形弧长=得：2πr= 【来源：21·世纪·教育·网】
解得n=120°． 故选A．
◆变式训练
（2017?湘潭）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（ ）
A．4π-4 B．2π-4 C．4π D．2π
一.选择题
（2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
（2017?咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（ ）
A．π B． C．2π D．3π
（2017?衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是
⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．10π C．24+4π D．24+5π
（2017?杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线
AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（ ）21世纪教育网版权所有
A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
（2017?达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作
三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题
（2017?毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为 cm2．
（2017?个旧市二模）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为
1cm，则这个圆锥的底面半径为 ．
（2017?无锡）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
（2017?玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相
交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
三．解答题
（2015?宁德）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组
成的几何体，如图（2）所示．
（1）请画出这个几何体的俯视图；
（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．
一．选择题
（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB
中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）www.21-cn-jy.com
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
(2016·四川资阳)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，
BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π
（2017?烟台）如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，
则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
（2017?郓城县一模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径
为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．π﹣ D．π﹣
（2017?遵义）已知圆锥的底面面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积（ ）
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
（2017?莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和
AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四边形CDEF）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中结论正确的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
（2016·江苏泰州）如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，
∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为 ．
（2017?凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，
则∠POQ= ．
（2017?安徽）如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分
别交于D、E两点，则劣弧的长为 ．
（2017?黄冈）已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图
的面积是 cm2．
（2017?宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，
则EG的长是 ．
三．解答题
（2017?贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，
垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
（2017?隆回县模拟）已知圆锥的底面半径为r=20cm，高h=cm，现在有一只蚂
蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
（2016?张家界）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、
B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1是△ABC绕点 逆时针旋转 度得到的，B1的坐标是 ；
（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
（2016?新疆）如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、
F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．
（1）求⊙O的半径OA的长；
（2）计算阴影部分的面积．
第四章 图形的性质 第30节 与圆有关的计算/
■考点1.正多边形与圆
(1)正多边形：各边 相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形．
(2)圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
(3)正n边形酌内角和= 180°(n-2) ；正n边形的每个内角度数= / ；正n边形外角和= 360°；正n边形的每个外角度数= /．
边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.
/ //
特殊正多边形中各中心角、长度比：
/ / /
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2:1:2 a:r:R=2: ：2
■考点2.与圆有关的计算
1．弧长公式：/（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及f，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）
2．有关阴影部分面积的求法
(1)扇形的面积公式： S=/（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．
(2)求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．
3．圆柱的侧面展开图是 矩形 ，圆柱侧面积= 底面周长×高 ，圆柱全面积= 侧面积+2×底面积 ．
/
■考点1.正多边形与圆
◇典例：
（2015?成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和/的长分别为（ ）
/
A．2，/ B．2/，π C．/，/ D．2/，/
【考点】 正多边形和圆； 弧长的计算．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2/，
/=/=/π，
故选D．
/
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
◆变式训练
（2015?杭州）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为/的线段的概率为（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】 正多边形和圆； 勾股定理； 概率公式．
【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．
解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN=/，
∴AE=/，同理可得：AC=/，
故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为/的线段有6种情况，
则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为/的线段的概率为：/．
故选：B．
/
■考点2.与圆有关的计算
◇典例
（2017?齐齐哈尔）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【考点】圆锥的计算；几何体的展开图．
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度． 由题意得S底面面积=πr2， l底面周长=2πr， S扇形=3S底面面积=3πr2， l扇形弧长=l底面周长=2πr． 由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R， 故R=3r． 由l扇形弧长=得：2πr= /
解得n=120°． 故选A．
◆变式训练
（2017?湘潭）如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（ ）
/
A．4π-4 B．2π-4 C．4π D．2π
【考点】扇形面积的计算；垂径定理．
【分析】首先证明S△AOE=S△OEB，可得S阴=S扇形OBC，由此即可解决问题．
解：∵CD是直径，CD⊥AB，∠AOB=90° ∴AE=EB，∠AOE=∠BOC=45°， ∴S△AOE=S△OEB， ∴S阴=S扇形OBC= /=2π， 故选D．
/
（2017?株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形
是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．
解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，
故选A．
（2017?咸宁）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、
OD，若∠BOD=∠BCD，则/的长为（ ）
/
A．π B．/ C．2π D．3π
【考点】弧长的计算； 圆内接四边形的性质．
【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴/的长=/=2π；
故选：C．
（2017?衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是
⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（ ）
/
A．/π B．10π C．24+4π D．24+5π
【考点】扇形面积的计算；圆周角定理．
【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．
解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG=/=/=8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴/=/，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=/π×52=/π．
故选A．
/
（2017?杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线
AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（ ）
/
A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
【考点】圆锥的计算； 点、线、面、体．
【分析】根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．
解：∵l1=2π×BC=2π，
l2=2π×AB=4π，
∴l1：l2=1：2，
∵S1=/×2π×/=/π，
S2=/×4π×/=2/π，
∴S1：S2=1：2，
故选A．
（2017?达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作
三角形，则该三角形的面积是（ ）
A．/ B．/ C．/ D．/
【考点】正多边形和圆．
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
解：如图1，
/
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图2，
/
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=/；
如图3，
/
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°=/，
则该三角形的三边分别为：1，/，/，
∵（1）2+（/）2=（/）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：/×1×/=/．
故选：A．
（2017?毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为 cm2．
【考点】正多边形和圆．
【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．
解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD=/=60°；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OE=CE?tan60°=/×/=4/cm，
∴S△OCD=/CD?OE=/×8×4/=16/cm2．
∴S正六边形=6S△OCD=6×16/=96/cm2．
/
（2017?个旧市二模）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为
1cm，则这个圆锥的底面半径为 ．
/
【考点】弧长的计算；KQ：勾股定理．
【分析】利用弧长公式计算．
解：由图可知，OA=OB=/，
而AB=4，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠O=90°，
OB=/=2/；
则弧AB的长为=/=/π，
设底面半径为r，
则2πr=/π，
r=/．
这个圆锥的底面半径为/cm．
故答案为：/
（2017?无锡）若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=/×6π×5=15πcm2．
（2017?玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相
交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是 ．
/
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据题意可知形成的四个小的直角三角形全等，并且四个都是等腰直角三角形，从而可以求得四边形ABCD一边的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．
解：由题意可得，
AD=2+/×2=2+2/，
∴四边形ABCD的周长是：4×（2+2/）=8+8/，
故答案为：8+8/．
（2015?宁德）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组
成的几何体，如图（2）所示．
（1）请画出这个几何体的俯视图；
（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．
/
【考点】圆锥的计算；MQ：圆柱的计算；U4：作图﹣三视图．
【分析】（1）根据图2，画出俯视图即可；
（2）连接EO1，如图所示，由EO1﹣OO1求出EO的长，由BC=AD，O为AD中点，求出OA的长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义求出tan∠EAO的值，即可确定出∠EAO的度数．
解：（1）画出俯视图，如图所示：
/
（2）连接EO1，如图所示：
/
∵EO1=6米，OO1=4米，
∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，
∵AD=BC=8米，
∴OA=OD=4米，
在Rt△AOE中，tan∠EAO=/=/=/，
则∠EAO≈26.6°．
/
一．选择题
（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB
中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
/
A．10cm B．15cm C．10/cm D．20/cm
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=/OA=30cm，
∴弧CD的长=/=20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥的高=/=20/．
故选D．
/
(2016·四川资阳)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2/，以点B为圆心，
BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
/
A．2/﹣/π B．4/﹣/π C．2/﹣/π D．/π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=/AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC的长，根据S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出结论．
解：∵D为AB的中点，
∴BC=BD=/AB，
∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=2/，
∴BC=AC?tan30°=2/?/=2，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=/×2/×2﹣/=2/﹣/π．
故选A．
（2017?烟台）如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，
则/的长为（ ）
/
A．/π B．/π C．/π D．/π
【考点】弧长的计算； 平行四边形的性质； 圆周角定理．
【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．
解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴/的长=/=/；
故选：B．
/
（2017?郓城县一模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径
为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
/
A．/﹣/ B．/﹣/ C．π﹣/ D．π﹣/
【考点】扇形面积的计算；L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为/，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
/，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=/﹣/×2×/=/﹣/．
故选：A．
/
（2017?遵义）已知圆锥的底面面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18πcm2 B．27πcm2 C．18cm2 D．27cm2
【考点】圆锥的计算．
【分析】首先根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，然后代入公式求得圆锥的侧面积即可．
解：∵圆锥的底面积为9πcm2，
∴圆锥的底面半径为3，
∵母线长为6cm，
∴侧面积为3×6π=18πcm2，
故选A；
（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积（ ）
/
A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的/，求出圆内接正方形的边长，即可求解．
解：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD=/=2/，
圆内接正方形的边长为2/，所以阴影部分的面积=/[4π﹣（2/）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
/
（2017?莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和
AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣/；③（S四边形CDEF）2=9+2/；④DF2﹣DG2=7﹣2/．其中结论正确的个数是（ ）
/
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正多边形和圆； 相似三角形的判定与性质．
【分析】①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°﹣/=108°，由等边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠CFD=/=54°，可得∠FDG=18°；
②证明△ABF∽△ACB，得/，代入可得FG的长；
③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S四边形CDEF）2=EF2?DM2=4×/=10+2/；
④如图2，?CDEF是菱形，先计算EC=BE=4﹣FG=1+/，由S四边形CDEF=/FD?EC=2×/，可得FD2=10﹣2/，计算可得结论．
解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣/=108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD=/=54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴/，
∴AB?ED=AC?EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+/＞2（舍），FG=3﹣/；
所以②正确；
③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG=/EG=/（EF﹣FG）=/（2﹣3+/）=/，
由勾股定理得：DM=/=/=/，
∴（S四边形CDEF）2=EF2?DM2=4×/=10+2/；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF=ED，
∴?CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣/）=1+/，
∴S四边形CDEF=/FD?EC=2×/，
/×FD×（1+/）=/，
FD2=10﹣2/，
∴DF2﹣DG2=10﹣2/﹣4=6﹣2/，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故选B．
//
二．填空题
（2016·江苏泰州）如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，
∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=/，则图中阴影部分的面积为 π ．
/
【考点】扇形面积的计算．
【分析】通过解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，从而可求出∠AOC=150°，再通过证三角形全等找出S阴影=S扇形OAC，套入扇形的面积公式即可得出结论．
解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，
∴OB=/=/，sin∠AOB=/=，∠AOB=30°．
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．
∴∠AOC=∠AOB+=30°+180°﹣60°=150°．
在△AOB和△OCD中，有/，
∴△AOB≌△OCD（SSS）．
∴S阴影=S扇形OAC．
∴S扇形OAC=/πR2=/π×22=π．
故答案为：π．
（2017?凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，
则∠POQ= ．
/
【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．
解：连接OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=72°，
∵OA=OB，OB=OC，
∴∠OBA=∠OCB=54°，
在△OBP和△OCQ中，
/，
∴△OBP≌△OCQ，
∴∠BOP=∠COQ，
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠BOP=∠QOC，
∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，
∴∠POQ=∠BOC=72°．
故答案为：72°．
/
（2017?安徽）如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分
别交于D、E两点，则劣弧/的长为 ．
/
【考点】弧长的计算；KK：等边三角形的性质；圆周角定理．
【分析】连接OD、OE，先证明△AOD、△BOE是等边三角形，得出∠AOD=∠BOE=60°，求出∠DOE=60°，再由弧长公式即可得出答案．
解：连接OD、OE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OA=OD，OB=OE，
∴△AOD、△BOE是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOE=60°，
∴∠DOE=60°，
∵OA=/AB=3，
∴/的长=/=π；
故答案为：π．
/
（2017?黄冈）已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图
的面积是 cm2．
/
【考点】圆锥的计算．
【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
解：∵圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，
∴勾股定理得圆锥的母线长为13cm，
∴圆锥的侧面积=π×13×5=65πcm2．
故答案为：65π．
（2017?宜宾）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，
则EG的长是 ．
/
【考点】正多边形和圆．
【分析】在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，∠BAG=∠AGB=72°，推出AB=BG=AE=2，由△AEG∽△BEA，可得AE2=EG?EB，可得22=x（x+2），解方程即可．
解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG=x，
易知：∠AEB=∠ABE=∠EAG=36°，
∠BAG=∠AGB=72°，
∴AB=BG=AE=2，
∵∠AEG=∠AEB，∠EAG=∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴AE2=EG?EB，
∴22=x（x+2），
解得x=﹣1+/或﹣1﹣/，
∴EG=/﹣1，
故答案为/﹣1．
三．解答题
（2017?贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，
垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
/
【考点】扇形面积的计算；圆周角定理．
【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=/，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴/=/=/，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=/，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=/﹣/×/=/π﹣/．
/
（2017?隆回县模拟）已知圆锥的底面半径为r=20cm，高h=/cm，现在有一只蚂
蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．
/
【考点】圆锥的计算；KV：平面展开﹣最短路径问题．
【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．
解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E，
∵r=20cm，h=20/cm
∴由勾股定理可得母线l=/=80cm，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=/，
∴n=90°
即△EAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'=/=80/cm．
答：蚂蚁爬行的最短距离为80/cm．
/
（2016?张家界）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、
B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1是△ABC绕点 逆时针旋转 度得到的，B1的坐标是 ；
（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
/
【考点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】（1）利用旋转的性质得出）△A1B1C1与△ABC的关系，进而得出答案；
（2）利用扇形面积求法得出答案．
解：（1）△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，
B1的坐标是：（1，﹣2），
故答案为：C，90，（1，﹣2）；
（2）线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC为半径的扇形的面积．
∵AC=/=/，
∴面积为：/=/，
即线段AC旋转过程中所扫过的面积为/．
/
（2016?新疆）如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、
F两点，且CD=/，以O为圆心，OC为半径作/，交OB于E点．
（1）求⊙O的半径OA的长；
（2）计算阴影部分的面积．
/
【考点】扇形面积的计算；M2：垂径定理．
【分析】（1）首先证明OA⊥DF，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据S阴=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE计算即可．
解；（1）连接OD，
/
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=90°，
在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=/，
∴OD=2CO，设OC=x，
∴x2+（/）2=（2x）2，
∴x=1，
∴OD=2，
∴⊙O的半径为2．
（2）∵sin∠CDO=/=/，
∴∠CDO=30°，
∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°，
∴S阴=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE
=/×/+/﹣/
=/+/．
/
