第四章 图形的性质第31节 尺规作图
■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图
■考点2．尺规作图
(1)尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．
(3)尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，21·世纪*教育网
⑤对所作图形下结论．
(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
■考点1．网格作图
◇典例：
（2016·四川凉山州·8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．
（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；
（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．
【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．
【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；【出处：21教育名师】
（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．【版权所有：21教育】
解：（1）所求作△A1B1C如图所示：
由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，
则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；
（2）∵AC===，∠ACA1=90°
∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：
S扇形CAA1+S△ABC
=+×3×2
=+3．
◆变式训练
（2017?温州）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．www.21-cn-jy.com
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
■考点2．尺规作图
◇典例
（2016.山东省青岛市,4分）已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可． 2-1-c-n-j-y
解：①作∠ACB的平分线CD，
②在CD上截取CO=a，
③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆；
如图所示：⊙O即为所求．
◆变式训练
（2017?江西）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．
1.（2017?衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角
的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）21*cnjy*com
A．① B．② C．③ D．④
2.（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长
为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
3.（2017?深圳）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接
弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（ ）21世纪教育网版权所有
A．40° B．50° C．60° D．70°
4.（2017?自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
5.（2017?荆州）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请
在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．21教育名师原创作品
6.（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴
于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 ．21·cn·jy·com
7.（2017?鞍山）如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径
作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于 ．
8.（2017?绥化）如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P．（不写作法和证明，只保留作图痕迹）【来源：21·世纪·教育·网】
9.（2017?哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在
小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上，tan∠EAB=，连接CD，请直接写出线段CD的长．21*cnjy*com
10.（2017?福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，
分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
一．选择题
1.（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，
则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2.（2017?东营）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若
BF=8，AB=5，则AE的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
3.（2017?襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）21教育网
A．5 B．6 C．7 D．8
4.（2017?南宁）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的
痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
二．填空题
5.（2017?天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于 ；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
6.（2017?邵阳）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为 ．
7.（2017?绍兴）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相
交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D．若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为 ．
8.（2017?成都）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长
为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为 ．www-2-1-cnjy-com
9.（2017?德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方
法，其理由是 ．
10.（2017?北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三．解答题
11.（2016?广州）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截
取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
12.（2017?青岛）已知：四边形ABCD．
求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
13.（2017?广东）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；21cnjy.com
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．
14.（2017?广州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
15.（2017?舟山）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；2·1·c·n·j·y
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
16.（2017?贵港）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．
17.（2017?自贡）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修
建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
第四章 图形的性质第31节 尺规作图
■考点1．网格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图
■考点2．尺规作图
(1)尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．
(3)尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，
⑤对所作图形下结论．
(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．
(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
■考点1．网格作图
◇典例：
（2016·四川凉山州·8分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．
（1）画出△A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；
（2）求在旋转过程中，△ABC所扫过的面积．
【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算．
【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；
（2）利用勾股定理求出AC的长，根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积和，然后列式进行计算即可．
解：（1）所求作△A1B1C如图所示：
由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，
则点A1的坐标为（﹣1，4），点B1的坐标为（1，4）；
（2）∵AC===，∠ACA1=90°
∴在旋转过程中，△ABC所扫过的面积为：
S扇形CAA1+S△ABC
=+×3×2
=+3．
◆变式训练
（2017?温州）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；
（2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题；
（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），求出整数解即可解决问题；
解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2，
∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，
△PAB如图所示．
（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），
整数解为（2，1）或（0，0）等，△PAB如图所示．
■考点2．尺规作图
◇典例
（2016.山东省青岛市,4分）已知：线段a及∠ACB．
求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可． www-2-1-cnjy-com
解：①作∠ACB的平分线CD，
②在CD上截取CO=a，
③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆；
如图所示：⊙O即为所求．
◆变式训练
（2017?江西）如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．
（1）在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形；
（2）在图2中，画出一个以AF为边的菱形．
【考点】作图—复杂作图； 平行四边形的性质； 菱形的性质．
【分析】（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．
（2）连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．
解：（1）连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于N．四边形ABNM是平行四边形．
（2）连接AF、DF，∠延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．
（2017?衢州）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角
的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】作图—基本作图．
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长
为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
（2017?深圳）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接
弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故选B．
（2017?自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割
后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．
解：如图所示：所画正方形即为所求．
（2017?荆州）如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．请
在这个网格中作线段AB的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留必要的作图痕迹．21世纪教育网版权所有
【考点】作图—应用与设计作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于O，连接AE，BF交于O′，过O，O′作直线OO′于是得到结论．21教育名师原创作品
解：如图所示，直线OO′即为所求．
（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴
于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 ．
【考点】作图—基本作图；D5：坐标与图形性质；J5：点到直线的距离．
【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数．
解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，
∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴b=﹣a，即a+b=0，
故答案为：a+b=0．
（2017?鞍山）如图，在□ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作
弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B=50°，∠DAC=30°，则∠BAF等于 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF，想办法求出∠BAD、∠CAD、∠CAF即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=130°，∠ACF=∠CAD=30°，
由作图痕迹可知EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=30°，
∴∠BAF=∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF=70°．
故答案为70°．
（2017?绥化）如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直
的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P．（不写作法和证明，只保留作图痕迹）21·世纪*教育网
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】如图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于P．点P即为所求的点．
解：如图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于P．
点P即为所求的点．
理由：∵MN垂直平分线段AC，
∴PA=PC，
∴PC+PB=PA+PB=AB．
（2017?哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在
小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC，且点C在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形ABDE，且点D和点E均在小正方形的顶点上，tan∠EAB=，连接CD，请直接写出线段CD的长．21教育网
【考点】作图—应用与设计作图；KQ：勾股定理；L6：平行四边形的判定；T7：解直角三角形．
【分析】（1）因为AB为底、面积为12的等腰△ABC，所以高为4，点C在线段AB的垂直平分线上，由此即可画出图形；【出处：21教育名师】
（2）首先根据tan∠EAB=的值确定点E的位置，由此即可解决问题，利用勾股定理计算CD的长；
解：（1）△ABC如图所示；
（2）平行四边形ABDE如图所示，CD==．
（2017?福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，
分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．
再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．
解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，
∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ．
一．选择题
（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，
则AG的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．
【分析】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
解：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD=DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG．
在Rt△AOD中，OA===4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
（2017?东营）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若
BF=8，AB=5，则AE的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【考点】作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．
【分析】由基本作图得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四边形ABEF是菱形，由菱形的性质可知AE⊥BF，故可得出OB的长，再由勾股定理即可得出OA的长，进而得出结论．
解：连结EF，AE与BF交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．
∵AB=5，
在Rt△AOB中，AO==3，
∴AE=2AO=6．
故选B．
（2017?襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB
长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．
解：连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD=AD=4，
∴BF=DF=2，
∴AF=AD+DF=4+2=6．
故选B．
（2017?南宁）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的
痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【考点】作图—复杂作图；JB：平行线的判定与性质；K8：三角形的外角性质．
【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，进而判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选：D．
二．填空题
（2017?天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于 ；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【考点】作图—应用与设计作图；KQ：勾股定理．
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．21·cn·jy·com
解：（1）AB==．
故答案为．
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．2-1-c-n-j-y
理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG的面积=1：2：3，
△PAB的面积=平行四边形ABME的面积，△PBC的面积=平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积=△PNG的面积=△DGN的面积=平行四边形DEMG的面积，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3．
（2017?邵阳）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：
①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；
③作射线OC．
则∠AOC的大小为 ．
【考点】作图—基本作图．
【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论．
解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠AOB=20°．
故答案为：20°．
（2017?绍兴）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相
交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D．若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【分析】如图，作DE⊥AC于E．首先证明BD=DE=2，在Rt△ABD中，解直角三角形即可解决问题．www.21-cn-jy.com
解：如图，作DE⊥AC于E．
由题意AD平分∠BAC，
∵DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DB=DE=2，
在Rt△ADB中，∵∠B=90°，∠BDA=60°，BD=2，
∴AB=BD?tan60°=2，
故答案为2
（2017?成都）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长
为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为 ．21cnjy.com
【考点】作图—基本作图 ，平行四边形的性质．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．
解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC=DQ=，
∴CD=DQ+CQ=3+=，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15．
故答案为：15．
（2017?德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方
法，其理由是 ．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
（2017?北京）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义． ．
【考点】作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．
【分析】由于90°的圆周角所对的弦是直径，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．【来源：21·世纪·教育·网】
解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．【来源：21cnj*y.co*m】
故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义．
三．解答题
（2016?广州）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截
取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—尺规作图的定义．
【分析】利用尺规作∠EAC=∠ACB即可，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明CD∥AB即可．
解：图象如图所示，
∵∠EAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
（2017?青岛）已知：四边形ABCD．
求作：点P，使∠PCB=∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：到边AD和CD的距离相等的点在∠ADC的平分线上，所以第一步作∠ADC的平分线DE，要想满足∠PCB=∠B，则作CP1∥AB，得到点P1，再作两角相等得点P2．21*cnjy*com
解：作法：①作∠ADC的平分线DE，
②过C作CP1∥AB，交DE于点P1，
③以C为角的顶点作∠P2CB=∠P1CB，
则点P1和P2就是所求作的点；
（2017?广东）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B=50°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B=50°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．
（2017?广州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D，（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法，即可得到线段AC的垂直平分线DE；
（2）根据Rt△ADE中，∠A=30°，AE=，即可求得a的值，最后化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．
解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，
∴Rt△ADE中，DE=AD，
设DE=x，则AD=2x，
∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，
解得x=1，
∴△ADE的周长a=1+2+=3+，
∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，
∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．
（2017?舟山）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；21*cnjy*com
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
【考点】作图—复杂作图；三角形的内切圆与内心．
【分析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
解：（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
（2017?贵港）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；
（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；【版权所有：21教育】
解：（1）点P为所求作；
（2）OC为所求作；
（3）MD为所求作；
（2017?自贡）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修
建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠ECD的平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；
根据中垂线的性质可知：到A，B的距离相等的点在AB的中垂线上，所以第二步：作线段AB的中垂线MN，
其交点就是P点．
解：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
