第五章图形与变换第32节轴对称与中心对称
■考点1．图形的轴对称
(1)定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说
，这条直线叫做
，两个图形中重合的点叫做
，重合的线段叫做
.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做
，这条直线叫做
．
(2)性质：
①成轴对称的两个图形
，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在
．
■考点2．图形的中心对称
(1)定义
①中心对称：平面内一个图形绕着某个点旋转180。后能和另一个图形重合，那么这两个图形
，这个点叫做它的
，旋转前后的点叫做
.
②中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做
，这个点叫做它的
．
(2)性质：
①关于某点成中心对称的两个图形
．
②成中心对称的两个图形和中心对称图形的对应点连线都通过对称中心，并且被对称中心
__
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号
，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′
．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
■考点1．图形的轴对称
◇典例：
1.（2017 齐齐哈尔）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2.（2017 天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A．BC
B．CE
C．AD
D．AC
【考点】轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质．
【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选B．
◆变式训练
1.（2017 黔南州）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2017 营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
■考点2．图形的中心对称
◇典例
（2017 白银）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．
◆变式训练
（2017 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
◇典例
（2017 宜宾）在平面直角坐标系中，点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是
_________
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
解：点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
◆变式训练
（2017 湖州）在平面直角坐标系中，点
P（1，2）关于原点的对称点
P'的坐标是（ ）
A．（1，2）
B．（-1，2）
C．（1，-2）
D．（-1，-2）
1.（2017 宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2016 厦门）已知△ABC的周长是l，BC=l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
3.（2017 潍坊）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方的
位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣1，1）
C．（1，﹣2）
D．（﹣1，﹣2）
4.（2017 遵义）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到
图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2017 裕华区校级模拟）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，
那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB=ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
6.（2017 苏州）如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6
个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
7.（2017 黑龙江）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在
边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是
．
8.（2017 东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P
为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
9.（2017 天水）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P
是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是
．
10.（2017 安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC
和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E=
．
11.（2017春 峄城区期末）两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图所示中已
画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成为不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠的部分），你最多可以设计出几种（至少设计四种）．
12.（2016春 通川区期末）如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C′的位置时，
BC′与AD交于E，若AB=6cm，BC=8cm，求重叠部分△BED的面积．
选择题
1.（2017 绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2016 南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判
断错误的是（ ）
A．AM=BM
B．AP=BN
C．∠MAP=∠MBP
D．∠ANM=∠BNM
3.（2016 绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角
形小孔，则展开后图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2017 黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD
上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．2
B．2
C．4
D．
5.（2017 莱芜）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，
P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2017 枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为
MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
二．填空题
7.（2017 丽水）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂
黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
8.（2017 泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ
⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．
9.（2017 随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N
（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．
10.（2017 朝阳）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P
是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP+DP最短时，点P的坐标为
．
11.（2017 安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方
形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
三．解答题
12.（2017 衡阳）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；
（2）写出AA1的长度．
13.（2017 眉山）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC
（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
14.（2017 南宁）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B
（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点B1的坐标；
（2）已知点A与点A2（2，1）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式．
15.（2017 宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B
落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
12第五章图形与变换第32节轴对称与中心对称
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■考点1．图形的轴对称
(1)定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够
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②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．21教育名师原创作品
(2)性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
■考点2．图形的中心对称
(1)定义
①中心对称：平面内一个图形绕着某个点旋转1
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②中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．21
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(2)性质：
①关于某点成中心对称的两个图形全等．
②成中心对称的两个图形和中心对称图形的对应点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
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■考点1．图形的轴对称
◇典例：
（2017 齐齐哈尔）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A．
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B．
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C．
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D．
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【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B
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C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
（2017 天津）如图，在
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A．BC
B．CE
C．AD
D．AC
【考点】轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质．
【分析】如图连接PC，只要证明PB=P
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解：如图连接PC，
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∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选B．
◆变式训练
1.（2017 黔南州）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错
( http: / / www.21cnjy.com )误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2.（2017 营口）如图，在△ABC
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A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】轴对称-最短路线问题；等腰直角三角形．
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C
( http: / / www.21cnjy.com )′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由DC=1，BC=4，得到BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
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∵BD=3，DC=1
∴BC=4，
∴BD=3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=4，
根据勾股定理可得DC′=
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故选B．【出处：21教育名师】
■考点2．图形的中心对称
◇典例
（2017 白银）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
D．
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【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对
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◆变式训练
（2017 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
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B．
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C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
D．
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【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不
( http: / / www.21cnjy.com )是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
■考点3.关于原点对称的点的坐标特点
◇典例
（2017 宜宾）在平面直角坐标系中，点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是
_________
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
解：点M（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
◆变式训练
（2017 湖州）在平面直角坐标系中，点
P（1，2）关于原点的对称点
P'的坐标是（ ）
A．（1，2）
B．（-1，2）
C．（1，-2）
D．（-1，-2）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：点
P（1，2）关于原点的对称点
P'的坐标是（-1，-2），
故选：D．
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（2017 宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．
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B．
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C．
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D．
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【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
解：根据轴对称图形的概念可知，A为轴对称图形．
故选：A．
（2016 厦门）已知△ABC的周长是l，BC=l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
【考点】
轴对称的性质．
【分析】根据条件可以推出AB=AC，由此即可判断．
解：∵l=AB+BC+AC，
∴BC=l﹣2AB=AB+BC+AC﹣2AB，
∴AB=AC，
∴△ABC中BC边中线所在的直线是△ABC的对称轴，
故选C．
（2017 潍坊）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右
( http: / / www.21cnjy.com )下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
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A．（﹣2，1）
B．（﹣1，1）
C．（1，﹣2）
D．（﹣1，﹣2）
【考点】坐标与图形变化﹣对称；坐标确定位置．
【分析】首先确定x轴、y轴的位置，然后根据轴对称图形的定义判断．
解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表
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故选B．
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（2017 遵义）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到
图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）
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A．
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B．
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C．
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D．
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【考点】剪纸问题．
【分析】解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案．
解：重新展开后得到的图形是C，
故选C．
（2017 裕华区校级模拟）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，
那么下列说法错误的是（ ）
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A．△EBD是等腰三角形，EB=ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用．
解：∵ABCD为矩形
∴∠A=∠C，AB=CD
∵∠AEB=∠CED
∴△AEB≌△CED（故D选项正确）
∴BE=DE（故A选项正确）
∠ABE=∠CDE（故B选项不正确）
∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形
∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（故C选项正确）
故选：B．
（2017 苏州）如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6
个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
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【考点】利用轴对称设计图案；X4：概率公式．
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
解：如图，∵可选2个方格
∴完成的图案为轴对称图案的概率=
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故答案为：
( http: / / www.21cnjy.com / )．
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（2017 黑龙江）如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在
边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是
．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．
【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．21世纪教育网版权所有
解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PC+PE的最小值，
∵CD=4，CE=1，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，
∵AE=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )=5，
∴PC+PE的最小值为5．
故答案为：5．
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（2017 东营）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8
( http: / / www.21cnjy.com / )，E为AB的中点，若P
为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【分析】如图作CE′⊥AB于E′，
( http: / / www.21cnjy.com )交BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．21cnjy.com
解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
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∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8
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∴AB=BC=4，AB CE′=8
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∴CE′=2
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在Rt△BCE′中，BE′=
( http: / / www.21cnjy.com / )=2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，最小值为CE的长=2
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故答案为2
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（2017 天水）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P
是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是
．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．
【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得△PBE周长的最小值，本题得以解决．
解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，
∵BE=1，BC=CD=4，
∴CE=3，DE=5，
∴BP′+P′E=DE=5，
∴△PBE周长的最小值是5+1=6，
故答案为：6．
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（2017 安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC
和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E=
．
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【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得；
（2）分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
（3）连接A′F′，利用勾股定理逆定理证△A′C′F′为等腰直角三角形即可得．
解：（1）△A′B′C′即为所求；
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（2）△D′E′F′即为所求；
（3）如图，连接A′F′，
∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，
∴∠C+∠E=∠A′C′B′+∠D′E′F′=∠A′C′F′，
∵A′C′=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )、A′F′=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )，C′F′=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴A′C′2+A′F′2=5+5=10=C′F′2，
∴△A′C′F′为等腰直角三角形，
∴∠C+∠E=∠A′C′F′=45°，
故答案为：45°．
（2017春 峄城区期末）两个全等的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图所示中已
画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个
( http: / / www.21cnjy.com )与其全等的三角形，使每个图形分别成为不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠的部分），你最多可以设计出几种（至少设计四种）．21·cn·jy·com
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【考点】
利用轴对称设计图案．
【分析】本题是一道动手操作题，学生可亲自做一做，答案不唯一，只要符合题意即可．
解：四种：（也可以是其他图形，只要符合条件即可）
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（2016春 通川区期末）如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C′的位置时，
BC′与AD交于E，若AB=6cm，BC=8cm，求重叠部分△BED的面积．
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【考点】翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用；
勾股定理；矩形的性质．
【分析】本题中要求三角形BED的面积
( http: / / www.21cnjy.com )，可以以ED为底边，DE边上的高即AB为高来计算，因此关键是求出DE的长，如果我们设AE为x，那么DE=8﹣x，我们现在的目的就是要将AE，DE转化到一个三角形中求x的值，我们不难证得三角形AEB和C′ED全等，可得出BE=ED，因此AE，DE可转化到一个直角三角形中，用勾股定理来求出x的值，进而求出三角形BED的面积．21·世纪
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解：∵AB=CD，∠AEB=∠CED，∠A=∠C′=90°，
∴△ABE≌△C′DE．
∴BE=DE，设AE=x，则BE=DE=8﹣x．
由勾股定理：62+x2=（8﹣x）2
解得x=1.75，
∴DE=8﹣x=6.25．
∴S△DBE=
( http: / / www.21cnjy.com / )×6.25×6=18.75cm2．
答：重叠部分面积为18.75cm2．
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一．选择题
（2017 绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A．
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B．
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C．
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D．
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【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．
解：A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；
B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；
D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
（2016 南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判
断错误的是（ ）
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A．AM=BM
B．AP=BN
C．∠MAP=∠MBP
D．∠ANM=∠BNM
【考点】P2：轴对称的性质．
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选B．
（2016 绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角
形小孔，则展开后图形是（ ）
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A．
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B．
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C．
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D．
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【考点】P9：剪纸问题．
【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一
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故选C．
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（2017 黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD
上，则PE+PD的最小值是（ ）
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A．2
B．2
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C．4
D．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；矩形的性质．
【分析】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，解直角三角形即可得到结论．21
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解：作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，
则D′E=PE+PD的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵AD=4，∠DAC=30°，
∵DD′⊥AC，
∴∠CDD′=30°，
∴∠ADD′=60°，
∴DD′=4，
∴D′E=2
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故选B．
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（2017 莱芜）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，
P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（ ）
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A．
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B．
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C．
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D．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【分析】如图，连接DP，BD，
( http: / / www.21cnjy.com )作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．【版权所有：21教育】
解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM，
∴当D、P、M共线时，P′B+P′M=DM的值最小，
∵CM=
( http: / / www.21cnjy.com / )BC=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°，
∴△DBC是等边三角形，∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH=3
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在Rt△DMH中，DM=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )=2
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∵CM∥AD，
∴
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴P′M=
( http: / / www.21cnjy.com / )DM=
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故选A．
（2017 枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为
MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
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A．2
B．
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C．
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D．1
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM=
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故选：B．
二．填空题
（2017 丽水）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂
黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
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【考点】利用轴对称设计图案；列表法与树状图法．
【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．
解：由题意可得：空白部分一共有6个位置，白色部分只有在1或2处时，
黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为：
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（2017 泰安）如图，∠BAC=30°，M为AC上一点，AM=2，点P是AB上的一动点，PQ
⊥AC，垂足为点Q，则PM+PQ的最小值为 ．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【分析】本题作点M关于AB的对称点N，根据轴对称性找出点P的位置，如图，根据三角函数求出MN，∠N，再根据三角函数求出结论．www.21-cn-jy.com
解：作点M关于AB的对称点N，过N作NQ⊥AC于Q交AB于P，
则NQ的长即为PM+PQ的最小值，
连接MN交AB于D，则MD⊥AB，DM=DN，
∵∠NPB=∠APQ，
∴∠N=∠BAC=30°，
∵∠BAC=30°，AM=2，
∴MD=
( http: / / www.21cnjy.com / )AM=1，
∴MN=2，
∴NQ=MN cos∠N=2×
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )，
故答案为：
( http: / / www.21cnjy.com / )．
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（2017 随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N
（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】作N关于OA的对称点N′，连接
( http: / / www.21cnjy.com )N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．【来源：21cnj
y.co
m】
解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，
则此时，PM+PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，
∴△NON′是等边三角形，
∵点M是ON的中点，
∴N′M⊥ON，
∵点N（3，0），
∴ON=3，
∵点M是ON的中点，
∴OM=1.5，
∴PM=
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∴P（
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故答案为：（
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( http: / / www.21cnjy.com / )）．
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（2017 朝阳）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P
是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP+DP最短时，点P的坐标为
．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；菱形的性质．菁优
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G
( http: / / www.21cnjy.com )、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．21教育网
解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．
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在Rt△OBK中，OB=
( http: / / www.21cnjy.com / )=
( http: / / www.21cnjy.com / )=4
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∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2
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设OA=OB=x，在Rt△ABK中，∵AB2=AK2+BK2，
∴x2=（8﹣x）2+42，
∴x=5，
∴A（5，0），
∵A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG=
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( http: / / www.21cnjy.com / )=
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∴AC=2
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∵OA BK=
( http: / / www.21cnjy.com / ) AC OB，
∴BK=4，AK=
( http: / / www.21cnjy.com / )=3，
∴直线OB解析式为y=
( http: / / www.21cnjy.com / )x，直线AD解析式为y=﹣
( http: / / www.21cnjy.com / )x+1，
由
( http: / / www.21cnjy.com / )解得
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∴点P坐标（
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( http: / / www.21cnjy.com / )），
故答案为（
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( http: / / www.21cnjy.com / )）．
（2017 安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方
形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】由于点B与D关于AC
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解：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=6．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6．
故所求最小值为6．
故答案为：6．
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三．解答题
（2017 衡阳）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；
（2）写出AA1的长度．
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【考点】作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）先作出△ABC各顶点关于直线BM对称的点，再画出△A1B1C1即可；
（2）根据图形中A，A1的位置，即可得到AA1的长度．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图可得，AA1=10．
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（2017 眉山）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC
（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．
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【考点】作图﹣轴对称变换；勾股定理；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接A、B2交y轴于点P，则P点即为所求．
解：（1）如图所示；
（2）如图，即为所求；
（3）作点B1关于y轴的对称点B2，连接C、B2交y轴于点P，则点P即为所求．
设直线CB2的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（﹣1，4），B2（2，﹣2），
∴
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∴直线AB2的解析式为：y=﹣2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴P（0，2）．
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（2017 南宁）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B
（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点B1的坐标；
（2）已知点A与点A2（2，1）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式．2-1-c-n-j-y
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【考点】作图﹣轴对称变换；待定系数法求一次函数解析式；作图﹣平移变换．菁
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1C1并写出点B1的坐标即可；
（2）连接AA2，作线段AA2的垂直平分线l，再作△ABC关于直线l对称的△A2B2C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，B1（﹣2，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，直线l的函数解析式为y=﹣x．
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（2017 宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B
落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
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【考点】翻折变换（折叠问题）；L9：菱形的判定．
【分析】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．
证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM=∠AMD，
∵△ADC是由△ABC翻折得到，
∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD，
∴DA=DM=AB=BM，
∴四边形ABMD是菱形．
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