第五章图形与变换第33节图形的平移与旋转
■考点1.图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿 移动一定的距离，这样的图形运动称为 ．确定平移的两大要素是 ．
（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段 且 ，对应线段 且 ，对应角 ．
②平移改变图形的 ，不改变图形的 和 ．
■考点2．图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个图形绕着 某点 ，这样的图形运动称为旋转，这个点定叫做 ，转动的角度叫做 ．确定旋转的三大要素是 ．
（2）性质：①图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了 的角度．任意一对对应点与 ______________ 的连线所称的角都是旋转角，对应点到 的距离相等．
②旋转改变图形的 ，不改变图形的 和 ．
■考点1.图形的平移
◇典例：
（2016?济宁）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．16cm
B．18cm
C．20cm
D．21cm
【考点】平移的性质．
【分析】先根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，而AB+BE+AE=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可
解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF， ∴EF=AD=2cm，AE=DF， ∵△ABE的周长为16cm， ∴AB+BE+AE=16cm， ∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD =AB+BE+AE+EF+AD =16cm+2cm+2cm =20cm． 故选C
◆变式训练
（2016?济南）如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（ ）
A．向右平移2个单位，向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，向下平移4个单位
D．向右平移2个单位，向下平移4个单位
■考点2．图形的旋转
◇典例
1.（2015?广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】生活中的旋转现象．
【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转180°，即是对应点绕旋转中心旋转180°，即可得出所要图形．
解：将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是． 故选：D．
2.（2017?天津）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD=∠E
B．∠CBE=∠C
C．AD∥BC
D．AD=BC
【考点】旋转的性质．
【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．
解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE， ∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠DAB=∠CBE， ∴AD∥BC， 故选C．
◆变式训练
1.（2017?枣庄）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
2.（2017?贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3.（2017?东营）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面
积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
4.（2016?广州）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．
5.（2017?上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，
顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 ．
6.（2017?吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一
定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为 ．
7.（2017?鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋
转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为 ．
8.（2016?安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了
四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．
9.（2017?徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆
时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC= ；
（2）求线段DB的长度．
10.（2017?金华）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），
B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围．
11.（2017?广安）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图
中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
一．选择题
1.（2017?菏泽）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连
接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2.（2017?铜仁市）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上
任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．S1=2S2
3.（2015?丽水）如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两
条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．8种 D．12种
4.（2017?德阳）如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°
得到△FEC，延长BD交EF于H．已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF的面积为（ ）
A． B． C． D．
5.（2017?泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α
得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
二．填空题
6.（2016?台州）如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度
“10”，则顶点C平移的距离CC′= ．
7.（2017?黄冈）已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶
点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= cm．
8.（2017?贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕
点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为 ．
9.（2017?贺州）如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，
连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为 ．
10.（2017?眉山）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心
旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 ．
解答题
11.（2007?安顺）如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA
的长度得到△EFA．
（1）求△ABC所扫过的图形面积；
（2）探究：AF与BE的位置关系，并说明理由．
12.（2009?咸宁）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△
A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．
13.（2017?桂林）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正
方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．
（1）将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O；
（2）求证：△AOB≌△B′OA′．
14.（2017?长春）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE
绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．
15.（2017?莱芜）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
16.（2017?大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上
（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
17.（2017?安徽模拟）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建
立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
18.（2017?仙桃）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中
有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
第五章图形与变换第33节图形的平移与旋转
■考点1.图形的平移
（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向 移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移 ．确定平移的两大要素是 方向和距离 ．21cnjy.com
（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段 平行（或在同一直线上） 且 相等 ，对应线段 平行（或在同一直线上） 且 相等 ，对应角 相等 ．
②平移改变图形的 位置 ，不改变图形的 形状 和 大小 ．
■考点2．图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个图形绕着 某点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度 ，这样的图形运动称为旋转，这个点定叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ．确定旋转的三大要素是 旋转中心、旋转方向、旋转角 ．
（2）性质：①图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了 相同 的角度．任意一对对应点与 旋转中心 的连线所称的角都是旋转角，对应点到 旋转中心 的距离相等．
②旋转改变图形的 位置 ，不改变图形的 形状 和 大小 ．
■考点1.图形的平移
◇典例：
（2016?济宁）如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．16cm
B．18cm
C．20cm
D．21cm
【考点】平移的性质．
【分析】先根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，而AB+BE+AE=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可
解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF， ∴EF=AD=2cm，AE=DF， ∵△ABE的周长为16cm， ∴AB+BE+AE=16cm， ∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD =AB+BE+AE+EF+AD =16cm+2cm+2cm =20cm． 故选C
◆变式训练
（2016?济南）如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（ ）
A．向右平移2个单位，向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，向下平移4个单位
D．向右平移2个单位，向下平移4个单位
【考点】平移的性质．．
【分析】根据平移前后图形M中某一个对应顶点的位置变化情况进行判断即可．
解：根据图形M平移前后对应点的位置变化可知，需要向右平移1个单位，向下平移3个单位． 故选（B）
■考点2．图形的旋转
◇典例
1.（2015?广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】生活中的旋转现象．
【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转180°，即是对应点绕旋转中心旋转180°，即可得出所要图形．
解：将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是． 故选：D．
2.（2017?天津）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．∠ABD=∠E
B．∠CBE=∠C
C．AD∥BC
D．AD=BC
【考点】旋转的性质．
【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．
解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE， ∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠DAB=∠CBE， ∴AD∥BC， 故选C．
◆变式训练
1.（2011?枣庄）如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】生活中的旋转现象．
【分析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．
解：A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．
（2017?聊城）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A．∠BCB′=∠ACA′
B．∠ACB=2∠B
C．∠B′CA=∠B′AC
D．B′C平分∠BB′A′
2.【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．
解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确， ∵CB=CB'， ∴∠B=∠BB'C， 又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C， ∴∠A'CB'=2∠B， 又∵∠ACB=∠A'CB'， ∴∠ACB=2∠B，故B正确； ∵∠A′B′C=∠B， ∴∠A′B′C=∠BB′C， ∴B′C平分∠BB′A′，故D正确； 故选C．21*cnjy*com
（2017?枣庄）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°数
字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
【考点】生活中的旋转现象．
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案．
解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
（2017?贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到
△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】旋转的性质．
【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．
解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
（2017?东营）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面
积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
【考点】平移的性质．
【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．
解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴=（）2=，
∴EC：BC=1：，
∵BC=，
∴EC=，
∴BE=BC﹣EC=﹣．
故选：D．
（2016?广州）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC
沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．
【考点】平移的性质．
【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案．
解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
∴EF=DC=4cm，FC=7cm，
∵AB=AC，BC=12cm，
∴∠B=∠C，BF=5cm，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF=4cm，
∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．
故答案为：13．
（2017?上海）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，
顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是 ．21教育网
【考点】旋转的性质； 平行线的性质．
【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．
解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，
∴旋转角n=45时，EF∥AB．
②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，
∴∠ACE=135°
∴旋转角n=360﹣135=225，
∵0＜n＜180，
∴此种情形不合题意，
故答案为45
（2017?吉林）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一
定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为 ．
【考点】旋转的性质； 矩形的性质．
【分析】B′C=5﹣B′D．在直角△AB′D中，利用勾股定理求得B′D的长度即可．
解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，
在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，
所以B′D===4，
所以B′C=5﹣B′D=1．
故答案是：1．
（2017?鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋
转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为 ．2·1·c·n·j·y
【考点】旋转的性质．
【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．
解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AD=AB=5，
∴CD=AD﹣AC=1，
∴四边形AEDB的面积为，
故答案为：．
（2016?安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了
四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．
【考点】作图﹣平移变换．
【分析】（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．
（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．
解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
（2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示．
（2017?徐州）如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆
时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．
（1）线段DC= ；
（2）求线段DB的长度．
【考点】旋转的性质．
【分析】（1）证明△ACD是等边三角形，据此求解；
（2）作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．www.21-cn-jy.com
解：（1）∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
故答案是：4；
（2）作DE⊥BC于点E．
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE=DC=2，
CE=DC?cos30°=4×=2，
∴BE=BC﹣CE=3﹣2=．
∴Rt△BDE中，BD===．
（2017?金华）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），
B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点A关于x轴的对称点A′，若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围．21·世纪*教育网
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可得；
（2）由点A′坐标为（﹣2，2）可知要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，据此可得．2-1-c-n-j-y
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵点A′坐标为（﹣2，2），
∴若要使向右平移后的A′落在△A1B1C1的内部，最少平移4个单位，最多平移6个单位，即4＜a＜6． 【出处：21教育名师】
（2017?广安）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图
中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案．
【分析】利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．
解：如图．
．
一．选择题
（2017?菏泽）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连
接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．
解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC
∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，
故选：C．
（2017?铜仁市）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上
任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．S1=2S2
【考点】平移的性质；平行线之间的距离．
【分析】根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．
解：
∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AA′∥BC′，
∵点P是直线AA′上任意一点，
∴△ABC，△PB′C′的高相等，
∴S1=S2，
故选C．
（2015?丽水）如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两
条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．8种 D．12种
【考点】利用平移设计图案；三角形三边关系；勾股定理．
【分析】利用网格结合三角形三边关系得出只有通过平移ab，ad，bd可得到三角形，进而得出答案．
解：由网格可知：a=，b=d=，c=2，
则能组成三角形的只有：a，b，d
可以分别通过平移ab，ad，bd得到三角形，平移其中任意两条线段方法各有两种，
即能组成三角形的不同平移方法有6种．
故选：B．
（2017?德阳）如图，将△ABC沿BC翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°
得到△FEC，延长BD交EF于H．已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF的面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用解直角三角形得到BC=2AC=2，AB=，再利用翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，CE=CB=2，EF=BD=AB=，∠E=∠ABC=30°，则DE=1，接着计算出DH=DE=，然后利用S四边形CDHF=S△CEF﹣S△DEH进行计算．21·cn·jy·com
解：∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，
∴BC=2AC=2，
∴AB==，
由翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，
∴∠ACF=180°，即点A、C、F三点共线，CE=CB=2，EF=BD=AB=，∠E=∠ABC=30°，
∴DE=2﹣1=1，
在Rt△DEH中，DH=DE=，
S四边形CDHF=S△CEF﹣S△DEH=×1×﹣×1×=．
故选C．
（2017?泰安）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α
得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据题意，由直线AB与直线A′B′的夹角是90°即可确定旋转角的大小．
解：如图：延长AB、A′B′，直线AB与直线A′B′的夹角是90°，故旋转角α为90°．
故选C．
二．填空题
（2016?台州）如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度
“10”，则顶点C平移的距离CC′= ．
【考点】平移的性质．
【分析】直接利用平移的性质得出顶点C平移的距离．
解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，
∴三角板向右平移了5个单位，
∴顶点C平移的距离CC′=5．
故答案为：5．
（2017?黄冈）已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶
点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D= cm．【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】旋转的性质； 直角三角形斜边上的中线．
【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB==5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD=AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
（2017?贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕
点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为 ．
【考点】旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．
解：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵62+82=102，
∴PP′2+AP2=P′A2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′===．
故答案为．
（2017?贺州）如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，
连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为 ．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来再证明∠GAE=∠FAE，由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可．
解：由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中，
∴△GAE≌△FAE．
∵AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
故答案为：6．
（2017?眉山）△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心
旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是 ．
【考点】旋转对称图形．
【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解．
解：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，
根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
三．解答题
（2007?安顺）如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA
的长度得到△EFA．
（1）求△ABC所扫过的图形面积；
（2）探究：AF与BE的位置关系，并说明理由．
【考点】平移的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【分析】（1）△ABC所扫过的图形面积由△ABC的面积和右边四边形ABFE的面积组成．由平移可得到∠BAC=∠FEA，AE=AC=AB=EF，那么四边形BAEF是平行四边形．平行四边形被对角线分得的两个三角形的面积相等．那么△AEF的面积是3，平行四边形的面积是2△AEF的面积；
（2）再由邻边相等可得到四边形ABFE是菱形，菱形的对角线互相垂直．
解：（1）连接BF，
由题意得：△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴S?ABFE=2S△EAF，
∴△ABC扫描面积为2×3=6；
（2）AF⊥BE．
证明：由（1）得四边形BAEF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴四边形BAEF是菱形，
∴AF⊥BE．
（2009?咸宁）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△
A′C′D′．
（1）证明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由．21*cnjy*com
【考点】平移的性质；全等三角形的判定；菱形的判定．
【分析】（1）根据已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；
（2）由已知可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=AC，AB=AC，从而得到AB=BC′，所以四边形ABC′D′是菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴∠D′A′C′=∠BCA．
∴△A′AD′≌△CC′B．
（2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴C′D′=CD=AB．
由（1）知AD′=C′B．
∴四边形ABC′D′是平行四边形．
在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点，
∴BC′=AC．
而∠ACB=30°，
∴AB=AC．
∴AB=BC′．
∴四边形ABC′D′是菱形．
（2017?桂林）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正
方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．
（1）将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O；
（2）求证：△AOB≌△B′OA′．
【考点】作图﹣平移变换；KB：全等三角形的判定．
【分析】（1）根据平移变换的性质作图即可；
（2）根据平行线的性质得到∠A=∠B′，∠B=∠A′，根据ASA定理证明即可．
解：（1）如图所示：
（2）证明：∵AB∥A′B′，
∴∠A=∠B′，∠B=∠A′
在△AOB和△B′OA′中，
，
∴△AOB≌△B′OA′．
（2017?长春）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE
绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【分析】由菱形的性质有BC=CD，∠BCD=∠A=110°，根据旋转的性质知CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，于是得到∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，根据全等三角形的判定证得△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质即可得到结论．www-2-1-cnjy-com
解：∵菱形ABCD，
∴BC=CD，∠BCD=∠A=110°，
由旋转的性质知，CE=CF，∠ECF=∠BCD=110°，
∴∠BCE=∠DCF=110°﹣∠DCE，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠E=86°．
（2017?莱芜）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．21教育名师原创作品
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt△BCD≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可．
解：（1）AE=DB，AE⊥DB，
证明：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，
∵∠BCD=90°，
∴∠DHE=90°，
∴AE⊥DB；
（2）DE=AF，DE⊥AF，
证明：设DE与AF交于N，
由题意得，BE=AD，
∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，
∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，
∴∠EBD=∠ADF，
在△EBD和△ADF中，
，
∴△EBD≌△ADF，
∴DE=AF，∠E=∠FAD，
∵∠E=45°，∠EDC=45°，
∴∠FAD=45°，
∴∠AND=90°，即DE⊥AF．
（2017?大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上
（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y．
（1）求证：∠ADP=∠DEC；
（2）求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
【考点】旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）分两种情形①如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即＜x≤时，过P作MN∥DC′，设∠B=α．②当DC′交AB于Q时，即＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；
（1）证明：如图1中，
∵∠EDE′=∠C=90°，
∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠ADP=∠DEC．
（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即＜x≤时，过P作MN∥DC′，设∠B=α
∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，
∴PM=PQ?cosα=y，PN=×（3﹣x），
∴（3﹣x）+y=x，
∴y=x﹣，
当DC′交AB于Q时，即＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，【版权所有：21教育】
∴PN=DM，
∵DM=（3﹣x），PN=PQ?sinα=y，
∴（3﹣x）=y，
∴y=﹣x+．
综上所述，y=
（2017?安徽模拟）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建
立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【分析】根据平移作图的方法作图即可．根据图形特征或平移规律可求得坐标为①C1（4，4）；②C2（﹣4，﹣4）．
解：根据平移定义和图形特征可得：
①C1（4，4）；
②C2（﹣4，﹣4）．
（2017?仙桃）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中
有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．
【分析】（1）根据中心对称图形，画出所有可能的图形即可．
（2）根据是轴对称图形，不是中心对称图形，画出图形即可．
解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，答案如图所示；
