第五章图形与变换第34节图形的相似与位似
■考点1. 图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪*教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形 ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的 ．
■考点1. 图形的相似
◇典例：
（2016秋?姜堰区期末）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形 D．任意两个菱形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似； 两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似； 各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； 任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似； 故选：B． 21*cnjy*com
◆变式训练
（2017?普陀区一模）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2016秋?宛城区校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（ ）【版权所有：21教育】
A．48?cm
B．54?cm
C．56?cm
D．64?cm
【考点】相似多边形的性质．
【分析】设较大多边形的周长为c，再由相似多边形的性质即可得出结论．
解：设较大多边形的周长为c， ∵两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm， ∴，解得c=48cm． 故选A．
◆变式训练
（2017春?垦利县期末）一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大16倍
B．周长缩小16倍
C．面积扩大16倍
D．面积缩小16倍
■考点3.图形的位似
◇典例：
（2016秋?河北区期末）下列说法正确的是（ ）
A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B．两位似图形的面积之比等于位似比
C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D．位似图形的周长之比等于位似比的平方
【考点】位似变换．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，位似图形是特殊的相似形，因而满足相似形的性质，因而正确的是C．21·cn·jy·com
解：∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大或缩小后的图形， ∴A错误． ∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质， ∴B，D错误，正确的是C． 故选C．www.21-cn-jy.com
◆变式训练
（2017?河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（-1，2）
B．（-9，18）
C．（-9，18）或（9，-18）
D．（-1，2）或（1，-2）
1.（2013?莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
2.（2016十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A’B’C’，已知OB= 30B’，
则△A'B'C’与△ABC的面积比为 （ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
3.（2016·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），
以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．（―1，2） B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2）
4.（2016?烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 1:3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）2·1·c·n·j·y
A．（3，2）
B．（3，1）
C．（2，2）
D．（4，2）
5.（2008?西宁）如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：_______________
（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
6.（2017?长沙）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是___________ 【来源：21·世纪·教育·网】
7.（2017校级模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、
C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是?? ?． 2-1-c-n-j-y
8.（2016?柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
9.（2016?眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．21教育网
10.(2017校级模拟)如图，分别按下列要求画出变换后的图形．
（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）； （2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）； （3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF． www-2-1-cnjy-com
1.（2017?河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10%
B．减少了10%
C．增加了（1+10%）
D．没有改变
2.（2012?柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ）
A．FG
B．FH
C．EH
D．EF
3.（2017校级模拟）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A.点O?????? B.点P????? C.点M????????? D.点N
4.（2017?绥化）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3
B．3：2
C．4：5
D．4：9
5.（2017校级模拟）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，
0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A．?? ?B．????C．????D．
6.（2004?海淀区）某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶
片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为
_______________
7.（2017?阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与
△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=____________________
8.（2017?兰州）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O， ，
则 =___________．
9.（2017?滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现
以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为 _______ 21世纪教育网版权所有
10.（2017?遂宁）如图，直线y=与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′
O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 __________
11.（2017?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′
是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 _________________21*cnjy*com
12.（2016?营口）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△
ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ___________【来源：21cnj*y.co*m】
13.（2017?凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．21教育名师原创作品
14.（2017?雅安）如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；
（2）求出∠A1BlC1的余弦值；
（3）以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2．
15.（2017?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．21cnjy.com
第五章图形与变换第34节图形的相似与位似/
■考点1. 图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■考点2.相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■考点3.图形的位似
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．21·世纪*教育网
?注意：①两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形 ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行．【出处：21教育名师】
（2）性质：①对应角相等，对应边之比等于位似比；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的 平方．
/
■考点1. 图形的相似
◇典例：
（2016秋?姜堰区期末）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形
D．任意两个菱形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似； 两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似； 各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； 任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似； 故选：B．
◆变式训练
（2017?普陀区一模）“相似的图形”是（ ）
A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形
C．能够重合的图形 D．大小相同的图形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．
解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同， 故选A．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
（2016秋?宛城区校级期末）已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（ ）
A．48?cm
B．54?cm
C．56?cm
D．64?cm
【考点】相似多边形的性质．
【分析】设较大多边形的周长为c，再由相似多边形的性质即可得出结论．
解：设较大多边形的周长为c， ∵两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm， ∴/，解得c=48cm． 故选A．
◆变式训练
（2017春?垦利县期末）一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大16倍
B．周长缩小16倍
C．面积扩大16倍
D．面积缩小16倍
【考点】相似多边形的性质．
【分析】一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形相似，利用相似多边形的性质即可解决问题．
解：一个长方形按4：1放大后，得到的图形与原图形相似，周长扩大4倍，面积扩大16倍，所以A、B、D错误，C正确， 故选C．
■考点3.图形的位似
◇典例：
（2016秋?河北区期末）下列说法正确的是（ ）
A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形
B．两位似图形的面积之比等于位似比
C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D．位似图形的周长之比等于位似比的平方
【考点】位似变换．
【分析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，位似图形是特殊的相似形，因而满足相似形的性质，因而正确的是C．
解：∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大或缩小后的图形， ∴A错误． ∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质， ∴B，D错误，正确的是C． 故选C．
◆变式训练
（2017?河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为 /，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
/
A．（-1，2）
B．（-9，18）
C．（-9，18）或（9，-18）
D．（-1，2）或（1，-2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答．
解：∵点A（-3，6），以原点O为位似中心，相似比为/，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是（-1，2）或（1，-2）， 故选D．
/
（2013?莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形．
【专题】压轴题．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D．
（2016十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A’B’C’，已知OB= 30B’，
则△A'B'C’与△ABC的面积比为 （ ）
/
A．1：3 B．1：4 C．1：5D．1：9
答案：D
解题点拨：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
（2016·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），
以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．（―1，2） B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2）
/
【考点】相似三角形——位似图形、位似变换
【答案】D.
【解析】方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）
同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，
∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，
∴A′′（1,―2）.
故选择D.
/
（2016?烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O
为位似中心的位似图形，且相似比为 1:3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2）
B．（3，1）
C．（2，2）
D．（4，2）
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:3， ∴/， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴/， ∴/
解得：OA=1， ∴OB=3， ∴C点坐标为：（3，2）， 故选：A．
（2008?西宁）如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：_______________
（请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
/
【考点】相似图形．
【分析】本题考查轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，得出正确结果．
解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．
（2017?长沙）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），
以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的/ ，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是___________
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．
解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的
/，∴点A′的坐标是（2×/，4×/），即（1，2）， 故答案为：（1，2）．
（2017校级模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是?? ?． /
【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案． 解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 所画图形如下所示： / 它的三个对应顶点的坐标分别是：（-6，0）、（3，3）、（0，-3）．
（2016?柳州）如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB
与△OCD的相似比．
/
【考点】位似变换．
【分析】根据点B的坐标和点D的坐标，求出OB=4，OD=6，得出 /，再根据△OAB与△OCD关于点O位似，从而求出△OAB与△OCD的相似比．
解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0）， ∴OB=4，OD=6， ∴/， ∵△OAB与△OCD关于点O位似， ∴△OAB与△OCD的相似比．
（2016?眉山）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．
/
【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．
/
(2017校级模拟)如图，分别按下列要求画出变换后的图形．
（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1（A与A1对应，B与B1对应）； （2）以A1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°得△A1B2C2（B1与B2对应）； （3）把A1B2C2的每一条边都扩大到原来的2倍得△DEF． /
【分析】直接根据平移和旋转的作图方法作图即可得△A1B1C1和△A1B2C2；把对应的边长放大为原来的2倍即可得到△DEF． 解：（1）如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．（3分）（不写结论不扣分，以下同） （2）如图，△A1B2C2就是所要画的三角形．（6分） （3）如图，△DEF就是所要画的三角形．（9分）（位置无关） /
/
（2017?河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10%
B．减少了10%
C．增加了（1+10%）
D．没有改变
【考点】相似图形．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′， ∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′=∠B． 故选D．
（2012?柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ） /
A．FG
B．FH
C．EH
D．EF
【考点】相似图形．
【分析】观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答．
解：由图可知，点A、E是对应顶点， 点B、F是对应顶点， 点D、H是对应顶点， 所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF． 故选D．
（2017校级模拟）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
/
A.点O?????? B.点P????? C.点M????????? D.点N
解：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．点P在对应点M和点N所在直线上，
故选B．
（2017?绥化）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A．2：3
B．3：2
C．4：5
D．4：9
/
【考点】位似变换．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3， ∴/ 故选：A．
5.（2017校级模拟）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，
0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
/
A．/?? ?B．/????C．/????D．/
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=/（a+1），进而得出点B的横坐标． 解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
/
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE=/（a+1），
∴点B的横坐标是：﹣/（a+1）﹣1=﹣/（a+3）．
故选D．
?
6.（2004?海淀区）某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶
片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为
_______________
【考点】相似图形．
【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似．依据相似形的性质即可解决．
解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm． 故答案为：13．
7.（2017?阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与
△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=____________________
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出 /，求出DE的长即可．
解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0）， ∴AO=1，DO=3， ∴/， ∵AB=1.5， ∴DE=4.5． 故答案为：4.5．
8.（2017?兰州）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，/ ，
则 /=___________．
/
【考点】位似变换．
【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．
解：如图所示： ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴/， ∴/． 故答案为：/．
9.（2017?滨州）在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现
以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为 _______
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的定义，画出图形即可解决问题，注意有两解．
解：如图， / 由题意，位似中心是O，位似比为2， ∴OC=AC， ∵C（2，3）， ∴A（4，6）或（-4，-6）， 故答案为（4，6）或（-4，-6）．
10.（2017?遂宁）如图，直线y=/与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′
O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 __________
/
【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先根据直线y=/ 与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．
解：∵y=/与x轴，y轴分别交于A、B两点， 令x=0可得y=1；令y=0可得x=-3， ∴点A和点B的坐标分别为（-3，0）；（0，1）， ∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2， ∴/
∴O′B′=2，AO′=6， ∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）； 当点B'在第三象限时，B′的坐标为（-9，-2）． ∴B′的坐标为（-9，-2）或（3，2）． 故答案为：（-9，-2）或（3，2）．
11.（2017?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′
是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 _________________
/
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】把B的横纵坐标分别乘以- 得到B′的坐标．
解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3， 又∵B（3，-2） ∴B′的坐标是[3×(?)，-2×(?)]，即B′的坐标是（-2，）； 故答案为：（-2，）．
12.（2016?营口）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△
ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ___________
/
【考点】作图-位似变换．
【分析】直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案．
解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2， 点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（-4，-2）． 故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
/
13.（2017?凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，
已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
/
【考点】SD：作图﹣位似变换；P7：作图﹣轴对称变换．
【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；
（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；
解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形
（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形
如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，
∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2（﹣2，4），B2（4，2），C2（8，10），
∴/=8×10﹣/×6×2﹣/×4×8﹣/×6×10=28．
/
14.（2017?雅安）如图，△ABC中，A（﹣4，4），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2）．
（1）请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；
（2）求出∠A1BlC1的余弦值；
（3）以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的/，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2．
/
【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换；T7：解直角三角形．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用余弦的定义结合勾股定理得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
解：（1）如图所示：△A1BlC1，即为所求；
（2）∠A1BlC1的余弦值为：/=/=/；
（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
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15.（2017?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分
别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的/，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．
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【考点】SD：作图﹣位似变换；Q4：作图﹣平移变换；T7：解直角三角形．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD=2，CD=6，AC=/=2/，
∴sin∠ACB=/=/=/，
即sin∠A2C2B2=/．
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