专题01 解密命题充分必要性之含参问题
一、选择题
1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：设对应的集合分别为，则有以下结论：
（1）若的充分条件，则；
（2）若的充分不必要条件，则? ；
（3）若的充要条件，则。
根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。
2．【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三期中】若关于的一元二次方程有两个实数根，分别是、，则“”是“两根均大于1”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要.
【答案】B
【解析】若，则，但是,满足，但不满足。所以是必要不充分条件。选B.
【点睛】
若，则是的充分条件， 是的必要条件，若存一个，使p成立，但q不成立，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件。
3．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得q:x<-1或x>2,由是的充分不必要条件，得，选B.
4．【江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中2018届高三上学期第一次月考】“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. m> B. m>0 C. 0
1
【答案】B
5．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】∵当 时， 是函数 的一个零点； 故当 时， 恒成立；即 恒成立，故 故选C．
6．【山东省淄博市淄川中学2018届高三上学期第一次月考】已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数y=2x+m﹣1有零点，则： 存在实数解，即函数与函数有交点，据此可得： ，
函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数，则,
据此可得：“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件.
本题选择B选项.
7．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】“ ”是“函数 在 上单调增函数”的 ( )．
A. 充分非必要条件. B. 必要非充分条件.
C. 充要条件. D. 既非充分也非必要条件.
【答案】A
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“? ”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用? 与非?非， ? 与非?非， ? 与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若? ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
8．【广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测】若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵函数 的图象不过第三象限，∴m﹣≥﹣1，解得m≥﹣．
∵“m＞a”是“函数 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3
∴a＜﹣．
则实数a的取值范围是．
故选：D．
点睛：
函数的图象不过第三象限，可得：m﹣≥﹣1，解得m范围．由“m＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出．
9．【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】“”是“函数在区间上为增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据二次函数的单调性求出 的取值范围是解决本题的关键．
二、填空题
10．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空：“a=0”是“函数f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数”的_____．
【答案】充要条件
【解析】当时，函数是偶函数，反过来函数f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数，则 ，则对恒成立，只需，则“a=0”是“函数f（x）=x2+ax（x∈R）为偶函数”的充要条件.
11．【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研】“”是方程有实根的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既非充分也非必要”)
【答案】充分不必要
【解析】由方程有实根，得： ，即，解得：
“”显然能推得“”，但“”推不出“”
∴“”是方程有实根的充分不必要条件
12．【江苏省常州市横林高级中学2017~2018学年第一学期月考】若是上的增函数，且，设， ，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
13．【甘肃省武威市第六中学2018届高三上学期第二次阶段性过关考】设：实数满足，其中， ：实数满足，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________；
【答案】
【解析】P为真时， 当a>0时， ；当a<0时， .
Q为真时， .
因为是的必要不充分条件，则，
所以当a>0时，有，解得；
当a<0时，显然，不合题意.
综上所述：实数a的取值范围是.
14．【江苏省连云港市2016-2017学年高二下学期期末】已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
【答案】
三、解答题
15．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B=?，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【解析】试题分析：首先化简集合B，根据A∩B=?，A∪B=R，说明集合A为集合B在R下的补集，根据要求列出方程求出a,第二步从集合的包含关系解决充要条件问题，p是q的充分条件说明集合A是集合B的子集，根据要求列出不等式组，解出a的范围.
试题解析：
（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，
由A∩B=?，A∪B=R，得，得a=2，
所以满足A∩B=?，A∪B=R的实数a的值为2；
（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A?B，且A≠?，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
16．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知.
（1）若是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：首先分别求出命题p与q所表示的范围，再根据小推大原则转化为集合与集合间的子集关系，其中（2）利用互为逆否命题，可转化为p是q的充分不必要条件，再求m的范围。
17．【河北省曲周县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题： ，命题： .若非是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】试题分析：
首先求得命题p，然后由命题q求得非q，结合题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.
试题解析：
∵命题： ，
命题： .
非： ，
∵非是的必要条件，
所以可得，
∴实数的取值为.
18．【河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】是否存在实数，使是的充分条件？如果存在，求出的取值范围；否则，说明理由.
【答案】当时， 是的充分条件.
【解析】试题分析： 是的充分条件即可转化为两个集合间的关系，令或， ，即求当时的取值范围.
19．【江苏省淮安市淮海中学2018届高三上学期第一次阶段调研测试】设：实数满足，其中； ：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）;(2) .
【解析】试题分析：（1）化简命题p，q中的不等式，若p∨q为真，则p，q至少有1个为真，求出两个命题为真命题的范围，取并集即答案；
（2）记， ，根据p是q的必要不充分条件，即，从而得到a的不等式组，解之即可．
20．【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】已知： （为常数）； ：代数式有意义．
（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】试题分析：（1）通过解不等式得到： ， ： ，求两个不等式的交集即可；
（2）若是成立的充分不必要条件，则，列式求解即可.
试题解析：
： 等价于： 即；
：代数式有意义等价于： ，即
（1）时， 即为
若“”为真命题，则，得：
故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，
（2）记集合，
若是成立的充分不必要条件，则，
因此： ， ，故实数的取值范围是。
21．【辽宁省瓦房店市高级中学2016-2017学年高二下学期期末考】已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}， ．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围．
(2)若A∩B＝?，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）x∈A是x∈B的充分条件即 B；（2）A∩B＝?，即两个集合没有公共元素，利用数轴处理不等式关系.
(2)要满足A∩B＝?，
当a>0时，B＝{x|a则a≥4或3a≤2，即0当a<0时，B＝{x|3a则a≤2或a≥，即a<0.
当a＝0时，B＝?，A∩B＝?.
综上，a的取值范围为∪[4，＋∞)．…
点睛：解决集合问题应注意的问题
①认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
②注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
③防范空集．在解决有关， 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解．
22．【吉林省长春外国语学校2016-2017学年高二下学期期末考】已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】．
试题解析：解：
而 ，
即
考点：充分、必要条件
专题02 或且非命题的真假判断
一、选择题
1．【河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考】已知.
命题对， 有三个零点，命题，使得恒成立.
则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．【北京市海淀首经贸2016-2017学年高二上学期期中】若命题“且”为假，且“”为假，则（ ）．
A. 或为假 B. 为假 C. 为真 D. 为假
【答案】D
【解析】“”为假，则为真，
又“且”为假，为真，
故为假，
故选．
3．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】命题的值不超过，命题是无理数，则（ ）．
A. 命题“”是假命题 B. 命题“”是假命题
C. 命题“”是假命题 D. 命题“”是真命题
【答案】B
【解析】命题为假，，
命题为真，是无理数，
“”为真命题，“”为真命题，
“”为假命题，“”为假命题．
故选．
点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.
4．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】已知互不重合的三个平面， ， ，命题:若， ，则；命题:若上不共线的三点到的距离相等，则，下列结论中正确的是（ ）．
A. 命题“且”为真 B. 命题“或”为假
C. 命题“或”为假 D. 命题“且”为假
【答案】C
5．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第二次月考】已知命题，命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】命题，只需;
命题，有，解得或.
若命题“”是真命题，则命题和命题均为真命题，
有或.
故选A.
点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.
函数的恒成立问题通常是转为找函数的最值来处理，二次方程的根的问题通常是转化为研究判别式和0的关系.
6．【广东省东莞外国语学校2018届高三第一次月考】已知命题： ， ；命题： .则下列结论正确的是（ ）
A. 命题是真命题 B. 命题是真命题
C. 命题是真命题 D. 命题是假命题
【答案】C
7．【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】已知命题 若为假命题，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由为假命题可得p假q真，若p为假，则无解，可得；
若q为真则，所以答案为C
8．【吉林省扶余市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p：存在实数使；命题q：对任意都有，若“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】化简条件p： ，q： ，∵ 为假命题，
∴ p,q都是假命题，所以，解得，故选B.
二、填空题
9．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】若命题且，则为__________．
【答案】或
【解析】且的否定为或，所以“且”的否定为“或”，故答案为或
10．【2016-2017盐城市第一中学高二上期末】命题“?x∈R，x2＋2ax＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为命题“?x∈R，x2＋2ax＋a≤0”是假命题
所以，即，解得：
故答案为：
11．已知命题p：关于x的不等式 的解集是 ，命题q：函数 的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________________．
【答案】()
12．【黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二9月月考】已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】是假命题，，解得，由是真命题，，解得，实数的取值范围是，故答案为.
三、解答题
13．【江西省赣州市南康区第三中学2018届高三第三次大考】已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题： 恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．
【答案】或.
14．【河北省邯郸市鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】已知R，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若且为假， 或为真，求的取值范围；
【答案】（1）[1,2] （2）（－∞,1）∪（1,2]
【解析】试题分析：（1）由对任意，不等式恒成立，知，由此能求出的取值范围；（2）存在，使得成立，推导出命题满足，由且为假， 和为真，知、一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.
15．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】命题p：关于x的不等式的解集为；命题q：函数为增函数．命题r：a满足．
（1）若p∨q是真命题且p∧q是假题．求实数a的取值范围．
（2）试判断命题￢p是命题r成立的一个什么条件．
【答案】(1) ﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；(2) 充分不必要条件
【解析】试题分析：利用判别式求出为真时的取值范围，根据指数函数的图象与性质求出为真时的取值范围，由是真命题且是假命题知一真一假，由此求出的范围。
解不等式得出命题为真时的取值范围，根据集合的包含关系判断命题是命题成立的充分不必要条件。
解析：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为?，
∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，
即3a2+2a﹣1＞0，
解得a＜﹣1或a＞，
∴p为真时a＜﹣1或a＞；
又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，
∴2a2﹣a＞1，
即2a2﹣a﹣1＞0，
解得a＜﹣或a＞1，
（2）∵，
∴﹣1≤0，
即，
解得﹣1≤a＜2，
∴a∈[﹣1，2），
∵?p为真时﹣1≤a≤，
由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，
∴?p?r，且r≠＞?p，
∴命题?p是命题r成立的一个充分不必要条件．
点睛：在条件中，或时一真就为真，且一假即为假，可先计算出都为真命题时的取值范围，然后根据要求再求得范围。
16．【宁夏育才中学2018届高三上学期第一次月考】命题，命题 ．
（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；
（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或（2））或
【解析】试题分析：（1）先分别求命题真时的范围与命题真时的范围，又“或”为假命题等价于“均为假命题”即可求的取值范围；（2） 非,所以“非”是“”的必要不充分条件，解之即可.
（2）非，
所以
考点：1.逻辑联结词与命题；2.充分条件与必要条件.
【名师点睛】本题考查逻辑联结词与充分条件、必要条件，属中档题；复合命题含逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，命题真假的判定要牢固掌握，其规则为:中，当且仅当均为假命题时为假，其余为真；
中，当且仅当均为真命题时为真，其余为假；与一真一假.
17．【山西省河津三中2018届高三一轮复习阶段性测评】已知命题，命题.
（1）分别求为真命题， 为真命题时，实数的取值范围；
（2）当为真命题且为假命题时，求实数的取值范围.
【答案】(1) 为真命题时，m≥-1，q为真命题时；(2) 或.
【解析】试题分析：（1）当为真命题时，可得，求的最小值即可；当为真命题时，可得，解不等式即可。（2）结合（1）将问题转化为“真假”和“假真”两种情况求解。
（2）∵为真命题且为假命题时，
∴真假或假真，
①当真假，有，解得；
②当假真，有，解得；
∴ 所求实数的取值范围。
18．【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第二次月考】已知命题；命题：函数有两个零点，且一个零点比大，一个零点比小，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.
综上所述，实数的取值范围为.
19．【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集为，若为真， 为假，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】试题分析：如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案.
试题解析：若真，则，
真恒成立，设，则
，易知，即，
为真， 为假一真一假，
（1）若真假，则且，矛盾，
（2）若假真，则且，
综上可知， 的取值范围是.
试题点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的单调性，不等式恒成立问题，复合命题，难度中档．
20．【吉林省汪清县第六中学2018届高三9月月考】已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
【答案】m≥3或121．【山西省45校2018届高三第一次联考】已知命题，，命题.
（Ⅰ）分别求为真命题，为真命题时，实数的取值范围；
（Ⅱ）当为真命题且为假命题时，求实数的取值范围.
【答案】(1) ,(2) 或.
【解析】试题分析：（Ⅰ）当为真命题等价于，结合对数函数的单调性可得， 为真时， 且，从而可得结果；（Ⅱ）命题为真命题， 为假命题，则一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组求解，然后求并集即可.
试题解析：（Ⅰ），，，
又时，，
∴为真命题时，.
∵，且，
∴为真命题时，.
22．【齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第一次调研联考】设命题幂函数在上单调递减。命题 在上有解；若为假， 为真，求的取值范围.
【答案】.
【解析】试题分析：由真可得，由真可得 ， 为假， 为真等价于一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.
试题解析：若正确，则，
若正确，
为假， 为真，∴一真一假
即的取值范围为.
专题03 探索否命题和命题的否定的区别
一、选择题
1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中】在命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 0 个
【答案】C
【解析】原命题“若，则”为假命题，其逆命题为“若，则”，也为假命题，故原命题的逆命题、否命题、逆否命题都为假命题，即假命题的个数为3。选C。
2．【河北省衡水市武邑中学2018届高三上学期第三次调研】下列选项中，说法正确的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件
C. 命题“若,则”是假命题
D. 命题“在中，若，则”的逆否命题为真命题
【答案】C
3．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（ ）
A. 命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3
B. 命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0
C. 命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0
D. 命题p的逆否命题是真命题
【答案】D
【解析】命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0的逆命题为：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，A错误；
命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0的否命题为：若，则 ，B、C错误；命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，则命题p的逆否命题是真命题,选D.
4．【山西省河津三中2018届高三一轮复习阶段性测评】已知，命题“若，则”的否命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】由否命题的定义知，命题“若，则”的否命题是“若，则”。选C。
5．【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2018届高三上学期三校联考】若命题“，使得”是假命题，则实数取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
6．【山西省45校2018届高三第一次联考】已知，命题“若，则”的否命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，故选C.
7．【山西省45校2018届高三第一次联考】“若,则”的否命题是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】C
【解析】将原命题的条件和结论同时否定之后，可得原命题的否命题： 若,则.
故选C.
8．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】下列命题中为真命题的是（ ）
A. 命题“若，则”的否命题
B. 命题“若，则”的逆命题
C. 命题“若，则”的否命题
D. 命题“若，则”的逆否命题
【答案】B
9．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（ ）
A. ￢p：?x∈A，2x∈B B. ￢p：?x?A，2x∈B
C. ￢p：?x∈A，2x?B D. ￢p：?x?A，2x?B
【答案】C
【解析】由题意得命题的否定为；故选C.
10．【甘肃省天水三中2018届高三上学期第二次阶段检测】有下列四个命题：
①“若, 则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若,则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④
【答案】C
【解析】“若, 则互为相反数”的逆命题为“若互为相反数, 则”，为真；
“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积相等”，为假；
“若,则有实根”的逆否命题与原命题真假相同，因为时， ,所以有实根，即原命题为真，因此其逆否命题为真；
“不等边三角形的三个内角相等”逆命题为“三个内角相等三角形不等边”，为假；因此选C.
11．【北京市海淀首经贸2016-2017学年高二上学期期中考】若命题“且”为假，且“”为假，则（ ）．
A. 或为假 B. 为假 C. 为真 D. 为假
【答案】D
12．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第一次模拟考】下列判断错误的是
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 若均为假命题,则为假命题
D. 命题：若=-1，则的逆否命题为：若或，则
【答案】D
【解析】对于，由知，不等式两边同乘以得，，反之，若，则取时，不能得到，故是的充分不必要条件，故正确；对于，因为“”是全称命题，故其否定是特称命题，为“”，故正确；对于，若均为假命题，则为假命题，故正确；对于，若，则或的逆否命题为，若且则，D错，故选D.
13．【安徽省太和中学2016-2017学年高二下学期第三次月考】已知命题， ， ，则为（ ）
A. B.
C. D. 不存在
【答案】A
【解析】含有存在量词的命题的否定，只需将存在量词改为特征量词，再将结论否定即可，故本题选．
14．【河北省巨鹿中学2016-2017学年高二下学期第三次月考】设命题，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据可得： ，故选B
二、填空题
15．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】命题“若，则过原点”的否命题是___________.
【答案】若，则圆不过原点
点睛：否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变).
16．【江苏省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】命题“若，则”的否命题是__________.
【答案】若，则
【解析】命题的否命题需要同时否定条件和结论，
则命题“若，则”的否命题是若，则.
17．【宁夏银川一中2017-2018学年高二上学期第一次月考】命题“若，则中至少有一个为0.”的否命题为__________.
【答案】若，则全不为0.
【解析】命题的否命题需要将条件和结论全否，
所以命题“若，则中至少有一个为0.”的否命题为若，则全不为0.
18．【2016-2017盐城市第一中学高二上期末】命题“若则”的否命题是______________.
【答案】若则
19．【北京西城13中2016-2017学年高二上期期中】若命题且，则为__________．
【答案】或
【解析】且的否定为或，所以“且”的否定为“或”，故答案为或
三、解答题
20．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】写出 “若x=2，则x2﹣5x+6=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判其真假．
【答案】详见解析
【解析】试题分析：原命题“若，则”，它的逆命题为：“若，则 ”，它的否命题为“若 则 ”，它的逆否命题为“若，则”，由于时， 成立，原命题为真命题 ， ，逆命题为假，根据互为逆否命题同真假可判断出否命题和逆否命题的真假.
试题解析：
逆命题：若x2﹣5x+6=0，则x=2，
假命题；
否命题：若x≠2，则x2﹣5x+6≠0，
是假命题；
逆否命题：若x2﹣5x+6≠0，则x≠2，
是真命题．
【点睛】本题考查四种命题及四种命题的关系，命题“若，则”，它的逆命题为：“若，则 ”，它的否命题为“若 则 ”，它的逆否命题为“若，则”，由于互为逆否的两个命题同真假，所以只需判断两个命题的真假就够了，说明命题为真命题，需要证明其成立，说明一个命题为假命题只需举一个反例.
专题04 直击轨迹方程问题
一、选择题
1．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】已知正方形的四个顶点分别为， ， ， ，点， 分别在线段， 上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
点睛：求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程
2．【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点， ，动点满足，则点的轨迹为（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】B
【解析】点的坐标为，则，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．
3．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期第8周周考】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是( )
A. (x－1)2＋y2＝4 B. (x－1)2＋y2＝2 C. y2＝2x D. y2＝－2x
【答案】B
【解析】设圆(x－1)2＋y2＝1圆心为C，则P点的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，选B.
点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
4．【四川省达州市高级中学高2015级零诊】若方程C： （是常数）则下列结论正确的是（ ）
A. ，方程C表示椭圆 B. ，方程C表示双曲线
C. ，方程C表示椭圆 D. ，方程C表示抛物线
【答案】B
∵不论 取何值，方程C： 中没有一次项 方程不能表示抛物线，故D项不正确 综上所述，可得B为正确答案 故选B
5．【江西师大附中2017-2018学年上学期高二10月月考】动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
二、解答题
6．【2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三（上）10月月考】已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点G（0， ）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．
【解析】试题分析：（1）由圆的方程求出F1、F2的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，并求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）直线l的方程可设为 ，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得 ，即 ．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．
（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．
则+= ， = ，
假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，
则，即．
∵ ，
∴= + = +
∴ ，解得m=﹣1．
因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．
点睛：本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，第一问中求轨迹问题主要是采用了定义法，除此以外还有直接法，相关点法，消参法等.
7．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.
（1）求点的轨迹方程；
（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方， ，求的范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点的坐标为，利用斜率公式及夹角公式，可得的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出的范围.
方法一：设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，
因为点的坐标为在点的轨迹上，所以
得
，
因为， ，
.
所以解得.
得，代入（1）得
.
因为， ，
.
所以解得.
代入（1）得， ，
， ，
.
所以解得.
方法四：设点的坐标为，点的坐标分别为
直线的斜率，直线的斜率
由得
所以（1）
直线的斜率，直线的斜率
由得
.
所以解得.
点睛：本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
8．【北京昌平一中2016-2017学年高二上学期期中】已知点的坐标为，圆的方程为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且．
（1）求点的轨迹方程．
（2）过点作圆的两条切线， ，分别与圆相切于点， ，求直线的方程，并判断直线与点所在曲线的位置关系．
【答案】（1）（2），相交
试题解析：
（1）设，点的坐标为，动点在圆上运动，点为延长线上一点，且，则点为， 的中点，所以得代入圆的方程．
（2）过点作圆的两条切线， ，分别与圆相切于点， ，则 ，则，设圆以为圆心，以为半径，
，∴，
∴．则EF为圆与圆的公共弦，
联立， ，作差得直线EF方程
∴， ，∴相交．
点睛：本题主要考查了直线与圆的方程的应用，第一问求轨迹的方程是相关点法，设所求点的坐标为，找出所求点与已知点的等量关系，借助已知点所满足的方程求出所求，此外还有定义法，直接法，参数法.
9．【云南省德宏州芒市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知圆C： 为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为M.若点P运动到（1,3）处，求此时切线；
求满足条件的点P的轨迹方程.
【答案】(1) 或；（2）
【解析】试题分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线方程；
（2）设出P点的坐标，代入两点间距离公式，化简即可得轨迹方程.
（2）设,则，
，由得： ，
化简得：
点睛：本题主要考查直线与圆相切，点斜式求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，分析斜率存在与不存在两种情形，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于的关系，化简即可求出轨迹方程.
10．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】两点，，曲线上的动点满足．
（Ⅰ）求曲线的方程．
（Ⅱ）曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) (2) 存在和
【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义判断并确定基本量，写出其标准方程（2）设点坐标，利用向量数量积得点坐标关系式，再与椭圆方程联立解方程组可得点的坐标
（Ⅱ）假设存在点，
∵，，
∴，
，
∴
．
∴，
，
∴存在和，
满足条件．
11．【云南省昆明一中2018届高三一模】已知动点满足： .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析.
试题解析：（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，
且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，
所以，动点的轨迹的方程： .
12．【湖北省沙市中学2017-2018学年高二上学期第三次双周考】已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，当|PQ|＝3时，求直线l的方程。
【答案】（1）x2＋y2＝3.（2）.
【解析】试题分析：（1）设A(a，a)，B(b，－b),根据AB的长为2得(a－b)2＋(a＋b)2＝12，再根据D是AB的中点得a－b=2y,a+b=2x,代入化简可得点D的轨迹C的方程（2）设直线点斜式方程，根据垂径定理列式解斜率，最后讨论斜率不存在时是否满足题意
试题解析：解： (1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),
∵?D是AB的中点， ∴x＝，y＝，
∵ |AB|＝2，∴(a－b)2＋(a＋b)2＝12，
∴(2y)2＋(2x)2＝12，∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝3.
(2) ①当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，－)，
此时|PQ|＝2，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由于|PQ|＝3，所以圆心C到直线l的距离为，
由＝，解得k＝.故直线l的方程为y＝(x－1).
13．【2018届云南省名校月考（一）】已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在上，连结并延长至点，使得，设点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，点，连结交于点，若直线的斜率与直线的斜率存在且不为零，证明: 这两条直线的斜率之比为定值.
【答案】（1）；（2）2
试题解析：（1）设椭圆的长轴为，短轴长为，焦距为，则，所以.因为，所以，又点在上，故，所以.设，则，化简得.所以.
（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为，则， ，所以.因为，则，同理，当时，
14．【云南省昆明一中2018届高三第二次月考】已知点在圆上， 的坐标分别为， ，线段的垂直平分线交线段于点
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设圆与点的轨迹交于不同的四个点，求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.
【答案】（1）（2）矩形的面积的最大值为，此时，
四个点的坐标为： ， ， ， ．
【解析】试题分析：（1）由线段垂直平分线性质得，再根据椭圆定义确定轨迹，最后根据基本量求方程（2）由题意得四边形为矩形，各点关于对称轴对称，因此可设点坐标，表示四边形的面积，再根据基本不等式求最值，最后求对应点坐标
所以，
当且仅当，即， 时，取“”，
所以矩形的面积的最大值为，此时，
四个点的坐标为： ， ， ， ．
15．【河北省定州中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】如图，设 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数，
（1）求点 的轨迹曲线 的方程：
（2）过定点的直线 交曲线 于 两点，以 三点（ 为坐标原点）为顶点作平行四边形 ,若点 刚好在曲线 上，求直线 的方程．
【答案】（1） ;(2) ;
【解析】试题分析：
(Ⅰ)设点M的坐标为M（x，y），结合点到直线距离公式可得，整理可得曲线C的方程为.
(Ⅱ)很明显直线斜率不存在时不满足题意，当直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得到关于斜率的方程，解方程可得，则直线 的方程是.
（Ⅱ）当直线l 2的斜率不存在时，显然不适合题意；
当直线l 2的斜率存在时，设直线l 2的方程：
联立方程：，得，
设，，则，，
即P,又点P刚好在曲线C上，∴
解得：.
所以直线l 2的方程为：
16．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二12月月考】已知动点到定点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，且为线段中点，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）按照题目意思点到点的距离与点到线的距离成比例列出轨迹方程
(2)因为知道中点，可以采用点差法求得直线方程
试题解析： 到定点的距离与到直线的距离之比为
…(3分)点的轨迹的方程为.
注：此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分.
解法二：设，，中点不在轴上，.
设联立
直线的方程为。
点睛：当题目的条件里给出了“某条直线与曲线相交两点，一点为中点”并给出点坐标时，往往可以运用点差法求出直线斜率，然后再求出直线方程。将问题转化为其几何意义，先求斜率再求直线方程。
17．【江西科技学院附属中学2017-2018学年上学期高二第一次月考】已知， ，动点满足.设动点的轨迹为.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析（2）.
【解析】试题分析：（1）先将条件化简即得动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是图形：轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段PQ为直径的圆经过A，再利用PA⊥QA，求出m的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
18．【湖北省黄冈中学2017届高三下学期高考三模】如图，在平面直角坐标系中，已知圆： ，点，点（），以为圆心， 为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.
（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；
（2）已知直线 过点 ，且与曲线交于 两点，记面积为， 面积为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（I）推导出△QAB≌△QPB，从而QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点， 的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程． （II）设直线l：x=my-1，设M（x1，y1），N（x2，y2），推导出，由得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出的取值范围.
（2）由题可知，设直线 ： ，不妨设 ，
∵
，
∴，
∴ .
19．【四川省宜宾市南溪区第二中学校2016-2017学年高二上学期期末】已知点是平面直角坐标系中的动点，，，在中，.
(Ⅰ) 求点的轨迹的方程及求的周长的取值范围；
(Ⅱ) 直线与轨迹的另一交点为，求的取值范围.
【答案】(1) 点的轨迹方程为. 的周长的取值范围 (2)
【解析】试题分析：（Ⅰ）?利用直接法求点 的轨迹 的方程；利用特殊位置，即可求 的周长的取值范围； （Ⅱ）?直线 与轨迹 的另一交点为 ，
，利用韦达定理，即可求的取值范围．
试题解析：(Ⅰ)由已知有，
∴点的轨迹方程为.
∵在中，，则
的周长
∴的周长的取值范围.
∴的取值范围为.
【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系的运用，对学生的思维能力和计算能力要求较高
20．【广东省汕头市金山中学2018届高三上学期期中】在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, 异于点R的点Q满足： ， .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线
的弦. ，设. 的中点分别为．
问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，
如果不是，说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直线恒过定点 ．
【解析】试题分析: （1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程． （2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点．
(Ⅱ) 设， ，
由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，设直线AB的方程为
则
（1）—（2）得，即，
代入方程，解得．所以点Ｍ的坐标为．
同理可得： 的坐标为．
直线的斜率为，方程为
，整理得，
显然，不论为何值， 均满足方程，所以直线恒过定点 ．
专题05 探索离心率问题
一、选择题
1．【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】C
【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选C.
2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】过双曲线右焦点作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
3．【天津市耀华中学2018届高三第一次月考】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得 ,选D.
4．【山西省山大附中等晋豫名校2018届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．设、分别为双曲线（， ）的左、右焦点， 为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由定义知：
当且仅当，设时取得等号，
即
又双曲线的离心率,
故答案选
点睛：根据双曲线的定义给出的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.
6．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
7．【河南省商丘市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】为等边三角形，不妨设
为双曲线上一点，
为双曲线上一点,
由
在中运用余弦定理得：
,
故答案选
点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。
8．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．【山西省大同市第一中学2017届高三上学期11月月考】已知双曲线C： -=1（a＞0，b＞0）的右焦点F和A（0，b）的连线与C的一条渐近线相交于点P，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. 3 B. C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】由题意知，右焦点为。设点P的坐标为，则
∵，
∴,
解得，故点P的坐标为，
又点P在渐近线上，
∴，即。
∴。选D。
10．【云南省红河州2017届高三毕业生复习统一检测】已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】C
故答案选
点睛：圆的方程已经确定，那就可以根据点到直线的距离计算出的数量关系。在处理解析几何的题目时往往要转化为点点距离或者点线距离，有弦长时还可以考虑弦长公式。
11．【江西省南昌市2018届高三上学期摸底】已知双曲线 的左右焦点分别为， 为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出的坐标，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.
12．【云南省红河州2017届高三毕业生复习统一检测】已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，则双曲线的渐近线为
则当时，
设
∵若坐标原点恰为△ABF2的垂心，
∴OA⊥BF2，即，
即，则，即，
∵ ∴，则
则离心率，故选：C．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
13．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
故选 C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，特别是椭圆离心率的求法，利用已知几何条件建立关于 的等式，是解决本题的关键
14．【江西省抚州市南城县第二中学2016-2017学年高二下学期第一次月考】设 分别是双曲线 的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使 ，且 ，则双曲线离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，所以，由的余弦定理，可得即，选B.
二、填空题
15．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知双曲线，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
【答案】2或
点睛：求双曲线离心率的常用方法
（1）根据题意直接求出，由求解；
（2）根据条件求得间的关系，由求解；
（3）根据条件得到间的二次关系式，然后利用化为关于的二次方程求解。
16．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中】已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_______．
【答案】4
点睛：求双曲线离心率的常用方法
（1）根据题意直接求出，由求解；
（2）根据条件求得间的关系，由求解；
（3）根据条件得到间的二次关系式，然后利用化为关于的二次方程求解。
17．【北京市海淀区育英学校2017学年高二上学期期中】已知，是椭圆在左，右焦点，是椭圆上一点，若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率等于__________．
【答案】或
【解析】由是等腰直角三角形，若为直角顶点，即有，
即为，即有．则．
角或角为直角，不妨令角为直角，此时，代入椭圆方程，得．又等腰直角，得，故得，即，即．得，又，得．
故椭圆离心率为或．
点睛：这个题目考考查了分类讨论的思想，已知是等腰直角三角形，可得到要讨论哪个角是直角，若为直角顶点，可得，进而求得离心率。令角为直角，此时，代入椭圆方程得到基本量的关系。
18．【2016-2017北京西城14中高二上期中】已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________．
【答案】
19．【北京朝阳工大附2016-2017学年高二上学期期中】在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心， 为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率__________．
【答案】
【解析】如图，
20．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】由题知．
21．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】设椭圆的两个焦点分别为， ，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于__________．
【答案】
【解析】设到位于轴上方，坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴，即，
即，
∵，
∴， ，
∴．
22．【北京市西城育才中学2016-2017学年高二上期中】双曲线的焦点坐标为__________；离心率为__________．
【答案】
【解析】∵，焦点坐标为；
∴．
23．【北京通州潞河中学2016-2017高二上学期期中】椭圆的离心率是___________.
【答案】
24．【2018届云南省名校月考】已知是双曲线的一个焦点， 为坐标原点， 是上一点，若是等边三角形，则的离心率等于__________．
【答案】
【解析】设， 是等边三角形，所以，代入化简得： ，所以的离心率，故答案为.
25．【江西省南城县第二中学2016-2017学年高二上学期第二次月考】已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．
【答案】
在 中， 即有 故点的坐标为代入双曲线方程得 即为 ，即 则
故答案为
【点睛】本题考查双曲线的简单性质：离心率，在解题时根据题意求得注意运用点满足双曲线的方程是解题的关键，
专题06 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用
一、解答题
1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）证明：
由题意设直线的方程为，
由消去y整理得，
设，，
则，，
故定点的坐标为.
点睛：解析几何中定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知离心率为的椭圆的一个焦点坐标为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，求的取值范围.
【答案】（1）;（2）
【解析】试题分析：（1）由离心率为，及一个焦点坐标为，求出基本量，可得椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积公式，即可求得的取值范围．
由
由知；
综上所述： .
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，向量知识的运用，以及分析解决问题的能力，其中灵活应用韦达定理是解题的关键
3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点， 是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；
（2）记直线的斜率分别为，求的值.
【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）
【解析】试题分析; （1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可 的值；
因为的重心的纵坐标为，
所以，所以，所以，
所以，
又
.
所以.
4．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若斜率为1的直线交双曲线于两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程.
【答案】（1）;（2）
【解析】试题分析: （1）利用双曲线 与椭圆有公共焦点，且离心率为.，求出基本量，即可求双曲线的方程； （2）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，结合弦长公式，即可求方程．
∴， ，∴.
∴直线方程为.
5．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，
，求证： 为定值．
【答案】(1) ;(2)详见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.
方法一：因为，所以.
同理，且与异号，
所以
.
所以， 为定值.
当时，同理可得.
所以， 为定值.
方法三：由题意直线过点，设方程为 ，
将代人得点坐标为，
由 消元得，
设， ，则且，
因为，所以.
又当直线与轴重合时， ，
所以， 为定值.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率.
6．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】已知双曲线： （）的离心率为，虚轴长为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点， 为坐标原点，求的面积．
【答案】．（1）;（2）
【解析】试题分析：（1）由题意得，解出a,b,c即可得到双曲线的方程；（2）根据条件得到直线的方程为，将此方程与双曲线方程联立，运用代数方法求得弦长及原点到直线的距离d，可求得三角形的面积。
试题解析：
(1)依题意可得，
解得，
∴双曲线的标准方程为．
又原点到直线的距离为，
∴。
点睛：双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝|x1－x2|。
7．【江苏省清江中学2017-2018学年高二上学期期中】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似。
（1）已知椭圆，写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；
（2）从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为+=1 (ab0)，AC与BD的斜率之积为－，求椭圆的离心率。
【答案】（1）；（2）．
试题解析：
（1）椭圆的方程为：
设直线的方程为，
由消去y整理得
所以直线的方程为，
由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，
即方程有两个不同的实数解，
所以，
解得或（舍去）。
所以实数的取值范围为。
（2）设外层的椭圆的方程为，
设切线的方程为,
由消去y整理得
∵直线与椭圆相切，
∴，
即椭圆的离心率为。
点睛：（1）本题以新定义的形式考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系，对于直线和椭圆位置关系的考查体现在用方程的方法去解题，注意“设而不求”、一元二次方程的判别式、根与系数关系的运用。
（2）解析几何中的对称问题一般要涉及到垂直和平分两个方面的内容，如在本题中根据M,N关于直线对称可设直线的方程为（垂直），再根据的中点在直线上（平分）可消去参数，以达到求解的目的。
8．【河北省唐山市一中2017-2018学年上学期高二期中考】已知抛物线和直线， 为坐标原点．
(1)求证： 与必有两交点；
(2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：把直线方程和抛物线方程联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明与必有两交点，只需证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜率的值．
【点睛】证明与必有两交点，只需联立方程组，代入消元后得出一元二次方程，证明判别式大于零，利用设而不求思想先设出点A、B的坐标，根据直线和斜率之和为，列出两点坐标的关系，由于两点坐标满足直线的方程，所以把代入化为的关系，把根与系数关系代入后求出斜率的值．
9．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点.
（1）设的斜率为1，求；
（2）求证： 是一个定值.
【答案】(1) （2）见解析
【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
试题解析：
(1)解：∵由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，
∴直线的方程为
设，由
得，
∴，
由直线过焦点，则.
∴是一个定值.
点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.
10．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;??(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.
【答案】(1) ,(2) O到直线 的距离为定值.
【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；
（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；
试题解析：(1)由右焦点为(,0),则 ,又离心率为,所以 , ，
则
(2) 设 , ,若k存在,则设直线AB:y=kx+m.
得
点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．
11．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（Ⅰ）分析题意可得点满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（Ⅱ）先由直线与相切得到，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得，由且，进一步得到k的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求的取值范围。
试题解析：
（Ⅰ）∵
∴为线段中点
∵
∴为线段的中垂线
∴
（Ⅱ）∵圆与直线相切，
∴，即，
由，消去.
∵直线与椭圆交于两个不同点，
∴，
将代入上式，可得，
设， ，
则， ，
∴ ，
∴ ，
∴
故面积的取值范围为。
点睛：解决解析几何综合题时一般会涉及到复杂的运算，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算。另外，对于解析几何中的范围、最值的问题，要结合函数的性质求解或利用基本不等式求解。
12．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。
（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，则a2=4b2， 将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8， ∴椭圆的方程为： ；
由，则+=0，
化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，
则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，
当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.
13．【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】已知椭圆（）的一个焦点是， 为坐标原点，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，过点的直线交椭圆于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足，当，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：根据c=1,短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出a,b，写出椭圆的方程，设AB的方程，联立方程组，代入整理，利用 设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于，解出的范围 。
由，得
，
则，
由点在椭圆上，得，
化简得，
因为，所以，
即，
所以，
所以，即的取值范围为．
【点睛】根据题找出a,b,c的关系，解方程组得出a,b，写出椭圆的方程，根据直线的要求设AB的方程，联立方程组，代入整理，利用设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于，解出的范围 。
14．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．
(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；
（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.
【答案】（1）8；（2）证明见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；
（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
试题解析：
(1)解, ,
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
15．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 以线段为直径的圆恒过点.
【解析】试题分析：（1）通过椭圆的几何意义得到椭圆的方程；（2）先考虑直线的特殊情况，和轴垂直，和轴平行，通过这两种情况得到最终结果再证明一般情况. 以线段为直径的圆恒过点，转化为，通过韦达定理解决即可。
（1）椭圆方程为.
（2）当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为；
当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为.
故若存在定点，则的坐标只可能为.
下面证明为所求：
若直线的斜率不存在，上述己经证明.
若直线的斜率存在，设直线， ，
点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。
16．【江西省宜春市丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学2017届高三六校联考】椭圆： 的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆上两点， 关于直线对称，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：
(1)由题意求得， ，∴椭圆的方程为．
(2)当直线斜率存在且时，联立直线与椭圆的方程计算可得假设 不成立；
当直线的斜率时，面积函数，结合椭圆方程和均值不等式的结论可得面积的最大值为.
由得，
，即，①
设的中点为，则， ，
点在直线上，∴，故，②
此时与①矛盾，故时不成立．
当直线的斜率时， ， （， ），
的面积，
∵，
∴，
∴面积的最大值为，当且仅当时取等号．
17．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证： 为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
试题解析：（1）由椭圆方程可知： ，焦点在轴上， ，即，由，即，将点代入，解得， 椭圆方程为.
(2)设， 直线的方程是， ，整理
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
18．【苏教版2017－2018学年高中数学选修1－1 模块综合检测】已知点是椭圆E： (a>b>0)上一点，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆E交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
【答案】（1）（2）(0，)．
【解析】试题分析：（1）根据离心率得a,b,c三者关系，再代入点可得a2＝4，b2＝3.（2）因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得 ，再直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入关系式得，根据点到直线距离公式得高，根据弦长公式得底边边长，结合三角形面积公式得关于m函数关系式，最后利用基本不等式求最值，得取值范围
试题解析：解：(1)由题意知，＝，
所以＝，a2＝b2.
又＋＝1，解得a2＝4，b2＝3.
因此椭圆E的方程为
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得，
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0.
所以·＝＝k2，
即(4k2－3)m2＝0，
∵m≠0，∴k2＝.
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ>0，
得0设d为点O到直线l的距离，
则S△OPQ＝d|PQ|
＝× |x1－x2|
＝|m|
又因为m2≠3，
所以S△OPQ＝<×＝.
所以△OPQ面积的取值范围为(0，)．
19．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于， 两点， 为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程．
（II）设，延长， 分别与椭圆交于， 两点，直线的斜率为，求证： 为定值．
【答案】（I）；（II）见解析.
试题解析：
（I）由题意，得解得，
∴，
故椭圆的方程为．
（II）设， ，
由已知，直线的方程为，即．
由消去并整理，得．
∵， ，
∴，
∴为定值．
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
专题08 解密导数的几何意义
一、解答题
1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）证明：
由题意设直线的方程为，
由消去y整理得，
设，，
则，，
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）;（2）直线过定点
【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设，则，
则；
同理： ；
.
由在直线上（1）；
由在直线上将（1）代入 （2）
将（2）代入方程，即可得出直线过定点．
（2）设，则，
则即；
同理： ；
.
由在直线上，即（1）；
由在直线上将（1）代入 （2）
将（2）代入方程，易得直线过定点
3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点， 是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；
（2）记直线的斜率分别为，求的值.
【答案】（1）方程为;其焦点坐标为（2）
【解析】试题分析：（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可 的值；
所以，
又
.
所以.
4．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，
，求证： 为定值．
【答案】(1) ;(2)详见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.
由，消元得，
设， ，则且，
方法一：因为，所以.
同理，且与异号，
所以
.
所以， 为定值.
当时，同理可得.
所以， 为定值.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率.
5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点.
（1）设的斜率为1，求；
（2）求证： 是一个定值.
【答案】(1) （2）见解析
【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
试题解析：
(1)解：∵由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，
∴直线的方程为
设，由
得，
∴，
由直线过焦点，则.
点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.
6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;??(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.
【答案】(1) ,(2) O到直线 的距离为定值.
【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；
（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；
有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离 ， 当AB的斜率不存在时, ,可得, 依然成立.所以点O到直线的距离为定值 .
点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．
7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线渐近线方程为， 为坐标原点，点在双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。
（Ⅱ）由题意知。
设直线方程为，
由 ，解得，
∴。
由直线方程为.以代替上式中的，可得
。
∴。
8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。
又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），
因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），
由，则+=0，
化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，
则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，
当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.
9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，若， ，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2） 设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) ;(2)1.
（2）由（1）知，直线的方程为： ，由此可得
.，又∵，∴ 的方程为，可得
则可得，又，∴ .，故.
当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.
综上，可知为定值1.
有，则
∵，综合可得：
∴椭圆的方程为： .
（2）由（1）知，直线的方程为：
即： ，所以
∴.
∵，∴ 的方程为，令，可得，∴
则
【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大．
10．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．
(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；
（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.
【答案】（1）8；（2）证明见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；
（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
试题解析：
(1)解, ,
(2)证明 由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
11．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 以线段为直径的圆恒过点.
【解析】试题分析：（1）通过椭圆的几何意义得到椭圆的方程；（2）先考虑直线的特殊情况，和轴垂直，和轴平行，通过这两种情况得到最终结果再证明一般情况. 以线段为直径的圆恒过点，转化为，通过韦达定理解决即可。
若直线的斜率不存在，上述己经证明.
若直线的斜率存在，设直线， ，
.
∴，即以线段为直径的圆恒过点.
点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。
12．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证： 为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率，求得，由，得，将点代入，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）设， 直线的方程是与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将用 表示，化简后消去即可得结果.
试题解析：（1）由椭圆方程可知： ，焦点在轴上， ，即，由，即，将点代入，解得， 椭圆方程为.
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
13．【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于， 两点， 为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程．
（II）设，延长， 分别与椭圆交于， 两点，直线的斜率为，求证： 为定值．
【答案】（I）；（II）见解析.
【解析】试题分析：（I）依题意,得,再由求得,从而可得椭圆的标准方程; （II）设， 可求得直线的方程为,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得,进一步可求, 同理,从而可得,化简运算即可.
则，∵ ，∴ ，
∴．
∴，同理．
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知平面内的动点P到定直线l：x＝的距离与点P到定点F(，0)之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？
【答案】(1) (2) k1·k2＝－
【解析】试题分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1·k2＝－证明原式．
15．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】如图，已知椭圆的左焦点为，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1) 由题意可知，令，代入椭圆可得，又，解出a,b,可得椭圆方程;(2) 由（1）可知， ，代入椭圆可得，所以， 因为直线的倾斜角互补，所以直线的斜率与的斜率互为相反数；设直线方程为： ，与椭圆方程联立,根据韦达定理可求出点M的坐标,同理求出N点坐标,根据两点的斜率公式,代入化简可得定值.
试题解析:
（1）由题意可知，
令，代入椭圆可得，所以，又，
两式联立解得： ，
.
所以， ， ，
又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代替，可得
， ,
所以直线的斜率，
即直线的斜率为定值，其值为.
点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
16．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线， ， （在轴的右侧）为曲线上的两点，点，且满足．
（Ⅰ）求曲线的方程．
（Ⅱ）若，直线的斜率为，过， 两点的圆与抛物线在点处共同的切线，求圆的方程．
（Ⅲ）分别过， 作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证： 与均为定值．
【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得曲线为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB方程与抛物线方程解出A,B两点坐标，再利用导数求出在点处的切线的斜率，则得圆心与A连线的直线方程，设圆一般式方程，利用三个条件解方程组得圆的方程．（3）设， ， ，则利用导数求出在点处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，同理可得，即得两根为，利用韦达定理化简直线AB斜率得，即得AB方程为，因此，再根据向量数量积可计算得=0
（Ⅱ）直线的方程为，
即，
由，得， ．
∵，即，
．
∴抛物线在点处切线的斜率
．
直线的方程为，
∴圆的方程为，
整理得．
（Ⅲ）设， ， ，
过点的切线方程为，
即，
同理得，
∴， ，
又∵，
∴方程为： ，
∴与均为定值．
点睛：1.求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
17．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为.
（l）求抛物线的方程；
（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程，及，，设过点的直线的方程为,代入得,由韦达定理可求得为定值上。
（2）∵点在抛物线上，且.
∴
∴，设过点的直线的方程为，即，
代入得，
设，，则，，
所以.
18．如图，椭圆经过点，且离心率为．
（）求椭圆的方程．
（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）．（）斜率之和为定值．
【解析】（1）根据题意知：，，结合，解得：
，，，
∴椭圆的方程为：．
故直线、斜率之和为定值．
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
19．【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.
（1）求该抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.
【答案】（1）.（2）
【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求; (2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程 ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.
（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，
设直线的方程为： ，
联立，得，
则①.
设，则.
∵
即，得： ，
∴，即或，
代人①式检验均满足，
∴直线的方程为： 或.
∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
20．【云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试】已知动点满足： .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析.
试题解析：（1）由已知，动点到点， 的距离之和为，
且，所以动点的轨迹为椭圆，而， ，所以，
所以，动点的轨迹的方程： .
直线的方程为： ，所以，
令，则，
所以直线与轴交于定点.
专题08 解密导数的几何意义
一、选择题
1．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对函数，求导可得，∵在点处的切线方程为，∴，∴，∴在点处切线斜率为4，故选C.
2．【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】若实数满足，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
由，得，
令，得，
解得或（舍去）。
所以切点为。
故点到直线的距离为。
故曲线上的点到直线的最小距离为。
∴的最小值为5。 选C。
点睛：本题若直接求解则感到无从下手，故从所求式子的几何意义出发，将问题转化为曲线与直线上两点间的距离来处理。然后借助于导数的几何意义，转化成直线与其平行的曲线的切线间的距离问题处理，这样使得问题的解决变得直观、简单。
3．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
4．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中考】已知函数，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得， ，选A.
5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设曲线在点(2,0)处的切线方程为，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】由题可知： ，故切线的斜率为： 由
6．【湖北省宜昌市葛洲坝中学2018届高三9月月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )
A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条
【答案】A
【解析】设切点为，则切线方程为，因为过A(2,1)，所以
令，而，所以有三个零点，即切线最多有3条，选A
7．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二数学】抛物线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．【内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三9月月考】已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线 垂直的切线，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ∵曲线 存在与直线 垂直的切线， 成立，
故选A
9．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二10月月考】抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由 得 令 ，易得切点的横坐标为 即切点 利用点到直线的距离公式得
故选C
10．【宁夏银川一中2018届高三上学期第二次月考】设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为
A. －1≤a<2 B. －1≤a≤2 C. a≤2 D. 1≤a≤2
【答案】B
点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域； 的值域与的值域交集非空。
二、填空题
11．【四川省成都市郫都区2018届高三阶段测试（期中）】已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值是__________.
【答案】
【解析】依题意得： ， =， ，点处的切线的方程为： ，
即，设切线与曲线的切点为
则，解得： ,∴
故答案为：4
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
12．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】若函数与函数有两个公切线，则实数取值范围是__________.
【答案】
点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：
①已知切点求切线方程；②已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；③已知曲线求切线倾斜角的取值范围．
13．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知曲线上一点，则在点P处的切线的倾斜角为________．
【答案】45°
【解析】∵y＝x2－2，∴
∴当Δx→0时， →x.
∴y′|x＝1＝1，∴在点处的切线斜率为1，
切线倾斜角为45°.
答案：45°
14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.
【答案】3
15．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】若曲线的切线斜率恒为非负数，则实数的最小值是__________．
【答案】0
【解析】根据导函数的几何意义得到，曲线上在某点处的切线即在这个点处的导数值， ， ，根据题意即 在恒成立，变量分离得到 ，其中x的范围是，故得到 ，故a的最小值为0.
故答案为0.
16．【广东省揭阳市第三中学2016-2017学年高二复习检测试题】一点沿直线运动，如果由始点起经过秒后的位移是，那么速度为零的时刻是_______________。
【答案】
【解析】，∴，由，即，∴解得，故答案为.
17．【河南省南阳一中2018届高三上学期第三次考试】经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．
【答案】y=0或9x+4y=0
【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．
三、解答题
18．【湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟2018届高三上学期期中联考】已知函数.
（1）证明：曲线在处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】(1)答案见解析；(2)2.
【解析】试题分析：（1）求出导函数，得出切线方程，化为斜截式可得出定点坐标； （2）构造函数，把恒成立问题转化为最值问题进行求解即可．
试题解析：（1），所以，
所以，
所以处的切线为，
所以，恒过；
令，可知为减函数，因为，所以整数的值为.
19．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）设，证明：函数图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析，定值为6.
【解析】试题分析：（1）己知在x=2处的切线方程，切线方程中代入x=2,得y=,所以，可解得a,b.( 2) ,设切点设，求出切线方程及切线在x轴,y轴上的交点A,B坐标，由可求解。
（2）由题意知， .
设为函数图象上的任一点，
则过点的切线方程为，
令，则；令，则，
所以过点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为，
故函数图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6.
【点睛】
可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。
20．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】求过点且与曲线在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．
【答案】2x－y＋4＝0.
【解析】试题分析：利用导数的定义先求出斜率，再由点斜式写直线方程即可.
点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别。
（1）“曲线在点P处的切线”表示点P为切点，且点P在曲线上，过点P的切线只有一条；
（2）“曲线过点P的切线”表示点P不一定在曲线上，即使点P在曲线上时也不一定为切点，此时过点P的切线不一定只有一条。
21．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知曲线y＝x3，求：
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程．
【答案】（1）3x－y－2＝0；（2）3x－y－2＝0
【解析】试题分析：（1）求出y的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程； （2）设切点为(x0，y0)，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得x0，进而得到切线的方程.
试题解析：
y′＝3x2.
(1)当x＝1时，y′＝3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别。
（1）“曲线在点P处的切线”表示点P为切点，且点P在曲线上，过点P的切线只有一条；
（2）“曲线过点P的切线”表示点P不一定在曲线上，即使点P在曲线上时也不一定为切点，此时过点P的切线不一定只有一条。
专题09 解密含参函数的单调性
一、选择题
1．【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
]∴。
∴。选C。
点睛：函数的单调性与导函数的关系
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．
2．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时， ，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B
3．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
4．【河北省鸡泽县第一中学2017学年高一上学期第二次月考】若二次函数f（x）=x2+ax+4在区间（-∞，3）单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. （-6，+∞） B. [-6，+∞） C. （-∞，-6） D. （-∞，-6]
【答案】D
【解析】二次函数的单调区间和函数的对称轴有关系，此函数的对称轴是 ，函数在 上是减函数，故要求 故
故结果为D.
二、填空题
5．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 阶段质量检测】若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵f′(x)＝4x－＝，x>0，
∴当0时，f′(x)>0，f(x)为增函数，依题意得
∴1≤k<.
答案：
6．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 阶段质量检测】已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
因此Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤，所以实数a的取值范围是．
答案：
7．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 阶段质量检测】若函数在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．
【答案】[－2，＋∞)
8．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】在上恒成立，所以最大值
令，则，当时
点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.
三、解答题
9．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设为实数，函数
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，
【答案】（1）见解析；（2）见解析
试题解析：（1）解：由知， ．
令，得.于是，当变化时， 和的变化情况如下表：
0
+
单调递减
单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是． 在处取得极小值，极小值为．
（２）证明：设，于是，由（1）知，对任意,都有，所以在R内单调递增，于是，当时，对任意，都有，而，从而对任意，都有，即故
10．已知函数，且．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）
【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）根据前一问直接给出答案即可.
（Ⅱ）因为，所以 .
当时，定义域为 .
且
故的单调递减区间为 ……5分
当时，定义域为. 当变化时， ， ：
x
—
0
+
0
—
单调减
极小值
单调增
极大值
单调减
故的单调递减区间为， ，
单调递增区间为．
综上所述，
当时， 的单调递减区间为；
当时，故的单调递减区间为， ，
单调递增区间为．
（Ⅲ）
11．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明： .
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
试题解析：（1）定义域为，
若， ， 在上单调递增
若， ，
所以，当时， ，当时，
综上：若， 在上单调递增；
若， 在上单调递增，在上单调递减
点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.
12．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知函数.
（1）证明：函数在区间上是减函数；
（2）当时，证明：函数只有一个零点.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）只需证明f(x)的导函数恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数的范围。（2）当时， ，其定义域是，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。
试题解析：（1）显然函数的定义域为.
∴ .
∵， ，∴， ，∴，
所以函数在上是减函数.
【点睛】
当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递增，当在某个区间D上恒成立 时，f(x)在区间D上单调递减。
求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。
13．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）如果，在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）如果在上恒成立，即在恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可
②当时， ，得，
在区间上， ，
在区间上， ，
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为；
（Ⅲ）如果在上恒成立，
即在恒成立，
令， ，
，
令，解得： ，
令，解得： ，
故在递增，在递减，
故，
故．
点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（Ⅲ）的关键.
14．已知，
（1）写出的定义域. （2）求的单调区间.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据定义域求法即得（2）求单调区间可通过解导函数大于零和小于零的不等式得到单调区间，但要注意分a大于零和小于零的情况
②当时，在上；在上
的递增区间为；递减区间为
15．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设， .
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调区间（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围
（2）由（1）知， .
①当a时， 单调递增.
所以当时， ， 单调递减.当时， ， 单调递增.
所以在处取得极小值，不合题意.
②当时， ，由（1）知在内单调递增，
可得当时， ， 时， ，
所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.
16．【四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试】函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，求证：.
【答案】（Ⅰ）a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．(Ⅱ) 证明见解析．
【解析】试题分析：
（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；
（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.
试题解析：
（Ⅰ）．
当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．
即在上单调递减；在上单调递增；
综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是．
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
17．【广东省兴宁市沐彬中学2018届高三上中段】若，
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性。
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求定义域，当时， 求出 ，得到切线斜率，求出切点坐标，然后求解曲线 在点 处的切线方程．
（1）．对分类讨论：当时，当时利用导数研究函数的单调性即可得出．
试题解析：
定义域为
（1）， ，
切线方程为，即
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、单调性，其中分类讨论思想方法、推理能力与计算能力是考查的重点
18．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求实数a的取值范围．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】试题分析：若f(x)在(0,1]上单调递增，则，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立，令g(x)＝－，只需a≥g(x)max即可.
试题解析：
由已知得f′(x)＝2a＋，
∵f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．
令g(x)＝－，而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
当a＝－1时，f′(x)＝－2＋.
对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.
∴a＝－1时，f(x)在(0,1]上为增函数．
∴综上，f(x)在(0,1]上为增函数，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！
19．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.讨论f(x)的单调性．
【答案】见解析
【解析】试题分析：函数求导，根据导数大于0得增区间，导数小于0得减区间.
f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(－1＋，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)是增函数．
20．已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：本题可以先用数量积的运算计算出，在对的导数判断函数的单调性转化为在区间上恒成立，利用分离参数的思想即在区间上是恒成求出的最大值即可.
点睛：导数是判断函数的单调性或者解决单调性的逆向问题很好的工具，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
21．【四川省成都市龙泉第二中学2018届高三10月月考】已知，函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：
【答案】（1）在 是增函数， 是减函数；（2）；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）先求导，再分类讨论，分别令 可得增区间，令可得得减区间；(2)讨论两种情况，分别利用导数判断函数的单调性，以及结合函数的极值及简图即可求出的范围；（3）由，只要证明： 就可以得出结论，构造函数： ，利用导数研究函数的单调性即可证明.
试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=﹣a．
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，在区间（0，）上，f'（x）＞0；在区间（，+∞）上，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．
令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即f（）＜0，
∴a的取值范围是（0，1）．
（3）由（2）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．分析：∵0，∴．只要证明：f（）＞0就可以得出结论．
下面给出证明：构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax）（0＜x≤），则g'（x）=+2a=，
函数g（x）在区间（0，]上为减函数．0＜x1，则g（x1）＞g（）=0，又f（x1）=0，
于是f（）=ln（）﹣a（）+1﹣f（x1）=g（x1）＞0．又f（x2）=0，
由（1）可知，即．
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点、证明不等式，属于难题．利用导数研究函数的单调性的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，在定义域内解不等式得的范围就是递增区间；令，在定义域内解不等式得的范围就是递减区间.
22．【河北省定州中学2017-2018学年高二（承智班）上学期第一次月考】已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.
【答案】(1) 当或时， 在上单调递增，当时， 在上单调递增，在上单调递减；(2) .
【解析】试题分析：（1）求出，讨论三种情况， ， ，分别令可得增区间， 可得减区间；（2）对任意，有等价于 ，分别利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值与的最小值，解不等式即可求得实数的取值范围.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需；（2） ，只需 ；（3）， 只需 ；（4）， ， .
专题10 解密函数中的恒成立与能成立问题
一、选择题
1．【四川省成都外国语学校2017-2018学年高一上学期期中】若函数有零点,则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【方法点睛】本题主要考查函数的零点、利用导数求函数的最值，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .
2．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
3．【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴。
∵函数在单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立。
令，则，
∴当时， 单调递增，
当时， 单调递减。
∴。
∴。选C。
点睛：函数的单调性与导函数的关系
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．
4．【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时， ，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时， ，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B
二、解答题
6．【上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考】已知函数；
（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；
（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；
【答案】（1）；（2）不存在；
【解析】试题分析：（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在.
7．【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟】已知函数 为常数， .
（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）；（2）的取值范围是
【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.
所以在上单调递增，所以
问题等价于对任意，不等式成立
设，
则
当时，，所以在区间上单调递减，此时
所以不可能使恒成立，故必有，因为
若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求
若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.
点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.
8．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数，其中为实数．若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
【答案】
【解析】试题分析： 在上是单调减函数等价于在上恒成立，利用分离参数可得的范围，对进行求导， ，将导函数的零点和1进行比较，可分为和两种情形，通过导数判断单调性.
点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用之导数与单调性的关系，导数与最值的关系，属于基础题；函数在某区间内单调递减等价于该函数的导数在该区间内小于等于0恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
9．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）证明： .
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得， 时， 在上是增函数，而， 不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.
（2）由（1）知， 时， 不可能成立；
若， 恒成立， ，得
综上， .
（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即
令，得，即
，得证.
点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.
10．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】已知函数.
（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数图象与x轴的交点的问题．
， ， ，
，得则.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
11．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知函数，函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若，求证不等式.
【答案】(1) g(x)的增区间，减区间;(2) ;(3)见解析.
（Ⅱ） 即在上恒成立
设，考虑到
，在上为增函数， ，
当时， ， 在上为增函数， 恒成立
当时， ， 在上为增函数
，在上， ， 递减，
，这时不合题意， 综上所述，
点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。
12．【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知函数， ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若函数在区间内单调递减，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：(1)求导，对k分类讨论，得到函数的单调区间；（2）函数在区间内单调递减，即不等式在在上成立，利用二次函数的图象与性质，易得的取值范围.
试题解析：
（Ⅰ）函数的定义域为.
,
（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；
令，解得，此时函数为单调递减函数.
综上所述，
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为， ，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为， ,单调递减区间为.
（Ⅱ），
因为函数在内单调递减，所以不等式在在上成立.
设，则即解得.
13．【江西省南昌市南昌县莲塘一中2018届直升班周末练试卷】已知函数，其中.
（1）设是的导函数，求函数的极值；
（2）是否存在常数，使得时， 恒成立，且有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）.
【解析】试题分析：（1）求导，求得，（ ）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数的极值；（2）由（1）可知：必然存在，使得在 单增， 单减，且，求得的表达式，存在使得，代入即可求得，即可求得的值．
将①式带入知：
得到 ，从而.
点睛：本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，不等式恒成立，考查转化思想，任意时， 恒成立，且有唯一解，转化为找实数 使得 .
14．【四川省宜宾市高2018届高三（上）半期】已知函数的图象经过点，且在取得极值．
（I）求实数的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1) 的图象经过点， ;即,解方程组得出a,b的值;(2)由题意可得, ,即和是函数的极值点, 函数在区间上不单调,则解出m的范围即可.
（2）由得：
令
当
当
∵函数在区间上不单调
15．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.
（1）若有三个极值点，求的取值范围；
（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明： .
【答案】(1) 的取值范围为；(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）若有三个极值点，只需应有两个既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.变量分离，转化为函数最值问题.
而时， ， 时， ，
要有两根，只需，由
，又由，
反之，若且时，则， 的两根中，一个大于，另一个小于.
在定义域中，连同， 共有三个相异实根，且在三根的左右， 正负异号，它们是的三个极值点.
综上， 的取值范围为.
只需证明 ，显然成立.
下证： ， ， ， ，
先证： ， ，
， .
令， ，
， ， ，∴在上单增，
∴，∴在上单增，∴，∴在上单增，
∴，即证.
要证： ， .
只需证，
，
而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.
点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点。第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a满足的表达式，再求这个表达式的范围。
16．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考】已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1） 的增区间为，无减区间；（2）
【解析】试题分析：（1）给定函数表达式研究函数的单调区间，直接求导g（x）=f′（x）=2（ex﹣x﹣1），研究导函数的正负即可；（2）恒成立求参的问题，变量分离，让左端小于等于右端的最小值即可，而右端的最值是通过求导研究函数单调性得到的。
点睛：此题考查了函数的单调性，单调区间的求法：对于复杂函数一般是求导研究导函数的正负；还考查到了不等式恒成立求参的问题，常用方法是变量分离转化为求函数最值的题；还有可以直接转化为函数最值的问题，含参讨论即可。
17．已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）如果，在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）如果在上恒成立，即在恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可
②当时， ，得，
在区间上， ，
在区间上， ，
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为；
点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（Ⅲ）的关键.
18．设命题 ， . 命题 ， . 如果命题“∨”为真命题，“∧”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：（1）对于命题p只需求解函数的最大值即可，q命题则需求函数的最小值，然后根据命题“∨”为真命题，“∧”为假命题，按一真一假讨论即可
试题解析：
设，得，
2
有最大值；最小值
则命题成立得 ；命题成立得
由命题“∨”为真命题，“∧”为假命题。则一真一假
若真假，则 ；若真假，则
所以，实数的取值范围为
19．已知函数 (m,n∈R)在x=1处取得极值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围
【答案】（1）；（2）k=或0；（3）.
【解析】试题分析：（1）先由已知函数求其导数，再根据函数 在 处取得极值 ，列出关于 的方程即可求得函数的解析式；（2）利用导数研究函数 的单调性，数形结合可得方程f(x)-k=0只有1个根时的 值；（3）函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，等价于当时， ，求出，结合换元法，分离参数后，利用基本不等式求解.
（2），令，得.
当变化时， 的变化情况如下表：
所以f(x)在处取得极小值，在处取得极大值，
又时， ，所以的最小值为，
如图
所以k=或0时，方程有一个根.
(也可直接用方程来判断根的情况解决)
【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题、方程根的个数问题以及函数极值问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,本题（3）就用了这种方法.
20．【江西省赣州市南康区第三中学2018届高三上学期第三次大考】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，证明：且.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求导，令和，求得函数单调区间（2）构造函数令，求导后分类讨论，利用单调性证明。
所以关于的不等式不能恒成立，
因此，.
当时，，
令，得，所以当时，；当时，，
因此函数在上是增函数，在上是递减函数.
故函数的最大值为，
即.
点睛：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量计算，本题构造新函数，带有参量一起求导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可证得结论。
21．【河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考】已知函数， 且.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）函数单调递增转化为导数恒为正值，分类讨论求即可；（2）分离参数，转化为求函数的最值，利用导数即可求出最值。
综上）
（2）∵存在，使不等式成立，
∴存在，使成立.
令，从而，
.
由（1）知当时， 在上递增，∴.
∴在上恒成立.
∴，
∴在上单调递增.
∴，∴.
实数的取值范围为.
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
