课件37张PPT。 2006年夏季在德国举行的第十八届世界杯足球赛共有32支队伍参加。他们先分成八个小组进行循环赛，决出16强，这16强按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了三、四名。
问：一共安排了多少场比赛？思考？ 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？26+10=36问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理说明N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？思考？ 分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码。字母 数字 得到的号码
A1
2
3
4
5
6
7
8
9A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9树形图问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有3种方法,
所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理说明N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
例2、设某班有男三好学生5名，女三好学生4名。现要从中选出（1）一人代表去参赛，有几种不同选法？（2）男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3、惠州市的部分电话号码是0752210××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?0752210分析:分析:例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法? N＝4＋3+2＝9 N＝4 ×3×2＝24(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？课堂练习1、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？
4、已知
则方程 可表示不同的圆的个数有多少？课堂练习5、已知二次函数 若
则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个？联系区别一完成一件事情共有n类
办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个
步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成
这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。
区别三各类办法是互斥的、
并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？课堂练习N1=2×3=6N2=4×2=8N= N1+N2 =14 2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条
第二类, m2 = 1 条
第三类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据分类原理, 从A到B共有
N = 3 + 1 + 4 = 8
条不同的线路可通电。
在解题有时既要分类又要分步。课件32张PPT。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。即：类类独立，步步关联。例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：首字符共有7+6＝13种不同的选法，答：最多可以给1053个程序命名。 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子
是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称
为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表
示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位
置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组
成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。……解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有种不同的RNA分子.例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？……如00000000，10000000，
11111111.例5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组
成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，
以减少测试次数吗？分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3*2=6。
如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。这样，测试整个模块的次数就变为
172+6=178（次）2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?课堂练习2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？ 3.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB课堂练习所以, 根据分类原理, 从A到B共有
N = 3 + 1 + 4 = 8
条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类, m1 = 3 条第二类, m2 = 1 条第三类, m3 = 2×2 = 4, 条课件19张PPT。一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么?
解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧?练习：三个比赛项目，六人报名参加。
１）每人参加一项有多少种不同的方法？
２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？
３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字,
(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?
(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?
(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?升华发展一、排数字问题1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种引申:１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。二、映射个数问题:例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?三、染色问题:例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?
(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n
① ③ ①
④ ③ ④
② ②
(1) (2)
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
思考：分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5×4×3×2＝120种方法。 根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。 第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答） （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有 N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看 知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求6、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）425、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为 ，真子集个数为 ，非空子集个数为 ，非空真子集个数为
。五、综合问题: 例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?２、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于 75600=24×33×52×7于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个. 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）对
A.12 B.24 C.36 D.48B 5.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。课件16张PPT。1.2.1排列(一)创设情境,引出排列问题探究
在1.1节的例9中我们看到,用分步乘法计数原理解决这个问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢?探究：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？探究：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;
cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。基本概念1、排列：说明：1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。例1、下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？2、排列数：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？(1)排列数公式（1）：当m＝n时，n个不同元素的全排列公式：(2)排列数公式（2）：说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：课堂练习2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 种不同的种植方法？3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，
并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？ 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．小结 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列． 思考题 三张卡片的正反面分别写着数字2和3，4和5，7和8，若将这三张卡片的正面或反面并列组成一个三位数，可以得到多少个不同的三位数？课件6张PPT。1.2.1排列(三)复习巩固1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：
（１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略方法总结（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略例1：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？例2：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾？ （4）若甲、乙两名女生相邻，且不与第三名女生相邻？（1）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端？（2）7位同学站成一排，甲、乙不能站在两端？（5）甲、乙、丙3名同学必须相邻，而且要求乙、丙分别站
在甲的两边？引申练习1、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）
A.2880 B.1152 C.48 D.1442、今有10幅画将要被展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，现将它们排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端。则不同的排列方式有 种。3、一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数字作答）5760B480变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（ ）
A.18 B.20 C.12 D.22A课件12张PPT。1.2.1排列(二)复习巩固1、排列的定义：2.排列数的定义：(3)全排列数公式：4.有关公式：（2）排列数公式:课堂练习2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 种不同的种植方法？3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，
并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，
比赛的总场次是例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法一：对排列方法分步思考。从位置出发解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：根据加法原理从元素出发分析解法三：间接法.∴ 所求的三位数的个数是逆向思维法例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题例6：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 C例7：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：
（1）男甲排在正中间；
（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
（3）三个女生排在一起；
（4）三个女生两两都不相邻；
（5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
（6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？对于相邻问题，常用“捆绑法”对于不相邻问题，常用 “插空法”小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：
（１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
特殊元素,特殊位置优先安排策略（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
不相邻问题插空处理的策略课件18张PPT。1.2.2 组合（一）问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙 3情境创设有
顺
序无
顺
序 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 概念讲解组合定义:组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法??组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次??组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab , ac , bc 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合. ab , ac , ad , bc , bd , cd(3个)(6个)概念理解如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：概念讲解组合数:1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd .练一练组合排列abc bac cab
acb bca cbaabd bad dab
adb bda dbaacd cad dac
adc cda dcabcd cbd dbc
bdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了什么?组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此： 概念讲解组合数公式: 从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 概念讲解（2)列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例题分析例3例5.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？例4.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端 点的线段共有多少条？ (2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？例题分析排列课堂小结课件10张PPT。1.2.2 组合（二）复习巩固：例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？
例7、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。99CD5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）
（1）其中有多少个矩形？
（2）其中有多少个正方形？课堂练习：课件10张PPT。排列与组合的
综合应用复习引入
1.两个计数原理
2.排列
3.组合例1.将6个同学按下列条件分成3组，各有多少种不同的分法；
（1） 一组1人，一组2人，一组3人；
问题1：我们可以采取什么策略完成这件事？
分步计数原理
举例：
(AB CD EF) (AB EF CD) (CD AB EF)
(CD EF AB) (EF AB CD) (EF CD AB)
按上述算法共有六种分法，按分组要求只有一种分法。（2）每组2人；问题3：为什么会出现这种情况？第（1）题中有这种现象吗？问题4：如何解决这种问题呢？（3）一组4人，另两组各1人；本题中也存在均匀的部分
举例：
（A B CDEF） (B A CDEF)
按上述算法共有2种，但是按照分组要求只有1种理论总结将6个同学按下列条件分成3组
（1） 一组1人，一组2人，一组3人；
(1,2,3) 不均匀分组
（2）每组2人；
(2,2,2) 均匀分组
（3）一组4人，另两组各1人；
(1,1,4) 不完全均匀分组解决方法：先分步取出元素，在将均匀的部分倍缩课堂练习题组训练一
1. 9本不同的书平均分成三组；
2. 9本不同的书分成三组，一组2本，一组3本，一组4本；
3. 9本不同的书分成四组，其中一组3本，另三组各2本；
4. 9本不同的书分成六组，每组至少1本；(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
问题6：本题与（1）题有什么差别？如何解决？
解决方法：先分组，再将组分配(5)分给甲、乙、丙3人，一人4本，另两人各1本；1.今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件,
有多少种分法?课堂练习：2.3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?3.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少1本，不同的分配方法共有多少种？课堂小结1.分组问题分类及解决策略
———先分步选再将均匀部分倍缩
2.分配问题分类及解决策略
————先分组再分配
课件15张PPT。1.2.2 组合（三）复习巩固：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ ⑵ ⑶ 解：（1） 性质2
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立． 我们发现：为什么呢 注:1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．
2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．例１ 计算：例2 求证:一、等分组与不等分组问题例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分成三份，每份两本；
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
练习：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解: (1)(2)三、混合问题，先“组”后“排”例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.四、分类组合,隔板处理法例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。99CDThank you！课件15张PPT。1.3.1二项式定理(一)( a + b ) 2 =思考:(a+b)4的展开式是什么? ( a + b ) 3 =复 习：次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1( a + b ) 2 =( a + b ) 3 =复 习：(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20对(a+b)2展开式的分析(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 ＝
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4( a + b ) n=(a+b)n的展开式是：二项定理(a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；定理的证明二项式定理： n ∈ N *注:(1) 上式右边为二项展开式,
各项次数都等于二项式的次数(2) 展开式的项数为 n+1 项；(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0
字母b按升幂排列,次数由0递增到n(4)二项式系数可写成组合数的形式,
组合数的下标为二项式的次数
组合数的上标由0递增到n(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__________；二项式定理： n ∈ N *(6) 二项式系数为 ______；项的系数为 二项式系数与数字系数的积在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：在上式中，令 x = 1，则有：3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。练习
1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
?
?2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
?
3.写出 的展开式的第r+1项.
?
4.用二项式定理展开：
（1） ；
（2） .
5.化简：
（1） ；
?
（2） Thank you！课件7张PPT。1.3.1二项式定理(二)温故而知新1.(a+b)n的二项展开式 是_________.2.通项公式是 _______________. 例1、计算：
（1）
（2）例6、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________赋值法练习:
(4)若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。例7、若 展开式中前三项系数成等差
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.课件16张PPT。1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……二项式系数的性质二项式系数的性质2．二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由于：二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 二项式系数的性质（2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 二项式系数的性质这是组合总数公式． 一般地， 展开式的二项式系数
有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时，课堂练习：
1）已知 ，那么 = ；
2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ；
3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ； 例3： 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。例4、若 展开式中前三项系数成等差
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值. 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结课件10张PPT。二项式定理
习题课课堂练习：1. 等于 （ ）
A. B. C. D. 2．在 的展开式中x的系数为（ ）
A．160 B．240 C．360 D．8003.求的展开式中 项的系数.4．已知
那么 的展开式中含 项的系数是 . 5.求值：11.证明(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2＝ 如何产生［a,b］区间上均匀随机数呢？练习、根据1.1.2例3中的程序框图，编写
计算机程序来计算1+2+…+100的值程序：i=1s=0WHILE i<=100s=s+ii=i+1WENDPRINT sEND思考：用UNTIL语句编写计算机程序，来计算
1+2+…+100的值.结束程序框图：程序：i=1s=0DOs=s+ii=i+1LOOP UNTIL i>100PRINT sEND课件8张PPT。1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(二) 一般地， 展开式的二项式系数
有如下性质： （1） （2） （4）（对称性）B 余数是1，所以是星期六变式引申：填空
1） 除以7的余数是 ；
2） 除以8的余数是 。课堂练习：1. 等于 （ ）
A. B. C. D. 2．在 的展开式中x的系数为（ ）
A．160 B．240 C．360 D．8003.求的展开式中 项的系数.4．已知
那么 的展开式中含 项的系数是 . 5.求值：
