1.1 集合的含义与表示
问题导学
一、对集合概念的理解
活动与探究1
考察下列每组对象能否构成一个集合：
①美丽的小鸟；②不超过20的非负整数；③立方接近零的正数；④直角坐标系中，第一象限内的点．
迁移与应用
1．考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)2010年上海世博会上展出的所有展馆；
(2)2013年安徽高考数学试卷中所有的难题；
(3)北京大学2013级的新生；
(4)接近0的数的全体；
(5)比较小的正整数的全体；
(6)平面上到坐标原点O的距离等于1的点的全体．
2．判断下列对象能否构成集合？若能构成，则集合中有多少个元素？
(1)所有的等腰梯形；
(2)英语单词book中的字母；
(3)方程x2－6x＋9＝0的根．
(1)判断一组对象能否构成集合，关键看这组对象是否具有确定性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．
(2)判断集合中元素的个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算一个元素，即集合中元素是互不相同的．
二、用列举法表示集合
活动与探究2
用列举法表示下列集合：
(1)不大于11的非负偶数组成的集合；
(2)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合；
(4)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合．
迁移与应用
1．将集合用列举法表示，正确的是( )．
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
2．用列举法表示“所有非负奇数组成的集合”．
(1)列举法表示集合的关键是先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素，另外还要弄清元素的个数．
(2)当集合中元素的个数较少时，可采用列举法；当集合中的元素较多或无限，且有一定规律时，也可用列举法表示，但必须把元素间的规律呈现清楚，才能用省略号．
(3)用列举法表示集合时还要注意三点：①元素间用逗号“，”隔开，不能用“；”或“、”，最后一个元素后没有“，”；②元素之间无顺序要求，但不能重复；③元素不能有遗漏．
三、用描述法表示集合
活动与探究3
用描述法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数组成的集合；
(2)坐标平面内坐标轴上的点集；
(3)使y＝有意义的实数x的集合；
(4)200以内的正奇数；
(5)方程x2－5x－6＝0的解的集合．
迁移与应用
1．用描述法表示所有偶数的集合为____________，3和4的所有正的公倍数的集合为__________．
2．用适当的方法表示下列集合：
(1){15的正因数}；
(2)三角形的全体构成的集合；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}；
(4)满足不等式3x＋1≤0的所有实数的集合．
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，可采用描述法：
(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集，还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
四、集合中元素互异性的应用
活动与探究4
已知集合A由3个元素：a2，a＋1,0构成，且1∈A，试求实数a的取值．
迁移与应用
由m,2－m,4组成一个集合M，且集合M中含有3个元素，则实数m的取值范围是__________．
(1)集合中元素的互异性是指一个集合中不能有两个相同的元素，根据这一性质，可以确定集合中字母的取值及取值范围，通常的解法是先利用集合中元素的确定性求出字母的所有可能的取值或范围，再根据互异性对集合中的元素进行检验，从而求出字母的取值或范围．
(2)利用互异性求参数的值或范围时，要注意分类讨论思想方法的运用．
当堂检测
1．下列各组对象中不能构成集合的是( )．
A．某教育集团的全体员工
B．2012年伦敦奥运会的所有参赛国家
C．北京大学建校以来毕业的所有学生
D．美国NBA的篮球明星
2．所给下列关系正确的个数是( )．
①－∈R；②Q；③0∈N＋；④|－3|N＋.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )．
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
4．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是________．
5．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：
(1)由平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；
(2)由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合；
(3)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；
(4)集合P＝{x|x＝2n,0≤n≤2，且n∈N}；
(5)方程(x－2)2(x＋2)(x－3)＝0的解集．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．全体 对象
2．(1)属于 不属于 (2)∈
预习交流1 提示：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个性质通常被用来判断一组对象能否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．这一性质是用来检验某个参数值是否是某个集合问题的解的依据．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．
3．(1)数 (2)N N＋或N* Z Q R
预习交流2 提示：a等于0.
4．(1)一一列举 大括号 (2)确定的条件
预习交流3 提示：不一定，如果一个集合中，元素的个数是无限的，但它们是有规律的，也可以用列举法来表示，例如所有正偶数组成的集合可以表示为{2,4,6,8，…}．
预习交流4 提示：是．
5． 有限集 无限集
预习交流5 提示：不是空集；有一个元素．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．
解：①中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；②中的对象可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；③中接近0的界限不明确；④中的对象有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中．
综上可知②④能构成集合，①③不能构成集合．
迁移与应用 1．解：(1)，(3)，(6)的对象都是确定的，因而能构成集合．“难题”“接近0的数”“比较小的正整数”标准不明确，所以(2)，(4)，(5)不能构成集合．
2．解：(1)能构成集合，集合中有无限多个元素．
(2)能构成集合，集合中有三个元素，即b，o，k.
(3)能构成集合，集合中只有一个元素，即3.
活动与探究2 思路分析：题目中要求用列举法表示集合，需先辨析集合中元素的属性及满足的性质，再一一列举出满足条件的元素．
解：(1)集合为{0,2,4,6,8,10}．
(2)满足条件的数有3,5,7，故所求集合为{3,5,7}．
(3)由得
所以交点坐标为(1,1)．故所求集合为{(1,1)}．
(4)由x(x2－1)＝0，得x＝0,1，－1.
故所求集合为{0,1，－1}．
迁移与应用 1．B
2．{1,3,5,7,9，…}
活动与探究3 思路分析：用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等小条件．
解：(1)根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}．
(2)由于坐标轴上的点的横坐标x与纵坐标y满足xy＝0，故此集合可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}．
(3)要使该式有意义，需有
解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．
(4){x|x＝2k＋1，x＜200，k∈N}．
(5){x|x2－5x－6＝0}．
迁移与应用 1．{x|x＝2n，n∈Z} {x|x＝12k，k∈N＋}
2．解：(1)15＝1×3×5.故集合可表示为{1,3,5,15}．
(2){x|x是三角形}或{三角形}．
(3){(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4){x|3x＋1≤0}．
活动与探究4 思路分析：由1∈A知，要么a2＝1，要么a＋1＝1，由此求得a的取值，然后再根据元素的互异性进行检验，最后确定a的值．
解：由于1∈A，所以a2＝1或a＋1＝1.
若a2＝1，则a＝±1.
当a＝1时，集合A中的元素是1,2,0，符合要求；
当a＝－1时，集合A中的元素是1,0,0，不符合元素的互异性；
若a＋1＝1，则a＝0，集合A中的元素是0,1,0，不符合元素的互异性．
综上，实数a的值为1.
迁移与应用 m≠1且m≠4且m≠－2 解析：由于M中含有3个元素，因此有
解得
所以实数m的取值范围是m≠1且m≠4且m≠－2.
【当堂检测】
1．D 解析：根据集合中元素的确定性来判断涉及对象是否构成集合．因为选项A，B，C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA篮球运动员是否为篮球明星，所以不能构成集合．
2．B 解析：①②正确，③④错误．
3．A
4．m≠0 解析：由集合中的元素满足互异性，知m＋1≠1，即m≠0.
5．解：(1)所求集合可表示为{(x，y)|x＜0，且y＜0}，它是无限集．
(2)因为方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＜0，故该方程无实根．所以由方程x2＋x＋1＝0的实根组成的集合为，它是有限集．
(3)所求集合可表示为{x|x是周长等于10 cm的三角形}，它是无限集．
(4)P＝{0,2,4}，它是有限集．
(5)集合可表示为{－2,2,3}，它是有限集．
1.2 集合的基本关系
问题导学
一、判断集合间的关系
活动与探究1
请判断以下给出的各对集合之间的关系：
(1)P＝{x||x|＝x，x∈N且x＜2}，Q＝{x∈Z|－2＜x＜2}；
(2)A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等腰直角三角形}；
(3)M＝{1,2}，N＝{x|x2－3x＋2＝0}；
(4)C＝{x|0＜x＜1}，D＝{x|0＜x＜2}．
迁移与应用
判断下列各对集合间的关系：
(1)A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是整数}；
(2)A＝{x|x2＝4}，B＝{x|x2＝－4}；
(3)A＝{(x，y)|xy＜0}，B＝{(x，y)|x＞0，y＜0或x＜0，y＞0}．
(1)判断两个集合之间的关系的方法有：
①将元素一一列举出来再判断；
②从集合中的元素入手，观察两个集合的特征性质能否相互推出；
③集合中的元素为不等式的解集时，可借助数轴判断．
(2)集合中关系的描述原则：
①当A?B和AB均成立时，AB更准确的反映了集合A，B的关系；
②当A?B和A＝B均成立时，A＝B更准确的反映了集合A，B的关系．
(3)注意空集的特殊性：
①是任何集合的子集；
②是任何非空集合的真子集．
二、子集、真子集的确定问题
活动与探究2
写出集合M＝{x|x(x－1)2(x－2)＝0}的所有子集，并指明哪些是M的真子集．
迁移与应用
1．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A?B，A?C，则集合A的个数是( )．
A．8 B．3 C．4 D．1
2．已知{1,2}?A{1,2,3,4}，写出满足条件的所有的集合A.
(1)求给定集合的子集(真子集)时，一般按照子集所含的元素个数分类，再依次写出符合要求的子集(真子集)．在写子集时注意不要忘记空集和集合本身．
(2)假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n；
②A的真子集的个数为2n－1；
③A的非空子集的个数为2n－1；
④A的非空真子集的个数为2n－2.
以上结论在求解时可以直接应用．
三、两个集合相等及其应用
活动与探究3
设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．
迁移与应用
1．已知集合A＝{1,2，x2－1}，集合B＝{x,2,0}，若A＝B，则x＝__________.
2．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2n＋2，n∈Z}，试判断集合P与Q的关系，并证明．
由于集合中的元素可能有多个，所以利用集合相等解题时，需要注意分类讨论，还要注意检验所得结果是否满足元素的互异性．
四、已知两个集合间的关系求参数的值(范围)
活动与探究4
已知集合A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A?B，求实数a的取值范围．
迁移与应用
1．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，求实数m的值．
2．已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝{x|－m＋1≤x≤2m－1}，且A?B，求实数m的取值范围．
(1)已知两个集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，把这两个集合中元素的关系转化为解方程或解不等式(组)．
(2)对于给定的集合中的元素是用不等式来表示的，这类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然地认为是非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的．
当堂检测
1．若集合A＝{x|－2＜x≤2，x∈N}，则A的子集的个数是( )．
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则( )．
A．A＞B B．AB C．BA D．A?B
3．如果A＝{x|x＞－1}，那么正确的结论是( )．
A．0?A B．{0}A C．{0}∈A D．∈A
4．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝__________.
5．已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}，若B?A，则实数a的取值范围是__________；若BA，则实数a的取值范围是__________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．包含于 包含 ? ? 子集
预习交流1 提示：(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1N.
(2)“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1,2,3}?{3,2,1}．
(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“?”的两边均为集合．
预习交流2 提示：集合之间的包含关系也具有这种传递性，即：若A?B，B?C，则A?C.
2．封闭曲线的内部
3．任何一个元素 集合A
预习交流3 提示：(1)对于元素个数较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合中的元素完全相同即可；对于无限集，常用的方法是证明两个集合互为子集，即A?B，且B?A.
(2)集合的相等具有传递性．即若A＝B，B＝C，则有A＝C.
4．A≠B
预习交流4 提示：(1)A?B指的是集合A是集合B的子集，这时可能有A＝B；而AB指的是集合A是集合B的真子集，这时不存在A＝B的情况．因此A?B包含两种情况：AB和A＝B.
(2)AB时，可以理解为集合A中的所有元素都是集合B中的元素，但集合B中至少有一个元素不是A中的元素．
5．(1)任何集合 ? (2)任何非空集合
(3)子集
预习交流5 提示：是空集，不含任何元素；{}是集合，且此集合中含有一个元素；存在子集，是其本身，但没有真子集．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：对于(1)，先将两个集合分别化简，用列举法将元素一一写出来再判断其关系；对于(2)，可根据等腰三角形和等腰直角三角形的关系直接进行判断；对于(3)，应先将集合N化简再判断；对于(4)，可借助数轴进行判断．
解：(1)由于P＝{0,1}，Q＝{－1,0,1}，所以由真子集的定义可知PQ.
(2)由于等腰直角三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等腰直角三角形，因此由真子集的定义可知AB.
(3)由于N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，而M＝{1,2}，所以M＝N.
(4)由数轴(如下图)可知CD.
迁移与应用 解：(1)由于偶数一定是整数，但整数不一定是偶数，故AB.
(2)由于A＝{x|x2＝4}＝{2，－2}，B＝{x|x2＝－4}＝，故BA.
(3)集合A中的元素是第二、四象限中的点，集合B中的元素也是第二、四象限中的点，故A＝B.
活动与探究2 思路分析：先解方程x(x－1)2(x－2)＝0，求出其所有的根，从而确定集合M中的元素，然后按照子集、真子集的定义写出子集，并判断哪些是真子集．
解：解方程x(x－1)2(x－2)＝0可得x＝0或x＝1或x＝2，故集合M＝{0,1,2}．
由0个元素构成的子集为：；
由1个元素构成的子集为：{0}，{1}，{2}；
由2个元素构成的子集为：{0,1}，{0,2}，{1,2}；
由3个元素构成的子集为：{0,1,2}．
因此集合M的所有子集为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．
其中除集合{0,1,2}以外，其余的子集全是M的真子集．
迁移与应用 1．C 解析：若A＝，则满足A?B，A?C；
若A≠，由A?B，A?C，知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．故满足条件的集合A的个数是4.
2．解：由题意可知，满足条件的所有集合A为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
活动与探究3 思路分析：两个集合都是用列举法给出的，可根据集合相等的定义得到元素间的关系，从而求解．
解：∵A＝B，∴x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，则B中的元素0重复出现，此时集合B中的元素不满足互异性，舍去．
当y＝0时，x＝x2，解得x＝1或x＝0(舍去)，
此时A＝{1,0}＝B，满足条件．
综上可知，x＝1，y＝0.
迁移与应用 1．1 解析：由A＝B，得
∴x＝1.
2．解：P＝Q.证明如下：
集合P中：x＝2n，n∈Z，所以P中元素都是2的倍数，亦即P为所有偶数构成的集合．
集合Q中：x＝2n＋2＝2(n＋1)，当n∈Z时，有n＋1∈Z.
因此Q中元素也是2的倍数，亦即Q为所有偶数构成的集合．故P＝Q.
活动与探究4 思路分析：两个集合均为无限集，解答时可采用数轴分析法，将集合A，B分别表示在数轴上，利用数轴分析a的取值范围．
解：将集合A表示在数轴上(如图所示)，
要满足A?B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的取值范围为a≥4.
迁移与应用 1．解：∵B?A，且m2≥0，
∴m2＝2m－1，
即m2－2m＋1＝0.∴m＝1.
2．解：∵A?B，如图所示，
∴
【当堂检测】
1．C 解析：由于A＝{x|－2＜x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，
所以集合A共有8个子集，分别为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．
2．C 解析：利用数轴分析．
3．B 解析：由于0＞－1，所以{0}A.而选项A，C，D对于元素与集合、集合与集合的关系使用符号不对，故都是错误的．
4．－1 解析：∵1－a＝2，∴a＝－1.
5．{a|a≤3} {a|a＜3} 解析：在数轴上表示出集合A＝{x|x＜3}，然后分析a的取值范围．
1.3.1 交集与并集
问题导学
一、集合的交集、并集运算
活动与探究1
(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于( )．
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.
迁移与应用
1．若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )．
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
2．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则下图中阴影部分表示的集合是( )．
A．{2,4,6} B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6} D．{6}
3．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B.
求集合的交集、并集运算，首先应看清集合中元素的取值范围，化简集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察出结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，用“空心点”表示．
二、交集、并集的简单应用
活动与探究2
设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}．已知A∩B＝{9}，求a的值以及A∪B.
迁移与应用
若集合M＝{－1，a,3}，N＝{a＋2，a－2}，且M∩N＝{3}，则a＝__________.
处理集合中的参数问题时，要始终具有检验意识，除了按照条件进行检验外，还应根据集合元素的互异性进行检验．
三、交集、并集性质的应用
活动与探究3
设集合A＝{－2}，B＝{x∈R|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的取值范围．
迁移与应用
1．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．
2．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类条件，解答时常借助A∪B＝B?A?B，A∩B＝A?A?B进行转化求解．
(2)当集合A，B满足A?B时，如果集合B是一个确定的集合，而集合A不确定时，要考虑A＝和A≠两种情况，切不可漏解．
(3)求解与一元二次方程的解集有关的集合问题时，要注意充分利用根的判别式、根与系数的关系等进行分析求解．
当堂检测
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B等于( )．
A．{3,5} B．{3,6} C．{3,7} D．{3,9}
2．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )．
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}
3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__________．
5．已知A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求a的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)A∩B A交B {x|x∈A，且x∈B}
(2)①B∩A ②? ③? ④A ⑤
预习交流1 提示：这种说法不正确，两个集合没有公共元素时，它们的交集是空集，但不能说它们没有交集，任何两个集合都可以进行交集运算．
预习交流2 提示：不一定．两个非空集合的交集可能是空集，也可能是非空集合．交集是否为非空集合主要取决于它们是否有公共元素．
2．(1)A∪B A并B {x|x∈A，或x∈B}
(2)①B∪A ②? ③? ④A ⑤A
预习交流3 (1)提示：不对．不能简单地认为A∪B是由A中的所有元素和B中的所有元素简单拼凑构成的集合．并集作为一个集合，其元素满足互异性，相同的元素只能算作一个．因此A∪B中，最多含有5个元素，也可能含有3个或4个元素．
(2)提示：A∪B中的元素可以分为以下三类：①在A中不在B中的元素；②在B中不在A中的元素；③既在A中也在B中的元素．
(3)提示：由交集、并集的定义，结合Venn图可知，当A∩B＝A(或A∪B＝B)时，能推得A?B.所以交集、并集具有以下重要的性质：
A∩B＝A?A?B?A∪B＝B.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)首先化简M，N，然后再求交集．
(2)集合A，B都是无限集，可借助数轴直观求解A∩B，A∪B.
(1)B 解析：由已知得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1，2,3}，
所以M∩N＝{－1,0,1}．故选B.
(2)解：分别在数轴上表示集合A和B，
根据交集、并集的定义，由上图知，
A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．
迁移与应用 1．A
2．C 解析：阴影部分表示的集合是A∪B＝{1,2,3,4,6}．
3．解：利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．
活动与探究2 思路分析：由A∩B＝{9}知，9是集合A和B的公共元素且是唯一的公共元素，由此求出a的值，确定A，B，然后求A∪B，要注意集合中的元素满足互异性．
解：由于A∩B＝{9}，
所以9是集合A与B的唯一的公共元素，
因此9∈A，于是2a－1＝9或a2＝9.
若2a－1＝9，得a＝5，这时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，
则A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，因此a＝5不合题意．
若a2＝9，则a＝±3.
当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，集合B中的元素不满足互异性，故a＝3不合题意．
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，则A∩B＝{9}，
故a＝－3符合题意，这时A∪B＝{－4，－7,9，－8,4}．
综上，实数a＝－3，A∪B＝{－4，－7,9，－8,4}．
迁移与应用 5 解析：由于M∩N＝{3}，
所以3∈N.
若a＋2＝3，则a＝1，这时M＝{－1,1,3}，N＝{3，－1}，不符合M∩N＝{3}；
若a－2＝3，则a＝5，这时M＝{－1,5,3}，N＝{7,3}，符合题意，故a＝5.
活动与探究3 思路分析：由条件A∩B＝B知B?A，然后对B分是否为进行讨论，求出a的取值范围．
解：∵A∩B＝B，∴B?A.∵A＝{－2}≠，
∴B＝或B≠.
当B＝时，方程ax2＋x＋1＝0无实数解，
即∴∴a＞.
B≠时，当a＝0时，方程变为x＋1＝0，即x＝－1，
∴B＝{－1}．此时A∩B＝，不满足条件，舍去．
当a≠0时，
依题意知方程ax2＋x＋1＝0有相等的实根，即Δ＝0，
∴1－4a＝0.∴a＝.
此时方程变为x2＋x＋1＝0，
其解为x＝－2，满足条件．综上可得a≥.
迁移与应用 1．解：如图．
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，集合A的右端点应介于1和3之间，可以为3但不能为－1，∴1＜a≤3.
2．解：A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B?A.集合B有两种情况，B＝或B≠.
当B＝时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a＜0.∴a＞4.
当B≠时，若Δ＝0，则a＝4，B＝{2}?A满足条件；
若Δ＞0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，由根与系数的关系知矛盾，无解．∴a＝4.
综上可知a的取值范围是a≥4.
【当堂检测】
1．D
2．A 解析：借助数轴，易知A∪B＝{x|x≥－1}．
3．D 解析：由B∩A＝B可得B?A，因此B就是A的子集，所以符合条件的集合B一共有4个：，{2}，{－3}，{2，－3}．
4．a≤1
5．解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.
易知a2＋1≠－3，∴a－3＝－3或2a－1＝－3.
若a－3＝－3，即a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
则A∩B＝{1，－3}，这与已知矛盾．
若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－4,2}，
则A∩B＝{－3}，符合题意．综上可知a＝－1.
1.3.2 全集与补集
问题导学
一、求补集的简单运算
活动与探究1
设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，?UA＝{5,7}，则a的值为______．
迁移与应用
1．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝______.
2．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{b,2}，?UA＝{5}．求实数a和b的值．
1．求补集的两个步骤
(1)明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集U.
(2)借助补集定义：利用?UA＝{x|x∈U，且xA}求A的补集．
2．求集合的补集时，如果集合中元素个数较少，用列举法给出，则可直接利用补集的定义，分析元素的构成，求得补集；如果集合是无限集，特别是用不等式表示的集合，则通常要借助数轴分析元素的构成，求出补集．
二、交、并、补的综合运算
活动与探究2
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.
迁移与应用
1．设全集为R，A＝{x|4≤x＜5}，B＝{x|3＜x＜9}，则?R(A∪B)＝__________，(?RA)∩B＝__________.
2．集合S＝{x|x≤10，且x∈N＋}，AS，BS，且A∩B＝{4,5}，(?SB)∩A＝{1,2,3}，(?SA)∩(?SB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
集合交、并、补运算的方法
三、已知集合的交集、并集、补集求参数问题
活动与探究3
已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是( )．
A．a≤2 B．a＜1
C．a≥2 D．a＞2
迁移与应用
1．已知全集U＝R，A＝{x|x＜1，或x＞3}，B＝{x|x＜m}，且(?UA)∩B＝，求实数m的取值范围．
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|－m＜x＜－m＋2}，若B??UA，则实数m的取值范围是__________．
已知集合的交集、并集、补集或集合间的关系求参数的取值范围时，可借助数轴，根据集合间的关系求解，具体操作时，要注意端点值的“取”与“不取”．
另外，还要注意分类讨论思想的应用．
当堂检测
1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则A＝( )．
A．{0} B．{1} C．{0,1} D．
2．已知U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，则?UA＝( )．
A．{x|x是钝角三角形}
B．{x|x是直角三角形}
C．{x|x是钝角三角形或锐角三角形}
D．{x|x是钝角三角形或直角三角形}
3．集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(?UT)等于( )．
A．{1,4,5,6} B．{1,5}
C．{4} D．{1,2,3,4,5}
4．已知A＝{x|x≤1，或x＞3}，B＝{x|x＞2}，则(?RA)∪B＝__________.
5．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且?UP＝{－1}，求实数a的值．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．给定集合 给定的集合 U
预习交流1 提示：不一定，全集是一个相对的概念，不同的问题中全集可能不同，这要看题目具体的规定．例如，我们要分别统计A班男同学和女同学的数学成绩，A班的全体同学的数学成绩便是一个全集．同样地，我们把分析对象扩展到整个年级，则全年级同学的数学成绩便是一个全集．
2．(1)U中所有不属于A的元素 ?UA ?UA＝{x|x∈U，且xA} (2)①U ②
预习交流2 提示：正确．由补集的定义知，A与?UA没有公共元素，且A的元素与?UA的元素组成了全集U.
预习交流3 提示：由补集的定义可知：?UU＝，?U＝U，?U(?UA)＝A.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：本题中集合用列举法给出，元素个数较少，可利用补集的定义求解．
2或8 解析：∵?UA＝{5,7}，∴5A,7A.
又∵A＝{1，|a－5|,9}，
∴|a－5|＝3，
解得a＝2或8.
迁移与应用 1.{x|0＜x＜1} 解析：全集U＝R，画出数轴由补集的定义可知?UA＝{x|0＜x＜1}．
2．解：∵?UA＝{5}，∴5∈U,5A，且A?U.
∴解得或
∴或
活动与探究2 思路分析：由于U，A，B均为无限集，所求问题是集合间的交、并、补运算，故考虑借助数轴求解．
解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2＜x＜3}，
?U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
(?UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2，或x＝3}．
迁移与应用 1．{x|x≤3或x≥9} {x|3＜x＜4或5≤x＜9} 解析：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|3＜x＜9}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤3或x≥9}，?RA＝{x|x＜4或x≥5}，
(?RA)∩B＝{x|3＜x＜4或5≤x＜9}．
2．解：S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．
∵A∩B＝{4,5}，
∴将4,5写在A∩B中．
∵(?SB)∩A＝{1,2,3}，
∴将1,2,3写在A中A∩B之外．
∵(?SB)∩(?SA)＝{6,7,8}，
∴将6,7,8写在S中A∪B之外．
∵(?SB)∩A与(?SB)∩(?SA)中均无9,10，
∴9,10在B中A∩B之外．
如图所示．
故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
活动与探究3 思路分析：首先求出?RB，再结合A∪(?RB)＝R，借助数轴列出关于a的不等式(组)从而求出a的取值范围．
C 解析：∵B＝{x|1＜x＜2}，
∴?RB＝{x|x≤1，或x≥2}．
由A∪(?RB)＝R，如图所示．
由图可知a≥2.
迁移与应用 1．解：?UA＝{x|1≤x≤3}，用数轴表示?UA，B，如图，
由数轴得，要使(?UA)∩B＝成立，需有m≤1.
2．m≤1 解析：由已知得?UA＝{x|x≥－1}，而B一定不是，因此，要使B??UA，应有－m≥－1，解得m≤1.
【当堂检测】
1．C 2．D
3．B 解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6}，T＝{2,3,4}．
∴?UT＝{1,5,6}．
∴S∩(?UT)＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．
4．{x|x＞1} 解析：∵?RA＝{x|1＜x≤3}，
∴(?RA)∪B＝{x|x＞1}．
5．解：∵?UP＝{－1}，
∴－1∈U，且－1P.
∴解得a＝2.
经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2.
