第五章图形与变换第35节相似三角形
■考点1比例线段
比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.21世纪教育网版权所有
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■考点2.相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角 ，对应边 ．
(2)周长之比等于 ，面积之比等于 ．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 ．
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点1比例线段
◇典例：
（2015?六盘水）已知≠0，则的值为 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案．
解：由比例的性质，得
c=a，b=a．
===．
故答案为：．
2.（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
3.（2016?杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A． B． C． D．1
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
◆变式训练
1.（2016?山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF==
∴FG=
∴CG=﹣1
∴=
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选D．
2.（2015?兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
【分析】根据等比性质，可得答案．
解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
3.（2016?兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
■考点2.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.（2017?随州）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．21教育网
解：当=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．
2.（2017?东营）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH?PC，故④正确；
故选C．
◆变式训练
1.（2016?兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选：A．
2.（2017?恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE=BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC=DE，再根据CF=BC﹣BF=DE=6，即可求出DE的长度．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B．
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴===，
∴BC=DE，
∴CF=BC﹣BF=DE=6，
∴DE=10．
故选C．
1.（2016?黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC=3DE B．= C．△ADE∽△ABC D．S△ADE=S△ABC
【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．
解：∵BD=2AD，
∴AB=3AD，
∵DE∥BC，
∴==，
∴BC=3DE，A结论正确；
∵DE∥BC，
∴=，B结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C结论正确；
∵DE∥BC，AB=3AD，
∴S△ADE=S△ABC，D结论错误，
故选：D．
2.（2017?连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴=，A不一定成立；
=1，B不成立；
=，C不成立；
=，D成立，
故选：D．
3.（2017?安顺模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
4.（2017?兰州）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
【分析】只要证明△ACG∽△FEG，可得=，代入已知条件即可解决问题．
解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴=，
∴=，
∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
5.（2015?大庆）已知=，则的值为 ．
【分析】根据已知设x=k，y=3k，代入求出即可．
解：∵=，
∴设x=k，y=3k，
∴==﹣，
故答案为：﹣．
6.（2017?潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A，==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
7.（2017?北京）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM= ．
【分析】证明MN是△ABC的中位线，得出MN∥AB，且MN=AB，证出△CMN∽△CAB，根据面积比等于相似比平方求出△CMN与△CAB的面积比，继而可得出△CMN的面积与四边形ABNM的面积比．最后求出结论．
解：∵M，N分别是边AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AB，且MN=AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴=（）2=，
∴=，
∴S四边形ABNM=3S△CMN=3×1=3．
故答案为：3．
8.（2017?天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知=，即=，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
9.（2017?吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为 m．www-2-1-cnjy-com
【分析】由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．
解：
∵OD=4m，BD=14m，
∴OB=OD+BD=18m，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴=，即=，解得AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．
10.（2017?铜仁市）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
【分析】先证得=，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴==1.2，==1.2，
∴=，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
11.（2017?宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE=∠CEF，于是得到结论；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴，
∵∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE=∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
一．选择题
1.（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A、两边都除以2y，得=，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
2.（2016?淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．21·世纪*教育网
解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB==5，
∵l2∥l3，
∴=
∴DG=CE=，
∴BD=BG﹣DG=7﹣=，
∴=．
故选A．
3.（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
4.（2017?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴===，
则=，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
5.（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）21世纪教育网版权所有
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元
故选（C）
6.（2017?绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.5m，DC=4m，
△ABC∽△EDC，
则=，
即=，
解得：DE=12，
故选：B．
二．填空题（共22小题）
1.（2017?临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
解：∵AB∥CD，
∴==，即=，
解得，AO=4，
故答案为：4．
2.（2017?长春）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．
【分析】由a∥b∥c，可得=，由此即可解决问题．
解：∵a∥b∥c，
∴=，
∴=，
∴EF=6，
故答案为6．
3.（2017?阜新）如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4，则BC的长是 ．
【分析】因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=，
∴BC=10cm．
故答案为：10cm．
4.（2017?齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．
解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=（180°﹣46°）=67°，
∴∠ACB=67°+46°=113°，
②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，
∴∠ACB=46°+46°=92°，
故答案为113°或92°．
5.（2016?娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）21*cnjy*com
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
6.（2017?深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= ．
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR=90°=∠MPN，
∴∠QPE=∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴==2，
∴PQ=2PR=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，
∴2x+3x=3，
∴x=，
∴AP=5x=3．
故答案为3．
7.（2017?湘潭）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE：S△ABC= ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【出处：21教育名师】
解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=（）2=，
故答案为：1：4．
8.（2017?铜仁市）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．【版权所有：21教育】
【分析】先证得=，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∴==1.2，==1.2，
∴=，
∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
三．解答题（共7小题）
1.（2015?厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
解：∵DE∥BC，
∴=，
∵AD=3，AB=5，
∴=．
2.（2017?江西）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG．21教育名师原创作品
【分析】先根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．21*cnjy*com
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠BFE+∠CFG=90°，
∴∠BEF=∠CFG，
∴△EBF∽△FCG．
3.（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．
（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴∠ACD+∠BDC=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵PD⊥AD，
∴∠ADC+∠PDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC；
（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，
∵∠BDC=∠PDC，
∴CE=CM，
∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴=，
设CM=CE=x，
∵CE：CP=2：3，
∴PC=x，
∵AB=AD=AC=1，
∴=，
解得：x=，
故AE=1﹣=．
4.（2016?福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC?CD的值，从而可得到AD2与AC?CD的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC?CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
解：（1）∵AD=BC，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=．
∴AD2==，AC?CD=1×=．
∴AD2=AC?CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC?CD，
∴BC2=AC?CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
第五章图形与变换第35节相似三角形
■考点1比例线段
1.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．www-2-1-cnjy-com
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.【来源：21cnj*y.co*m】
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．【出处：21教育名师】
■考点2.相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.21教育名师原创作品
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角 ，对应边 ．
(2)周长之比等于 ，面积之比等于 ．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 ．
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点1比例线段
◇典例：
1.（2015?六盘水）已知≠0，则的值为 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，可用a表示b、c，根据分式的性质，可得答案．
解：由比例的性质，得
c=a，b=a．
===．
故答案为：．
2.（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
3.（2016?杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A． B． C． D．1
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
◆变式训练
1.（2016?山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）21·cn·jy·com
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
2.（2015?兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
3.（2016?兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A． B． C． D．
■考点2.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.（2017?随州）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】若A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，则=或=，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．www.21-cn-jy.com
解：当=时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE===；
当=时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE===；
故答案为：或．
2.（2017?东营）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC；其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH?PC，故④正确；
故选C．
◆变式训练
1.（2016?兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
2.（2017?恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
1.（2016?黔西南州）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC=3DE B．= C．△ADE∽△ABC D．S△ADE=S△ABC
2.（2017?连云港）如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
3.（2017?安顺模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
4.（2017?兰州）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）
A．8.5米 B．9米 C．9.5米 D．10米
5.（2015?大庆）已知=，则的值为 ．
6.（2017?潍坊）如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）【版权所有：21教育】
7.（2017?北京）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM= ．
8.（2017?天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
9.（2017?吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为 m．21教育网
10.（2017?铜仁市）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
11.（2017?宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
一．选择题
1.（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
2.（2016?淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
3.（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
4.（2017?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A． B． C． D．
5.（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）21世纪教育网版权所有
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
6.（2017?绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（ ）2-1-c-n-j-y
A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m
二．填空题（共22小题）
1.（2017?临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．
2.（2017?长春）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．
3.（2017?阜新）如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4，则BC的长是 ．
4.（2017?齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
5.（2016?娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）21·世纪*教育网
6.（2017?深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= ．
7.（2017?湘潭）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE：S△ABC= ．
8.（2017?铜仁市）如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是 米．21cnjy.com
三．解答题（共7小题）
1.（2015?厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．
2.（2017?江西）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG=90°．求证：△EBF∽△FCG．21*cnjy*com
3.（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
4.（2016?福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
