第六章
概率与统计第37节频率与概率
■考点1. 概率及公式
定义 表示一个事件发生的可能性大小的数．
概率公式P(A)＝ (m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
用频率可以估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.【来源：21cnj*y.co*m】
3. 事件的类型及其概率
事件类型
概率
确定性事件
1或0
必然事件
1
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
0
■考点2 .随机事件概率的计算
随机事件概率的计算方法
(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法
■考点3.几何概率的计算
几何概率的计算方法 求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
考点4.利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2-1-c-n-j-y
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．21*cnjy*com
■考点1. 概率及公式
◇典例：
1.（2017?自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选：B．
2.（2017?阿坝州）对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，
故选：D．
3.（2017?遂宁）在一个不透明的盒子中装有5个红球，2个黄球，3个绿球，这些球除颜
色外没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ．
【考点】概率公式．
【分析】用红球的个数除以总球的个数，即可得出答案．
解：∵有5个红球，2个黄球，3个绿球，共10个，
∴摸到红球的概率为=；
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017?乐山）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
2.（2017?天水）下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
3.（2017?百色）一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，2，3，4，5，随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是 ．
■考点2 .随机事件概率的计算
◇典例
1.（2017?淄博）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法； 绝对值．
【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．21·cn·jy·com
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，
∴两人“心领神会”的概率是=，
故选：B．
2.（2017?青岛）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．2·1·c·n·j·y
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【版权所有：21教育】
解：不公平，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P（小华胜）=，P（小军胜）=，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
◆变式训练
1.（2017?威海）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
2.（2017?毕节市）由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量
采取转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等，且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁胜谁去观看．规则如下：两人各转动转盘一次，当转盘指针停止，如两次指针对应盘面数字都是奇数，则小王胜；如两次指针对应盘面数字都是偶数，则小张胜；如两次指针对应盘面数字是一奇一偶，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．
如果小王和小张按上述规则各转动转盘一次，则
（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．
■考点3.几何概率的计算
◇典例：
1.（2017?东营）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形
是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【考点】几何概率；几何体的展开图．
【分析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．
解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，
从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，
而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，
∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是，
故选（A）
2.（2016?扬州）如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组
成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为 ．
【考点】几何概率．
【分析】刚好落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面积与总面积的比值，从而得出答案．
解：∵黑色三角形的面积占总面积的=，
∴刚好落在黑色三角形区域的概率为；
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017?辽阳）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每
块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.（2017?宁夏）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞
镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
考点4.利用频率估计概率
◇典例：
（2015?南通）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）21cnjy.com
A．12 B．15 C．18 D．21
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15．
故选：B．
变式训练
在一只不透明的袋中装有红球、白球若干个，这些球除颜色外形状大小均相同．八（2）班同学进行了“探究从袋中摸出红球的概率”的数学活动，下表是同学们收集整理的试验结果：
试验次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到红球的次数m
68
111
136
345
564
701
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
根据表格，假如你去摸球一次，摸得红球的概率大约是??????（结果精确到0.1）．
1.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
2.（2017?赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径
的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.（2017?湖州）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.（2017?兰州）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
5.（2017?泰州）“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”） 21教育网
6.（2017?福建）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加
同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是 ．www-2-1-cnjy-com
7.（2017?成都）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则= ．【出处：21教育名师】
8.（2015?茂名）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
9.（2017?衡阳）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比
赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
10.（2017?营口）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．
一．选择题
1.（2017?新疆）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
3.（2017?长沙）下列说法正确的是（ ）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件
4.（2016?呼和浩特）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，
AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
5.（2017?舟山）红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命
题中错误的是（ ）
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B．红红胜或娜娜胜的概率相等
C．两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
6.（2017?北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；21教育名师原创作品
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
二．填空题
1.（2017?随州）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 事件（从“必然”、
“随机”、“不可能”中选一个）．
2.（2017?辽阳）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱
形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
3.（2017?葫芦岛）如图是由若干个全等的等边三角形拼成的纸板，某人向纸板上投掷飞
镖（每次飞镖均落在纸板上），飞镖落在阴影部分的概率是 ．
4.（2017?阿坝州）在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，
从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是 ．
5.（2017?雅安）分别从数﹣5，﹣2，1，3中，任取两个不同的数，则所取两数的和为正数的概率为 ．
6.（2017?上海）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 ．
7.（2017?深圳）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是 ．
三．解答题
1.（2017?眉山）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若
红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
2.（2017?陕西）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．21·世纪*教育网
根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
3.（2017?泰州）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的
文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．
4.（2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成
面积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
第六章
概率与统计第37节频率与概率
■考点1. 概率及公式
定义 表示一个事件发生的可能性大小的数．
概率公式P(A)＝ (m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
用频率可以估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.21*cnjy*com
3. 事件的类型及其概率
事件类型
概率
确定性事件
1或0
必然事件
1
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
0■考点2 .随机事件概率的计算
4.随机事件概率的计算方法
(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法
■考点3.几何概率的计算
几何概率的计算方法 求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
考点4.利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
■考点1. 概率及公式
◇典例：
1.（2017?自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选：B．
2.（2017?阿坝州）对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（ ）
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，
故选：D．
3.（2017?遂宁）在一个不透明的盒子中装有5个红球，2个黄球，3个绿球，这些球除颜
色外没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ．
【考点】概率公式．
【分析】用红球的个数除以总球的个数，即可得出答案．
解：∵有5个红球，2个黄球，3个绿球，共10个，
∴摸到红球的概率为=；
故答案为：．
◆变式训练
（2017?乐山）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明乙的射击成绩比甲稳定
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量； 方差．
【分析】根据随机事件的概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质判断即可．
解：A、打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；
B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；
C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=4，说明甲的射击成绩比乙稳定，D错误；
故选：C．
（2017?天水）下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【考点】概率的意义．
【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．2-1-c-n-j-y
解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；
B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；
C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；
故选A．
（2017?百色）一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，
2，3，4，5，随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】根据一个不透明的盒子里有5张完全相同的卡片，它们的标号分别为1，2，3，4，5，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵共有5个数字，奇数有3个，
∴随机抽取一张，抽中标号为奇数的卡片的概率是．
故答案是．
■考点2 .随机事件概率的计算
◇典例
1.（2017?淄博）在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m﹣n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法； 绝对值．
【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中满足|m﹣n|≤1的有10种结果，
∴两人“心领神会”的概率是=，
故选：B．
2.（2017?青岛）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．21教育名师原创作品
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：不公平，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P（小华胜）=，P（小军胜）=，
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
◆变式训练
1.（2017?威海）甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先画出树状图，然后计算出数字之和为偶数的情况有5种，进而可得答案．
解：如图所示：数字之和为偶数的情况有5种，
因此加获胜的概率为，
故选：C．
2.（2017?毕节市）由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量
采取转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等，且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁胜谁去观看．规则如下：两人各转动转盘一次，当转盘指针停止，如两次指针对应盘面数字都是奇数，则小王胜；如两次指针对应盘面数字都是偶数，则小张胜；如两次指针对应盘面数字是一奇一偶，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．
如果小王和小张按上述规则各转动转盘一次，则
（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．
【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平．
解：
（1）∵转盘的4个等分区域内只有1，3两个奇数，
∴小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率==；
（2）列表如下：
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数字数字都是偶数或都是奇数的都是4种，
∴P（小王胜）==，P（小张胜）==，
∴游戏公平．
■考点3.几何概率的计算
◇典例：
1.（2017?东营）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形
是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【考点】几何概率；几何体的展开图．
【分析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．
解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，
从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，
而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，
∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是，
故选（A）
2.（2016?扬州）如图所示的六边形广场由若干个大小完全相同的黑色和白色正三角形组
成，一只小鸟在广场上随机停留，刚好落在黑色三角形区域的概率为 ．
【考点】几何概率．
【分析】刚好落在黑色三角形上的概率就是黑色三角形面积与总面积的比值，从而得出答案．
解：∵黑色三角形的面积占总面积的=，
∴刚好落在黑色三角形区域的概率为；
故答案为：．
◆变式训练
1.（2017?辽阳）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每
块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
解：∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值==，
∴它停在黑色区域的概率是；
故选B．
2.（2017?宁夏）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞
镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【考点】几何概率．
【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案．
解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形，
故飞镖落在阴影区域的概率是：=．
故答案为：．
考点4.利用频率估计概率
◇典例：
（2015?南通）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（ ）2·1·c·n·j·y
A．12 B．15 C．18 D．21
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．21·世纪*教育网
解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15．
故选：B．
变式训练
在一只不透明的袋中装有红球、白球若干个，这些球除颜色外形状大小均相同．八（2）班同学进行了“探究从袋中摸出红球的概率”的数学活动，下表是同学们收集整理的试验结果：
试验次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到红球的次数m
68
111
136
345
564
701
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
?
根据表格，假如你去摸球一次，摸得红球的概率大约是 （结果精确到0.1）．
【考点】利用频率估计概率.
【?分析】利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可.
解：根据随着实验的次数不断增加，摸得红球的概率大约是0.7．
1.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．
解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选D．
2.（2017?赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径
的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概率．
【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S△CEB，进而得出答案．
解：如图所示：连接BE，
可得，AE=BE，∠AEB=90°，
且阴影部分面积=S△CEB=S△ABC=S正方形ABCD，
故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．
故选：B．
3.（2017?湖州）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况，
∴两次摸出红球的概率为；
故选D．
4.（2017?兰州）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．
解：根据题意得=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选D．
5.（2017?泰州）“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）【出处：21教育名师】
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
解：∵袋子中3个小球的标号分别为1、2、3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
6.（2017?福建）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加
同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是 ．
【考点】概率公式．
【分析】根据已知条件即可得到结论．
解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，
∴这三种颜色的球的个数相等，
∴添加的球是红球，
故答案为：红球．
7.（2017?成都）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则= ．【版权所有：21教育】
【考点】几何概率．
【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1，P2的值即可得出答案．
解：设⊙O的半径为1，则AD=，
故S圆O=π，
阴影部分面积为：π×2+×﹣π=2，
则P1=，P2=，
故=．
故答案为：．
8.（2015?茂名）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
【考点】概率公式．
【分析】（1）用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概率；
（2）根据概率公式列出方程求得红球的个数即可．
解：（1）∵共10个球，有2个黄球，
∴P（黄球）==；
（2）设有x个红球，根据题意得：=，
解得：x=5．
故后来放入袋中的红球有5个．
9.（2017?衡阳）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比
赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．
10.（2017?营口）如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．
【考点】游戏公平性； 轴对称图形； 中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；
（2）首先根据（1）求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若摸出两张牌面图形都是中心对称图形的有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平．21·cn·jy·com
解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；
（2）列表得：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，
∴P（两张都是轴对称图形）=，因此这个游戏公平．
一．选择题
1.（2017?新疆）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【考点】随机事件．
【分析】根据随机事件与必然事件的定义即可求出答案．
解：（A）购买一张彩票中奖是随机事件；
（B）根据物理学可知0℃以下，纯净的水结冰是必然事件；
（C）明天是晴天是随机事件；
（D）经过路口遇到红灯是随机事件；
故选（B）
2.（2017?葫芦岛）下列事件是必然事件的是（ ）
A．乘坐公共汽车恰好有空座 B．同位角相等
C．打开手机就有未接电话 D．三角形内角和等于180°
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．21cnjy.com
解：A．乘坐公共汽车恰好有空座，是随机事件；
B．同位角相等，是随机事件；
C．打开手机就有未接电话，是随机事件；
D．三角形内角和等于180°，是必然事件．
故选D．
3.（2017?长沙）下列说法正确的是（ ）
A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查
B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件
【考点】可能性的大小；全面调查与抽样调查；中位数；随机事件．
【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．www.21-cn-jy.com
解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；
B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；
C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；
D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；
故选：D．
4.（2016?呼和浩特）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，
AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【考点】几何概率； 三角形的内切圆与内心．
【分析】由AB=15，BC=12，AC=9，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径==3，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．
解：∵AB=15，BC=12，AC=9，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径==3，
∴S△ABC=AC?BC=×12×9=54，
S圆=9π，
∴小鸟落在花圃上的概率==，
故选B．
5.（2017?舟山）红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命
题中错误的是（ ）
A．红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为
B．红红胜或娜娜胜的概率相等
C．两人出相同手势的概率为
D．娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
【考点】列表法与树状图法； 命题与定理．
【分析】利用列表法列举出所有的可能，进而分析得出答案．
解：红红和娜娜玩“锤子、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：
红红
娜娜
锤子
剪刀
布
锤子
（锤子，锤子）
（锤子，剪刀）
（锤子，布）
剪刀
（剪刀，锤子）
（剪刀，剪刀）
（剪刀，布）
布
（布，锤子）
（布，剪刀）
（布，布）
由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（锤子，锤子）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．
因此，红红和娜娜两人出相同手势的概率为，两人获胜的概率都为，
红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为，错误，故选项A符合题意，
故选项B，C，D不合题意；
故选：A．
6.（2017?北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，21世纪教育网版权所有
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，
故选B．
二．填空题
1.（2017?随州）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 事件（从“必然”、
“随机”、“不可能”中选一个）．
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 随机事件，
故答案为：随机．
2.（2017?辽阳）现有五张正面图形分别是平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱
形的卡片，它们除正面图形不同，其它完全相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，卡片的正面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ．
【考点】概率公式； 轴对称图形； 中心对称图形．
【分析】由平行四边形、圆、等边三角形、正五边形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆和菱形，利用概率公式即可求得答案．
解：既是中心对称图形又是轴对称图形的有圆、菱形，概率是；
故答案为：．
3.（2017?葫芦岛）如图是由若干个全等的等边三角形拼成的纸板，某人向纸板上投掷飞
镖（每次飞镖均落在纸板上），飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【考点】几何概率．
【分析】确定阴影部分的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
解：如图：阴影部分的面积占6份，总面积是16份，∴飞镖落在阴影部分的概率是=；
故答案为：．
4.（2017?阿坝州）在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，
从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，
所以随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率==．
故答案为．
5.（2017?雅安）分别从数﹣5，﹣2，1，3中，任取两个不同的数，则所取两数的和为正数的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先依据题意画出树状图，然后依据树状图确定出所有情况，以及符合题意的情况，最后，再依据概率公式求解即可．
解：如图所示：
由树状图可知，共有12中可能的情况，两个数的和为正数的共有4种情况，
所以所取两个数的和为正数的概率为=．
故答案为：．
6.（2017?上海）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它
都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率．
解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：=．
故答案为：．
7.（2017?深圳）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，
任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所摸到1黑1白的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：依题意画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，所摸到的球恰好为1黑1白的有4种情况，
∴所摸到的球恰好为1黑1白的概率是：=．
故答案为：．
三．解答题
1.（2017?眉山）一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若
红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【考点】概率公式．
【分析】（1）先根据概率公式求出白球的个数为10，进一步求得红、黑两种球的个数和为280，再根据红球个数是黑球个数的2倍多40个，可得黑球个数为（280﹣40）÷（2+1）=80个，进一步得到红球的个数；
（2）根据概率公式可求从袋中任取一个球是黑球的概率．
解：（1）290×=10（个），
290﹣10=280（个），
（280﹣40）÷（2+1）=80（个），
280﹣80=200（个）．
故袋中红球的个数是200个；
（2）80÷290=．
答：从袋中任取一个球是黑球的概率是．
2.（2017?陕西）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家
包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）根据题意可以得到小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率；
（2）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
解：（1）由题意可得，
小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：=，
即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是；
（2）由题意可得，出现的所有可能性是：
（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、
（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、
（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、
（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），
∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：．
3.（2017?泰州）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的
文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙抽中同一篇文章的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．21教育网
解：如图：
所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，
概率为=．
4.（2017?通辽）小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面
积相等的几个扇形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】首先依据题先用树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．
解：这个游戏对双方是公平的．
如图，
∴一共有6种情况，和大于4的有3种，
∴P（和大于4）==，
∴这个游戏对双方是公平的．
