24.1 圆的有关性质 教案(4课时)

24.1.1 圆的有关性质教案
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1、了解圆的画法及其圆的定义；
2、理解确定圆的条件及其与圆相关的概念.
过程
方法
1、通过观察、动手操作培养学生通过动手实践发现问题、解决问题的能力；
2、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.
情感
态度
加强学生的爱国主义教育，体验中华古文明的辉煌，培养学生的民族自豪感及爱国热情.
教学
重点
准确把握圆及与圆相关的概念.
教学
难点
以点的集合定义圆所具备的两个条件.
二、【教学流程】
教学环节
问题设计
师生活动
二次备课
情
景
创
设
观察课本上的图片，体验圆的和谐与美丽.
请大家说说生活中还有哪些圆形？
创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣
情境导入，有利于学生从视觉感观认识 上升到理性认识.
自
主
探
究
问题一
1、画一个圆，观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？
2、 观察下列图形后思考：图形中的各端点与O点的距离有什么关系？
想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？
问题二
画图、思考，并回答提出的问题：
以任意一点O为圆心，2cm为半径画圆，并在圆中分别作出一条非直径的弦AB和一条直径AC；
写出⊙O中的所有弧，指出它们有什么不同？并将其进行分类；
以点O1为圆心，2cm为半径画圆，这个圆和第1题中的圆是什么关系？在⊙O中找出等弧，在⊙O和⊙O1中找出等弧.
定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.
（用集合的观点）定义：圆是到定点距离等于定长的点的集合.
（1）要确定出一个圆，必须有两个条件：一个是圆心，一个是半径，其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可；（2）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）正确理解等圆和等弧的含义，等弧是指能够互相重合的弧，它只存在于同圆或等圆中.
让学生画圆、描述、交流，得出圆的定义（用运动的观点）：
让学生观察、思考、交流，从旧知识中发现新问题，并在老师的指导下，归纳得出圆的特征： （1） 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.
教师展示古人的成就：战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也” .
教师提出问题，学生画图、看课本，思考并回答提出的问题.教师参与小组活动，指导帮助学生搞清.
用运动的观点理解圆的定义.
用集合的观点认识圆
学生通过动手、动脑、动口，体验获得知识的全过程，更有利于对知识点的理解与掌握.
培养学生的民族自豪感及爱国热情.
尝
试
应
用
1、以已知点O为圆心，可以画 个圆；以已知线段AB的长为半径，可以画 个圆.
2、已知⊙O中最长的弦为10cm，则⊙O的半径为 cm.
3、下列判断中，不正确的个数是（ ）
①直径是弦;②弧包括优弧和劣弧；③等弧是长度相等的弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、如图所示，在⊙O中，AB为直径，P点为OB上一点（不同于O,B），CD,EF是⊙O中过点P的两条弦，则图中有 条直径， 条非直径的弦，以A为一个端点的劣弧有 条.
5、设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.
(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；
(2)和点B的距离等于2cm的点的集合；
(3)和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；
(4)和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；
6、思考：车轮为什么做成圆形的？如果车轮不是圆的（比如椭圆或正方形），坐车的人会是什么感觉？
教师出示题目，学生独立思考、解答
学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.
教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结.
学生交流，师生互动，突出问题的关键：①需要做功②上下颠簸
通过问题的训练，加深学生对圆及有关概念的理解.
经过画图及对图形的分析，培养学生数形结合的能力.
将数学融入到生产生活中，激发学生积极性、主动性，学会与人交流、合作，真正成为教与学的主体，形成师生互动的课堂氛围.
补
偿
提
高
1、以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
2、点P到圆上各点的最大距离是8cm，最小距离是6cm，则圆的半径是（ ）.
A.7cm B.1cm C.7cm或1cm D无法确定
3、如图，⊙O的半径为3cm，A为⊙O上一定点，P在⊙O上沿圆周运动（不与A重合），则弦AP的长度为整数值的有 个，这样的弦共有 条.
拓展研究：
矩形的四个顶点是否在同一个圆上？若在，请证明，若不在，请说明理由.
教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.
教师帮助学生完成并总结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.
学生在解答中能否发表自己的见解，倾听他人的意见，并从中获益.
学有余力的学生选做，达到培优的目的.
小
结
作
业
小结：
通过这节课的学习，你有什么收获？
作业：
1、必做题
教材P81练习第1、2、3题，P89习题24.1第1题
选做题
我们所研究过的基本图形（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）中，哪些图形的顶点在同一个圆上？
师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.
使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.
三、【板书设计】
24.1.1 圆的有关性质
四、【教后反思】
24.1.2 垂直于弦的直径教案
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.使学生理解圆的轴对称性 .
2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.
过程
方法
1. 经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.
2. 在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活.
情感
态度
让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现.
教学
重点
垂径定理、推论及它们的应用.
教学
难点
对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.
二、【教学流程】
教学环节
问题设计
师生活动
二次备课
情
景
创
设
请大家观察教材上的图片并思考问题：
你知道赵州桥吗？你能给大家介绍一下有关它的历史及构造吗？
创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣
了解我国古代人民的勤劳与智慧.
自
主
探
究
问题一
用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
问题二
1、观察、思考并回答：
（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？
（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？
(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？
（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？
2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.
垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.
例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？
平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
问题三
命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？
　　让学生动手操作，观察、思考、交流，归纳得出圆的特性： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在（或过圆心）的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条.
教师提出问题，学生画图、思考，并回答提出的问题.教师参与小组活动，指导帮助学生，鼓励学生大胆试验、猜想，并共同给出验证过程.
小组交流，根据直径的特征，容易给出直径的名字——垂直于弦的直径，师生共同归纳出特殊直径的性质，并给出
教师出示图形，学生独立思考、解答，说出哪些图形能使用垂径定理?
教师出示题目，学生画图探究说明命题不正确，通过交流、修改，进一步得出垂径定理的推论.
培养学生动手、动脑、动口探究问题的能力
让学生积极参与探究知识的整个过程，更有利于对知识点的理解与掌握.
给学生足够的发挥空间，利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解.
强化结论的使用条件：平分非直径弦的直径.
尝
试
应
用
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.
?
2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.
求证：AC＝BD.
变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.
变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC??????BD??（写出答案，不证明）
3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问题.
教师出示题目，学生独立思考、解答
学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.
教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结.学生交流，师生互动.
对于第2题的解答，要求学生一题多解:
法1：连接OA、OB、OC、OD，
证△OAC≌△OBD
法2：作OE⊥CD，垂足为E，利用垂径定理证明.
要求：（1）正确画出图形，连接半径，构造直角三角形；
（2）利用垂径定理
的知识解决问题.
通过问题的训练，加深学生对垂径定理的理解及应用，同时强调辅助线的作法的重要性.
经过一题多解、变式训练，
锻炼学生发散思维及举一反三、触类旁通解决问题的能力.
补
偿
提
高
1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.
2、见教材第90页习题24.1第9题
教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.
学有余力的学生选做，达到培优的目的.
小
结
与
作
业
小结：
通过这节课的学习，你有什么收获？
作业：
1、必做题
教材第83页练习1，2题
2、选做题
教材第90页习题24.1第10题
教师提出问题，学生独立回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.
教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.
供学生课后探讨、研究.
使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.
三、【板书设计】
24.1.2 垂直于弦的直径
四、【教后反思】
24.1.3 弧、弦、圆心角教案
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1、通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.
2、掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量都分别相等，以及它们在解题中的应用.
过程
方法
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后通过演示实验和利用旋转的知识探索得出在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量都分别相等，最后运用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法.
情感
态度
激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣欲望.
教学
重点
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其两个推论和它们的应用.
教学
难点
探索定理和推论及其应用.
二、【教学流程】
教学环节
问题设计
师生活动
二次备课
情
景
创
设
1、圆是中心对称图形吗？将圆旋转任意角度后会出现什么情况？
2、前面，我们认识了与圆有关的概念—弦、弧，请指出下图⊙O中的弦与弧，你知道∠AOB在⊙O中叫什么角吗？
教师引导学生复习旋转知识为探究本节课定理作铺垫.
创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣
通过学生亲自动手操作发现圆的旋转不变性，为后续探究作好准备.
自
主
探
究
探究一
作一个圆，并在圆中画出两个圆心角，根据你画出的角，说出圆心角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？
一是角的顶点必须是圆心，二是角的两边是圆的两条半径，也就是必须和圆相交.
探究二
如图所示，OA、OB、OC、OD是⊙O的半径.
观察、思考并回答下列问题：
(1)如果∠AOB=∠COD,那么弦AB与CD、
︵AB=︵CD有什么关系？
（2）如果AB=CD，那么∠AOB与∠COD、︵AB=︵CD有什么关系？
（3）如果︵AB=︵CD，那么∠AOB与∠COD、AB与CD有什么关系？
（4）由以上探究，弧、弦、圆心角之间有怎样的关系？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
用同样的方法得出（2）、（3）的结论：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
全班进行成果交流，概括（4）的结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
让学生动手画圆，观察、思考、交流，归纳得出圆心角的定义，强调两个特征：
教师出示问题后，拿出课前准备好的自制教具（形状如图示）演示，并请大家交流后用圆的旋转不变性和相关知识进行思考，尝试猜想得出关系定理，再进行严格的几何证明.最后用语言叙述定理.
同时教师要强调关系定理成立的前提条件：在同圆或等圆中
培养学生动手、动脑、动口探究问题的能力
让学生在观察、交流、探究的过程中体验知识的形成与发展过程，体会从特殊到一般的思想方法，学会归纳概括.
尝
试
应
用
1、下列命题中的真命题有（ ）个.
①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②长度相等的两条弧是等弧；
③等弧所对的圆心角相等；
④相等的圆心角所对的弧相等.
A.1 B.2 C.3 D.4
2、课本例3
3、课本练习第1题4小题，第2题
教师出示题目，学生独立思考、解答
学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.
教师巡回检查，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结解题方法、规
将所学知识进行运用，巩固识，形成 解题技巧.
补
偿
提
高
1、已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为
2、如图，已知︵AB、 ︵CD是⊙O的两条劣弧，且︵AB=2︵CD，则弦AB与CD的大小关系是（ ）.
A.AB=2CD B.AB＜2CD
C.AB＞2CD D.不能确定
3、如图，在⊙O中，︵AB=︵AC，∠B=50°，求∠A的度数.
教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.
注：通过第2题的解答让学生体验到：两弧是2倍关系，但弧所对的弦不一定是2倍关系.此题答案为B
进一步运用所学知识解题，加深定理的理解与运用.
供学有余力的学生选做，达到培优的目的
小
结
小结：
通过这节课的学习，你有什么收获？
作业：
1.必做题
教材P90第11题
2.选做题
教材P90第13题
教师提出问题，学生独立回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.
教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.
供学生课后探讨、研究
使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.
三、【板书设计】
24.1.3 弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
四、【教后反思】
24.1.4 圆周角教案
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明.
过程
方法
1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
2、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”，体验分类讨论的数学思想方法.
情感
态度
敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.
教学
重点
圆周角定理及定理的三个推论的应用．
教学
难点
圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.
二、【教学流程】
教学环节
问题设计
师生活动
二次备课
情
景
创
设
观察与思考：（教师边演示自制教具边介绍，其中底面圆片上标注好有关的字母、线条）
假设这是一个圆柱形的房子，同学们可以站在房中通过圆弧形玻璃窗AB向外观看外面的风景，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和 ∠ACB）有什么关系？同学丙、丁分别站在其它靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣
自
主
探
究
探究一
作一个圆，并在圆中画出两个圆周角，根据你画出的角，
（1）说出圆周角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？
（2）说出圆周角与圆心角的异同点？
一是角的顶点必须在圆周上，二是角的两边必须和圆相交.圆周角与圆心角的异同点：顶点的位置不同，角的两边都和圆相交.
探究二
1、拿出课前准备好的圆形纸片，先在上面任意画一个圆周角∠BAC，然后画出同弧所对的圆心角∠BOC，再分别量出∠BAC和 ∠BOC的度数，比较一下，你有什么发现？小组交流一下，能得出什么共同结论？
同弧所对的圆周角的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
2、为了进一步探究上面的发现，请同学们将刚才的圆形纸片沿圆周角的顶点A和圆心O对折，小组交流、归纳，看看这时折痕和圆周角∠BAC的位置可能有哪几种关系？分别一一画出来.
3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的 ∠BOC=2∠BAC.
4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
（3）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；
5、利用上面的结论，完成下列问题：
如图，在⊙O中，
（1）∠C与∠D相等吗?为什么？
（2）若AB是直径，则∠C= ，∠D=
（3）若∠C=90°，则弦AB是⊙O的直径吗？
（4）若圆周角∠ACB与∠DAB相等，则它们所对的弧相等吗？为什么？
通过以上4个小题的解答，你又能得到什么结论？归纳一下.
圆内接四边形的对角互补.
探究三
1、什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？
2、画一个圆内接四边形ABCD，它有什么性质，你是如何得到的？与同学交流一下.
让学生动手画圆，观察、思考、交流，归纳得出圆周角的两个特征.
学生按照教师的要求画图、测量、思考，回答教师提出的问题.让学生交流、讨论并归纳，指导帮助学生，鼓励学生大胆猜想.
学生折纸、观察、交流，教师参与小组活动，归纳出：
⑴在圆周角的一条边上(如图a)；
⑵在圆周角的内部(如图b)；
⑶在圆周角的外部（如图c）.
学生自己独立完成图a的证明.
对于图b、图c两种情况的证明，我们可以先尝试让学生小组交流，寻找证题方法，教师可以参与小组讨论，及时给予引导、点拨，然后板书展示证明过程，最后全班进行点评，引导学生体会“转换化归”在解决从特殊到一般问题时的应用思路和方法.
以小组为单位讨论、探索，教师参与其中，指导帮助学生完成问题的解答.最后归纳得出圆周角定理的推论：
先让学生自己看课本，认识圆的内接多边形、多边形的外接圆的概念，再运用学过的知识探索圆内接四边形的性质：
培养学生动手画图、动脑和动口相结合探究问题的能力
通过学生自己画图、测量、归纳，展示同弧所对的圆周角与圆心角的度数关系，引导学生理解，同时为下面定理的证明作好准备.
通过制作演示折纸，培养学生动手操作的能力，促进学生参与教学的意识的形成.
学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键
通过观察、交流、归纳，锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方法
运用已经学会的知识解决新问题，培养学生解决问题的能力，养成探究习惯.
尝
试
应
用
1、教材第88页练习1、2
2、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∠BOD=110°，则∠BAD=
∠BCD=
3、教材第87页例4
4、足球场上正在进行激烈的比赛，队员甲、队员乙正准备射门，是队员甲直接射门好，还是传给队员乙让队员乙射门好，为什么？
教师出示题目，学生独立思考、解答
学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.
教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结
学生交流，师生互动，
通过问题的训练，加深学生对圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质的理解与应用.
补
偿
提
高
1、如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°,点D在圆上,则∠ADC等于( )
A. 30° B.40°
C.50° D.60°
2、求证：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.
教师帮助学生完成并总结，要求学生熟记第2题的结论，以后可以直接应用.
学有余力的学生选做，达到培优的目的.
小
结
与
作
业
小结：
通过这节课的学习，你有什么收获？
作业：
1.必做题：
教材第88页练习3，习题24.1第89页5，6题
选做题
如图，点A,B,D,E在⊙O上，弦AE,BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.
（1）试判断AB与AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出结论）
教师提出问题，学生独立回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.
教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.
供学生课后探讨、研究
使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.
三、【板书设计】
24.1.4 圆周角
四、【教后反思】