第四章 图形的性质 第26节 多边形与平行四边形■考点1.多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为 ．www.21-cn-jy.com
2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为
（2）外角和：任意多边形的外角和为 °.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 。
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■考点2.平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别 且 .
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角 ，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相 .即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为 三角形，即AB= .21·cn·jy·com
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的 .2·1·c·n·j·y
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.【来源：21·世纪·教育·网】
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的 .
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■考点3.平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形.
（2）方法二：两组对边分别 的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形.
（3）方法三：有一组对边 且 的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是平行四边形.
（4）方法四：对角线互相 的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是平行四边形.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
一个六边形共有n条对角线，则n的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解：六边形的对角线的条数n＝＝9.
故选C
（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
解：设所求正n边形边数为n，由题意得 （n-2）?180°=360°×2 解得n=6． 则这个多边形是六边形． 故选：C．www-2-1-cnjy-com
◆变式训练
从八边形的一个顶点出发可以引________条对角线，八边形的对角线有________
条，八边形的内角和为________．
（2017?云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2017?辽阳）如图，在?ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE，证出CE=2AB，求出∠CEF=30°，得出CE=2CF=2，即可得出AB的长．2-1-c-n-j-y
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°， ∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， ∴CE=2AB， ∵∠BCD=120°， ∴∠ECF=60°， ∵EF⊥BC， ∴∠CEF=30°， ∴CE=2CF=2， ∴AB=1； 故选：B．21cnjy.com
◆变式训练
（2017?丽水）如图，在?ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A． B．2 C 2 D．4
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2016·山东省菏泽市）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．21*cnjy*com
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=0.5BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=0.5BC，
∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
◆变式训练
（2017?无锡）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．
一.选择题
（2017?安顺模拟）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2017?丽水）如图，在?ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
（2016?绍兴）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能
在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
（2015?绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠
CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
（2017?宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图
形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二．填空题
（2017?大连）五边形的内角和为 ．
（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
（2017?南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+
∠D= °．
（2017?临沂）在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，
sin∠BDC=，则?ABCD的面积是 ．
（2017?抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合
部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 ．
(2017红河中考)一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角
的，求这个多边形的外角．
（2017?乐山）如图，延长?ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，
使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
（2017?淮安）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．
一．选择题
1.（2017?辽阳）如图，在?ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
（2017?北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
（2017?台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情
形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（ ）21世纪教育网版权所有
A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2
（2017?泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一且BC=EC，
CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2017?威海）如图，在?ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的
延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）21教育网
A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE
（2017?孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，
则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．【出处：21教育名师】
A．2 B．3 C．4 D．5
（2017?黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+
∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
二．填空题
（2017?邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
（2017?绵阳）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O
为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 ．
（2017?牡丹江）如图，点E，F分别放在?ABCD的边BC、AD上，AC、EF
交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是 ．21·世纪*教育网
（2017?怀化）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB
的中点，OE=5cm，则AD的长是 cm．
（2017?凉山州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD
的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
三．解答题
（2017?淄博）已知：如图，E，F为?ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，
连接BE，DF，求证：BE=DF．
（2017?凉山州）如右图，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，
且BE=DF，连接EF交AD、BC于点G、H．求证：FG=EH．
（2017?菏泽）如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的
延长线于F，若CD=6，求BF的长．
（2017?新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
（2017?咸宁）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
（2017?西宁）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中
点，AD∥BC，AC=8，BD=6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求?ABCD的面积．
（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点
M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
（2017?鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分
线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．
（2017?大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，
AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
第四章 图形的性质 第26节 多边形与平行四边形■考点1.多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
2.多边形的内角和、外角和
(1) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■考点2.平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.21教育名师原创作品
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.【出处：21教育名师】
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■考点3.平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
一个六边形共有n条对角线，则n的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解：六边形的对角线的条数n＝＝9.
故选C
（2017?临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
解：设所求正n边形边数为n，由题意得 （n-2）?180°=360°×2 解得n=6． 则这个多边形是六边形． 故选：C．
◆变式训练
从八边形的一个顶点出发可以引________条对角线，八边形的对角线有________条，八
边形的内角和为________．
解：从八边形一个顶点出发可以引8－3＝5条对角线，八边形共有×8×(8－3)＝20条对角线．八边形的内角和为(8－2)·180°＝1 080°.
【答案】5；20；1 080°.
（2017?云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）?180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：设这个多边形是n边形， 则（n-2）?180°=900°， 解得：n=7， 即这个多边形为七边形． 故本题选C．
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2017?辽阳）如图，在?ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE，证出CE=2AB，求出∠CEF=30°，得出CE=2CF=2，即可得出AB的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°， ∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE， ∴CE=2AB， ∵∠BCD=120°， ∴∠ECF=60°， ∵EF⊥BC， ∴∠CEF=30°， ∴CE=2CF=2， ∴AB=1； 故选：B．
◆变式训练
（2017?丽水）如图，在?ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A． B．2 C 2 D．4
【考点】平行四边形的性质．
【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°， ∴AC=CD=2，∠ACD=90°， 即△ACD是等腰直角三角形， ∴BC=AD==2； 故选：C．
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2016·山东省菏泽市）如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=0.5BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；21教育网
（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG∥BC，DG=BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EF∥BC，EF=0.5BC，
∴DE=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6．
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
◆变式训练
（2017?无锡）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连
DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角边角”证明△CED和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证．
证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，，
∴△CED≌△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
一.选择题
（2017?安顺模拟）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数．21·世纪*教育网
解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360÷60=6．
故选：D．
（2017?丽水）如图，在?ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】平行四边形的性质．
【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
即△ACD是等腰直角三角形，
∴BC=AD==2；
故选：C．
（2016?绍兴）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能
在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【考点】平行四边形的判定．
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
（2015?绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠
CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【考点】平行四边形的判定与性质； 全等三角形的判定与性质； 勾股定理．
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．21世纪教育网版权所有
解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE===5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC?BD=4×（3+3）=24，
故选：D．
（2017?宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图
形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；【版权所有：21教育】
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故选B．
二．填空题
（2017?大连）五边形的内角和为 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°计算即可．
解：（5﹣2）?180°=540°．
故答案为：540°．
（2017?扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A= ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
∵∠B+∠D=200°，
∴∠B=∠D=100°，
∴∠A=180°﹣∠B=180°﹣100°=80°，
故答案为：80°．
（2017?南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+
∠D= °．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据补角 的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论．
解：∵∠1=65°，
∴∠AED=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，
故答案为：425．
（2017?临沂）在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，
sin∠BDC=，则?ABCD的面积是 ．
【考点】平行四边形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，由sin∠BDC=，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出?ABCD的面积=CD?AC=24．
解：作OE⊥CD于E，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4，
∵sin∠BDC==，
∴OE=3，
∴DE==4，
∵CD=4，
∴点E与点C重合，
∴AC⊥CD，OC=3，
∴AC=2OC=6，
∴?ABCD的面积=CD?AC=4×6=24；
故答案为：24．
（2017?抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合
部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为 ．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC．
解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=3．
故答案为3．
(2017红河中考)一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角
的，求这个多边形的外角．
解：设多边形内角为x°.
则x＋x＝180，
解得x＝108，
外角为180°－108°＝72°.
答：这个多边形的外角为72°.
（2017?乐山）如图，延长?ABCD的边AD到F，使DF=DC，延长CB到点E，
使BE=BA，分别连结点A、E和C、F．求证：AE=CF．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证出BE=DF，得出AF=EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE=CF．21cnjy.com
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF=DC，BE=BA，
∴BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
（2017?淮安）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定．
【分析】证出∠ADE=∠CBF，AD=CB，由AAS证△ADE≌△CBF即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
选择题
（2017?辽阳）如图，在?ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交
CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE，证出CE=2AB，求出∠CEF=30°，得出CE=2CF=2，即可得出AB的长．www-2-1-cnjy-com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BCD=∠BAD=120°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CE=2AB，
∵∠BCD=120°，
∴∠ECF=60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2CF=2，
∴AB=1；
故选：B．
（2017?北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）?180°=150n，
解得n=12，
故选：B．
（2017?台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情
形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（ ）21*cnjy*com
A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．
解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°
∴∠1=∠2
∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°
∴∠3﹣∠2=5°，
∴∠3＞∠2
∴∠3＞∠1=∠2
故选D
（2017?泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一且BC=EC，
CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行四边形的性质； 线段垂直平分线的性质．
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
证明：∵BC=EC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB=∠EBF，
∴∠CBE=∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC=EC，CF⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠ECF=∠BCF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC，
∴③正确；
∵FB=BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF=PC，故④正确．
故选：D．
（2017?威海）如图，在?ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的
延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE
【考点】平行四边形的性质； 全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AH∥BG，AD=BC，
∴∠H=∠HBG，
∵∠HBG=∠HBA，
∴∠H=∠HBA，
∴AH=AB，同理可证BG=AB，
∴AH=BG，∵AD=BC，
∴DH=CG，故C正确，
∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，
∴OH=OB，故A正确，
∵DF∥AB，
∴∠DFH=∠ABH，
∵∠H=∠ABH，
∴∠H=∠DFH，
∴DF=DH，同理可证EC=CG，
∵DH=CG，
∴DF=CE，故B正确，
无法证明AE=AB，
故选D．
（2017?孝感）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，AB=DE，
则下列结论成立的个数是（ ）
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF=CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．21*cnjy*com
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】平行四边形的判定； 平行线的判定； 轴对称图形； 中心对称图形．
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确，
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD，
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AC、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形AFDC是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF既是中心对称图形，故⑤正确，
故选D．
（2017?黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+
∠CBD，AC=1，则BD必定满足（ ）
A．BD＜2 B．BD=2
C．BD＞2 D．以上情况均有可能
【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】据∠DBE=∠ABE+∠CBD，且△BED的内角和为180°，得出得出∠AED+∠CDE=180°，判定AE∥CD，由AE=CD，推出四边形AEDC为平行四边形推出DE=AC．则BC=CD=DE=1，推出BD＜BC+CD=2．
证明：∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，同理∠CBD=∠CDB
∵∠ABC=2∠DBE，
∴∠ABE+∠CBD=∠DBE，
∵∠ABE=∠AEB，∠CBD=∠CDB，
∴∠AEB+∠CDB=∠DBE，
∴∠AED+∠CDE=180°，
∴AE∥CD，
∵AE=CD，
∴四边形AEDC为平行四边形．
∴DE=AC=AB=BC．
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=CD=1，
在△BCD中，∵BD＜BC+CD，
∴BD＜2．
故选A．
二．填空题
（2017?邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，
∵EF=DE，
∴∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FDC=90°，
故答案为：90°
（2017?绵阳）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O
为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 ．
【考点】平行四边形的性质；D5：坐标与图形性质．
【分析】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可．
解：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），
∴BC=OA=6，6+1=7，
∴点B的坐标是（7，4）；
故答案为：（7，4）．
（2017?牡丹江）如图，点E，F分别放在?ABCD的边BC、AD上，AC、EF
交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质得出AF∥CE，再根据平行四边形的判定定理得出即可．
解：AF=CE，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
故答案为：AF=CE．
（2017?怀化）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB
的中点，OE=5cm，则AD的长是 cm．
【考点】平行四边形的性质； 三角形中位线定理．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=5cm，
∴AD=10cm．
故答案为：10．
（2017?凉山州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD
的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为 ．
【考点】平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】由于AF∥BC，从而易证△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD=2S△ABD，又因为BD=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四边形AFBD=S△ABC，从而求出答案．
解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=AB?AC=×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12．
故答案为：12
三．解答题
（2017?淄博）已知：如图，E，F为?ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，
连接BE，DF，求证：BE=DF．
【考点】平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】证明△AEB≌△CFD，即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中，，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE=DF．
（2017?凉山州）如右图，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，
且BE=DF，连接EF交AD、BC于点G、H．求证：FG=EH．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由平行四边形的性质证出∠EBH=∠FDG，由ASA证△EBH≌△FDG，即可得出FG=EH．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，∠A=∠FDG，∠EBH=∠C，
∴∠EBH=∠FDG，
在△EBH与△FDG中，，
∴△EBH≌△FDG（ASA），
∴FG=EH．
（2017?菏泽）如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的
延长线于F，若CD=6，求BF的长．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．21·cn·jy·com
解：∵E是?ABCD的边AD的中点，
∴AE=DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠F=∠DCE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD=6，
∴BF=AB+AF=12．
（2017?新疆）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）连接DE，求证：四边形CBED是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SSS证明△ADC≌△CEB即可；
（2）由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE，证出CD∥BE，即可得出结论．
（1）证明：∵点C是AB的中点，
∴AC=BC；在△ADC与△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB（SSS），
（2）证明：连接DE，如图所示：
∵△ADC≌△CEB，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
又∵CD=BE，
∴四边形CBED是平行四边形．
（2017?咸宁）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
证明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
（2017?西宁）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中
点，AD∥BC，AC=8，BD=6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求?ABCD的面积．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；www.21-cn-jy.com
（2）由（1）和已知条件可证明四边形ABCD是菱形，由菱形的面积公式即可得解．
解：
（1）∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴?ABCD的面积=AC?BD=24．
（2017?镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点
M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
（2017?鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分
线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG的值．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；
（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．
（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BCG=∠CGD=∠HAD，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：
由（1）可知∠BCF=∠DCF=∠F，
∴BF=BC=AD=8，
∵AB=CD=5，
∴AF=BF﹣AB=3，
∵BF∥DE，
∴∠DCG=∠F，∠D=∠FAG，
∴△DCG∽△AFG，
∴==，
∴DG=AG，
∴AD=AG+DG=AG=8，
∴AG=3，
∴AF+AG=3+3=6．
（2017?大庆）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，
AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
【考点】平行四边形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF=BE=BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM=BM=BF=1，得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．2-1-c-n-j-y
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BE=BD=，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM=BM=BF=1，
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF==，
即D，F两点间的距离为．
