第四章 图形的性质 第28节 圆的有关概念与性质■考点 1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 ，定长为 ．21教育网
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 ，大于半圆的弧称为 ，小于半圆的弧称为 ．www.21-cn-jy.com
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫做 ．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作 个圆，过已知两点可作 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 圆．www-2-1-cnjy-com
(8)圆的对称性：圆是 _____对称图形，其对称轴是 ；圆是 对称图形，对称中心为 ，并且圆具有旋转不变性．2-1-c-n-j-y
■考点2.垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径 ，并且 ．
②平分弦（不是直径）的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过 ，并且 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4.圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 ．21·世纪*教育网
推论2：直径所对的网周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 ．
②圆内接四边形的任意一组对角 ．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
（2006?黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．【来源：21cnj*y.co*m】
◆变式训练
（2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________【版权所有：21教育】
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
（2017?雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是______
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．21*cnjy*com
解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM=BM， ∵AB=6， ∴AM=3， 在Rt△AOM中，OM==4， OM的长即为OP的最小值， ∴4≤OP≤5． 故答案为：4≤OP≤5．21cnjy.com
◆变式训练
（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例 （2016?济宁）如图，在⊙O中， ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．
解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，， ∴∠AOC=∠AOB， ∵∠AOB=40°， ∴∠AOC=40°， ∴∠ADC=∠AOC=20°， 故选C．【来源：21·世纪·教育·网】
◆变式训练
（2017?宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
（2017?天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=
（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影=S扇形ODB．21世纪教育网版权所有
解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影=S扇形ODB．
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
（2017?牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC
等于（ ）
A．100° B．112.5° C．120° D．135°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠CAB+∠B=90°，根据∠B=3∠BAC，求得∠B=67.5，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．21·cn·jy·com
解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠B=90°， ∵∠B=3∠BAC， ∴∠B=67.5， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC=180°-∠B=112.5°， 故选B． 2·1·c·n·j·y
◆变式训练
（2017?黄冈）已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
（2017?锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
一.选择题
(2016兰州)如图，在⊙O中，点 C 是的中点，∠A＝50o ，则∠BOC＝（ ）
（A）40o （B）45o （C）50o （D）60o
（2016?浙江省舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线
表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
（2017?阜新）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．50° C．45° D．30°
（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若
AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
（2016山东省聊城市，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且
=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）21*cnjy*com
A．45° B．50° C．55° D．60°
二.填空题
（2017?眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= ____ cm．【出处：21教育名师】
（2017?包头）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则
∠ACB= 度．
（2017?大连）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径
为 cm．
（2017?牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP= ．
（2017?淮安）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：
5，则∠D的度数是 °．
（2014?辽宁沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．21教育名师原创作品
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
一．选择题
（2017?阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，
则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2017?黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则
CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
（2017?宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
（2017?潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC
为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A．或2 B．或2 C．或2 D．或2
（2017?贵港）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任
意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
（2017?黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
（2017?潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO
⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
（2017?西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，
则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
二．填空题
（2017?舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，=90°，弓
形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 cm2 ．
（2017?重庆）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠
ACB= ．
（2017?湖州）如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若
∠BAC=40°，则的度数是 度．
（2017?凉山州）如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则
BD= ．
（2017?盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，
则∠ADB= °．
（2017?襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数
为 ．
（2017?广元）已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
（2017?长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的
半径为 ．
（2017?遵义）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O
交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
三．解答题
（2017?济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
（2016?湖州）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
（2017?牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
第四章 图形的性质 第28节 圆的有关概念与性■考点 1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为 半径 ．【版权所有：21教育】
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ，简称 弧 ，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做 直径 ．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在 圆心 的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是 圆周角 ．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作 无数 个圆，过已知两点可作 无数 个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个 圆．
(8)圆的对称性：圆是 轴 对称图形，其对称轴是 直径所在的直线 ；圆是 中心 对称图形，对称中心为 圆心 ，并且圆具有旋转不变性．
■考点2.垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径 平分弦 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
②平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分弦所对的两条弧 ．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4.圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于 它所对圆心角的一半 ．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 ．
推论2：直径所对的网周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形 ．
②圆内接四边形的任意一组对角 互补 ．
■考点1.圆的有关概念
◇典例：
（2006?黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆．
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
◆变式训练
（2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 __________
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O， 以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故答案为：5．
■考点2.垂径定理及其推论
◇典例：
（2017?雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是______
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．【出处：21教育名师】
解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM=BM， ∵AB=6， ∴AM=3， 在Rt△AOM中，OM==4， OM的长即为OP的最小值， ∴4≤OP≤5． 故答案为：4≤OP≤5．
◆变式训练
（2017?乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
【考点】垂径定理的应用．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线， ∴OF⊥BD， ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC∥BD， ∴OE⊥AC，EF=AB， 设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米， OE=R-AB=R-0.25， ∵AE2+OE2=OA2， ∴0.752+（R-0.25）2=R2， 解得R=1.25． 1.25×2=2.5（米）． 答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米． 故选：B．
■考点3. 圆心角、弧、弦的关系
◇典例
（2016?济宁）如图，在⊙O中， ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．
解：连接CO，如图：
∵在⊙O中，， ∴∠AOC=∠AOB， ∵∠AOB=40°， ∴∠AOC=40°， ∴∠ADC=∠AOC=20°， 故选C．21·世纪*教育网
◆变式训练
（2017?宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误； B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确； C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误； D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误． 故选B．
■考点4. 圆周角定理及其推论
◇典例：
（2017?天水）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=
（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影=S扇形ODB．
解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影=S扇形ODB．
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
（2017?牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC
等于（ ）
A．100° B．112.5° C．120° D．135°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠CAB+∠B=90°，根据∠B=3∠BAC，求得∠B=67.5，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠B=90°， ∵∠B=3∠BAC， ∴∠B=67.5， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC=180°-∠B=112.5°， 故选B．
◆变式训练
（2017?黄冈）已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选B．
（2017?锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，
BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】根据三角形的外角的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：∠B=∠DCE-∠F=55°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠EDC=∠B=55°， ∴∠E=180°-∠DCE-∠EDC=45°， 故选：C．
一.选择题
(2016兰州)如图，在⊙O中，点 C 是的中点，∠A＝50o ，则∠BOC＝（ ）
（A）40o （B）45o （C）50o （D）60o
【考点】垂径定理及其推论
解：在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50o 。根据垂径定理的推论，OC 平分弦 AB所对的弧，所以 OC 垂直平分弦 AB，即∠BOC＝90o? ∠B＝40o ，
所以答案选 A。
（2016?浙江省舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线
表示折痕，则的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=BO，AB∥DC，
可得∠EBO=30°，
故∠BOD=30°，
则∠BOC=150°，
故的度数是150°．
故选：C．
（2017?阜新）如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（ ）
A．90° B．50° C．45° D．30°
【考点】圆周角定理．
【分析】由圆周角定理，求得∠A的度数．
解：∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠A=∠BOC=45°．
故选C．
（2017?呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若
AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
【考点】 垂径定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．
解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA?π=13π，
故选B．
（2016山东省聊城市，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且
=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵=，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
故选B．
二.选择题
（2017?眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= ____ cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R-2）2，计算求出R即可．
解：连接OA，
∵OC⊥AB， ∴AD=AB=4cm， 设⊙O的半径为R， 由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， ∴R2=42+（R-2）2， 解得R=5 ∴OC=5cm． 故答案为5．
（2017?包头）如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则
∠ACB= 度．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
解：∵∠BAC=BOC，∠ACB=AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=BAC=20°．
故答案为：20．
（2017?大连）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径
为 cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．
解：连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AC=4，
∵OC=3，
∴OA===5．
故答案为：5．
（2017?牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且
OP=15，则AP= ．
【考点】 垂径定理．
【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．21*cnjy*com
解：作OC⊥AB于点C
，
∴AC=AB=16，
OC==12，又OP=15，
∴PC==9，
当点P在线段AC上时，AP=16﹣9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25．
故选：7或25．
（2017?淮安）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：
5，则∠D的度数是 °．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】设∠A=4x，∠B=3x，∠C=5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论．
解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°．
故答案为：120．
（2014?辽宁沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
【考点】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．
【分析】（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；
（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴=，
∴AD=CD；
（2）解：∵AB=10，
∴OA=OD=AB=5，
∵OD∥BC，
∴∠AOE=∠ABC，
在Rt△AEO中，
OE=OA?cos∠AOE=OA?cos∠ABC=5×=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，
∴AE===4，
在Rt△AED中，
tan∠DAE===，
∵∠DBC=∠DAE，
∴tan∠DBC=．
一．选择题
（2017?阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，
则CD的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理可求出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．www-2-1-cnjy-com
解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
故选A．
（2017?黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则
CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【考点】垂径定理．
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
解：连接OA，
设CD=x，
∵OA=OC=5，
∴OD=5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB=4，
由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2
∴x=2，
∴CD=2，
故选（C）
（2017?宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选B．
（2017?潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC
为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A．或2 B．或2 C．或2 D．或2
【考点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的性质．
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，①如图①，根据已知条件得到BD=×2×3=2，如图②，BD=×2×3=4，求得OD=1，OE=2，DE=1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
①如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD=×2×3=2，
∴OD=OB﹣BD=1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BD=1，
∴OE=2，
连接OD，
∵CE==，
∴边CD==；
如图②，BD=×2×3=4，
同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，
连接OD，
∵CE===2，
∴边CD===2，
故选D．
（2017?贵港）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任
意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
解：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．
（2017?黄石）如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，
则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．21教育网
解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°，
∴OD==．
故选D．
（2017?潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO
⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：，则∠DBC=2∠EAD=80°．21cnjy.com
解：如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边，
∴∠GBC=∠ADC=50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°﹣50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故选C．
（2017?西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，
则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
故选C．
二．填空题
（2017?舟山）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，=90°，弓
形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 cm2 ．
【考点】垂径定理的应用；扇形面积的计算．
【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．2·1·c·n·j·y
解：连接OA、OB，
∵=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB=×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）==48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
（2017?重庆）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠
ACB= ．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据AO=OC，可得：∠ACB=∠OAC，然后根据∠AOB=64°，求出∠ACB的度数是多少即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵AO=OC，
∴∠ACB=∠OAC，
∵∠AOB=64°，
∴∠ACB+∠OAC=64°，
∴∠ACB=64°÷2=32°．
故答案为：32°．
（2017?湖州）如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若
∠BAC=40°，则的度数是 度．
【考点】圆周角定理； 等腰三角形的性质．
【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°，即可得∠ABD=70°，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．
解：连接AD、OD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°，BD=DC，
∴∠ABD=70°，
∴∠AOD=140°
∴的度数为140°；
故答案为140．
（2017?凉山州）如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则
BD= ．
【考点】圆内接四边形的性质； 解直角三角形．
【分析】连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，由垂径定理可知DF=BF，∠DOF=∠BOF，再由圆内接四边形的性质求出∠A的度数，故可得出∠BOD的度数，再由锐角三角函数的定义求出BF的长，进而可得出结论．21教育名师原创作品
解：连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，
∵OF⊥BD，
∴DF=BF，∠DOF=∠BOF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠C=2∠A，
∴∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOF=60°．
∵OB=4，
∴BF=OB?sin∠BOF=4×sin60°=2，
∴BD=2BF=4．
故答案为：4．
（2017?盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，
则∠ADB= °．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据折叠的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论．
解：设点D关于AB的对称点为E，连接AE，BE，
∵∠E+∠ACB=180°，∠ACB=70°，
∴∠E=110°，
∴∠ADB=110°，
故答案为：110．
（2017?襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数
为 ．
【考点】垂径定理； 解直角三角形．
【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．21世纪教育网版权所有
解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE=AC=，AD=AB=，
∴sin∠AOE==，sin∠AOD==，
∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，
∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．
∴∠BAC=15°或105°．
故答案是：15°或105°．
（2017?广元）已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
【考点】垂径定理； 平行线之间的距离．
【分析】分两种情况：①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，作辅助线，构建两个直角三角形，先由垂径定理得出BF和ED的长，再利用勾股定理计算出OE和OF的长，相加即可求出距离EF的长；www.21-cn-jy.com
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，同理求得距离EF的长．
解：分两种情况：
①当AB、CD在圆心O的两侧时，如图1，
过O作OE⊥CD于E，延长EO将AB于F，连接OD、OB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
∴ED=CD，BF=AB，
∵AB=12，CD=16，
∴ED=×16=8，BF=×12=6，
由勾股定理得：OE===6，
OF===8，
∴EF=OE+OF=6+8=14；
②当AB、CD在圆心O的同侧时，如图2，
同理得：EF=OF﹣OE=8﹣6=2，
综上所述，AB和CD的距离为14或2．
（2017?长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的
半径为 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=CD=×6=3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+（x﹣1）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
（2017?遵义）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O
交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
【考点】垂径定理；勾股定理； 等腰直角三角形．
【分析】连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE=，得出CD=2DE=即可．21·cn·jy·com
解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，
∴CD=2DE=；
故答案为：．
三．解答题
（2017?济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．
【考点】圆周角定理．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．21*cnjy*com
解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
（2016?湖州）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【考点】圆内接四边形的性质； 弧长的计算．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；
（2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故===π，
答：的长为π．
（2017?牡丹江）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【分析】连接OC，先根据=得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．2-1-c-n-j-y
证明：连接OC，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
