第四章 图形的性质 第27节 特殊的平行四边形■考点1. 特殊平行四边形的性质与判定
1.性质
（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）
矩 形
菱 形
正方形
（1）四个角都是直角
（2）对角线相等且互相平分.即
AO=CO=BO=DO.
（3）面积=长×宽
=2S△ABD=4S△AOB.
（1）四边相等
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角
（3）面积=底×高
=对角线_乘积的一半
(1)四条边都相等，四个角都是直角
(2)对角线相等且互相垂直平分
(3)面积=边长×边长
=2S△ABD
=4S△AOB
2.判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形
（2）有三个角是直角
（3）对角线相等的平行四边形
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形
（2）对角线互相垂直的平行四边形
（3）四条边都相等的四边形
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形
（2）一组邻边相等的矩形
（3）一个角是直角的菱形
（4）对角线相等且互相垂直、平分
3.联系
注意：(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.21世纪教育网版权所有
（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.
（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.
■考点2.特殊平行四边形的拓展
1.中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
2.特殊四边形中的解题模型
（1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2.
（2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一
点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求
法利用面积法，需连接PO.）
图① 图② 图③ 图④
■考点1. 矩形的性质、判定 与应用
◇典例：
1.（2017?西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）21·cn·jy·com
A．5 B．4 C． D． 34
【考点】矩形的性质．
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB， ∴OM是△ADC的中位线， ∵OM=3， ∴DC=6， ∵AD=BC=10， ∴AC==2， ∴BO=AC=， 故选D．21·世纪*教育网
2.(2016云南中考)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.2-1-c-n-j-y
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
【分析】(1)由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD的度数，即可求出tan∠DBC的值；(2)由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DBC ＝∠ABC＝30°，
∴tan∠DBC＝tan30°＝；
(2)∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OBEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.
∴四边形OBEC是矩形．
◆变式训练
（2017?怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，
则AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
(2016云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F
是AC上的两个动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为2 cm/s.
(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
(2)若BD＝24 cm，AC＝32 cm，当运动时间t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形？说明理由．www.21-cn-jy.com
■考点2. 菱形的性质、判定 与应用
◇典例
（2017?衡阳）菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】菱形的性质．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，求得OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长．21*cnjy*com
解：如图，
∵菱形ABCD中，AC=12，BD=16， ∴OA=AC=6，OB=BD=8，AC⊥BD， ∴AB==10． 即菱形的边长是10． 故选A．【来源：21cnj*y.co*m】
（2016?宁德）如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△
ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平分四边形是菱形
【考点】菱形的判定．
【分析】根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可．
解：如图所示；
∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC， ∴AB=BD，AC=CD， ∵AB=AC， ∴AB=BD=CD=AC， ∴四边形ABDC是菱形； 故选B．【出处：21教育名师】
（2017?北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，
E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．【版权所有：21教育】
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题； （2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；21*cnjy*com
（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点， ∴DE=BC， ∵AD∥BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵∠ABD=90°，AE=DE， ∴BE=DE， ∴四边形BCDE是菱形． （2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA， ∴AB=BC=1， ∵AD=2BC=2， ∴sin∠ADB=， ∴∠ADB=30°， ∴∠DAC=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ACD中，∵AD=2， ∴CD=1，AC=．
◆变式训练
（2017?南充）已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
（2016?河池）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定
四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC
B．AC=BC
C．∠B=60°
D．∠ACB=60°
（2017?襄阳）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE
于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．
■考点3. 正方形的性质、判定 与应用
◇典例：
（2016?内江）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．
【分析】A、根据矩形的定义作出判断； B、根据菱形的性质作出判断； C、根据平行四边形的判定定理作出判断； D、根据正方形的判定定理作出判断．www-2-1-cnjy-com
解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误； 故选C．
（2017?济南）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3，
E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，
∵AF⊥BE，
∴∠EBO=∠GAO，
在△GAO和△EBO中，
，
∴△GAO≌△EBO，
∴OG=OE=1，
∴BG=2，
在Rt△BOE中，BE==，
∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，
∴△BFG∽△BOE，
∴=，即=，
解得，BF=，
故选：A．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
◆变式训练
（2016?河北）关于?ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C．若AC=BD，则?ABCD是矩形
D．若AB=AD，则?ABCD是正方形
（2017?攀枝花）如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF
是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH=3，则S△ADF=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
■考点4. 特殊平行四边形的拓展
◇典例：
（2017?遂宁）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【考点】中点四边形．
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
解：连接AC、BD，
在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB， ∴EH=BD， 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC， 又∵在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形EFGH为菱形． 故选B．
◆变式训练
（2017?株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
一.选择题
（2017?陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，
过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
（2017?上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，
能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
（2017?海南）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定
?ABCD是菱形的只有（ ）
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
（2017?江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，
对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
（2017?绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图
中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（ ）
A．7° B．21° C．23° D．24°
二． 填空题
（2017?河池）如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF
的长是 ．
（2017?菏泽）菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为 _____cm2．
（2017?乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积
为 ．
（2017?黄冈）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数
是 ．
（2017?齐齐哈尔）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条
件 ，使其成为正方形（只填一个即可）
（2015?无锡）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．
（2017?南宁）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．
（2017?日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
（2017?自贡）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．
求证：∠ABF=∠CBE．
（2017?贺州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD=3，BD=2，求四边形ABCD的面积．
（2017?岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ．
求证： ．
（2017?广安）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．2·1·c·n·j·y
（2017?邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．21教育名师原创作品
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
一．选择题
（2017?临沂）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
（2017?长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的
周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm
（2017?聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要
添加的条件是（ ）
A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
（2017?呼和浩特）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的
两点．若AE=，∠EAF=135°，则以下结论正确的是（ ）
A．DE=1 B．tan∠AFO= C．AF= D．四边形AFCE的面积为
（2017?广安）下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
（2017?葫芦岛）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′
处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）
A． B．4 C．4.5 D．5
17?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，
CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（ ）
A．5个 B．8个 C．9个 D．11个
（2017?常州）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）21教育网
A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
（2017?广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连
接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二．填空题
（2017?哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，
点E在AC上，若OE=，则CE的长为 ．
（2017?十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，
则∠OED= ．
（2017?六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC
和CD上，则∠AEB= 度．
（2016?昆明）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边
形EFGH的面积是 ．
（2017?兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD
是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是 ．
（2017?哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，
垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为 ．
（2017?包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，
连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是 ．
三．解答题
（2017?云南）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F
分别是AB、AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．
（2017?白银）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，
CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
（2017?徐州）如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线
于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD= °时，四边形BECD是矩形．
（2017?牡丹江）菱形ABCD的周长为8，∠ABC+∠ADC=90°，以AB为腰，在菱形外作
底角是45°的等腰△ABE，连接AC，CE．请画出图形，并直接写出△ACE的面积．
（2017?广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为
锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．
（2017?贵阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，
连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
（2017?泰州）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，
连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
（2017?上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，
且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
（2017?青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
（2017?玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中
点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．21cnjy.com
（1）求证：四边形EDFG是正方形；
（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
（2017?德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边
AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
第四章 图形的性质 第27节 特殊的平行四边形■考点1. 特殊平行四边形的性质与判定
1.性质
（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）
矩 形
菱 形
正方形
（1）四个角都是直角
（2）对角线相等且互相平分.即
AO=CO=BO=DO.
（3）面积=长×宽
=2S△ABD=4S△AOB.
（1）四边相等
（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角
（3）面积=底×高
=对角线_乘积的一半
(1)四条边都相等，四个角都是直角
(2)对角线相等且互相垂直平分
(3)面积=边长×边长
=2S△ABD
=4S△AOB
2.判定
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形
（2）有三个角是直角
（3）对角线相等的平行四边形
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形
（2）对角线互相垂直的平行四边形
（3）四条边都相等的四边形
（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形
（2）一组邻边相等的矩形
（3）一个角是直角的菱形
（4）对角线相等且互相垂直、平分
3.联系
注意：(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.www.21-cn-jy.com
（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.
（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.
■考点2.特殊平行四边形的拓展
1.中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
2.特殊四边形中的解题模型
（1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2.
（2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一
点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求
法利用面积法，需连接PO.）
图① 图② 图③ 图④
■考点1. 矩形的性质、判定 与应用
◇典例：
1.（2017?西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5 B．4 C． D． 34
【考点】矩形的性质．
【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB， ∴OM是△ADC的中位线， ∵OM=3， ∴DC=6， ∵AD=BC=10， ∴AC==2， ∴BO=AC=， 故选D．21cnjy.com
2.(2016云南中考)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
【分析】(1)由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BCD的度数，即可求出tan∠DBC的值；(2)由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DBC＝∠ABC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DBC ＝∠ABC＝30°，
∴tan∠DBC＝tan30°＝；
(2)∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OBEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.
∴四边形OBEC是矩形．
◆变式训练
（2017?怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，
则AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=OB=OD=3， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=3， 故选A．21·世纪*教育网
(2016云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F
是AC上的两个动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为2 cm/s.
(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
(2)若BD＝24 cm，AC＝32 cm，当运动时间t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形？说明理由．
解：(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵E，F两动点分别以相同的速度向C，A运动，
∴AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF，
∴BD，EF互相平分，
∴四边形DEBF是平行四边形；
(2)∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．
∵BD＝24 cm，
∴EF＝24 cm，
∴OE＝OF＝12 cm，
∵AC＝32 cm，
∴OA＝OC＝16 cm，
∴AE＝4 cm或28 cm，
∵E，F两动点的速度都是2 cm/s，
∴t＝2 s或t＝14 s，
∴当运动时间t＝2 s或14 s时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形．
■考点2. 菱形的性质、判定 与应用
◇典例
（2017?衡阳）菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】菱形的性质．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为12cm和16cm，求得OA与OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长．
解：如图，
∵菱形ABCD中，AC=12，BD=16， ∴OA=AC=6，OB=BD=8，AC⊥BD， ∴AB==10． 即菱形的边长是10． 故选A．
（2016?宁德）如图，已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平分四边形是菱形
【考点】菱形的判定．
【分析】根据翻折得出AB=BD，AC=CD，推出AB=BD=CD=AC，根据菱形的判定推出即可．
解：如图所示；
∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC， ∴AB=BD，AC=CD， ∵AB=AC， ∴AB=BD=CD=AC， ∴四边形ABDC是菱形； 故选B．
（2017?北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，
E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题； （2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；
（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点， ∴DE=BC， ∵AD∥BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵∠ABD=90°，AE=DE， ∴BE=DE， ∴四边形BCDE是菱形． （2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA， ∴AB=BC=1， ∵AD=2BC=2， ∴sin∠ADB=， ∴∠ADB=30°， ∴∠DAC=30°，∠ADC=60°， 在Rt△ACD中，∵AD=2， ∴CD=1，AC=．
◆变式训练
（2017?南充）已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO?BO=4，即可得出答案．
解：如图
四边形ABCD是菱形，AC+BD=6， ∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即AO2+BO2=5，AO2+2AO?BO+BO2=9， ∴2AO?BO=4， ∴菱形的面积=AC?BD=2AO?BO=4； 故选：D．
（2016?河池）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定
四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC
B．AC=BC
C．∠B=60°
D．∠ACB=60°
【考点】菱形的判定；平移的性质．
【分析】首先根据平移的性质得出，得出四边形ACED为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．
解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE， ∴
∴四边形ACED为平行四边形， 当AC=BC时，则DE=EC， ∴平行四边形ACED是菱形． 故选：B．
（2017?襄阳）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE
于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．
【考点】菱形的判定与性质．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB= BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．
（1）证明：∵AE∥BF， ∴∠ADB=∠CBD， 又∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， 同理：AB=BC， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6， ∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3， ∵∠ADB=30°， ∴cos∠ADB==， ∴AD==2．
■考点3. 正方形的性质、判定 与应用
◇典例：
（2016?内江）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．
【分析】A、根据矩形的定义作出判断； B、根据菱形的性质作出判断； C、根据平行四边形的判定定理作出判断； D、根据正方形的判定定理作出判断．
解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误； 故选C．
（2017?济南）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=3，
E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△GAO≌△EBO，得到OG=OE=1，证明△BFG∽△BOE，根据相似三角形的性质计算即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴∠AOB=90°，AO=BO=CO=3，
∵AF⊥BE，
∴∠EBO=∠GAO，
在△GAO和△EBO中，
，
∴△GAO≌△EBO，
∴OG=OE=1，
∴BG=2，
在Rt△BOE中，BE==，
∵∠BFG=∠BOE=90°，∠GBF=∠EBO，
∴△BFG∽△BOE，
∴=，即=，
解得，BF=，
故选：A．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
◆变式训练
（2016?河北）关于?ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C．若AC=BD，则?ABCD是矩形
D．若AB=AD，则?ABCD是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．
解：∵?ABCD中，AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误； ∵?ABCD中，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误； ∵?ABCD中，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形，选项C正确； ∵?ABCD中，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误． 故选：C．
（2017?攀枝花）如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF
是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH=3，则S△ADF=（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，得到EG=GF，根据相似三角形的性质得到S△EFC=12，设AD=x，则DF=x﹣2，根据勾股定理得到AD=+3，DF=3﹣，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EG=GF，
∵GH⊥CE，
∴GH∥CF，
∴△EGH∽△EFC，
∵S△EGH=3，
∴S△EFC=12，
∴CF=2，EF=4，
∴AF=4，
设AD=x，则DF=x﹣2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴（4）2=x2+（x﹣2）2，
∴x=+3，
∴AD=+3，DF=3﹣，
∴S△ADF=AD?DF=6．
故选A．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题的关键是运用勾股定理的性质．【出处：21教育名师】
■考点4. 特殊平行四边形的拓展
◇典例：
（2017?遂宁）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【考点】中点四边形．
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
解：连接AC、BD，
在△ABD中， ∵AH=HD，AE=EB， ∴EH=BD， 同理FG=BD，HG=AC，EF=AC， 又∵在矩形ABCD中，AC=BD， ∴EH=HG=GF=FE， ∴四边形EFGH为菱形． 故选B．
◆变式训练
（2017?株洲）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（ ）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
【考点】中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形．
【分析】先连接AC，BD，根据EF=HG= AC，EH=FG= BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【版权所有：21教育】
解：连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF=HG=AC，EH=FG=BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH一定是中心对称图形， 当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形， 当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH可能是轴对称图形， 故选：C．
（2017?陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，
过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质．
【分析】根据S△ABE=S矩形ABCD=3=?AE?BF，先求出AE，再求出BF即可．
解：如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE===，
∵S△ABE=S矩形ABCD=3=?AE?BF，
∴BF=．
故选B．
（2017?上海）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，
能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．
解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；
C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选：C．
（2017?海南）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【考点】菱形的性质．
【分析】利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
解：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3，
∴BC=AB==5，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18．
故选：C．
（2017?河南）如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定
?ABCD是菱形的只有（ ）
A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．
解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．
B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．
C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．
D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．
故选C．
（2017?江西）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，
对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ）21·cn·jy·com
A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形
B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
【考点】中点四边形．
【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．
解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；【来源：21cnj*y.co*m】
B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；
C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；
（2017?绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图
中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（ ）
A．7° B．21° C．23° D．24°
【考点】矩形的性质；平行线的性质．
【分析】由矩形的性质得出∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，证出∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，由三角形的外角性质得出∠ACF=2∠FEA，设∠ECD=x，则∠ACF=2x，∠ACD=3x，由互余两角关系得出方程，解方程即可．21教育名师原创作品
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠FEA=∠ECD，∠DAC=∠ACB=21°，
∵∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA，
∴∠ACF=2∠FEA，
设∠ECD=x，则∠ACF=2x，
∴∠ACD=3x，
∴3x+21°=90°，
解得：x=23°；
故选：C．
（2017?河池）如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF
的长是 ．
【考点】矩形的性质．
【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE==，BD==，
∴BF==，
过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴==，
∴FG=，BG=，
∴CG=，
∴CF==．
故答案为：．
（2017?菏泽）菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为 _____cm2．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面积．
解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E
∵菱形ABCD中，其周长为24cm，
∴AB=AD=6cm，
∴BE=AB?sin60°=3cm，
∴菱形ABCD的面积S=AD?BE=18cm2．
故答案为：18．
（2017?乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积
为 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．
解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO==，
∴AC=2，
则S菱形ABCD=AC?BD=2，
故答案为：2
（2017?黄冈）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数
是 ．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵等边三角形ADE，
∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AB=AE，
∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，
∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，
故答案为：45°．
（2017?齐齐哈尔）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条
件 ，使其成为正方形（只填一个即可）
【考点】正方形的判定；矩形的性质．
【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．
解：添加条件：AB=BC，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB=BC（答案不唯一）．
（2015?无锡）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、
CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．
【考点】中点四边形．
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．
解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，
∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，
故答案为：16．
（2017?南宁）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；21*cnjy*com
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC==6，即可得出矩形ABCD的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC==6，
∴矩形ABCD的面积=AB?BC=6×6=36．
（2017?日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即 ，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．
（1）证明：在△DCA和△EAC中，，
∴△DCA≌△EAC（SSS）；
（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE⊥AE，
∴∠E=90°，
由（1）得：△DCA≌△EAC，
∴∠D=∠E=90°，
∴四边形ABCD为矩形；
故答案为：AD=BC（答案不唯一）
（2017?自贡）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．
求证：∠ABF=∠CBE．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE．
（2017?贺州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD=3，BD=2，求四边形ABCD的面积．
【考点】菱形的判定与性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠CBD，根据全等三角形的性质得到AO=OC，于是得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OD=BD=，根据勾股定理得到OC==2，于是得到结论．
（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠CBD，
∵AC⊥BD，AB=AD，
∴BO=DO，
在△AOD与△COB中，，
∴△AOD≌△COB，
∴AO=OC，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=BD=，
∴OC==2，
∵AC=4，
∴S菱形ABCD=AC?BD=4．
（2017?岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ．
求证： ．
【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段BD的垂直平分线，可求得AB=AD，可得四边形ABCD是菱形．
已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
故答案为：AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．
（2017?广安）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】直接利用已知得出∠BCE=∠ABF，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG=90°，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中
，
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE=AF．
（2017?邵阳）如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；LD：矩形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，根据等角对等边可得OB=OC，然后求出AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：AB=AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
一．选择题
（2017?临沂）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【考点】矩形的判定；菱形的判定．
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
（2017?长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的
周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，
OB=BD=×8=4cm，
根据勾股定理得，AB===5cm，
所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．
故选D．
（2017?聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要
添加的条件是（ ）
A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
【考点】菱形的判定．
【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．
解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵∠EBC=∠EBD，
∴∠EBD=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵BD=DE，
∴四边形DBEF是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，
故选D．
（2017?呼和浩特）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的
两点．若AE=，∠EAF=135°，则以下结论正确的是（ ）
A．DE=1 B．tan∠AFO= C．AF= D．四边形AFCE的面积为
【考点】正方形的性质；解直角三角形．
【分析】根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出EO的长，然后由∠EAF=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出BF的长，再一一计算即可判断．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=CD=AD=1，AC⊥BD，∠ADO=∠ABO=45°，
∴OD=OB=OA=，∠ABF=∠ADE=135°，
在Rt△AEO中，EO===，
∴DE=，故A错误．
∵∠EAF=135°，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAE=45°，
∵∠ADO=∠DAE+∠AED=45°，
∴∠BAF=∠AED，
∴△ABF∽△EDA，
∴=，
∴=，
∴BF=，
在Rt△AOF中，AF===，故C正确，
tan∠AFO===，故B错误，
∴S四边形AECF=?AC?EF=××=，故D错误，
故选C．
（2017?广安）下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；LD：矩形的判定与性质；正方形的判定．
【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．
解：∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有2个．
故选C．
D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误；
故选：D．
（2017?葫芦岛）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′
处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（ ）
A． B．4 C．4.5 D．5
【考点】矩形的性质；勾股定理．
【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设FC′=x，则FD=9﹣x，
∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，
∴AD=BC=6，C′D=3．
在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，
∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，
解得：x=5．
故选D．
（2017?玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，
CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（ ）
A．5个 B．8个 C．9个 D．11个
【考点】LD：矩形的判定与性质．
【分析】根据矩形的判定定理解答．
解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴四边形DEGC、AEGB是矩形，
同理四边形ADHF、BCHF是矩形，
则图中四个小四边形是矩形，
故图中矩形的个数共有9个，
故选：C．
（2017?常州）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（ ）
A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【分析】过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ADC=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论．
解：过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，
∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，CD：AD=，
∴CE=OD=2，DE=OA=1，
∴OE=7，
∴C（2，7），
故选A．
（2017?广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连
接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【考点】正方形的性质．
【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，
在△AFD和△AFB中，
，
∴△AFD≌△AFB，
∴S△ABF=S△ADF，故①正确，
∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，
∴===，
∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，
故②③错误④正确，
故选C．
二．填空题
（2017?哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，
点E在AC上，若OE=，则CE的长为 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形的性质证出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=6，OB=BD=3，由勾股定理得出OC=OA==3，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴OB=BD=3，
∴OC=OA==3，
∴AC=2OA=6，
∵点E在AC上，OE=，
∴当E在点O左边时CE=OC+=4
当点E在点O右边时CE=OC﹣=2，
∴CE=4或2；
故答案为：4或2．
（2017?十堰）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，
则∠OED= ．
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形的性质可知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE=BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°﹣70°=20°，
故答案为：20°．
（2017?六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC
和CD上，则∠AEB= 度．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】只要证明△ABE≌△ADF，可得∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）÷2=15°，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）÷2=15°，
∴∠AEB=75°，
故答案为75．
（2016?昆明）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边
形EFGH的面积是 ．
【考点】中点四边形；矩形的性质．
【分析】先根据E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣4S△AEH即可得出结论．
解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，
∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3．
在△AEH与△DGH中，
∵，
∴△AEH≌△DGH（SAS）．
同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，
∴S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣4S△AEH=6×8﹣4××3×4=48﹣24=24．
故答案为：24．
（2017?兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD
是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是 ．
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质．
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又OB⊥OC，即对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；
故答案为：①③④．
（2017?哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，
垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为 ．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，
解得：x=，
∴BM=；
故答案为：．
（2017?包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，
连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是 ．
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】接AF，由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，证出AB=FC，BF=CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF=∠CFE，AF=FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF=45°，即可得出答案．
解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，
∵FC=2BF，
∴BF=1，FC=2，
∴AB=FC，
∵E是CD的中点，
∴CE=CD=1，
∴BF=CE，
在△ABF和△FCE中，，
∴△ABF≌△FCE（SAS），
∴∠BAF=∠CFE，AF=FE，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠CFE+∠AFB=90°，
∴∠AFE=180°﹣90°=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴cos∠AEF=；
故答案为：．
三．解答题
（2017?云南）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F
分别是AB、AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．
【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；21世纪教育网版权所有
（2）设EF=x，AD=y，则x+y=7，进而得到x2+2xy+y2=49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，得到x2+y2=36，据此可得xy=，进而得到菱形AEDF的面积S．
解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，
Rt△ACD中，DF=AC=AF，
又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，
∴AE=3，
设EF=x，AD=y，则x+y=7，
∴x2+2xy+y2=49，①
∵AD⊥EF于O，
∴Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，
∴（y）2+（x）2=32，
即x2+y2=36，②
把②代入①，可得2xy=13，
∴xy=，
∴菱形AEDF的面积S=xy=．
（2017?白银）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，
CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x=，
∵BD==2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
（2017?徐州）如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线
于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A=50°，则当∠BOD= °时，四边形BECD是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠OEB=∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO=CO，
在△BOE和△COD中，，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE=OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠A=50°，
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，
∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，
∴OC=OD，
∵BO=CO，OD=OE，
∴DE=BC，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
故答案为：100．
（2017?牡丹江）菱形ABCD的周长为8，∠ABC+∠ADC=90°，以AB为腰，在菱形外作
底角是45°的等腰△ABE，连接AC，CE．请画出图形，并直接写出△ACE的面积．
【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】分两种情况进行讨论：当∠ABE=90°时，∠EAB=∠ABC=45°；当∠BAE=90°时，作CF⊥AB于F，连接EF，分别根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，进行计算即可得到△ACE的面积．
解：△ACE的面积为2或2﹣．
①如图，当∠ABE=90°时，∠EAB=∠ABC=45°，
∴AE∥BC，
∴S△ACE=S△ABE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BE=2，
∴S△ACE=S△ABE=×2×2=2；
②如图，当∠BAE=90°时，作CF⊥AB于F，连接EF，则∠EAF=∠CFA=90°，
∴AE∥CF，
∴S△ACE=S△AFE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=AE=BC=2，
∴Rt△BCF中，BF=，
∴AF=2﹣，
∴S△ACE=S△AFE=AE×AF=×2×（2﹣）=2﹣．
（2017?广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为
锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．
【考点】菱形的性质．
【分析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；21教育网
（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．21*cnjy*com
（1）证明：如图，连结DB、DF．
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．
在△BAD与△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD，
∴DB=DF，
∴D在线段BF的垂直平分线上，
∵AB=AF，
∴A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，
∴AD⊥BF；
（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，
∴DG=BH=BF．
∵BF=BC，BC=CD，
∴DG=CD．
在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，
∴∠C=30°，
∵BC∥AD，
∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．
（2017?贵阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，
连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
【考点】菱形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．
（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴AC=CE，
又∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形．
（2017?泰州）如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，
连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
【考点】正方形的性质；一元二次方程的解；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，推出∠BAE=∠ADF，即可根据AAS证明△ABE≌△DAF；
（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，根据四边形ABED的面积为6，列出方程即可解决问题；
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵DF⊥AG，BE⊥AG，
∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS）．
（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，
由题意2××（x+1）×1+×x×（x+1）=6，
解得x=2或﹣5（舍弃），
∴EF=2．
（2017?上海）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，
且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【考点】正方形的判定；菱形的判定与性质．
【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；2·1·c·n·j·y
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180×=45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180×=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2017?青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；
（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．2-1-c-n-j-y
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE=OE=OF=AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴四边形AEOF是正方形．
（2017?玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中
点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．
（1）求证：四边形EDFG是正方形；
（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
【考点】LG：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；
（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．
（1）证明：连接CD，如图1所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．
在△ADE和△CDF中，，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO=OD，
∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，
∴四边形EDFG是正方形；
（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴DE′=BC=2，AB=4，点E′为AC的中点，
∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）．
∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．
∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．
（2017?德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边
AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论；
（2）①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；www-2-1-cnjy-com
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．
（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE==4cm，
∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；
在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，
∴EP2=12+（3﹣EP）2，
解得：EP=cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．
