2018届高考数学(上海专用)总复习专题分项练习15份

第一章 集合与常用逻辑用语
一．基础题组
1. 【2017高考上海】已知集合 ，则
【答案】
【解析】由交集的定义可得：
2. 【2016高考上海文数】设，则“”是“”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：
，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.
【考点】充要条件
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、逻辑推理能力等.
3. 【2015高考上海文数】设全集.若集合，，则
.
【答案】
【考点定位】集合的运算.
【名师点睛】先求，再求.集合的运算是容易题，应注意用描述法表示集合应注意端点值是否取号.
4.【2015高考上海文数】 设、，则“、均为实数”是“是实数”的（ ）.
A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】A
【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.
【名师点睛】判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
5. 【2014上海,理15】设,则“”是“”的（ ）
充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若，则，但当时也有，故本题就选B．
【考点】充分必要条件．
6. 【2013上海,理15】设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(2，＋∞) D．2，＋∞)
【答案】B　
【解析】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B.
7. 【2013上海,理16】钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】　根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B.
8. 【2012上海,理2】若集合A＝{x|2x＋1＞0}，B＝{x||x－1|＜2}，则A∩B＝__________.
【答案】{x|＜x＜3}
【解析】A＝{x|2x＋1＞0}＝{x|x＞}，B＝{x||x－1|＜2}＝{x|－1＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|＜x＜3}．
9. 【2012上海,文2】若集合A＝{x|2x－1＞0}，B＝{x||x|＜1}，则A∩B＝__________.
【答案】{x|＜x＜1}
【解析】由A＝{x|x＞}，B＝{x|－1＜x＜1}，
则A∩B＝{x|＜x＜1}．
10. 【2012上海,文16】对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B　
11. 【2011上海,理2】若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝______.
【答案】{x|0＜x＜1}
【解析】
12. 【2011上海,文1】若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
【答案】{x|x＜1}
【解析】
13. 【2011上海,文17】若三角方程sin x＝0与sin 2x＝0的解集分别为E，F，则(　　)
A．EF B．EF C．E＝F D．E∩F＝
【答案】A
【解析】
14. 【2010上海,理15】“（）”是“”成立的 （ ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
【答案】A
【解析】当（）时，，反之，当时，（），所以“（）”是“”成立的充分不必要条件，选A.
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因．
15. 【2010上海,文1】已知集合A＝{1, 3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}则m＝________.
【答案】4
【解析】由题意知m∈A∪B，且m≠1,3，∴m＝4.
16. (2009上海,理2)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】(-∞,1］
【解析】∵A∪B=R,如图所示.
当a≤1时满足题意.即a的取值范围是(-∞,1］.
17. .(2009上海,理15)“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
故选A.
18. 【2008上海,理2】若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ 　　　　　　　 .
19. 【2008上海,理13】 给定空间中的直线l及平面?，条件“直线l与平面?内无数条直线都垂直”是“直线l
与平面?垂直”的（ ）条件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
20. 【2008上海,理15】如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于
点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且
y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集
合是劣弧（ ）
A． B． C． D．
21. 【2007上海,文10】对于非零实数，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若，则； ④ 若，则.
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 .
【答案】② ④
【解析】
22. 【2006上海,理1】已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝ ．
【答案】1
【解析】已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，
则，所以实数＝1．
23. 【2006上海,理14】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非必要条件．
【答案】A
24. 【2006上海,文1】已知，集合，若,则实数.
【答案】4
【解析】已知，集合，若, 则实数.
25. 【2006上海,文15】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.
26. 【2005上海,理14】已知集合
，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
=，选B.
27. 【2011上海,理2】若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝______.
【答案】{x|0＜x＜1}
【解析】
由补集的定义可得 .
28. 【2005上海,文15】条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】B
【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若则A是B的充分条件或B是A必要条件；若则A是B的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.
二．能力题组
29. 【2017高考上海】已知 为实常数，数列 的通项 ，则“存在 使得 成等差数列”的一个必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：
由等差中项的定义可得： ，即：

整理可得：
当 时上式明显不成立，据此可得：
“存在 使得 成等差数列”的一个必要条件是.
本题选择A选项.
30.【2016高考上海理数】设，则“”是 “”的（ ）.
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
【答案】A
【考点】充要条件
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力等.
31. 【2015高考上海理数】设全集．若集合，，则
．
【答案】
【解析】因为，所以
【考点定位】集合运算
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥
32.【2015高考上海理数】设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【考点定位】复数概念，充要关系
【名师点睛】形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.
33. 【2014上海,理11】. 已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则= .
【答案】
【解析】由题意或，因为，，，因此．
【考点】集合的相等，解复数方程．
34. 【2011上海,理23】已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)．
(1)求点P(1,1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离d(P，l)；
(2)设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的图形面积；
(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．
对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分．
①A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)
②A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)
③A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)
【答案】(1) ; (2) 4＋π;(3)参考解析
【解析】(1)设Q(x，x－3)是l上任一点(3≤x≤5)，则
，3≤x≤5.
当x＝3时，，.
(2)不妨设A(－1,0)、B(1,0)为l的两个端点，
则D为线段l1：y＝1(|x|≤1)、线段l2：y＝－1(|x|≤1)、半圆C1：(x＋1)2＋y2＝1(x≤－1)、半圆C2：(x－1)2＋y2＝1(x≥1)所围成的区域．
这是因为对P(x，y)，|x|≤1，
则d(P，l)＝|y|；而对P(x，y)，x＜－1，则
；对P(x，y)，x＞1，
则.
于是D所表示的图形面积为4＋π.
(3)①Ω＝{(x，y)|x＝0}．
②Ω＝{(x，y)|x＝0，y≥0}∪{(x，y)|y2＝4x，－2≤y＜0}∪{(x，y)|x＋y＋1＝0，x＞1}．
③Ω＝{(x，y)|x≤0，y≤0}∪{(x，y)|y＝x,0＜x≤1}∪{(x，y)|，1＜x≤2}∪{(x，y)|4x－2y－3＝0，x＞2}．
35. 【2010上海,理14】以集合 的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1），都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有或.那么共有________种不同的选法.
【答案】36
【点评】本题考查子集的有关概念，两个计数原理的灵活应用.注意到条件“对选出的任意两个子集A和B，必有或”，所以分类时A中元素个数最多2个，这是解题的突破口.
第二章 函数
一．基础题组
1. 【2017高考上海，8】定义在 上的函数 的反函数 .若 为奇函数，则 的解为 .
【答案】
2. 【2016高考上海理数】设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：①若、
、均是增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、
、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列
判断正确的是（ ）.
（A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题
（C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
试题分析：
因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；、、中至少有一个增函数包含一个增函数、两个减函数；两个增函数、一个减函数；三个增函数，其中当三个函数中一个为增函数、另两个为减函数时，由于减函数加减函数一定为减函数，所以①不正确.选D.
【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性
【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.
3. 【2015高考上海理数】方程的解为 ．
【答案】
【解析】设，则
【考点定位】解指对数不等式
【名师点睛】对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(a2x＋b·ax＋c≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．求解与指对数有关的复合方程问题，首先要熟知指对数式的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层方程相关的问题加以解决．
4. 【2015高考上海理数】设为，的反函数，则的最大值为 ．
【答案】
【考点定位】反函数性质
【名师点睛】反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值.
5. 【2015高考上海理数】记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
【答案】B
【考点定位】不等式性质
【名师点睛】不等式的基本性质:同向同正可乘性,可推：一元二次方程有解的充要性：；一元二次方程无解的充要性：；利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
6、【2015高考上海文数】设为的反函数，则 .
【答案】
【解析】因为为的反函数，，解得，所以.
【考点定位】反函数，函数的值.
【名师点睛】点在原函数的图象上，在点必在反函数的图象上.两个函数互为反函数，则图象关于直线对称.
7. 【2014上海,理4】设若，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】由题意，若，则不合题意，因此，此时时，，满足.
【考点】分段函数.
8. 【2014上海,理9】若，则满足的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.
【考点】幂函数的性质.
9. 【2014上海,文3】设常数，函数，若，则　　　　　.
【答案】3
【解析】由题意，则，所以.
【考点】函数的定义.
10. 【2014上海,文9】设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　.
【答案】
【考点】函数的最值问题..
11. 【2013上海,理6】方程＝3x－1的实数解为______．
【答案】log34　
【解析】原方程整理后变为32x－2·3x－8＝03x＝4x＝log34.
12. 【2013上海,理12】设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝9x＋＋7.若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则a的取值范围为______．
【答案】(－∞，]　
【解析】f(0)＝0，故0≥a＋1a≤－1；当x＞0时，f(x)＝9x＋－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8，又a≤－1，故a≤.
13. 【2013上海,理14】对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)＝{y|y＝g(x)，x∈I}．已知定义域为0,3]的函数y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，且f－1(0,1))＝1,2)，f－1((2,4])＝0,1)．若方程f(x)－x＝0有解x0，则x0＝______.
【答案】2　
14. 【2013上海,文8】方程＝3x的实数解为______．
【答案】log34　
【解析】＋1＝3x＝3x－13x－1＝±33x＝±3＋1＞03x＝4x＝log34.
15. 【2013上海,文15】函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x)，则f－1(2)的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A　
【解析】由反函数的定义可知，x≥0,2＝f(x)＝x2－1x＝，选A.
16. 【2012上海,理7】已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
【答案】(－∞，1]
【解析】当x＞a时f(x)单调递增，当x＜a时，f(x)单调递减，又f(x)在1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.
17. 【2012上海,理9】已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________.
【答案】－1
【解析】令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
18. 【2012上海,文6】方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________．
【答案】log23
【解析】原方程可化为(2x)2－2×2x－3＝(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，x＝log23.
19. 【2012上海,文9】已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________.
【答案】3
【解析】由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.
由f(x)为奇函数得f(－1)＝1.
所以g(－1)＝f(－1)＋2＝1＋2＝3.
20. 【2012上海,文13】已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B(，1)，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为__________．
【答案】
【解析】由题意知
则
设所求面积为S，则S如图中阴影部分所示．
所以，
＝.
21. 【2011上海,理1】函数的反函数为f－1(x)＝______.
【答案】
【解析】
22. 【2011上海,理13】设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数．若函数f(x)＝x＋g(x)在区间3,4]上的值域－2,5]，则f(x)在区间－10,10]上的值域为______．
【答案】－15,11]
【解析】
23. 【2011上海,理16】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A． B．y＝x3 C．y＝2|x| D．y＝cosx
【答案】A
【解析】
24. 【2011上海,文3】若函数f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－2)＝________.
【答案】
【解析】
25. 【2011上海,文14】设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数．若函数f(x)＝x＋g(x)在区间0,1]上的值域为－2,5]，则f(x)在区间0,3]上的值域为________．
【答案】－2,7]
【解析】
26. 【2011上海,文15】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．
【答案】A
【解析】
27. 【2010上海,理8】对任意不等于1的正数，函数的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是 ；
【答案】
【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线对称.
28. 【2010上海,理17】若是方程的解，则属于区间 答]（ ）
（A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）
【答案】C
【解析】，设，则，
，所以，选C.
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，隐含着对指数函数的性质、分数指数幂、连续函数的性质等知识的考查，把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键.
29. 【2010上海,文9】 函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是________．
【答案】 (0，－2)
30. 【2010上海,文17】若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间 …(　　)
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
【答案】D　
【解析】令f(x)＝lgx＋x－2
f(1)＝lg1＋1－2＝－1＜0
f(2)＝lg2＋2－2＝lg2＞0
f(1.5)＝lg1.5＋1.5－2＝lg1.5－0.5＝lg1.5－lg100.5＝lg＜lg1＝0
f(1.75)＝lg1.75＋1.75－2＝lg1.75－0.25＝lg＜lg1＝0.
∴f(1.75)·f(2)＜0，∴x0∈(1.75,2)．
31. 【2010上海,文19】已知0＜x＜，化简：lg(cosx·tanx＋1－2sin2)＋lgcos(x－)]－lg(1＋sin2x)．
【答案】0
【解析】原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋sin2x)＝lg＝lg＝0.
32. 【2010上海,文22】若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.
(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围；
(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；
(3)已知函数f(x)的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．
【答案】(1) (－2,2); (2)参考解析; (3)参考解析
又a2b＋ab2＞2ab，则a3＋b3＞a2b＋ab2＞2ab＞0，
于是，|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
(3)解：由|1－sinx|＜|1＋sinx|得1－sinx＜1＋sinx，
即sinx＞0，则2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)；
同理，若|1＋sinx|＜|1－sinx|，
则2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π(k∈Z)．
于是，函数f(x)的解析式是
f(x)＝
函数f(x)的大致图像如下：
函数f(x)的最小正周期T＝π.
函数f(x)是偶函数．
当x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最小值0.
函数f(x)在(kπ，kπ＋](k∈Z)上单调递减；
在kπ＋，kπ＋π)(k∈Z)上单调递增．
33. (2009上海,理20)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
有时可用函数
描述学习某知识的掌握程度.其中x表示某知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该知识的掌握程度,正实数a与知识有关.
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;
(2)根据经验,甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的.
【答案】(1) 参考解析;(2) 乙

(2)解：由题意可知,
整理得,
解得≈20.50×6=123.0,123.0∈121,127］.
由此可知,该是乙.
34. (2009上海,文1)函数=x3+1的反函数f-1(x)=__________.
【答案】
【解析】∵x∈R,∴∈R.
由y=x3+1,得.
故该函数的反函数为f-1(x)= ,x∈R.
35. 【2008上海,理4】若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ 　　　　　　 .
36. 【2008上海,理8】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是 　　　　　　　　　　　　 .
37. 【2008上海,理11】方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 　　　　　　　　　　　　　 .
38. 【2008上海,文4】若函数的反函数为，则 ．
【答案】
【解析】令则且
39. 【2008上海,文9】若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
【答案】
40. 【2008上海,文11】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果
是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是 ．
【答案】
【解析】作图知取到最大值时，点在线段BC上,
故当时, 取到最大值.
41. 【2008上海,文17】（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里
有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．
【答案】445
【解析】
【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分
在中，……………6分
即…………………….9分
解得（米）. …………………………………………….13分
∴?AC=700（米） …………………………..6分
………….…….9分
在直角
∴ （米）. ………………………13分
42. 【2007上海,理1】函数的定义域为
43. 【2007上海,理3】函数的反函数
44．【2007上海,理4】方程的解是
45. 【2007上海,文1】方程的解是 .
【答案】
【解析】
46. 【2007上海,文8】某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天.四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工.若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是　　.
【答案】3
【解析】
47.【2007上海,文15】设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”. 那么，下列命题总成立的是（　　）
Ａ.若成立，则成立 Ｂ.若成立，则成立
Ｃ.若成立，则当时，均有成立
Ｄ.若成立，则当时，均有成立
【答案】D
【解析】
48. 【2007上海,文18】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）.
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【答案】（1）2499.8兆瓦;（2）
49.【2007上海,文19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知函数，常数.
（1）当时，解不等式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）;（2）参考解析
为偶函数.
当时，，
取，得 ，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数.
50. 【2006上海,文22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分
已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值.
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由.
【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）参考解析
【解析】 (1) 由已知得=4, ∴b=4.
(2) ∵c∈1,4], ∴∈1,2],
于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.
f(1)－f(2)=,
当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；
当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)设0当g(x1), 函数g(x)在,+∞)上是增函数；
当0g(x1), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.
当n是奇数时,g(x)是奇函数,
函数g(x) 在(－∞,－]上是增函数, 在－,0)上是减函数.
当n是偶数时, g(x)是偶函数,
函数g(x)在(－∞,－)上是减函数, 在－,0]上是增函数.
51. 【2005上海,理1】函数的反函数=__________.
【答案】
52. 【2005上海,理2】方程的解是__________
【答案】x=0
【解析】
53. 【2005上海,理10】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________
【答案】
【解析】
从图象可以看出直线有且仅有两个不同的交点时,
54. 【2005上海,理13】若函数，则该 函数在上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【答案】A
55. 【2005上海,理16】设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
【答案】C
【解析】
有7个不同实数解的充要条件是方程有两个根，一个等于0，一个大于0。此时应且.选C
56. 【2005上海,文1】函数的反函数=__________.
【答案】
【解析】
反函数=
57. 【2005上海,文2】方程的解是__________.
【答案】x=0
【解析】
58.【2005上海,文13】若函数，则该函数在上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【答案】A
【解析】，所以单调递减，是开区间，所以最小值无法取到，选A
二．能力题组
59. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.
（1）求菜地内的分界线的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.
【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【解析】
试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分．
（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．
试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为．
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算
【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.
60.【2016高考上海文数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知R，函数=.
（1）当时，解不等式>1；
（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；
（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由，得，从而得解．
（2）转化得到，讨论当、时的情况即可．
（3）讨论在上的单调性，再确定函数在区间上的最大值与最小值之差，由此得到，对任意成立．
试题解析： （1）由，得，解得．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以时，有最小值，由，得．
故的取值范围为．
【考点】对数函数的性质、函数与方程、二次函数的性质
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答本题的关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，再应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题的易错点是将复杂式子进行变形的能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
61. 【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知函数，其中为实数.
（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.
（2）设，
则
因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，即，
故函数在上单调递增.
【考点定位】函数的奇偶性、单调性.
【名师点睛】函数单调性的判断
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．
(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．
(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．
62. 【2014上海,理12】设常数a使方程在闭区间0,2]上恰有三个解，则 .
【答案】
【解析】原方程可变为，如图作出函数的图象，再作直线，从图象可知函数在上递增，上递减，在上递增，只有当时，直线与函数的图象有三个交点，，，，所以．
【考点】解三角方程，方程的解与函数图象的交点．
63. 【2014上海,理18】若是的最小值，则的取值范围为（ ）.
(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D)
【答案】D
【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小值为，因此，解得，选D．
【考点】分段函数的单调性与最值问题．
64. 【2013上海,理20】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】(1) 3≤x≤10 ;(2) 6千克/小时, 最大利润为457 500元
【解析】(1)生产该产品2小时的利润为100(5x＋1－)×2＝200(5x＋1－)．
由题意，200(5x＋＋1－)≥3 000，解得x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
(2)生产900千克该产品，所用的时间是小时，
获得利润为＝，1≤x≤10.
记f(x)＝＋5,1≤x≤10，
则f(x)＝，当且仅当x＝6时取到最大值．
最大利润为90 000×＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．
65. 【2013上海,文20】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是元．
(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为元；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】(1) 参考解析;(2) 甲厂应以 6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元
【解析】(1)生产a千克该产品，所用的时间是小时，
所获得的利润为.
所以，生产a千克该产品所获得的利润为元．
(2)生产900千克该产品，获得的利润为，1≤x≤10.
记f(x)＝＋5,1≤x≤10，
则f(x)＝，当且仅当x＝6时取到最大值．
获得最大利润90 000×＝457 500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元．
66. 【2013上海,文21】已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0.
(1)令ω＝1，判断函数F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并说明理由；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像．对任意aR，求y＝g(x)在区间a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．
【答案】(1) F(x)既不是奇函数，也不是偶函数;(2) 可能值为21或20

(2)f(x)＝2sin2x，
将y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2＋1的图像，所以g(x)＝2sin2＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(kZ)．
因为a，a＋10π]恰含10个周期，所以，
当a是零点时，在a，a＋10π]上零点个数为21；
当a不是零点时，a＋kπ(kZ)也都不是零点，区间a＋kπ，a＋(k＋1)π]上恰有两个零点，故在a，a＋10π]上有20个零点．
综上，y＝g(x)在a，a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.
67. 【2012上海,理20】已知函数f(x)＝lg(x＋1)．
(1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范围；
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈1,2])的反函数．
【答案】(1) ; (2) y＝3－10x ，x∈0，lg 2]
【解析】 (1)由得－1＜x＜1.
由0＜lg(2－2x)－lg(x＋1)＝＜1，
得1＜＜10.
因为x＋1＞0，所以x＋1＜2－2x＜10x＋10，.
由得.
(2)当x∈1,2]时，2－x∈0,1]，
因此y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)．
由单调性可得y∈0，lg 2]．
因为x＝3－10y，所以所求反函数是y＝3－10x ，x∈0，lg 2]．
68. 【2012上海,理21】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
(1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
【答案】(1) 海里,北偏东弧度 (2) 时速至少是25海里才能追上失事船
【解析】(1)t＝0.5时，P的横坐标xP＝7t＝，代入抛物线方程，得P的纵坐标yP＝3.
由，得救援船速度的大小为海里/时．
由tan∠OAP＝，得∠OAP＝，
故救援船速度的方向为北偏东弧度．
(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)．
由，
整理得v2＝144(t2＋)＋337.
因为t2＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立．
所以v2≥144×2＋337＝252，即v≥25.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．
69. 【2011上海,理20】已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．
【答案】(1) 单调递减;(2)
解得；
(ⅱ)当a＞0，b＜0时，，
解得．
70. (2009上海,理22)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数y=f-1(x)是y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f-1(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a和性质”;若函数y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”.
(1)判断函数g(x)=x2+1(x＞0)是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)设函数y=f(x)(x＞0)对任何a＞0,满足“a积性质”.求y=f(x)的表达式.
【答案】(1)不满足; (2) k=-1,f(x)=-x+b(b∈R) ;(3) 参考解析
【解析】(1)函数g(x)=x2+1(x＞0)的反函数是(x＞1),
∴(x＞0).
而g(x+1)=(x+1)2+1(x＞-1),其反函数为(x＞1).
故函数g(x)=x2+1(x＞0)不满足“1和性质”.
(2)设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.
∴(x∈R).
∴.
而f(x+2)=k(x+2)+b(x∈R)，得反函数,
由“2和性质”定义可知对x∈R恒成立.
∴k=-1,b∈R,即所求一次函数为f(x)=-x+b(b∈R).
(3)设a＞0,x0＞0,且点(x0,y0)在y=f(ax)图像上,则(y0,x0)在函数y=f-1(ax)图像上,
故可得ay0=f(x0)=af(ax0),
令ax0=x,则.
∴,即.
综上所述,(k≠0),
此时,其反函数就是,
而,故y=f(ax)与y=f-1(ax)互为反函数.
三．拔高题组
71. 【2016高考上海理数】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由，得，从而得解．
（2）将其转化为，讨论当、时，以及且时的情况即可．
（3）讨论在上的单调性，再确定函数在区间上的最大值与最小值之差，从而得到，对任意成立．
试题解析：（1）由，得，
解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
【考点】对数函数的性质、函数与方程、二次函数的性质
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答本题的关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，再应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题的易错点是将复杂式子进行变形的能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.学*
72. 【2014上海,理20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.
设常数，函数
若=4，求函数的反函数；
根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1），；（2）时为奇函数，当时为偶函数，当且时为非奇非偶函数．
试题解析：（1）由，解得，从而，
∴，
∵且
∴①当时，，
∴对任意的都有，∴为偶函数
②当时，，，
∴对任意的且都有，∴为奇函数
③当且时，定义域为，
∴定义域不关于原定对称，∴为非奇非偶函数
【考点】反函数，函数奇偶性．
73. 【2008上海,理19】(8’+8’)已知函数f(x)＝2x－
⑴ 若f(x)＝2，求x的值
⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈1,2]恒成立，求实数m的取值范围
74. 【2007上海,理18】近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）
（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）
（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）
75. 【2007上海,理19】已知函数
（1）判断的奇偶性 （2）若在是增函数，求实数的范围

76. 【2006上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
【答案】（1）b=log29;（2）参考解析;（3）参考解析
当0又y=是偶函数,于是,该函数在(－∞,－]上是减函数, 在－,0)上是增函数.
(3)可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数.
当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－]上是增函数, 在－,0)上是减函数.
当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在,+∞) 上是增函数,
在(－∞,－]上是减函数, 在－,0)上是增函数.
F(x)= +
=
因此F(x) 在 ,1]上是减函数,在1,2]上是增函数.
所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()n+()n；
当x=1时F(x)取得最小值2n+1.
77. 【2005上海,文19】（本题满分14分）已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.
（1）求的值；
（2）当满足时，求函数的最小值.
【答案】（1）k=1,b=2;（2）-3
【解析】(1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f (x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2==x+2+-5
由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立
∴的最小值是-3.
【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如型.
78. 【2005上海,文20】（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
【答案】（1）2013；（2）2009
【解析】（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，
其中a1=250，d=50，则
令 即
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)n－1
由题意可知
有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
79. 【2005上海,文22】（本题满分18分）对定义域是、的函数、，规定：函数.
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域；
（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）
（2）当
若其中等号当x=2时成立，
若其中等号当x=0时成立，
∴函数
（3）解法一]令
则
于是
解法二]令，
则
于是
第三章 积分、极限
一．基础题组
1. 【2017高考上海，14】在数列 中， ，则 ( )
A.等于
B.等于0
C.等于
D.不存在.
【答案】B
本题选择B选项.
2.【2015高考上海理数】设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：因为与圆在第一象限的交点为，所以
，又由得
选A.
【考点定位】极限
【名师点睛】数列极限可通过具体解析式求解；若解析式不易求出，可等价转化为对应数列的极限，这时要用到一些法则（罗比特法则），要做一下等价变形，要明确基本数列极限是什么.
3. 【2013上海,理1】计算：＝______.
【答案】　
【解析】根据极限运算法则，.
4. 【2012上海,理13】已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B(，5)，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为__________．
【答案】
∴xf(x)与x轴围成图形的面积为
＝＝.
5. 【2006上海,理4】计算：＝ ．
【答案】
【解析】计算：＝ ．
6. 【2005上海,理7】计算：=__________.
【答案】
【解析】=3
第四章 三角函数与解三角形
一．基础题组
1. 【2016高考上海理数】方程在区间上的解为___________ .
【答案】
【考点】二倍角公式及三角函数求值
【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简 ，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
2. 【2016高考上海理数】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
【答案】
【解析】试题分析：
由已知可设，∴，
∴，∴
【考点】正弦、余弦定理
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答此类试题时，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.
3. 【2016高考上海理数】设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 .
【答案】4
【解析】试题分析：
当时，，，又，，注意到，所以只有2组：, 满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：, ，故共有4组.
【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
4.【2016高考上海文数】若函数的最大值为5，则常数______.
【答案】
【考点】三角函数 的图象和性质.
【名师点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到，结合角的范围求解.. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
5.【2016高考上海文数】设，.若对任意实数x都有，则满足条件的
有序实数对(a,b)的对数为（ ）.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【答案】B
【解析】试题分析：，，
又，，
注意到，只有这两组．故选B．
【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
6. 【2015高考上海理数】已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值
为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取
即
【考点定位】三角函数性质
【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.
7. 【2015高考上海文数】 已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.
【名师点睛】设直线的倾斜角为，，则，，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于、的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.
8. 【2014 上海，理1】 函数的最小正周期是　　　　　.
【答案】
【解析】由题意，
【考点】三角函数的周期.
9. 【2014上海,文7】 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
【答案】.
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，即，母线与底面夹角为，则为，.
【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.
10. 【2014上海,文12】 方程在区间上的所有解的和等于　　　　　.
【答案】
【考点】解三角方程.
11. 【2013上海,理4】已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则角C的大小是______(结果用反三角函数值表示)．
【答案】π－arccos　
【解析】3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0c2＝a2＋b2＋，故cosC＝，C＝.
12. 【2013上海,理11】若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)＝______.
【答案】　
【解析】cos(x－y)＝，sin2x＋sin2y＝2sin(x＋y) cos(x－y)＝，故sin(x＋y)＝.
13. 【2013上海,文5】已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是______．
【答案】　
【解析】a2＋ab＋b2－c2＝0cosC＝.
14. 【2013上海,文9】若cosxcosy＋sinxsiny＝，则cos(2x－2y)＝______.
【答案】　
【解析】cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝.
15. 【2012上海,理16】在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C　
【解析】由正弦定理可知a2＋b2＜c2，
从而，
∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．
16. 【2012上海,文4】若d＝(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．
【答案】
【解析】设直线l的倾斜角为α，则，
所以.
17. 【2011上海,理6】在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米．
【答案】
【解析】
18. 【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．
【答案】
【解析】
19. 【2011上海,文4】函数y＝2sin x－cos x的最大值为________．
【答案】
【解析】
20. 【2010上海,理18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能
答]（ ）
（A）不能作出这样的三角形. （B）作出一个锐角三角形.
（C）作出一个直角三角形. (D) 作出一个钝角三角形.
【答案】D
【点评】本题考查余弦定理在解斜三角形中的应用，即判断三角形的形状，由于条件中是三角形三条高的长度，则需转化为三边长度，从而考查运动变化观、数形结合思想.
21. 【2010上海,文18】若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C　
【解析】设三角形的三边长分别为a，b，c，
由正弦定理知，a∶b∶c＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t.
∵a2＋b2＝(5t)2＋(11t)2＝146t2，而c2＝(13t)2＝169t2，
∴a2＋b2＜c2，∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形．
22. (2009上海,理6)函数y=2cos2x+sin2x的最小值是____________.
【答案】
【解析】因y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=,
所以y的最小值为.
23. (2009上海,文13)已知函数=sinx+tanx,项数为27的等差数列{an}满足an∈(,),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=__________时,f(ak)=0.
【答案】14
【解析】函数=sinx+tanx,x∈(,)是奇函数,且在给定的定义域上单调递增.在等差数列{an}中,若满足a1+a27=0(d≠0),
则f(a1)+f(a27)=0.
由等差数列的性质易得f(a1)+f(a27)=f(a2)+f(a26)=…=f(a13)+f(a15)=0,
所以f(a14)=0,此时k=14.
24. 【2008上海,理6】函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是 　　　　　　　 .
25. 【2008上海,理10】某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边
界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在
海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、
乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　　　　　　 .
26. 【2007上海,理6】函数的最小正周期是
27. 【2007上海,理11】已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）.直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为
28. 【2007上海,理17】在三角形中，，求三角形的面积。

29. 【2007上海,文4】函数的最小正周期 .
【答案】
【解析】
30. 【2006上海,理6】如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ．
【答案】
【解析】如果＝，且是第四象限的角，∴ ，那么＝= ．
31. 【2006上海,理8】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 ．
【答案】5
【解析】在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），∠AOB=2π－=，所以△OAB的面积是．
32. 【2006上海,理17】（本题满分12分）
求函数＝2＋的值域和最小正周期．
【答案】－2,2], π
33. 【2006上海,文6】函数的最小正周期是_________.
【答案】π
【解析】函数=sin2x，它的最小正周期是π.
34. 【2005上海,理9】在中，若，AB=5，BC=7，则的面积S=__________.
【答案】
【解析】由余弦定理
解的AC=3，因此的面积
35. 【2005上海,文5】函数的最小正周期T=__________.
【答案】
【解析】，得最小正周期为
【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.
36. 【2005上海,文6】若，，则=__________.
【答案】
【解析】，，
.
【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.
37. 【2005上海,文10】在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________.
【答案】
38. 【2005上海,文11】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
从图象可以看出直线有且仅有两个不同的交点时,
二．能力题组
39. 【2017高考上海，11】设 ，且 ，则 的最小值等于 .
【答案】
【解析】由可得 ，则： ，
由可得 ，则： ，
则 ，
结合题意可得： ，则：
，且： ，
据此有： ，其中 ，
整理可得： ，
不妨取 ，此时 取得最小值 .
注： 的取法不唯一，只要满足 即可.
40. 【2013上海,理21】已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像．区间a，b](a，b∈R，且a＜b)满足：y＝g(x)在a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的a，b]中，求b－a的最小值．
【答案】(1) 0＜ω≤ ;(2)
【解析】(1)因为函数y＝f(x)在上单调递增，且ω＞0，
所以≥，且－≤，
所以0＜ω≤.
(2)f(x)＝2sin2x，
将y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2＋1的图像，所以g(x)＝2sin2＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以两个相邻零点之间的距离为或.
若b－a最小，则a和b都是零点，
此时在区间a，π＋a]，a,2π＋a]，…，a，mπ＋a](m∈N*)上分别恰有3,5，…，2m＋1个零点，所以在区间a,14π＋a]上恰有29个零点，
从而在区间(14π＋a，b]上至少有一零点，
所以b－a－14π≥.
另一方面，在区间上恰有30个零点，
因此，b－a的最小值为.
41. 【2010上海,理19】（本题满分12分）
已知，化简：
.
【答案】0
【解析】∵，
，，
∴原式.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的余弦、对数的概念和运算法则等基础知识，同时考查基本运算能力.
42. (2009上海,文20)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若m⊥p,边长c=2,∠C=,求△ABC的面积.
【答案】(1)参考解析; (2)

(2)解:由题意可知m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0.
∴a+b=ab.
由余弦定理,可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
即(ab)2-3ab-4=0,
∴ab=4(ab=-1舍去).
∴.
43. 【2008上海,理17】(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
44. 【2008上海,文18】（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．
已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos，直线
与函数的图象分别交于M、N两点．
（1）当时，求｜MN｜的值；
（2）求｜MN｜在时的最大值．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）…………….2分
………………………………5分
（2）……...8分
…………………………….11分
∵ …………13分
∴ ｜MN｜的最大值为. ……………15分
45. 【2006上海,理18】（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
【答案】北偏东71°方向
【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10cos120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
46. 【2006上海,文17】（本题满分12分）
已知是第一象限的角，且，求的值.
【答案】
【解析】=
由已知可得sin,
∴原式=.
三．拔高题组
47. 【2015高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.
（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.
【答案】（1），（2），不超过.
【解析】解：（1）．
记乙到时甲所在地为，则千米．
在中，，
所以（千米）.
（2）甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时．
当时，
；
当时，.
所以.
因为在上的最大值是，在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过.
【考点定位】余弦定理
【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
48. 【2014上海,理21】本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.
设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？
【答案】（1）米；（2）米．
【解析】
试题解析：（1）由题得，∵，且，
即，解得，，∴米
由题得，，
∵，∴米
∵，∴米
【考点】三角函数的应用，解三角形．
49. 【2005上海,理21】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
对定义域分别是、的函数、，
规定：函数．
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域；
（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为的函数，及一个的值，使得，并予以证明．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）
（2）当
若其中等号当x=2时成立，
若其中等号当x=0时成立，
∴函数
（3）解法一]令
则
于是
解法二]令，
则
于是
第五章 平面向量
一．基础题组
1.【2016高考上海理数】在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，?1），P是曲线上一个
动点，则的取值范围是_____________.
【答案】
【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想
【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.
2. 【2016高考上海文数】如图，已知点O(0,0),A(1,0),B(0,?1),P是曲线上一个动点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】试题分析：由题意，设, ，则，又, 所以.
【考点】数量积的运算、数形结合思想
【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.
3. 【2015高考上海理数】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．
【答案】
【考点定位】向量数量积，解三角形
【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos?．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.
4. 【2015高考上海文数】已知平面向量、、满足，且，则的最大值是 .
【答案】
【解析】因为，设，，，，
所以，
所以，其中，
所以当时，取得最大值，即.
【考点定位】平向量的模，向量垂直.
【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量、、的坐标，用坐标表示，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得的最大值.
5. 【2014上海,理14】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．
【考点】向量的坐标运算．
6. 【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】A
【考点】数量积的定义与几何意义．
7. 【2014上海,理17】已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解
（C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】由题意，直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．
【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．
8. 【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）
（A）7　　　　（B）5　　　　（C）3　　　　（D）1
【答案】C
【解析】由数量积的定义知，记为，从图中可看出，对，，对，，对，，故不同值的个数为3，选C.
【考点】向量的数量积及其几何意义．
9. 【2013上海,理18】在边长为1的正六边形ABCDEF中，记为A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3、a4、a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1、d2、d3、d4、d5.若m、M份别为(ai＋aj＋ak)·(dr＋ds＋dt)的最小值、最大值，其中{i，j，k}{1,2,3,4,5}，{r，s，t}{1,2,3,4,5}，则m、M满足(　　)
A．m＝0，M＞0 B．m＜0，M＞0
C．m＜0，M＝0 D．m＜0，M＜0
【答案】D
【解析】作图验证知，只有＝＞0，其余均有≤0，故选D.
10. 【2013上海,文14】已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1、c2、c3.若i，j，k，l{1,2,3}且i≠j，k≠l，则(ai＋aj)·(ck＋cl)的最小值是______．
【答案】－5　
11. 【2012上海,理4】若n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．
【答案】arctan2
【解析】∵n＝(－2,1)是直线l的一个法向量，∴v＝(1,2)是直线l的一个方向向量，∴l的斜率为2，即倾斜角的大小为arctan2.
12. 【2012上海,理12】在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是__________．
【答案】[2,5]
【解析】如图，设，
则λ∈[0,1]，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·(＋(λ－1))＝·＋(λ－1)·＋λ·＋λ(λ－1)·＝1×2×＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.
∵λ∈[0,1]，∴·∈[2,5]．
13. 【2012上海,文12】在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是__________．
【答案】[1,4]
14. 【2011上海,理11】在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB＝3，BD＝1，则＝______.
【答案】
【解析】
15. 【2011上海,理17】设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同点，则使
成立的点M的个数为(　　)
A．0 B．1 C．5 D．10
【答案】B
【解析】
16. 【2011上海,文18】设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为…(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】
17. 【2008上海,理5】若向量、满足||＝1，||＝2，且与的夹角为，则|+|＝ 　　　　　 .
18. 【2007上海,理14】在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
19. 【2007上海,文6】若向量的夹角为，，则 .
【答案】
【解析】
20. 【2006上海,理13】如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）
（A）＝；（B）＋＝；
（C）－＝；（D）＋＝．
【答案】C
【解析】如图，在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知，所以下列结论中错误的是C．
21. 【2005上海,理3】直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.
【答案】
【解析】设点P的坐标是(x,y)，则由知
第六章 数列
一．基础题组
1. 【2017高考上海，10】已知数列 和 ，其中 ， 的项是互不相同的正整数.若对于任意 ， 的第 项等于 的第 项，则 .
【答案】2
【解析】由题意可得： ，
当 时： ；
当 时： ；
当 时： ；
当 时： ；
则： ，
据此可得： .
2、【2016高考上海理数】无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，
，则k的最大值为________.
【答案】4
【解析】试题分析：
当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是，从而存在，当时，.所以数列要涉及最多的不同的项可以为：2,1，?1,0,0从而可看出.
【考点】数列的项与和
【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.
3. 【2016高考上海理数】已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，
使得恒成立的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【考点】数列的极限、等比数列求和
【名师点睛】本题解答时确定不等关系是基础，准确分类讨论是关键，易错点是在建立不等关系之后，不知所措或不能恰当地分类讨论.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
4. 【2014上海,理8】 设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .
【答案】
【解析】由题意，即，∵，∴.
【考点】无穷递缩等比数列的和.
5. 【2013上海,理10】设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方程Dξ＝______.
【答案】30|d|　
【解析】Eξ＝x10，Dξ＝
6. 【2013上海,理17】在数列{an}中，an＝2n－1.若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij＝ai·aj＋ai＋aj(i＝1,2，…，7；j＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为(　　)
A．18 B．28 C．48 D．63
【答案】A　　
【解析】ai，j＝ai·aj＋ai＋aj＝2i＋j－1，而i＋j＝2,3，…，19，故不同数值个数为18，选A.
7. 【2013上海,文2】在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝______.
【答案】15　
【解析】a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30a2＋a3＝15.
8. 【2013上海,文7】设常数aR.若的二项展开式中x7项的系数为－10，则a＝______.
【答案】－2　
【解析】＝－10x7r＝1，＝－105a＝－10，a＝－2
9. 【2012上海,理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则__________.
【答案】
∴.
10. 【2012上海,文8】在(x－)6的二项展开式中，常数项等于__________．
【答案】－20
【解析】展开式的通项为Tr＋1＝x6－r·(－)r，令6－r＝r，可得r＝3
所以T4＝x3×(－)3＝－＝－20.
11. 【2012上海,文14】已知，各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2 010＝a2 012，则a20＋a11的值是__________．
【答案】
【解析】由an＋2＝f(an)＝，a1＝1，
可得，，
，，
.
由a2 012＝＝a2 010，可得a2 010＝a2 012＝，
则a2＝a4＝…＝a20＝a2n＝a2 010＝a2 012＝.
所以a20＋a11＝.
12. 【2012上海,文18】若(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．16 B．72 C．86 D．100
【答案】 C　
【解析】由，，…，，，
所以S13＝S14＝0.
同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，
所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0.
故选C项．
13. 【2011上海,理18】设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是(　　)
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…a2n，…均是等比数列，且公比相同
【答案】D
【解析】
14. 【2010上海,理11】将直线：、：（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则 ；
【答案】1
【解析】直线：、：（，）轴、轴围成的封闭图形为四边形，其中，，，，则，，∴，故，于是，故答案为：1.
【点评】本题将直线与直线的位置关系与数列极限结合，考查两直线的交点的求法、两直线垂直的充要条件、四边形的面积计算以及数列极限的运算法则，是本次考题的一个闪光点.
15. (2009上海,理12)已知函数f(x)=sinx+tanx,项数为27的等差数列{an}满足an∈(,),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k=__________时,f(ak)=0.
【答案】14
16. (2009上海,理23)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?说明理由;
(2)找出所有数列{an}和{bn},使对一切n∈N*,,并说明理由;
(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项,请证明.
【答案】(1) 不存在;(2) {an}为非零常数列,{bn}为恒等于1的常数列;(3)参考解析
【解析】(1)由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,
整理后,可得,
∵m、k∈N*,∴k-2m为整数.
∴不存在m、k∈N*,使等式成立.
(2)解法一:若,即,(*)
①若d=0,则1=b1qn-1=bn.
当{an}为非零常数列,{bn}为恒等于1的常数列,满足要求.
②若d≠0,(*)式等号左边取极限得,(*)式等号右边的极限只有当q=1时,才可能等于1.此时等号左边是常数,
∴d=0,矛盾.
综上所述,只有当{an}为非零常数列,{bn}为恒等于1的常数列,满足要求.
解法二:设an=nd+c.
若,对n∈N*都成立,且{bn}为等比数列,
则,对n∈N*都成立,
即anan+2=qan+12.
∴(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2
对n∈N*都成立.∴d2=qd2.
①若d=0,则an=c≠0,∴bn=1,n∈N*.
②若d≠0,则q=1,∴bn=m(常数),
即,则d=0,矛盾.
综上所述,有an=c≠0,bn=1,
使对一切n∈N*,.
(3)an=4n+1,bn=3n,n∈N*.
设am+1+am+2+…+am+p=bk=3k,p、k∈N*,m∈N.
,
∴4m+2p+3=.
∵p、k∈N*,∴p=3s,s∈N.
取k=3s+2,4m=32s+2-2×3s-3=(4-1)2s+2-2×(4-1)s-3≥0,
由二项展开式可得正整数M1、M2,
使得(4-1)2s+2=4M1+1,2×(4-1)s=8M2+(-1)s2,
∴4m=4(M1-2M2)-(-1)s+1］2.
∴存在整数m满足要求.
故当且仅当p=3s,s∈N时,命题成立.
说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分).
若p为偶数,则am+1+am+2+…+am+p为偶数,但3k为奇数.
故此等式不成立,∴p一定为奇数.
当p=1时,则am+1=bk,即4m+5=3k,
而3k=(4-1)k
=,
M∈Z.
当k为偶数时,存在m,使4m+5=3k成立.
当p=3时,则am+1+am+2+am+3=bk,
即3am+2=bk,
也即3(4m+9)=3k,
∴4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1.
由已证可知,当k-1为偶数即k为奇数时,
存在m,4m+9=3k成立.
当p=5时,则am+1+am+2+…+am+5=bk,即5am+3=bk,
也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍数,
∴当p=5时,所要求的m不存在.
故不是所有奇数都成立.
17. 【2008上海,理14】 若数列{an}是首项为1，公比为a－的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（ ）　　　A．1 B．2 C． D．
【答案】
18. 【2007上海,文14】数列中， 则数列的极限值（　　）
Ａ.等于 Ｂ.等于 Ｃ.等于或 Ｄ.不存在
【答案】B
【解析】
19. 【2005上海,理12】用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，
，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
=________.
【答案】－1080
【解析】在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，
20. 【2005上海,理20】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
【答案】（1）2013；（2）2009
【解析】（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，
其中a1=250，d=50，则
令 即
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)n－1
由题意可知
有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
二．能力题组
21.【2016高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
【答案】（1）；（2）不具有性质，理由见解析；（3）见解析．
【解析】
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为，所以，，．
于是，又因为，解得．
（2）的公差为，的公比为，
所以，．
．
，但，，，
所以不具有性质．
证]（3）充分性：
当为常数列时，．
对任意给定的，只要，则由，必有．
充分性得证．
必要性：
用反证法证明．假设不是常数列，则存在，
使得，而．
下面证明存在满足的，使得，但．
设，取，使得，则
，，故存在使得．
取，因为（），所以，
依此类推，得．
但，即．
所以不具有性质，矛盾．
必要性得证．
综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．
【考点】等差数列、等比数列、充要条件的证明、反证法
【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等比数列的相关知识及反证法是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不得法，二是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
22. 【2016高考上海文数】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列.
（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；
（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}的通项公式.
【答案】（1）与不是无穷互补数列，理由见解析；（2）；（3），．
【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列{}的通项公式，再求{}的通项公式.
试题解析：（1）因为，，所以，
从而与不是无穷互补数列．
（2）因为，所以．
数列的前项的和为：
．
（3）设的公差为，，则．
由，得或．
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；
若，则，，
综上，，
【考点】等差数列、等比数列、新定义问题
【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等比数列的相关知识是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不得法，二是对新定义的理解能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
23.【2015高考上海理数】（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.
【答案】（1）（2）详见解析（3）
【解析】解：（1）由，得，
所以是首项为，公差为的等差数列，
故的通项公式为，.
证明：（2）由，得.
所以为常数列，，即.
因为，，所以，即.
故的第项是最大项.
解：（3）因为，所以，
当时，

.
当时，，符合上式.
所以.
因为，所以，.
①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；
②当时，的最大值为，最小值为，而；
③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.
综上，的取值范围是.
【考点定位】等差数列，数列单调性
【名师点睛】1.等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)?{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)?{an}是等差数列．
2.数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需研究相邻两项之间关系即可.
24. 【2015高考上海文数】（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；
（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
（2）由，得，
所以为常数列，，即，
因为，，
所以，即，
所以的第项是最大项.
（3）因为，所以，
当时，

，
当时，，符合上式，
所以，
因为，且对任意，，
故，特别地，于是，
此时对任意，，
当时，，，
由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，
由题意，的最大值及最小值分别是及，
由及，解得，
综上所述，的取值范围是.
【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.
【名师点睛】数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查，并且创意不断，常考常新．
25. 【2014上海,文23】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列满足.
若，求的取值范围；
若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；
若成等差数列，求数列的公差的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.
【解析】
试题分析：（1）比较容易，只要根据已知列出不等式组，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又由条件，，于是，取常用对数得，，所以，即最小值为8；（3）由已知可得∴，∴，，这样我们可以计算出的取值范围是．
试题解析：（1）由题得，
（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，
∴，∴，∴.
又由已知，∴，又∵，∴
∴的最小值为8，此时，即。
（3）由题得，∵，且数列数列成等差数列，，
∴，∴，∴
【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.
26. 【2013上海,理23】(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
给定常数c＞0，定义函数f(x)＝2|x＋c＋4|－|x＋c|.数列a1，a2，a2，…满足an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)若a1＝－c－2，求a2及a3；
(2)求证：对任意n∈N*，an＋1－an≥c；
(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
【答案】(1) a2＝2，a3＝c＋10 ;(2)参考解析; (3) －c，＋∞)∪{－c－8}

(3)由(2)，结合c＞0，得an＋1＞an，即{an}为无穷递增数列．
又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥－c，
从而，an＋1＝f(an)＝an＋c＋8.
由于{an}为等差数列，因此其公差d＝c＋8.
①若a1＜－c－4，则a2＝f(a1)＝－a1－c－8，
又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，故－a1－c－8＝a1＋c＋8，即a1＝－c－8，从而a2＝0.
当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2＝0＞－c，
所以，an＋1＝f(an)＝an＋c＋8，而a2＝a1＋c＋8，
故当a1＝－c－8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；
②若－c－4≤a1＜－c，则a2＝f(a1)＝3a1＋3c＋8，
又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，
所以，3a1＋3c＋8＝a1＋c＋8，得a1＝－c，舍去；
③若a1≥－c，则由an≥a1得到an＋1＝f(an)＝an＋c＋8，
从而{an}为无穷等差数列，符合要求．
综上，a1的取值集合为－c，＋∞)∪{－c－8}．
27. 【2013上海,文22】已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，nN*.
(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；
(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；
(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
【答案】(1) a2＝2，a3＝0，a4＝2 ;(2) a1＝(舍去)或a1＝; (3) 当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，…构成等差数列
【解析】(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2.
(2)a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|.
①当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，所以＝(2－a1)2，得a1＝1.
②当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，所以a1(4－a1)＝(2－a1)2，
得a1＝(舍去)或a1＝.
综合①②得a1＝1或a1＝.
(3)假设这样的等差数列存在，那么a2＝2－|a1|，a3＝2－|2－|a1||.
由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|　(*)．
以下分情况讨论：
①当a1＞2时，由(*)得a1＝0，与a1＞2矛盾；
②当0＜a1≤2时，由(*)得a1＝1，从而an＝1(n＝1,2，…)，
所以{an}是一个等差数列；
③当a1≤0时，则公差d＝a2－a1＝(a1＋2)－a1＝2＞0，因此存在m≥2使得am＝a1＋2(m－1)＞2.此时d＝am＋1－am＝2－|am|－am＜0，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，…构成等差数列．
28. 【2012上海,理23】对于数集X＝{－1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}．若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P.例如{－1,1,2}具有性质P.
(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；
(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；
(3)若X具有性质P，且x1＝1，x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
【答案】(1) 4;(2) 参考解析;(3) xk＝qk－1
【解析】(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)．
所以x＝2b，从而x＝4.
(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y.
设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0.
由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．
因为－1是X中唯一的负数，
所以s，t之中一为－1，另一为1，故1∈X.
假设xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn.
选取a1＝(x1，xn)∈Y，并设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0，即sx1＋txn＝0，
则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为－1.
若s＝－1，则x1＝txn＞t≥x1，矛盾；
若t＝－1，则xn＝sx1＜s≤xn，矛盾．
所以x1＝1.
(3)解法一：猜测xi＝qi－1，i＝1,2，…，n.
记Ak＝{－1,1，x2，…，xk}，k＝2,3，…，n.
先证明：若Ak＋1具有性质P，则Ak也具有性质P.
任取a1＝(s，t)，s，t∈Ak，当s，t中出现－1时，显然有a2满足a1·a2＝0；
当s≠－1且t≠－1时，则s，t≥1.
因为Ak＋1具有性质P，所以有a2＝(s1，t1)，s1，t1∈Ak＋1，使得a1·a2＝0，从而s1和t1中有一个是－1，不妨设s1＝－1.
假设t1∈Ak＋1且t1?Ak，则t1＝xk＋1.
由(s，t)·(－1，xk＋1)＝0，得s＝txk＋1≥xk＋1，与s∈Ak矛盾．
所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P.
现用数学归纳法证明：xi＝qi－1，i＝1,2，…，n.
当n＝2时，结论显然成立；
假设n＝k时， Ak＝{－1,1，x2，…，xk}有性质P，
则xi＝qi－1，i＝1,2，…，k；
当n＝k＋1时，若Ak＋1＝{－1,1，x2，…，xk，xk＋1}有性质P，则Ak＝{－1,1，x2，…，xk}也有性质P，
所以Ak＋1＝{－1,1，q，…，qk－1，xk＋1}．
取a1＝(xk＋1，q)，并设a2＝(s，t)满足a1·a2＝0.
由此可得s＝－1或t＝－1.
若t＝－1，则xk＋1＝≤q，不可能；
所以s＝－1，xk＋1＝qt≤qk且xk＋1＞qk－1，
所以xk＋1＝qk.
综上所述，xi＝qi－1，i＝1,2，…，n.
解法二：设a1＝(s1，t1)，a2＝(s2，t2)，
则a1·a2＝0等价于.
记，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．
注意到－1是X中的唯一负数，B∩(－∞，0)＝{－x2，－x3，…，－xn}共有n－1个数，所以B∩(0，＋∞)也只有n－1个数．
由于，已有n－1个数，对以下三角数阵
……
注意到，所以，从而数列的通项为xk＝x1()k－1＝qk－1，k＝1，2，…，n.
29. 【2012上海,文23】对于项数为m的有穷数列{an}，记bk＝max{a1，a2，…，ak}(k＝1,2，…，m)，即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{an}；
(2)设{bn}是{an}的控制数列，满足ak＋bm－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)，求证：bk＝ak(k＝1,2，…，m)；
(3)设m＝100，常数a∈(，1)，若，{bn}是{an}的控制数列，求(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)．
【答案】(1) 参考解析;(2) 参考解析;(3) 2 525(1－a)
【解析】(1)数列{an}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.
(2)因为bk＝max{a1，a2，…，ak}，
bk＋1＝max{a1，a2，…，ak，ak＋1}，所以bk＋1≥bk.
因为ak＋bm－k＋1＝C，ak＋1＋bm－k＝C，
所以ak＋1－ak＝bm－k＋1－bm－k≥0，即ak＋1≥ak.因此，bk＝ak.
(3)对k＝1,2，…，25，
a4k－3＝a(4k－3)2＋(4k－3)；
a4k－2＝a(4k－2)2＋(4k－2)；
a4k－1＝a(4k－1)2－(4k－1)；
a4k＝a(4k)2－(4k)．
比较大小，可得a4k－2＞a4k－3.
因为＜a＜1，
所以a4k－1－a4k－2＝(a－1)(8k－3)＜0，
即a4k－2＞a4k－1；
a4k－a4k－2＝2(2a－1)(4k－1)＞0，即a4k＞a4k－2.
又a4k＋1＞a4k，
从而b4k－3＝a4k－3，b4k－2＝a4k－2，b4k－1＝a4k－2，b4k＝a4k.
因此(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)
＝(a2－a3)＋(a6－a7)＋…＋(a98－a99)
＝(a4k－2－a4k－1)
＝(1－a)(8k－3)＝2 525(1－a)．
30. 【2011上海,理22】已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N*)．将集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…cn，….
(1)写出c1，c2，c3，c4；
(2)求证：在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…a2n…；
(3)求数列{cn}的通项公式．
【答案】(1) 9,11,12,13; (2)参考解析; (3)参考解析
【解析】(1)它们是9,11,12,13.
(2)证明：∵数列{cn}由{an}、{bn}的项构成，
∴只需讨论数列{an}的项是否为数列{bn}的项．
∵对于任意n∈N*，a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝2(3n－2)＋7＝b3n－2，∴a2n－1是{bn}的项．
下面用反证法证明：a2n不是{bn}的项．
假设a2n是数列{bn}的项，设a2n＝bm，则
3·2n＋6＝2m＋7，，与m∈N*矛盾．
∴结论得证．
(3)∵b3k－2＝2(3k－2)＋7＝6k＋3，
a2k－1＝6k＋3，b3k－1＝6k＋5，
a2k＝6k＋6，b3k＝6k＋7，
∴b3k－2＝a2k－1＜b3k－1＜a2k＜b3k，k＝1,2,3，….
所以，k∈N*.
综上，k∈N*.
31. 【2011上海,文23】已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7(n∈N*)．将集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…cn，….
(1)求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项又是数列{bn}中的项；
(2) c1，c2，c3，…，c40中有多少项不是数列{bn}中的项？请说明理由；
(3)求数列{an}的前4n项和S4n(n∈N*)．
【答案】(1)9,15,21; (2)10; (3)
【解析】⑴ 三项分别为.
⑵ 分别为
⑶ ，，，
∵
∴ 。
32. 【2010上海,理20】 (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由.
【答案】（1）（2）
（2）由（1）知，，∴，
解不等式Sn∴当n≥15时，数列单调递增；
同理可得，当n≤15时，数列单调递减；
故当n?15时，取得最小值．
【点评】本题主要考查等比数列的定义、数列求和公式、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式（，为常数）求通项公式.
33. (2009上海,文23)已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?请说明理由;
(2)若bn=aqn(a,q为常数,且aq≠0),对任意m存在k,有bm·bm+1=bk,试求a、q满足的充要条件;
(3)若an=2n+1,bn=3n,试确定所有的p,使数列{bn}中存在某个连续p项的和是数列{an}中的一项,请证明.
【答案】(1) 不存在m、k∈N*, (2) a=qc,其中c是大于等于-2的整数;(3) p为奇数
【解析】（1）由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,
整理后，可得,
∵m、k∈N*,∴k-2m为整数.
∴不存在m、k∈N*,使等式成立.
（2）当m=1时，则b1·b2=bk,∴a2·q3=aqk.
∴a=qk-3,即a=qc,其中c是大于等于-2的整数.
反之,当a=qc时，其中c是大于等于-2的整数，则bn=qn+c,
显然bm·bm+1=qm+c·qm+1+c=q2m+1+2c=bk,其中k=2m+1+c.
∴a、q满足的充要条件是a=qc,其中c是大于等于-2的整数.
（3）设bm+1+bm+2+…+bm+p=ak,(*)
当p为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数，
∴p为偶数时，（*）式不成立.
由（*）式得,整理得3m+1(3p-1)=4k+2,
当p=1时，符合题意.
当p≥3,p为奇数时，
3p-1=(1+2)p-1
=
=
=
=
∴由3m+1(3p-1)=4k+2,得
,
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立.
∴当p为奇数时，命题都成立.
34. 【2008上海,文21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，
第3小题满分8分．
已知数列：，，，（是正整数），与数列
：，，，，（是正整数）．
记．
（1）若，求的值；
（2）求证：当是正整数时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．
求的值，并指出哪4项为100．
【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）
【解析】（1）
………………..2分
∵ ………………..4分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当
当n=1时，等式成立….6分
假设n=k时等式成立，即
那么当时，
………8分

等式也成立.
根据①和②可以断定：当…………………...10分
………………………..13分
∵ 4m+1是奇数，均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分
此时，为100. …………………………18分
35. 【2007上海,理20】若有穷数列（是正整数），满足即
（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

36. 【2007上海,文20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”.
例如，数列与数列都是“对称数列”.
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，.依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列.求前项的和.
【答案】（1）;（2）67108861;（3）参考解析
【解析】（1）设数列的公差为，则，解得 ，
数列为.
（2）
67108861.
（3）.
由题意得 是首项为，公差为的等差数列.
当时，
.
当时，

.
综上所述，
37. 【2006上海,理21】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第
3小题满分6分）
已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；
（3）若（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．
【答案】（1）参考解析;（2）bn ;（3）k=2,3,4,5,6,7
解(2)由(1)得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=a,
bn=(n=1,2,…,2k).
（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<；
当n≥k+1时, bn>.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
38. 【2006上海,文20】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。设数列的前项和为，且对任意正整数，.
（1）求数列的通项公式
（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？
【答案】（1）an=2048()n－1;（2）第46项起
【解析】(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an
∴= an=2048()n－1.
(2) ∵log2an=log22048()n－1]=12－n,
∴Tn=(－n2+23n).
由Tn<－509,解待n>,而n是正整数,于是,n≥46.
∴从第46项起Tn<－509.

39. 【2008上海,理20】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列满足.
若，求的取值范围；
若是公比为等比数列，，求的取值范围；
若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.
【解析】
试题分析：（1）比较容易，只要根据已知列出不等式组，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又有条件，这时还要忘记分类讨论，时，，满足，当时，有，解这不等式时，分类，分和进行讨论；（3）由已知可得∴，∴，，这样我们可以首先计算出的取值范围是，再由，可得，从而，解得，即最大值为1999，此时可求得．
试题解析：（1）由题得，
（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，
∴，∴，∴.
又∵，∴当时，对恒成立，满足题意.
当时，
∴①当时，，由单调性可得，，解得，
②当时，，由单调性可得，，解得，
（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，
∴，∴，,
所以时，，时，，所以．
∴
又∵，∴
∴，∴，解得，，
∴的最大值为1999，此时公差为．
【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前项和.
第七章 不等式
一．基础题组
1. 【2017高考上海，3】不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】不等式即： ，
整理可得： ，
解得： ，
不等式的解集为： .
2.【2016高考上海文数】若满足 则的最大值为_______.
【答案】
【考点】线性规划及其图解法
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目来看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
3. 【2015高考上海文数】若满足，则目标函数的最大值为 .
【答案】3
【解析】不等式组表示的平面区域如图（包括边界），联立方程组，解得，即，
平移直线当经过点时，目标函数的取得最大值，即.
【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.
【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域；
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
4. 【2015高考上海文数】下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【考点定位】同解不等式的判断.
【名师点睛】求解本题的关键是判断出. 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.
5. 【2014上海,理5】 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立.
【考点】基本不等式.
6. 【2013上海,文1】不等式＜0的解为______．
【答案】0＜x＜　
【解析】x(2x－1)＜0x(0，)．
7. 【2013上海,文13】设常数a＞0.若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为______．
【答案】[，＋∞)　
【解析】考查均值不等式的应用．
由题知，当x＞0时，f(x)＝9x＋≥＝6a≥a＋1a≥.
8. 【2012上海,文10】满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是__________．
【答案】－2
9. 【2011上海,理4】不等式的解为______．
【答案】x＜0或
【解析】
10. 【2011上海,理15】若a，b∈R，且ab＞0.则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2＞2ab B．
C. D．
【答案】D
【解析】
11. 【2011上海,文6】不等式的解为________．
【答案】{x|x＜0或x＞1}
【解析】
12. 【2011上海,文9】若变量x，y满足条件，则z＝x＋y的最大值为________．
【答案】
【解析】
13. 【2010上海,理1】不等式的解集为_______________；
【答案】
【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解.
14. 【2010上海,文14】将直线l1：nx＋y－n＝0、l2：x＋ny－n＝0(n∈N*，n≥2)、x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为Sn，则Sn＝________.
【答案】1
【解析】如图阴影部分为直线l1，l2与x轴、y轴围成的封闭图形．
∴S阴＝S△OAM＋S△OCM＝×|OA|×|yM|＋|OC|×|xM|＝×1×＋×1×＝.
∴Sn＝ ＝ ＝1.
15. 【2010上海,文15】满足线性约束条件的目标函数z＝x＋y的最大值是(　　)
A．1　　　　　B. C．2　　　　　D．3
【答案】C　
【解析】如图为线性可行域
由
求得C(1,1)，
目标函数z的几何意义为直线在x轴上的截距．
画出直线x＋y＝0，平移，可知：当直线过C(1,1)时目标函数取得最大值，即zmax＝1＋1＝2.
16. (2009上海,理11)当 0≤x≤1时,不等式成立,则实数k的取值范围是____________.
【答案】k≤1
【解析】∵0≤x≤1时，不等式成立，
设,y=kx，做出两函数的图象，
∴由图象可知，当k≤1时，
17. (2009上海,文7)已知实数x、y满足则目标函数z=x-2y的最小值是_________.
【答案】-9
18. 【2008上海,理1】不等式的解集是 　　　　　　　　　 　.
19. 【2007上海,理5】已知，且，则的最大值为
20. 【2007上海,理13】已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A、 B、 C、 D、
21. 【2007上海,理15】已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若 成立，则成立，下列命题成立的是
A、若成立，则对于任意，均有成立；
B、若成立，则对于任意的，均有成立；
C、若成立，则对于任意的，均有成立；
D、若成立，则对于任意的，均有成立。
22. 【2006上海,理12】三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．
【答案】
当a≤0时，不等式一定成立，当a>0时，分段研究函数y=＋25＋|－5|－
当5≤x≤12时，＋25＋|－5|－ax=≥0，得，它的导数为>0，最小值等于10，此时a≤10，
当1≤x<5时，＋25＋|－5|－ax=≥0，得，它的导数为<0，最小值为10，同样a≤10， 的取值范围是．
23. 【2006上海,理15】若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．
【答案】A
【解析】若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，
将x=0代入的0≤k4+4恒成立，将x=2代入得2+2k2≤k4+4，即k4－2k2+2≥0恒成立，所以总有2∈M，0∈M，选A.
24.【2016高考上海理数】设x,则不等式的解集为_____________．
【答案】（2,4）
【解析】试题分析：
由题意得：，解得.
【考点】绝对值不等式的基本解法
【名师点睛】解绝对值不等式时，关键是去掉绝对值符号，然后再进一步求解，本题也可利用两边同时平方的方法.本题较为容易.
25. 【2016高考上海理数】设若关于的方程组无解，则的取值范围是____________．
【答案】
【考点】方程组的思想以及基本不等式的应用
【名师点睛】从解方程组入手，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力等.
26.【2006上海,文9】已知实数满足，则的最大值是_________.
【答案】0
【解析】已知实数满足，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则的最大值是0.
27. 【2006上海,文14】如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】如果，那么，∴ ，选A.
28. 【2005上海,文3】若满足条件，则的最大值是__________.
【答案】11
【解析】求的最大值，即求轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11
【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.
第八章 直线与圆
一．基础题组
1.【2016高考上海理数】已知平行直线，则l1与l2的距离是_____________．
【答案】
【考点】两平行线间距离公式.
【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.
2.【2015高考上海理数】已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即点的纵坐标为
【考点定位】复数几何意义
【名师点睛】(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R), 平面向量.即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)? .(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
3. 【2015高考上海文数】 设是直线与圆在第一象限的交点，则极限( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是直线与圆在第一象限的交点，
而是经过点与的直线的斜率，由于点在圆上.
因为，所以.
【考点定位】圆的切线，极限.
【名师点睛】考查转化能力，本题考查了极限思想.实质上就是求过圆上的点的切线的斜率问题.
4. 【2011上海,文5】若直线l过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l的方程为________．
【答案】x＋2y－11＝0
【解析】
5. 【2010上海,理5】圆C：的圆心到直线：的距离________；
【答案】3
【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.
6. (2009上海,理18)过圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心,作直线分别交x、y正半轴于点A、B,△AOB被圆分成四部分(如图).若这四部分图形面积满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,则这样的直线AB有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【答案】C
【解析】从原图中可看出SⅣ=(定值),SⅡ=(定值）,当∠OAB变大时SⅢ变大，SⅠ变小，所以总有一个位置使SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,由图象的对称性可知，当∠OAB变小时，SⅢ变小，SⅠ增大，因此直线AB的条数不能为奇数条，并且一定存在，故选C.
7. (2009上海,文15)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是（ ）
A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
【答案】C
【解析】由2(k-3)(4-k)+2(k-3)=0,得k=3或k=5.
经检验,可知它们均满足题意.
8. (2009上海,文17)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
【答案】A
9. 【2007上海,理2】已知与，若两直线平行，则的值为
10. 【2007上海,文3】直线的倾斜角 .
【答案】
【解析】
11. 【2007上海,文11】如图，是直线上的两点，且.两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是 .
【答案】
【解析】
12. 【2007上海,文13】圆关于直线对称的圆的方程是（　　）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
【答案】C
【解析】
13. 【2006上海,理2】已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ．
【答案】 ．
【解析】已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P(2，0)，半径r=2，则点P到直线－－1＝0的距离是 ．
14. 【2006上海,文2】已知两条直线若，则____.
【答案】2
【解析】已知两条直线若，，则2.
15. 【2006上海,文11】若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】曲线得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲线与直线没有公共点，则的取值范围是.
16. 【2005上海,文9】直线关于直线对称的直线方程是__________.
【答案】
二．能力题组
17. 【2017高考上海，12】如图，
用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“(”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“(”的点
分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“(”的点到的距离之和. 若过的直
线中有且只有一条满足，则中所有这样的为
【答案】
，要使得，且k唯一，这样的组合搭配，有且只有一种，即：；
②同理，经过 的直线方程为依然如此讨论；
③当直线经过时，直线方程为：；
，
再逐步讨论，去绝对值，当 ，满足，但此时直线也经过，故不满足已知要求（经过唯一的一点）。
18. 【2014上海,文18】 已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
（A）无论k，如何，总是无解 　 （B)无论k，如何，总有唯一解
（C）存在k，，使之恰有两解 （D）存在k，，使之有无穷多解
【答案】B
【解析】由题意，直线一定不过原点，是直线上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解．选B.
【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．
第九章 圆锥曲线
一．基础题组
1. 【2017高考上海，6】设双曲线 的焦点为 ， 为该双曲线上的一点.若 ,则 .
【答案】.
2. 【2014上海,理3】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
【答案】.
【解析】椭圆的右焦点为，因此，，准线方程为.
【考点】椭圆与抛物线的几何性质.
3. 【2013上海,理9】设AB是椭圆Γ的长轴，在C在Γ上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为______．
【答案】
【解析】　(如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为＝1，于是可算得C(1,1)，得b2＝，2c＝.
4. 【2013上海,文18】记椭圆＝1围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1，2，…)，当点(x，y)分别在Ω1，Ω2，…上时，x＋y的最大值分别是M1，M2，…，则＝(　　)
A．0 B． ` C．2 D．
【答案】D　
5. 【2011上海,理3】设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m＝______.
【答案】16
【解析】
6. 【2010上海,理3】若动点P到点F（2，0）的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程为_____________；
【答案】
【解析】由抛物线定义知：P的轨迹为抛物线，易知焦参数，所以点P的轨迹方程为.
【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题
7. 【2010上海,理13】如图所示，直线与双曲线：的渐近线交于，两点，记
，.任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等
式是 ；
【答案】
【解析】设，易知，，由，得，即，∴，，代入整理得，故答案为：.
【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.
8. 【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，e1＝(2,1)、e2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若＝ae1＋be2(a、b∈R)，则a、b满足的一个等式是________．
【答案】4ab＝1
【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为±，可得双曲线方程为－y2＝λ，即：－＝1.
又∵双曲线的一个焦点坐标为(，0)，∴4λ＋λ＝5，解得λ＝1.
∴双曲线的方程为－y2＝1.
而＝ae1＋be2＝(2a，a)＋(2b，－b)＝(2a＋2b，a－b)，
又∵P在双曲线上，
∴－(a－b)2＝1.整理得4ab＝1.
9. (2009上海,理9)已知F1、F2是椭圆C:(a＞b＞0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=______________.
【答案】3
【解析】∵,∴∠F1PF2=90°,
∴△F1PF2为直角三角形.
∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.
又∵|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
即(2c)2=(2a)2-4×|PF1|·|PF2|,.
∴4c2=4a2-4×9=0,
∴4b2=4×9.∴b=3.
10. (2009上海,理14)将函数(x∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________.
【答案】
11. (2009上海,文9)过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN|=___________.
【答案】
【解析】斜率,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.
将其代入抛物线y2=2x,得x2-4x+1=0.
因为判别式Δ=16-4＞0,所以可设其两根为x1,x2,
于是x1+x2=4,x1x2=1.
故
12. 【2008上海,文6】若直线经过抛物线的焦点，则实数___．
【答案】-1
【解析】直线经过抛物线的焦点则
13. 【2008上海,文12】设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【解析】 由椭圆的第一定义知
14. 【2007上海,理8】已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为
15. 【2006上海,理7】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
【答案】
【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，即，∴，∴ ，该椭圆的标准方程是．
16. 【2006上海,文7】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.
【答案】
【解析】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.
17. 【2005上海,理5】若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.
【答案】
【解析】由双曲线的渐近线方程为，知，
它的一个焦点是，知，因此
双曲线的方程是
18. 【2005上海,理15】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
【答案】B
19. 【2005上海,文7】若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是__________.
【答案】
【解析】由题意可知，，，又，解得，
所求椭圆的标准方程为.
【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a、b、c、p、e的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题.
二．能力题组
20. 【2016高考上海理数】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分
为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.
（1）求菜地内的分界线的方程;
（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值.
【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【解析】
试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为．
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算
【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.
21．【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
即，从而得到，进而构建关于的方程求解即可．
试题解析：（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
22. 【2016高考上海文数】已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .
【答案】
【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，
设的方程为，
所以，所以的方程为.
【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k＝＝＝＝.
23.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.
已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.
（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设，，，求的值；
（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.
【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）.
【解析】（1）直线的方程为，
由点到直线的距离公式得点到的距离为，
因为，
所以.
（2）由，消去解得，
由（1）得
由题意知，
解得或.
（3）设，则，设，，
由，的，
同理，
由（1）知，
，
整理得，
由题意知与无关，
则，解得.
所以.
【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．
24. 【2015高考上海理数】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 ．
【答案】
【考点定位】抛物线定义
【名师点睛】标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
25.【2015高考上海理数】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为
【考点定位】双曲线渐近线
【名师点睛】(1)已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分或讨论． (2)与双曲线共渐近线的可设为；(3)若渐近线方程为，则可设为；(4)相关点法求动点轨迹方程．
26. 【2015高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.
（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设与的斜率之积为，求面积的值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】证明：（1）直线，点到的距离.
，
所以.
解：（2）设，则.设
，.
由，得.
同理.
由，，
整理得.
【考点定位】直线与椭圆位置关系
【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．三角形面积公式的选用也是解题关键.
27. 【2014上海,文22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求的方程，并证明轴为曲线的分割线.
【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线的两侧．则可得到所求范围；（3）可直接设动点坐标为，代入已知条件即可求出轨迹的方程为，化简为，轴的方程为，它显然与曲线无交点，又曲线上两点一定在直线两侧，故它是分隔线，结论得证．
试题解析：（1）由题得，，∴被直线分隔.
（2）由题得，直线与曲线无交点
即无解
∴或，∴.
又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．
（3）由题得，设，∴，
化简得，点的轨迹方程为
当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.
因为对任意的，点不是方程的解，所以直线与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线轴是分隔线．
【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.
28. 【2013上海,理22】如图，已知双曲线C1：－y2＝1，曲线C2：|y|＝|x|＋1.P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“C1C2型点”．
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；
(2)设直线y＝kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1C2型点”；
(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1C2型点”．
【答案】(1) x＝或y＝，其中|k|≥. (2) 参考解析;(3)参考解析
【解析】(1)C1的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：
x＝或y＝，其中|k|≥.
(2)因为直线y＝kx与C2有公共点，
所以方程组有实数解，因此|kx|＝|x|＋1，得|k|＝＞1.
若原点是“C1C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．
考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx(|k|＞1)．
显然直线x＝0与C1无公共点．
如果直线为y＝kx(|k|＞1)，则由方程组
得x2＝＜0，矛盾．所以直线y＝kx(|k|＞1)与C1也无公共点．
因此原点不是“C1C2型点”．
因为l与C1有公共点，所以方程组有实数解，
得(1－2k2)x2－4kbx－2b2－2＝0.
因为|k|＞1，所以1－2k2≠0，
因此Δ＝(4kb)2－4(1－2k2)(－2b2－2)＝8(b2＋1－2k2)≥0，
即b2≥2k2－1.
因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝，
所以＝d2＜，从而＞b2≥2k2－1，
得k2＜1，与|k|＞1矛盾．
因此，圆x2＋y2＝内的点都不是“C1C2型点”．
29. 【2012上海,理22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；
(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
【答案】(1) ;(2)参考解析; (3)参考解析
【解析】(1)双曲线C1：，左顶点A(，0)，
渐近线方程：.
过点A与渐近线平行的直线方程为，即.
解方程组得
所以所求三角形的面积为.
(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b.
因直线PQ与已知圆相切，
故，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，
所以＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.
故OP⊥OQ.
(3)当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝，
则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y＝kx(显然|k|＞)，
则直线OM的方程为.
由得
所以.
同理.
设O到直线MN的距离为d，
因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，
所以，即.
综上，O到直线MN的距离是定值．
30. 【2012上海,文22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
(3)设斜率为k(|k|＜)的直线l交C于P，Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.
【答案】(1) M(，); (2) ; (3)参考解析
由M点是右支上一点，知，
所以，
得.所以M(，)．
(2)左顶点A(，0)，渐近线方程：.
过点A与渐近线平行的直线方程为
，即.
解方程组得
所求平行四边形的面积为S＝|OA||y|＝.
(3)设直线PQ的方程是y＝kx＋b.
因直线PQ与已知圆相切，故，
即b2＝k2＋1.(*)
由得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)，所以
＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝.
由(*)知，，所以OP⊥OQ.
31. 【2010上海,理23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知椭圆的方程为（），点的坐标为（）.
（1）若直角坐标平面上的点、，满足，求点的坐标；
（2）设直线：交椭圆于、两点，交直线：于点.若，证明：为的中点；
（3）对于椭圆上的点（），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围.
【答案】（1）;（2）参考解析;（3）
因为直线交椭圆于、两点，
所以(>0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2(k1)x(p，
又因为，所以，
故E为CD的中点；(3) 求作点P1、P2的步骤：
1(求出PQ的中点，
2(求出直线OE的斜率，
3(由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，
4(从而得直线CD的方程：，
5(将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．
欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，
所以，化简得，，
又0<( <(，即，所以，
故( 的取值范围是．
【点评】今年以解析几何为压轴题，意图与全国大多数考区的试卷接轨.本题是具有一定深度的探究题，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，即可获得各小题的部分分值是我们对不少考生的期望．
32. 【2010上海,文23】已知椭圆Γ的方程为＋＝1(a＞b＞0)，A(0，b)，B(0，－b)和Q(a,0)为Γ的三个顶点．
(1)若点M满足＝ (＋)，求点M的坐标；
(2)设直线l1：y＝k1x＋p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y＝k2x于点E.若k1·k2＝－，证明：E为CD的中点；
(3)设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足＋＝？令a＝10，b＝5，点P的坐标是(－8，－1)，若椭圆Γ上的点P1、P2满足＋＝，求点P1、P2的坐标．
【答案】(1) (，－); (2) 参考解析;(3) P1(8,3)，P2(－6，－4)
【解析】(1)解：设点M的坐标为(x0，y0)，由题意可知
＝(a，－b)，＝(0，－2b)，
∴＝ (＋)＝(，－)＝(x0，y0－b)，
∴点M的坐标为(，－)．
(2)证明：由
得(b2＋a2)x2＋2a2k1px＋a2p2－a2b2＝0，
∴CD中点坐标为(－，)．
∵k1·k2＝－，∴k2＝－.
由
得l1与l2的交点E的坐标为(－，)．
∴l1与l2的交点E为CD的中点．
(3)解：设OF的斜率为k1，过F作斜率为k2＝－的直线交椭圆于P1、P2两点．
由(2)可知，F是P1P2的中点，四边形PP1QP2是平行四边形，所以＋＝，直线P1P2即为所求．
由a＝10，b＝5及点P(－8，－1)得PQ中点为S(1，－)，OS的斜率kOS＝－.
过点S且斜率k＝－＝的直线l的方程是y＝ (x－2)．记l与Γ的交点为P1、P2，则＋＝.
由解得P1(8,3)，P2(－6，－4)．
33. (本题满分16分)(2009上海,理21)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
已知双曲线C:,设过点A(,0)的直线l的方向向量e=(1,k).
(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;
(2)证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.
【答案】(1) , ; (2) 参考解析

(2)证法一:设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0,
则直线l与b的距离,
当时,.
又双曲线C的渐近线为,
∴双曲线C的右支在直线b的右下方,
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.
故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.
证法二:假设双曲线C右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为,
则
x02-2y02=2,(2)
由(1),得,
设,
当时,;
.
将y0=kx0+t代入(2)得(1-2k2)x02-4ktx0-2(t2+1)=0,(*)
∵,t＞0,∴1-2k2＜0,-4kt＜0,-2(t2+1)＜0.
∴方程(*)不存在正根,即假设不成立,
故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.
34. (2009上海,文22)已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F(,0),一条渐近线m:,设过点A(,0)的直线l的方向向量e=(1,k).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a∥l,且a与l的距离为,求k的值;
(3)证明:当时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.
【答案】(1) ; (2) ;(3)参考解析
【解析】(1)设双曲线C的方程为x2-2y2=λ(λ＞0),
∴,解得λ=2.
∴双曲线C的方程为.
(2)直线l:,
直线a:kx-y=0.
由题意,得,解得.
(3)证法一:设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0,
则直线l与b的距离,
当时,.
又双曲线C的渐近线为,
∴双曲线C的右支在直线b的右下方.
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
证法二:假设双曲线C右支上存在点Q（x0,y0)到直线l的距离为，
则
由①得,
设,
当时，;
.
将y0=kx0+t代入②得（1-2k2)x02-4ktx0-2(t2+1)=0.(*)
∵,t＞0.
∴1-2k2＜0,-4kt＜0,-2(t2+1)＜0.
∴方程（*）不存在正根，即假设不成立.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
35. 【2008上海,理18】(6’+9’)已知双曲线，为上的任意点。
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值；
【答案】（1）参考解析;（2）
36. 【2008上海,理20】(3’+5’+8’)设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点
⑴ 若a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标
⑵ 若点P(a,b)（ab≠0）在椭圆+y2＝1上，p＝，
求证：点Q落在双曲线4x2－4y2＝1上
⑶ 若动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.
【答案】⑴(8,16);⑵参考解析;⑶参考解析

37. 【2008上海,文20】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分7分．
已知双曲线．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）已知点的坐标为．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．
记．求的取值范围；
（3）已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为
经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表示为直线的斜率的函数．
【答案】（1）;（2）;（3）参考解析
的取值范围是 ……………9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线的斜率 ……………11分
由计算可得，当
当 ……………15分
∴ s表示为直线的斜率k的函数是
….16分
38. 【2007上海,理21】已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，
（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）参考解析;（2）;（3）参考解析

39. 【2007上海,文21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分.
我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，.
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点.
（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点.求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标.
【答案】（1），;（2）参考解析;（3）或
【解析】（1） ，
，
于是，
所求“果圆”方程为，.
（2）设，则
，
， 的最小值只能在或处取到.
即当取得最小值时，在点或处.
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可.
.
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是.
40. 【2006上海,理20】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
【答案】（1）参考解析;（2）假命题
【解析】（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2).
当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).
∴=3
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.
当
y2=2x
得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.
y=k(x－3)
又∵x1=y, x2=y,
∴=x1x2+y1y2==3.
综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,
直线AB的方程为Y=(X+1),而T(3,0)不在直线AB上.
说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=－6.
或y1y2=2,如果y1y2=－6.,可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
41. 【2006上海,文21】本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.
【答案】（1）;（2）;（3）
【解析】(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
42. 【2005上海,理19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．
【答案】（1）；（2）
由于
（2）直线AP的方程是
设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是，
于是
椭圆上的点到点M的距离d有
由于
43. 【2005上海,文21】（本题满分16分）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.
【答案】（1）y2=4x;（2）(,);（3）参考解析
【解析】(1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,
则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,
∴N的坐标(,).
由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1
∴当m>1时, AK与圆M相离;
当m=1时, AK与圆M相切;
当m<1时, AK与圆M相交.
【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.
第十章 立体几何
一．基础题组
1. 【2017高考上海，4】已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于 .
【答案】
【解析】设球的半径为R，则： ，解得： ，
该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为： .
2. 【2017高考上海，7】如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 的坐标为 ，则 的坐标是 .
【答案】
【解析】将向量 的起点平移至点 ，则平移后的向量与向量 关于平面 对称，据此可得： .
3. 【2016高考上海文数】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线
中与直线EF相交的是（ ）.
(A)直线AA1 (B)直线A1B1
(C)直线A1D1 (D)直线B1C1
【答案】D
【解析】试题分析：
只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D．
【考点】异面直线
【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.
4.【2015高考上海理数】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 ．
【答案】
【解析】
【考点定位】正三棱柱的体积
【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为,区别锥的体积；熟记正三角形面积为，正六边形的面积为.
5. 【2015高考上海理数】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
【答案】
【解析】由题意得：母线与轴的夹角为
【考点定位】圆锥轴截面
【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 ，圆柱的表面积 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的表面积 ，球体的表面积 ，圆锥轴截面为等腰三角形.
6. 【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
【答案】.
【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.
7. 【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于　　　　　.
【答案】24
【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为.
【考点】三视图，几何体的体积..
8. 【2013上海,理13】在xOy平面上，将两个半圆弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、两条直线y＝1和y＝－1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为＋8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．
【答案】2π2＋16π
9. 【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为，则＝______.
【答案】　
【解析】由题知，.
10. 【2012上海,理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．
【答案】
【解析】如图，由题意知，
∴l=2.
又展开图为半圆，∴πl=2πr，
∴r=1，故圆锥的高为，体积
11. 【2012上海,理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是__________．
【答案】
【解析】如图：
当AB=BD=AC=CD=a时，
该棱锥的体积最大．
作AM⊥BC，连接DM，
则BC⊥平面ADM，，.
又AD=2c，∴.
∴VD－ABC=VB－ADM+VC－ADM=.
12. 【2012上海,文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．
【答案】6π
【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，
所以S表＝S底＋S侧＝6π.
13. 【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．
【答案】
【解析】
14. 【2011上海,文7】若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．
【答案】3π
【解析】
15. 【2010上海,理12】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，
将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________；
【答案】
【解析】在折叠过程中，始终没有改变，所以最后形成的四面体中，底面，故其体积，故答案为：.
【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手.
16. 【2010上海,文6】已知四棱椎P—ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱椎的体积是________．
【答案】96
【解析】底面正方形的面积S＝62＝36，
又∵PA⊥底面ABCD，PA＝8，
∴VP—ABCD＝×S×PA＝×36×8＝96.
17. (2009上海,理5)如图,若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)
【答案】
18. (2009上海,理8)已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_____________.
【答案】
【解析】由题意S1=4πR12,S2=4πR22,S3=4πR32,
则S1S2=16π2（R1R2)2,
∴.
又∵,∴
=
=
=
=
=.
∴.
19. (本题满分14分)(2009上海,理19)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.
【答案】
【解析】如图,建立空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),
设AC的中点为M,
∵BM⊥AC,BM⊥CC1,
∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.
设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z).
=(-2,2,-2),=(-2,0,0),
∴n·=-2x=0,n·=-2x+2y-2z=0,
令z=1,解得x=0,
y=1.
∴n=(0,1,1),
设法向量n与的夹角为φ，二面角B1-A1C-C1的大小为θ，显然θ为锐角.
∵cosθ=|cosφ|=,解得,
∴二面角B1-A1C-C1的大小为.
20. (2009上海,文6)若球O1、O2表面积之比,则它们的半径之比=__________.
【答案】2
【解析】由,得.
21. (2009上海,文8)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.
【答案】
【解析】由题意可知,该几何体是底面半径r=2,高h=2的圆锥,
则其体积.
22. (2009上海,文16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（ ）
【答案】B
【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形B符合题意.
23. 【2008上海,理16】(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示
24. 【2007上海,理10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为.试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件
25. 【2007上海,文7】如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的大小是 （结果用反三角函数值表示）.
【答案】
【解析】
26. 【2007上海,文16】（本题满分12分）
在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求正四棱锥的体积.
【答案】
【解析】作平面，垂足为.连接，是正方形的中心，是直线与平面所成的角.
＝，. ，，，
.
27. 【2006上海,文16】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36
【答案】D
28. 【2005上海,理11】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况
四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为24+28
三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为24+32
边长为的边重合在一起，表面积为24+36
两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况
表面积为12+48
最小的是一个四棱柱，这说明
29. 【2005上海,理17】（本题满分12分）
已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【答案】
【解析】
由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.
连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，
又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.
在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，
得
又在中，可得，
在
∴异而直线BC1与DC所成角的大小为
如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C1（0，1，2），B（2，4，0）
所成的角为，
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
二．能力题组
30. 【2016高考上海文数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.
将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.
【答案】（1），；（2）．
圆柱的体积，
圆柱的侧面积．
（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则，
所以或其补角为与所成的角．
由长为，可知，
由长为，可知，，
所以异面直线与所成的角的大小为．
【考点】几何体的体积、空间角
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.
31. 【2016高考上海理数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.
将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径，，再由三角形面积公式计算后即得.
（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角，再结合题设条件确定，．得出即可．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．
由的长为，可知．
，
．
在中，因为，，，所以，
从而直线与所成的角的大小为．
【考点】几何体的体积、空间角
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.
32.【2015高考上海理数】（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.
【答案】
【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、．
因为，，
所以，因此直线与共面，
即、、、共面．
设平面的法向量为，则，，
又，，
故，解得．
取，得平面的一个法向量．又，
故．
因此直线与平面所成的角的大小为．
【考点定位】空间向量求线面角
【名师点睛】(1)设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．(2)设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.(3) n1，n2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．
33.【2015高考上海文数】（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.
【答案】
【解析】因为，，
所以三棱锥的体积．
因为，所以异面直线与所成的角就是与的夹角.
在中，，，
过作，则，
在中，，
所以异面直线与所成角的大小.
【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.
【名师点睛】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
34. 【2013上海,理19】如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，AA′＝1.证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．
【答案】
因为＝(－1,0，－1)，所以n·＝0，所以n⊥.
又BC′不在平面D′AC内，所以直线BC′与平面D′AC平行．
由＝(1,0,0)，得点B到平面D′AC的距离d＝＝＝，所以直线BC′到平面D′AC的距离为.
35. 【2013上海,文19】如图，正三棱锥O－ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
【答案】体积为，表面积为
【解析】由已知条件可知，正三棱锥O－ABC 的底面△ABC是边长为2的正三角形，
经计算得底面△ABC的面积为.
所以该三棱锥的体积为.
设O′是正三角形ABC的中心．
由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.
延长AO′交BC于D，得AD＝，.
又因为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝.
故侧面积为×6×＝.
所以该三棱锥的表面积为＋＝，
因此，所求三棱锥的体积为，表面积为.
36. 【2012上海,理19】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，，PA＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．
又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．
从而CD⊥PD．
因为，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为.
(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，C(2,,0)，E(1,,1)．
＝(1,,1)，＝(0,,0)．
设与的夹角为θ，
则，
.
由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
解法二：取PB中点F，连接EF，AF，
则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．
在△AEF中，由，，AE＝2，
知△AEF是等腰直角三角形．
所以∠AEF＝.
因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.
37. 【2011上海,理21】已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．
(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A－B1D1－A1的大小为β.求证：；
(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高．
【答案】(1)参考解析; (2) 2
【解析】设正四棱柱的高为h.
(1)证明：连AO1，∵AA1⊥底面A1B1C1D1，∴∠AB1A1是AB1与底面A1B1C1D1所成角，∴∠AB1A1＝α.
∵在等腰△AB1D1中，AO1⊥B1D1.又A1C1⊥B1D1，
∴∠AO1A1是二面角A－B1D1－A1的一个平面角，∴∠AO1A1＝β.
在Rt△AB1A1中，；在Rt△AO1A1中，.∴.
得u＝hw，v＝hw，∴n＝(hw，hw，w)．
令w＝1，得n＝(h，h,1)．
由点C到平面AB1D1的距离为，
解得高h＝2.
解法二：连AC，CB1，CD1.
一方面，
则四面体AB1D1C的体积.
另一方面，设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为V1，三棱锥C－B1C1D1的体积为V2，则.
据此，得，解得高h＝2.
38. 【2011上海,文20】已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求：
(1)异面直线BD与AB1所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
(2)四面体AB1D1C的体积．
【答案】(1) ; (2)
【解析】(1)连结BD，AB1，B1D1，AD1.
∵BD∥B1D1，AB1＝AD1，
∴∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成角，记为α.
∵，
∴异面直线BD与AB1所成角的大小为.
(2)连结AC，CB1，CD1.设正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的体积为V1，三棱锥C -B1C1D1的体积为V2，则四面体AB1D1C的体积V＝V1－4V2.
V1＝2，.∴所求体积.
39. 【2010上海,理21】(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分.
如图所示，
为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）.
【答案】（1）（2）
【解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l(1.2(2r(0【点评】本题以圆柱形灯笼为载体，考查二次函数的实际应用、异面直线所成角的概念与求法，由此看出，立体几何板块难度比去年有所上升.
40. 【2010上海,文20】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
【答案】(1) 当半径r＝0.4(米)时，Smax＝0.48π≈1.51(平方米) ;(2) 参考解析

41. 【2007上海,理16】体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角.
【答案】
42. 【2006上海,理19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【答案】（1）2;（2）arccos
【解析】(1) 在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是, PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.
(2)解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－,0),
B(1,0,0),D(－1,0,0)P(0,0, ).
E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.
由E是PB的中点,得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角).
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,
于是, 在等腰Rt△POA中,PA=,则EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=.
cos∠FED==
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
43. 【2006上海,文19】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
在直三棱柱中，.
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）45°; （2）

(2) ∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,
∴AA1=.
∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.
44. 【2005上海,文17】（本题满分12分）已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，与平面ABCD所成角的大小为，求异面直线与MN所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
【答案】arctan
【解析】连结B1C,由M、N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN,
∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.
联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB1⊥平面ABCD, ∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角, ∴∠B1DB=60°.
在Rt△B1BD中, B1B=BDtan60°=2,
又DC⊥平面BB1C1C, ∴DC⊥B1C,
在Rt△DB1C中, tan∠DB1C=,
∴∠DB1C=arctan.
即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan.
三．拔高题组
45. 【2014上海,理19】（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.
【答案】边长为4，体积为．
【解析】
即，三棱锥是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于
∴为中点，为的重心，底面
∴， ，
【考点】图象的翻折，几何体的体积．
第十一章 概率与统计
一．基础题组
1. 【2017高考上海，9】已知四个函数：①；②；③；④.
从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点” 的概率为 .
【答案】
【解析】考查函数图象交点的个数：
与 有2个交点；
与 有1个交点；
与 有1个交点；
与 有0个交点；
与 有0个交点；
与 有2个交点；
结合古典概型公式可得：所选两个函数的图像有且仅有一个公共点的概率为 .
2.【2016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
则这组数据的中位数是_________（米）．
【答案】1.76
【解析】试题分析：
将这6位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.
【考点】中位数的概念
【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.
3.【2016高考上海理数】如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，.任取
不同的两点，点P满足，则点P落在第一象限的概率是_____________.
【答案】
【解析】试题分析：
共有种基本事件，其中使点P落在第一象限的情况有种，故所求概率为.
【考点】排列组合、古典概型、平面向量的线性运算
【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能够准确地确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力、数形结合思想等.
4.【2016高考上海文数】某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的
两种水果相同的概率为______.
【答案】
【考点】古典概型
【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
5. 【2015高考上海理数】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
【答案】
【解析】赌金的分布列为
1
2
3
4
5
P
所以
奖金的分布列为
1.4
2.8
4.2
5.6
P
所以
【考点定位】数学期望
【名师点睛】一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，均值E(X)是一个实数，由x的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．
6. 【2014上海,理10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.
【答案】
【考点】古典概型．
7. 【2014上海,理13】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .
【答案】
【解析】设＝1,2,3,4,5的概率分别为，则由题意有，，对于，当越大时，其值越大，又，因此，所以，解得．
【考点】随机变量的均值（数学期望），排序不等式．
8. 【2014上海,文13】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.
【答案】
【解析】任意选择3天共有种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为．
【考点】古典概型．
9. 【2013上海,理8】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．
【答案】　
【解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1－.
10. 【2013上海,文6】某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为______．
【答案】78　
【解析】平均成绩＝＝78.
11. 【2013上海,文11】盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．
【答案】　
【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有＝21个，
2个数之积为奇数2个数分别为奇数，共有＝6个．
所以2个数之积为偶数的概率P＝1－＝1－.
12. 【2012上海,理11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．
【答案】
【解析】若每人都选择两个项目，共有不同的选法种，而有两人选择的项目完全相同的选法有种，故填.
13. 【2012上海,理17】设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，，的概率也均为0.2.若记Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　)
A．Dξ1＞Dξ2 B．Dξ1＝Dξ2
C．Dξ1＜Dξ2 D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关
【答案】A　
【解析】Eξ1＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)
＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)
∴Eξ1＝Eξ2，记Eξ1＝Eξ2＝a.
则Dξ1＝0.2
＝0.2
Dξ2＝0.2
＝0.2{－2a(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋5a2]}
∴Dξ1－Dξ2＝0.2{x12＋x22＋x32＋x42＋x52－}
＝
∵10≤x1＜x2＜x3＜x4＜x5
∴x12＋x22＞2x1x2
x22＋x32＞2x2x3
x32＋x42＞2x3x4
x42＋x52＞2x4x5
x52＋x12＞2x5x1
∴2x12＋2x22＋2x32＋2x42＋2x52＞2x1x2＋2x2x3＋2x3x4＋2x4x5＋2x5x1
∴Dξ1－Dξ2＞0，即Dξ1＞Dξ2.
14．【2012上海,理18】设，Sn＝a1＋a2＋…＋an.在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)
A．25 B．50 C．75 D．100
A．16 B．72 C．86 D．100
【答案】D　
【解析】∵，
∴当n≤24时，an均大于0，a25＝0，
∴可知S1，S2，…，S25均大于0.
又，
∴S26＝a1＋a2＋…＋a25＞0，
而，
∴a27＋a2＞0.
同理可得a28＋a3＞0，…，a49＋a24＞0，
而a51到a74均为正项，a75＝0，a76到a99均为负项，且|a76|＜a51，|a77|＜a52，…，|a99|＜a74，a100＝0，
故{Sn}中前100项均为正数．
15. 【2011上海,理9】马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝______.
【答案】2
【解析】
16. 【2011上海,理12】随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是______(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．
【答案】0.985
【解析】
17.【2011上海,理9】马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝______.
【答案】2
【解析】
18. 【2011上海,文10】课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
【答案】2
【解析】
19. 【2010上海,理6】随机变量的概率分布率由下图给出：
x
7
8
9
10
P()
0.3
0.35
0.2
0.15
则随机变量的均值是__________；
【答案】
【解析】，故答案为：.
【点评】本题考查随机变量的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度.
20. 【2010上海,理9】从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B
为“抽得为黑桃”，则概率 （结果用最简分数表示）.
【答案】
【点评】本题考查等可能事件的概率及其计算，与去年相比，难度有所降低.
21. 【2010上海,文5】将一个总体为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取____________个个体．
【答案】20
【解析】C的个体数占总体的＝，所以应从C中抽取样本个数为100×＝20.
22. 【2010上海,文10】从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为______(结果用最简分数表示)．
【答案】
【解析】因为一副扑克牌中有13张红桃，所以所求事件的概率为P＝＝.
23. (2009上海,理7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望Eξ=__________.(结果用最简分数表示)
【答案】
【解析】由题意知ξ=0,1,2,则
,
,
.
∴.
24. (2009上海,理16)若事件E与F相互独立,且,则P(E∩F)的值等于 …( )
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】∵事件E与F相互独立,P(E∩F)为相互独立事件同时发生的概率，
∴P(E∩F)=P（E）·P（F）=.
25. (2009上海,理17)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( )
A.甲地:总体均值为3,中位数为4
B.乙地:总体均值为1,总体方差大于0
C.丙地:中位数为2,众数为3
D.丁地:总体均值为2,总体方差为3
【答案】D
【解析】设过去10天新增疑似病例数据为a1,a2,a3,…,a10,对于选项D，=2,S2=3,不防设
a10=8,a1=a2=…=a8=1,a9=4,此时=2,则
.所以当总体均值为2，总体方差为3时一定符合该标志，故选D.
26. (2009上海,文11)若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会志愿者,则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是__________(结果用最简分数表示).
【答案】
27. 【2008上海,理7】在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中
任取三个，这三点能构成三角形的概率是 　　　 （结果用分数表示）.
28. 【2008上海,理9】已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中
位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 　　　　　　　　　 .
29. 【2007上海,理7】有数字，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为
30. 【2006上海,理9】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任
意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．
【答案】
【解析】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是．
31. 【2006上海,文10】在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）.
【答案】
【解析】在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是.
32. 【2005上海,理8】某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）
【答案】
【解析】
33. 【2005上海,文8】某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）
【答案】
【解析】
第十二章 排列组合、二项式定理
一．基础题组
1. 【2017高考上海，2】若排列数 ，则 .
【答案】3
【解析】由排列数的定义： ，则： ，解得 .
2.【2016高考上海理数】在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．
【答案】112
【解析】试题分析：
【考点】二项式定理
【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项进行求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
3.【2015高考上海理数】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
【答案】
【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：
【考点定位】排列组合
【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
4、【2015高考上海理数】在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．
【答案】
【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为
【考点定位】二项展开式
【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求 (求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
5.【2015高考上海文数】.在的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
【答案】240
【考点定位】二项式定理.
【名师点睛】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)．
6. 【2013上海,理5】设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为－10，则a＝______.
【答案】－2　
【解析】Tr＋1＝,2(5－r)－r＝7r＝1，故＝－10a＝－2.
7. 【2012上海,理5】在(x－)6的二项展开式中，常数项等于__________．
【答案】－160
【解析】(x－)6的二项展开式中的常数项为·(x)3·(－)3＝－160.
8. 【2010上海,理7】2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ；
【答案】
【点评】本题主要考查算法的程序框图．由题意确定算式是基础，弄清算法流
程图的逻辑结构是解题关键．
9. 【2010上海,文11】 2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________．
【答案】S←S＋a
【解析】由题意知，该程序框图的功能是统计每个整点报道的入园人数之和，所以应该把每个小时内入园的人数a进行累加，故该赋值语句应为S←S＋a.
10. (2009上海,理4)某算法的程序框图如图所示 ，则输出量y与输入量x满足的关系式是___________.
【答案】
11. (2009上海,文4)某算法的程序框图如图所示 ，则输出量y与输入量x满足的关系式是
___________.
【答案】
【解析】由程序框图可知,当输入实数满足x＞1时,输出y=x-2;
否则,即输入实数满足x≤1时,
输出y=2x.综上可知
12. 【2008上海,理12】

【答案】
【解析】由.
13. 【2005上海,理4】在的展开式中，的系数是15，则实数=__________.
【答案】
【解析】的系数
第十三章 推理与证明、新定义
一．基础题组
1. 【2011上海,理14】已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|－2)(|OR1|－2)＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|－2)(|OR2|－2)＜0，依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则______.
【答案】
【解析】
2. (2009上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
【答案】（3，3）
【解析】设确定的格点为（x,y)，由题意知确定的格点到已知的6个格点路程的和最短，即为x,y分别到6个格点的横.纵坐标距离和最小，6个格点的横坐标由小到大排列为-2,-2,3,3,4,6，所以x=3时到这6个数的距离和最小.同理y=3时，y到6个格点纵坐标距离之和最小.故所求的格点为(3,3).
3. 【2008上海,文15】如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（　 　　）
Ａ．　　 　B． C． D．
【答案】
4. 【2007上海,理9】若为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若，则
④若，则。则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是。
5. 【2006上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一
个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
【答案】36
【解析】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：① 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；② 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个．
6. 【2006上海,文12】如图，
平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是
（1，2）的点的个数是____________.
【答案】4
7. 【2005上海,文16】用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，
3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，
，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
等于（ ）
A．—3600 B．1800 C．—1080 D．—720
【答案】－1080
【解析】在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，
二．能力题组
8. 【2010上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.
若实数、、满足，则称比远离.
（1）若比远离，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
【答案】（1）（2）（3）
(3) ，性质：1(f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2(f(x)是周期函数，最小正周期，3(函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，k(Z，4(函数f(x)的值域为．
【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.
9. 【2006上海,理16】如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：
①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；
③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 （ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
【答案】D
②若＝0，且＋≠0，则p与q中有一个为0，另一个不为0， “距离坐标”为（， ）的点可以在直线l1或直线l2上，例如（p，q）=(0，1)，则点M在直线l2上，且到O点距离为1，这样的点有2个，命题②正确；
③若≠0，则p≠0，q≠0，“距离坐标”为（，）的点在两条直线相交而成的四个区域内，这样的点有且仅有4个．正确
上述命题中，正确命题的个数是3个，选D.
10. 【2005上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
在直角坐标平面中，已知点，，，…，，其中是正整数．对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，……，为关于点的对称点．
求向量的坐标；
当点在曲线上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周
期函数，且当时，，求以曲线为图象的函数在的解析式；
（3）对任意偶数，用表示向量的坐标
【答案】（1）（2，4）；（2）；（3）
因此，基线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当
设
若
当 当时， 。
（3）
由于，
.
三．拔高题组
11. 【2015高考上海理数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.
（1）验证是以为周期的余弦周期函数；
（2）设．证明对任意，存在，使得；
（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是 “为方程在上有解”，并证明对任意都有.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析
（2）由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得.
若，则由单调递增得到，与矛盾，所以.同理可证.故存在使得.
（3）若为在上的解，则，且，
，即为方程在上的解.
同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解.
以下证明最后一部分结论.
由（2）所证知存在，使得，，，，，.
而是函数的单调区间，，，，.
与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解.从而在与上的解的个数相同.
故，，，，，.
对于，，，
而，故.
类似地，当，，，时，有.
结论成立.
【考点定位】新定义问题
【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.
12. 【2014上海,理22】（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中，对于直线：和点记
若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.
【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹的方程，化简为，过原点的直线中，当斜率存在时设其方程为，然后解方程组，变形为，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为判断函数与的图象有无交点，而这可利用函数图象直接判断．是开口方向向上的二次函数，是幂函数，其图象一定有交点，因此直线不是的分隔线，过原点的直线还有一条就是，它显然与曲线无交点，又曲线上两点一定在直线两侧，故它是分隔线，结论得证．
试题解析：（1）由题得，，∴被直线分隔.
又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．
（3）由题得，设，∴，
化简得，点的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为.
联立方程，.
令，因为，
所以方程有实解，直线与曲线有交点．直线不是曲线的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.
显然与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线是分隔线．
综上所述，仅存在一条直线是的分割线.
【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.
13. 【2011上海,理23】已知平面上的线段l及点P.任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P，l)．
(1)求点P(1,1)到线段l：x－y－3＝0(3≤x≤5)的距离d(P，l)；
(2)设l是长为2的线段，求点的集合D＝{P|d(P，l)≤1}所表示的图形面积；
(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合Ω＝{P|d(P，l1)＝d(P，l2)}，其中l1＝AB，l2＝CD，A，B，C，D是下列三组点中的一组．
对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分．
①A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1,0)
②A(1,3)，B(1,0)，C(－1,3)，D(－1，－2)
③A(0,1)，B(0,0)，C(0,0)，D(2,0)
【答案】(1) ; (2) 4＋π;(3)参考解析
(2)不妨设A(－1,0)、B(1,0)为l的两个端点，
则D为线段l1：y＝1(|x|≤1)、线段l2：y＝－1(|x|≤1)、半圆C1：(x＋1)2＋y2＝1(x≤－1)、半圆C2：(x－1)2＋y2＝1(x≥1)所围成的区域．
这是因为对P(x，y)，|x|≤1，
则d(P，l)＝|y|；而对P(x，y)，x＜－1，则
；对P(x，y)，x＞1，
则.
于是D所表示的图形面积为4＋π.
(3)①Ω＝{(x，y)|x＝0}．
②Ω＝{(x，y)|x＝0，y≥0}∪{(x，y)|y2＝4x，－2≤y＜0}∪{(x，y)|x＋y＋1＝0，x＞1}．
③Ω＝{(x，y)|x≤0，y≤0}∪{(x，y)|y＝x,0＜x≤1}∪{(x，y)|，1＜x≤2}∪{(x，y)|4x－2y－3＝0，x＞2}．
第十四章 复数
一．基础题组
1. 【2017高考上海，5】已知复数 满足 ，则 = .
【答案】
【解析】由题意可得： ，即： 或 ，
据此有： .
2. 【2014 上海，理2】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.
【答案】6
【解析】由题意
【考点】复数的运算.
3. 【2013上海,理2】设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝______.
【答案】－2
【解析】　m＝－2.
4. 【2012上海,理1】计算：__________(i为虚数单位)．
【答案】1－2i
【解析】
5. 【2012上海,理15】若是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
【答案】B　
6. 【2010上海,理2】若复数（为虚数单位），则_____________；
【答案】
【解析】∵，∴，故答案为：
【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．
7. (2009上海,理1)若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=____________.
【答案】i
【解析】∵,
∴z的共轭复数=i.
8. 【2008上海,理3】若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝ 　　　　　　　 .
9. 【2008上海,文7】若是实系数方程的一个虚根，且，则 ．
【答案】4
10. 【2007上海,理12】已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为
A、 B、 C、 D、
11. 【2007上海,文12】已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（　　）
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
【答案】A
【解析】
12. 【2006上海,理5】若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
【答案】－1+i
13. 【2006上海,文5】若复数满足（为虚数单位）为纯虚数，其中则.
【答案】3
【解析】若复数满足（为虚数单位）为纯虚数，其中，则m=2，z=3i，.
二．能力题组
14.【2016高考上海理数】设，其中为虚数单位，则=_____________．
【答案】?3
【解析】
试题分析：
【考点】复数的运算、复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必得分的题目之一.
15.【2015高考上海理数】若复数满足，其中为虚数单位，则 ．
【答案】
【解析】设，则
【考点定位】复数相等，共轭复数
【名师点睛】研究复数问题一般将其设为形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如的共轭复数为，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.
16. 【2011上海,理19】已知复数z1满足(z1－2)·(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【答案】4＋2i
17. (本题满分14分)(2009上海,文19)已知复数z=a+bi.(a、b∈R+,i是虚数单位)是方程x2-4x+5=0的根.复数w=u+3i(u∈R)满足|w-z|＜,求u的取值范围.
【答案】-2＜u＜6
【解析】原方程的根为x1,2=2±i,
∵a、b∈R+,∴z=2+i.
∵|w-z|=|(u+3i)-(2+i)|=,
∴-2＜u＜6.
18. 【2005上海,理18】（本题满分12分）
证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．
【答案】参参考解析
【解析】原方程化简为
设 、，代入上述方程得
将（2）代入（1），整理得
无实数解，∴原方程在复数范围内无解.
19. 【2005上海,文18】（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位）.
【答案】z=-±i
【解析】原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
第十五章 选修部分
一．基础题组
1. 【2017高考上海，13】二元线性方程组 的系数行列式 为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由方程组的特点可得系数行列式 为.
本题选择C选项.
2. 【2017高考上海,16】在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和 . 为
上的动点， 为 上的动点， 是 的最大值，记
，则 中( )
A.元素个数为2 B.元素个数为4 C.元素个数为8 D.含有无穷个元素
【答案】D
3. 【2016高考上海理数】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【考点】极坐标方程
【名师点睛】本题是极坐标系问题中的基本问题，从解法上看，一是可通过记忆比对，作出判断；二是利用特殊值代入检验.本题突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生的基本运算能力、数形结合思想等.
4. 【2015高考上海理数】若线性方程组的增广矩阵为、解为，则 ．
【答案】
【解析】由题意得：
【考点定位】线性方程组的增广矩阵
【名师点睛】线性方程组的增广矩阵是线性方程组另一种表示形式，明确其对应关系即可解决相应问题.即对应增广矩阵为
5. 【2014上海,理7】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 .
【答案】
【解析】令，则，，所以所求距离为.
【考点】极坐标.
6. 【2013上海,理3】若＝，则x＋y＝______.
【答案】0　
【解析】x2＋y2＝－2xyx＋y＝0.
7. 【2013上海,理7】在极坐标系中，曲线ρ＝cosθ＋1与ρcosθ＝1的公共点到极点的距离为______．
【答案】　
【解析】联立方程组得ρ(ρ－1)＝1ρ＝，又ρ≥0，故所求为.
8. 【2013上海,文4】已知＝0，＝1，则y＝______.
【答案】1　
【解析】已知＝x－2＝0x＝2，又＝x－y＝1 联立上式，解得x＝2，y＝1.
9. 【2012上海,理3】函数的值域是__________．
【答案】[，]
10.【2012上海,理10】如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝__________.
【答案】
【解析】如图所示，根据正弦定理，有，∴.
11. 【2012上海,文3】函数的最小正周期是__________．
【答案】π
【解析】f(x)＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，
所以T＝＝π.
12. 【2011上海,理5】在极坐标系中，直线ρ(2cosθ＋sinθ)＝2与直线ρcosθ＝1的夹角大小为______．(结果用反三角函数值表示)
【答案】
【解析】
13. 【2011上海,理10】行列式 (a，b，c，d∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是______．
【答案】6
【解析】
14. 【2010上海,理4】行列式的值为_______________；
【答案】0
【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.
15. 【2010上海,理10】在行列矩阵中，记位于第行第列的
数为.当时， ________；
【答案】45
【点评】矩阵是上海高考常考的知识点，也是一大亮点.本题考查矩阵元素的构成规律和等差数列的前项和公式.
16. 【2010上海,理16】直线的参数方程是，则的方向向量可以是 （ ）
（A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）
【答案】C
【解析】取参数的两个值，，得直线上的对应两点，，则的一个方向向量是，∴可以是，选C.
【点评】本题主要考查直线的参数方程、方向向量、数与向量的积的几何意义以及向量的坐标运算，是一道数形结合的优秀试题.
17. (2009上海,理3)若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是____________.
【答案】
【解析】因元素4的代数余子式为：
（-1）1+1=9x-24.
由题意9x-24＞0,∴.
18. (2009上海,理10)在极坐标系中,由三条直线θ=0,,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是
_______________.
【答案】
19. 【2005上海,理6】将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________.
【答案】
【解析】