板块命题点专练（一）
命题点一 集合及其运算
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低
题型：选择题
1．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( )
A．A∩B＝? B．A∪B＝R
C．B?A D.A?B
解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R，故选B.
2．(2016·全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则?AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
解析：选C ∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，
∴?AB＝{0,2,6,10}．
3．(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．2,3] B．(－∞，2]∪3，＋∞)
C．3，＋∞) D．(0,2]∪3，＋∞)
解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D 集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.
5．(2012·全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
命题点二 充要条件
命题指数：☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题
1.(2015·天津高考)设x∈R，则“1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A |x－2|<1?1由于{x|1所以“12．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由题意知a?α，b?β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.
3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
命题点三 四种命题及其关系
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题
1.(2012·全国卷)下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析：选C ∵复数z＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．
2．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
命题点四 含有逻辑联结词的命题
命题指数：☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题
1.(2014·辽宁高考)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：选A
如图，若a＝A1A―→，b＝AB―→，c＝B1B―→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．
2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．即为(綈p)∨(綈q)．
命题点五 全称量词和存在量词
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题、填空题
1.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．
2．(2016·浙江高考)命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．
3．(2015·山东高考)若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
板块命题点专练（七）
命题点一 平面向量基本定理
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低
题型：选择题、填空题
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：选A 法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A．
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A．
2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选A ＋＝(＋)＋(＋)＝
(＋)＝，故选A．
3．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
解析：选A ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A．
4．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得
答案：
命题点二 平面向量数量积
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2016·全国甲卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析：选D 法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8．
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8．
2．(2016·全国丙卷)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选A 因为＝，＝，
所以·＝＋＝．
又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC＝，
所以cos∠ABC＝．
又0°≤∠ABC≤180°，
所以∠ABC＝30°．
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C 法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1．
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C．
4．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b 满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：选A 因为|a＋b|＝，
所以|a＋b|2＝10，
即a2＋2a·b＋b2＝10． ①
又因为|a－b|＝，所以|a－b|2＝6，
所以a2－2a·b＋b2＝6． ②
由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1．
5．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则 ·的值为( )
A．－ B．
C． D．
解析：选B 如图，由条件可知
＝－， ＝＋
＝＋＝＋ ，所以·=(－)·(＋ )＝2－·－2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以| |＝||＝1，∠BAC＝60°，
所以·＝－－＝．
6．(2016·全国乙卷)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
解析：∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，
∴a·b＝0．
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2．
答案：－2
7．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．
解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝22－×22＝2．
答案：2
8．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．
解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2．
答案：2
9．(2014·湖北高考)若向量＝(1，－3)，|| ＝||， ·＝0，则 || ＝________．
解析：法一：设＝(x，y)，由||＝||知，＝，又 ·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1．当x＝3，y＝1时，|| ＝2；当x＝－3，y＝－1时，|| ＝2．则|| ＝2．
法二：由几何意义知，||就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以||＝2．
答案：2
10．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈．
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0．
由向量数量积的坐标公式得sin x－cos x＝0，
∴tan x＝1．
(2)∵m与n的夹角为，
∴m·n＝|m|·|n|cos，
即sin x－cos x＝，
∴sin＝．
又∵x∈，∴x－∈，
∴x－＝，即x＝．
命题点三 复数
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低
题型：选择题、填空题
1．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B ∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i．
∴解得a＝0．故选B．
2．(2016·全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－33．(2016·全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi．
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1．
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B．
4．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D ∵＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，故选D．
5．(2016·全国丙卷)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：选C 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z ＝(1＋2i)·(1－2i)＝5，则＝＝i．故选C．
6．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B．
C． D．2
解析：选A 由＝i，得z＝＝＝＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A．
板块命题点专练（三）
命题点一 基本初等函数(Ⅰ)
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1.(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：选D 函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2016·全国丙卷)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．bC．b解析：选A 因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b3．(2013·全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解析：选D a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.
4．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
解析：选D 当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当00)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.
5．(2015·山东高考)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：选C 因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则>3，即－3>0，即>0，故不等式可化为<0，即1<2x<2，解得06．(2015·天津高考)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．c解析：选C 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c7．(2014·安徽高考)－＋log3＋log3＝______.
解析：原式＝－＋log3＝－3＝.
答案：
8．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
答案：1
9．(2015·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是－1,0]，则a＋b＝________.
解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当0答案：－
10．(2015·天津高考)已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．
解析：由于a>0，b>0，ab＝8，所以b＝.
所以log2a·log2(2b)＝log2a·log2＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，
当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4.
答案：4
命题点二 函数与方程
命题指数：☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1.(2014·湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x≥0 时， f(x)＝x2－3x. 则函数g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
解析：选D 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－(正根舍去)．选D.
2．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析：选C 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.
3.其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.
答案：(3，＋∞)
4．(2015·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
解析：f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2.
设y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．
答案：2
命题点三 函数模型及其应用
命题指数：☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1.(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
2．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
解析：由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
答案：24
板块命题点专练（九）
命题点一 不等关系与一元二次不等式
命题指数：☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1．(2014·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选C 构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b?f(a)>f(b)?a|a|>b|b|．选C．
2．(2014·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0A．c≤3 B．3C．69
解析：选C 由题意，不妨设g(x)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，m∈(0,3]，则g(x)的三个零点分别为x1＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，则c－m＝6，因此c＝m＋6∈(6,9]．
3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解析：当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln 2，∴x<1；当x≥1时，由x≤2得x≤8，∴1≤x≤8．综上，符合题意的x的取值范围是(－∞，8]．
答案：(－∞，8]
4．(2014·江苏高考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由题可得f(x)<0对于x∈m，m＋1]恒成立，即解得－答案：
命题点二 简单的线性规划问题
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1．(2016·北京高考)已知A(2,5)，B(4,1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )
A．－1 B．3
C．7 D．8
解析：选C 法一：作出线段AB，如图所示．
作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时，2x－y取最大值为2×4－1＝7．
法二：依题意得kAB＝＝－2，
∴线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈2,4]，
即y＝－2x＋9，x∈2,4]，
故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈2,4]．
设h(x)＝4x－9，
易知h(x)＝4x－9在2,4]上单调递增，
故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7．
2．(2015·重庆高考)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )
A．－3 B．1
C． D．3
解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，
易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，，D(－2m,0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|
＝(2＋2m)
＝(1＋m)＝，
解得m＝1或m＝－3(舍去)．
3．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1．
其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
解析：选C 法一：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C．
法二：设x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－2y)，
则解得
∵
∴(x＋y)≥，－(x－2y)≥－，
∴x＋2y＝(x＋y)－(x－2y)≥0．
故命题p1，p2正确，p3，p4错误．故选C．
4．(2015·福建高考)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C 作出约束条件表示的可行域，如图所示，
目标函数z＝2x－y取最大值2，即y＝2x－2时，画出表示的区域，由于mx－y≤0过定点(0,0)，要使z＝2x－y取最大值2，则目标函数必过两直线x－2y＋2＝0与y＝2x－2的交点A(2,2)，因此直线mx－y＝0过点A(2,2)，故有2m－2＝0，解得m＝1．
5．(2016·全国甲卷)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
解析：不等式组
表示的可行域如图阴影部分所示．
由z＝x－2y得y＝x－z．
平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5．
答案：－5
6．(2013·广东高考)给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．
答案：6
7．(2014·浙江高考)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由线性规划的可行域(如图)，求出三个交点坐标分别为A(1,0)，B(2，1)，C，都代入1≤ax＋y≤4，可得1≤a≤．
答案：
命题点三 基本不等式
命题指数：☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1．(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
解析：选C 由＋＝，知a＞0，b＞0，
所以＝＋≥2 ，即ab≥2，
当且仅当
即a＝，b＝2时取“＝”，
所以ab的最小值为2．
2．(2014·福建高考)要制作一个容积为 4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
解析：选C 设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋10＝80＋20≥80＋20×2 ＝160．所以该容器的最低总造价为160元．
3．(2014·重庆高考)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：选D 因为log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，
且即a>0，b>0，
所以＋＝1(a>0，b>0)，
a＋b＝(a＋b)·＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D．
4．(2015·山东高考)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
解析：因为x?y＝，所以(2y)?x＝．又x>0，y>0，故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
答案：
板块命题点专练（二）
命题点一 函数的概念及其表示
命题指数：☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选C ∵－2<1，
∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.
2．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：选C 对于选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于选项B，f(x)＝x－|x|＝当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x＜0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；对于选项D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.
3．(2014·浙江高考)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)的图象如图，由图象知．满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，a≤ .
答案：(－∞， ]
命题点二 函数的基本性质
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题
1.(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
解析：选D A选项定义域为R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．
2．(2014·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选C 用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.
3．(2015·湖南高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析：选A 由得－1则函数的定义域为(－1,1)．
又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
f′(x)＝＋，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,1)上为增函数．
4．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.
5．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
解析：选A ∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)?|x|>|2x－1|?x2>(2x－1)2?3x2－4x＋1<0?6．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________.
解析：∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f＝f＝－f＝－4＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－2＋0＝－2.
答案：－2
命题点三 函数的图象
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1.(2014·福建高考)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为－1，＋∞)
解析：选D 函数f(x)＝
的图象如图所示，由图象知只有D正确．
2．(2013·北京高考)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D. e－x－1
解析：选D 与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
3．(2016·全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在－2,2]的图象大致为( )
解析：选D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈－2,2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
4．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B ∵f(x)＝f(2－x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B.
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
解析：∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，
∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.
答案：－2
板块命题点专练（五）
命题点一 同角三角函数的基本关系及诱导公式
命题指数：☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1．(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A． B．
C．1 D．
解析：选A 因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝．故选A．
2．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M．将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在0，π]的图象大致为( )
解析：选B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，
当x∈时，f(x)＝cos x·sin x＝sin 2x；
当x∈时，f(x)＝－cos x·sin x＝－sin 2x，故选B．
3．(2015·四川高考)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2．
所以2sin αcos α－cos2α＝
＝＝＝－1．
答案：－1
命题点二 三角函数的图象与性质
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析：选A ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝cos，最小正周期为π；④y＝tan，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A．
2．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B 将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
3．(2016·全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：选A 由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2．又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin．故选A．
4．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
解析：选D 由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π．
由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝，∴f(x)＝cos．
由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，
得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D．
5．(2016·全国甲卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B ∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5．故选B．
6．(2016·全国丙卷)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
解析：因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．
答案：
7．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．
解析：∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，
∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，
∴A＝，b＝1．
答案： 1
8．(2014·北京高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π．
答案：π
9．(2014·北京高考)函数f(x)＝3sin 的部分图象如图所示．
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为＝＝π，x0＝，y0＝3．
(2)因为x∈，所以2x＋∈．
于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3．
10．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解：(1)f(x)的定义域为．
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin．
所以f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
设A＝，B＝x，易知A∩B＝．
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
11．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝sin 2x－cos2x．
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．当x∈时，求g(x)的值域．
解：(1)f(x)＝sin 2x－cos2x
＝sin 2x－(1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－
＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最小值为－．
(2)由条件可知g(x)＝sin－．
当x∈时，有x－∈，
从而y＝sin的值域为，
那么g(x)＝sin－的值域为．
故g(x)在区间上的值域是．
板块命题点专练（八）
命题点一 数列的概念及表示
命题指数：☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1．(2014·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则( )
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
解析：选C ∵数列{2a1an}为递减数列，a1an＝a1a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0．
2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {an}满足 an＋1＝，a8＝2，则a1 ＝________．
解析：将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝．
答案：
3．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2．过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________．
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝．
法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝．
答案：
命题点二 等差数列与等比数列
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99
C．98 D．97
解析：选C 法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3．
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98．故选C．
法二：∵{an}是等差数列，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3．
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5．
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98．故选C．
2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：选A ∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A．
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
解析：选B ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，
∴3＋3q2＋3q4＝21．
∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42．
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A． B．
C．10 D．12
解析：选B ∵{an}的公差为1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6．
又∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝．
5．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．
解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1．
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1．
又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－．
答案：－
6．(2016·全国乙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)由题意可得a2＝，a3＝．
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因此{an}的各项都为正数，所以＝．
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝．
7．(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝an]，求数列{bn}的前10项和，其中x]表示不超过x的最大整数，如0.9]＝0，2.6]＝2.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意有解得
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤＜2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤＜3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤＜4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤＜5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
8．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3．②
②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an>0，得an＋1－an＝2．
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3．
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
通项公式为an＝2n＋1．
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝．
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝．
9．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，
则an＋1an＋2＝λSn＋1－1．
两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1．
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．
由(1)知，a3＝λ＋1．
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4．
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2．
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
命题点三 数列的综合应用
命题指数：☆☆☆
难度：高、中
题型：解答题
1．(2016·天津高考)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．
解：(1)设数列{an}的公比为q．
由已知，有－＝，
解得q＝2或q＝－1．
又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，
所以a1·＝63，得a1＝1．
所以an＝2n－1．
(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)
＝(log22n－1＋log22n)＝n－，
即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．
设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，
则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝＝2n2．
2．(2016·四川高考)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q＞0，n∈N*．
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e．
解：(1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1．又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1，n∈N*都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．
从而an＝qn－1．
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2．所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知an＝qn－1，
所以双曲线x2－＝1的离心率
en＝＝．
由e2＝＝2，解得q＝，
所以e＋e＋…＋e
＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋1＋q2(n－1)]
＝n＋1＋q2＋…＋q2(n－1)]
＝n＋＝n＋(3n－1)．
板块命题点专练（六）
命题点一 简单的三角恒等变换
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°
＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D．
2．(2016·全国甲卷)若cos＝，则sin 2α＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选D 因为cos＝，
所以sin 2α＝cos＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－．
3．(2016·全国丙卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选D ∵cos 2θ＝＝，
又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝．
4．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________．
解析：由题意知sin＝，θ是第四象限角，
所以cos＞0，
所以cos＝ ＝．
tan＝tan
＝－
＝－
＝－×＝－．
答案：－
5．(2013·全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．
解析：由θ在第二象限，且tan＝，得sin＝－，故sin θ＋cos θ＝sin＝－．
答案：－
6．(2015·四川高考)已知A，B，C为△ABC的内角，tan A，tan 是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．
(1)求C的大小；
(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．
解：(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，
所以p≤－2或p≥．
由根与系数的关系，
有tan A＋tan B＝－p，tan Atan B＝1－p，
于是1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝＝－＝－．
所以tan C＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°．
(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
解得B＝45°或B＝135°(舍去)．
于是A＝180°－B－C＝75°．
则tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)
＝
＝＝2＋．
所以p＝－(tan A＋tan B)
＝－(2＋＋1)
＝－1－．
命题点二 解三角形
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝( )
A． B．
C．2 D．3
解析：选D 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，
解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D．
2．(2016·全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C 法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a．
∴cos A＝＝＝－．故选C．
法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a．
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝ ＝a．
同理，在Rt△ACD中，AC＝ ＝a．
∴cos A＝＝－．
3．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B．
C．2 D．1
解析：选B 由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°．当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°．由余弦定理可得AC＝＝．
4．(2016·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
解析：因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝．
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝×＝．
答案：
5．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m．
解析：在△ABC中，AC＝100 m，在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，解得MA＝100 m，在△MNA中，MN＝MA·sin 60°＝150 m．即山高MN为150 m．
答案：150
6．(2016·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c．
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C，
故2sin Ccos C＝sin C．
可得cos C＝，所以C＝．
(2)由已知得absin C＝．
又C＝，所以ab＝6．
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．
所以△ABC的周长为5＋．
7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD．
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以AB＝2AC．
由正弦定理，得＝＝．
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝．
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC．
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6．
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1．
命题点三 三角函数与解三角形的综合问题
命题指数：☆☆☆☆
难度：高、中
题型：解答题
1．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB．
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由已知及正弦定理得，
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B．
又B∈(0，π)，所以B＝．
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac．
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos．
又a2＋c2≥2ac，故ac≤＝4＋2，当且仅当a＝c时等号成立．
因此△ABC面积的最大值为(4＋2)＝＋1．
2．(2015·山东高考)设f(x)＝sin xcos x－cos2x＋．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－．
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，
由题意知A为锐角，所以cos A＝．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立．
因此bcsin A≤．
所以△ABC面积的最大值为．
板块命题点专练（十一）
命题点一 空间几何体的三视图及表面积与体积
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90 cm2 B．129 cm2
C．132 cm2 D．138 cm2
解析：选D 由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积S＝S1－S正方形＋S2＋2S3＋S斜面，其中S1是长方体的表面积，S2是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，S3是三棱柱的一个底面的面积，则S＝(4×6＋3×6＋3×4)×2－3×3＋3×4＋2××4×3＋5×3＝138(cm2)，选D．
2．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．＋π B．＋π
C．＋2π D．＋2π
解析：选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，∴V＝＋π．
3．(2015·山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A． B．
C．2π D．4π
解析：选B 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××π×2×＝．
4．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A． B．
C． D．1
解析：选A 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P-ABC，通过侧视图得高h＝1，底面积S＝×1×1＝，所以体积V＝Sh＝××1＝．
5．(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3．
解析：由三视图知，四棱锥的高为3 m，底面平行四边形的一边长为2 m，对应高为1 m，所以其体积V＝Sh＝×2×1×3＝2(m3)．
答案：2
6．(2015·四川高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P-A1MN的体积是________．
解析：由三视图易知几何体ABC-A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
则VP-A1MN＝VA1-PMN＝VA-PMN．
又S△PMN＝MN·NP＝××1＝，
A到平面PMN的距离h＝，
∴VA-PMN＝S△PMN·h＝××＝．
答案：
7．(2015·安徽高考)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°．
(1)求三棱锥P-ABC的体积；
(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
解：(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin 60°＝．
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高．
又PA＝1，
所以三棱锥P-ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝．
(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM．
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC．
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN．
又BM?平面MBN，所以AC⊥BM．
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，
从而NC＝AC－AN＝．
由MN∥PA，
得＝＝．
命题点二 组合体的“切”“接”问题
命题指数：☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题
1．(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B．
C．6π D．
解析：选B 设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为＝2，∴R≤2．又2R≤3，∴R≤，∴Vmax＝×π×3＝．故选B．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π
C．144π D．256π
解析：选C 如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2．
∵VO -ABC＝VC-AOB，而△AOB面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO-ABC最大，
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO-ABC最大，为×R2×R＝36，
∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π．
3．(2013·全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，连接EA，则E为正方形ABCD的中心．由题意可知×()2×OE＝，所以OE＝，故球的半径R＝OA＝＝，则球的表面积S＝4πR2＝24π．
答案：24π
命题点三 直线、平面平行与垂直的判定与性质
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：选C ∵α∩β＝l，∴l?β．
∵n⊥β，∴n⊥l．
2．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m?α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
解析：对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m?α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．
答案：②③④
3．(2014·湖北高考)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB ，AD ，DD1 ，BB1 ，A1B1 ，A1D1 的中点． 求证：
(1)直线BC1 ∥平面EFPQ ；
(2)直线 AC1⊥平面 PQMN ．
证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，
知AD1∥BC1，
因为F，P分别是AD，DD1的中点，
所以FP∥AD1．
从而BC1∥FP．
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，
故直线BC1∥平面EFPQ．
(2)连接AC，BD，则AC⊥BD．
由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD．
又AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1．
而AC1?平面ACC1，
所以BD⊥AC1．
连接B1D1，
因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，
所以MN∥B1D1，
故MN∥BD，
从而MN⊥AC1．
同理可证PN⊥AC1．
又PN∩MN＝N，
所以直线AC1⊥平面PQMN．
4．(2016·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
(1)求证：DC⊥平面PAC．
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥DC．
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC．
(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC．
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．
又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC．
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．
(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF．
理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF．
因为E为AB的中点，
所以EF∥PA．
又因为PA?平面CEF，
且EF?平面CEF，
所以PA∥平面CEF．
5．(2016·全国乙卷)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
解：(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，
所以AB⊥PD．
因为D在平面PAB内的正投影为E，
所以AB⊥DE．
因为PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PED，
故AB⊥PG．
又由已知可得，PA＝PB，
所以G是AB的中点．
(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．
理由如下：
由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，
又EF∥PB，
所以EF⊥PA，EF⊥PC．
又PA∩PC＝P，
因此EF⊥平面PAC，
即点F为E在平面PAC内的正投影．
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，
所以D是正三角形ABC的中心．
由(1)知，G是AB的中点，
所以D在CG上，故CD＝CG．
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，
所以DE∥PC，
因此PE＝PG，DE＝PC．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，
可得DE＝2，PE＝2．
在等腰直角三角形EFP中，
可得EF＝PF＝2，
所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝．
板块命题点专练（十三）
命题点一 椭圆
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·广东高考)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
解析：选B 由左焦点为F1(－4,0)知c＝4．又a＝5，
∴25－m2＝16，解得m＝3或－3．又m＞0，故m＝3．
2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝．①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝．②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝．
故选A．
3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．
4．(2015·浙江高考)椭圆＋＝1(a＞b＞0 )的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ．
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|．
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝．
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，
∴a＝＝c，故e＝＝．
答案：
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意得＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4．
所以C的方程为＋＝1．
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝．
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－．
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
命题点二 双曲线
命题指数：☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题
1．(2016·全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
解析：选A 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m22．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A． B．2
C． D．
解析：选D 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴点M的坐标为．
∵点M在双曲线上，
∴－＝1，解得a＝b，
∴c＝a，e＝＝．故选D．
3．(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．2
解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
5．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________．
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝．
∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b．
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2．
答案：2
命题点三 抛物线
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选B 由题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆的方程为＋＝1．
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由椭圆的对称性可知|AB|＝2|yA|＝6．
2．(2015·浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1．在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝．
3．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝ ＝ ＝．
答案：
4．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，
或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，
故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0．
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0．
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0．
(2)存在符合题意的点．理由如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2．
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0．
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a．
从而k1＋k2＝＋
＝＝．
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
命题点四 圆锥曲线中的综合问题
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高
题型：解答题
1．(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2．
解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0．
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为．
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2．
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0．
解得y＝0或y＝，
所以y1＝．
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝．
(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0．
由x1·(－2)＝，得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝．
由题意，设直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝．
由2|AM|＝|AN|，得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0．
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．
f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，
所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增．
又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，
因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，
所以＜k＜2．
2．(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|．
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，
从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4．
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|MN|＝|x1－x2|＝．
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
点A到直线m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4 ．
故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12．
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，
故四边形MPNQ的面积为12．
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8)．
板块命题点专练（十二）
命题点一 直线的方程、两条直线的位置关系
命题指数：☆☆☆
难度：低
题型：选择题
1．(2013·天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．1
C．2 D．
解析：选C 由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2．
2．(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 ( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选D 依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0．故选D．
命题点二 圆的方程、直线与圆的位置关系
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D 圆的半径r＝＝，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：选B ∵A(1,0)，B(0，)，C(2，)，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为，故中心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝．
3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(00)，
则解得
所以圆的标准方程为2＋y2＝．
答案：2＋y2＝
4．(2015·山东高考)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
解析：如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，|OP|＝＝2，又|OA|＝|OB|＝1，可以求得|AP|＝|BP|＝，∠APB＝60°，故·＝××cos 60°＝．
答案：
5．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π．
答案：4π
6．(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
解析：如图所示，圆心在直线x＝2上，所以切点A为(2,1)．
设圆心C为(2，t)，由题意，
可得|OC|＝|CA|，
故4＋t2＝(1－t)2，
所以t＝－，半径r2＝．
所以圆C的方程为
(x－2)2＋2＝．
答案：(x－2)2＋2＝
7．(2014·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________．
解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝?a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2．
答案：2
8．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
解析：由题意，圆心与点P的连线的斜率kOP＝2，
∴切线的斜率k＝－．
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0．
答案：x＋2y－5＝0
9．(2016·全国丙卷)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，
∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案：4
10．(2014·北京高考)已知椭圆C：x2＋2y2＝4．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．
因此a＝2，c＝．
故椭圆C的离心率e＝＝．
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0．
因为OA⊥OB，
所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．
当x0＝t时，y0＝－，
代入椭圆C的方程，得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±．
圆心O到直线AB的距离d＝．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，
直线AB的方程为y－2＝(x－t)．
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0．
d＝ ．
又x＋2y＝4，t＝－，
故d＝＝＝．
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
11．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1．
因为直线l与圆C交于两点，
所以<1，
解得所以k的取值范围为．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0．
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8．
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1．
故圆心C(2,3)在直线l上，
所以|MN|＝2．
板块命题点专练（十五）
命题点一 算法
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题
1．(2016·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0．
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4．
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4．故选B．
2．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )
A．0 B．2
C．4 D．14
解析：选B a＝14，b＝18．
第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B．
3．(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D 第一次循环：M＝，a＝2，b＝，n＝2；第二次循环：M＝，a＝，b＝，n＝3；第三次循环：M＝，a＝，b＝，n＝4，则输出M＝，选D．
4．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0．01，则输出的n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 运行第一次：S＝1－＝＝0．5，m＝0．25，n＝1，S>0．01；
运行第二次：S＝0．5－0．25＝0．25，m＝0．125，n＝2，S>0．01；
运行第三次：S＝0．25－0．125＝0．125，m＝0．062 5，n＝3，S>0．01；
运行第四次：S＝0．125－0．062 5＝0．062 5，m＝0．031 25，n＝4，S>0．01；
运行第五次：S＝0．031 25，m＝0．015 625，n＝5，S>0．01；
运行第六次：S＝0．015 625，m＝0．007 812 5，n＝6，S>0．01；
运行第七次：S＝0．007 812 5，m＝0．003 906 25，n＝7，S<0．01．
输出n＝7．故选C．
命题点二 抽样方法
命题指数：☆☆
难度：低
题型：选择题
1．(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法
C．分层抽样法 D．随机数法
解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
2．(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A．90 B．100
C．180 D．300
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180．
命题点三 用样本估计总体
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：低、中
题型：选择题、解答题
1．(2014·四川高考)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体 B．个体
C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本
解析：选A 5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A．
2．(2015·重庆高考)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下图，则这组数据的中位数是( )
0
8
9
1
2
5
8
2
0
0
3
3
8
3
1
2
A．19 B．20
C．21．5 D．23
解析：选B 由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为＝20．
3．(2015·广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表．
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0．01%)?
解：(1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，故所有样本数据的编号为4n－2，n＝1,2，…，9．其数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37．
(2)＝＝40．
由方差公式知，s2＝(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝．
(3)因为s2＝，所以s＝∈(3,4)，
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于在区间37,43]内的人数，即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为≈63．89%．
4．(2016全国乙卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现在决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年作用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0．5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解：(1)当x≤19时，y＝3 800；
当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以y与x的函数解析式为
y＝(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0．46，不大于19的频率为0．7，故n的最小值为19．
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 000×90＋4 500×10)＝4 050．
比较两个平均数可知，购买一台机器的同时应购买19个易损零件．
命题点四 回归分析与独立性检验
命题指数：☆☆☆
难度：高
题型：选择题、解答题
1．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出y(万元)
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0．76，＝－．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11．4万元 B．11．8万元
C．12．0万元 D．12．2万元
解析：选B 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0．76×10＝0．4，
∴当x＝15时，＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
2．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46．6
563
6．8
289．8
1．6
1 469
108．8
表中wi＝，＝i．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ ．
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6．8＝100．6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100．6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100．6＋68．
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100．6＋68＝576．6，
年利润z的预报值＝576．6×0．2－49＝66．32．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0．2(100．6＋68)－x＝－x＋13．6＋20．12．
所以当＝＝6．8，即x＝46．24时，取得最大值．
故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．
板块命题点专练（十四）
命题点一 排列、组合
命题指数：☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、填空题
1.(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.
2.(2015·福建高考)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：选B 因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.
3．(2015·重庆高考)在区间0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
解析：设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个负根分别为x1，x2，
则有解得故所求概率P＝＝.
答案：
命题点二 古典概型
命题指数：☆☆☆☆
难度：中
题型：选择题、解答题
1.(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则 红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
解析：选C 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.
2．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.
3．(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
4．(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号
分组
频数
1
4,5)
2
2
5,6)
8
3
6,7)
7
4
7,8]
3
(1)现从融合指数在4,5)和7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解：(1)融合指数在7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在4,5)和7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．
所以所求的概率P＝.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.
5．(2014·山东高考)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，
则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
6．(2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解：(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
7．(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
第十章
2．(文科)(2017·东北四市联考)为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动)．
(1)如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，求女志愿者被抽到的人数；
(2)如果从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护)，任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？
解：(1)用分层抽样的方法，每个志愿者被抽中的概率是＝，
∴女志愿者被抽中的有18×＝6(人)．
(2)喜欢运动的女志愿者有6人，分别设为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D懂得医疗救护，
则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，
其中2人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．
设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件K，则P(K)＝＝.
2．(文科)(2016·开封市第一次模拟)甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用c表示．(把频率当作概率)
甲
乙
9 8
7
5
8 4 2 1
8
0 0 3 5
5 3
9
0 2 c
(1)假设c＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
(2)假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
解：(1)若c＝5，则派甲参加比较合适，理由如下：
甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)
＝85，
乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，
s＝(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
s＝(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
∵甲＝乙，s∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
(2)若乙>甲，则(75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c)>85，
∴c>5，∴c＝6,7,8,9，
又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，
∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为.
板块命题点专练（十）
命题点一 合情推理与演绎推理
命题指数：☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2．
答案：F＋V－E＝2
2．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
3．(2015·陕西高考)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…
据此规律，第n个等式可为_________________________________________．
解析：等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋．
答案：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
命题点二 直接证明与间接证明
命题指数：☆☆☆☆
难度：高、中
题型：解答题
1．(2014·江西高考)已知数列{an} 的前 n项和 Sn＝，n∈N*．
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N* ，使得 a1，an，am成等比数列．
解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．
所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2．
(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，
只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，
即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n．
所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
2．(2015·北京高考节选)已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N*}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．
解：(1)6,12,24．
(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．
由an＋1＝可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．
如果k>1，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数．
从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．
命题点三 数学归纳法
命题指数：☆☆
难度：高
题型：解答题
(2015·陕西高考)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝＋x；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1＞0，
Fn＝1＋＋2＋…＋n－2
＝－2＝－＜0，
所以Fn(x)在内至少存在一个零点．
又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，
故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn．
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即－2＝0，故xn＝＋x．
(2)由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，
gn(x)＝，x＞0．
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)．
①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2＜0，
所以f2(x)＜g2(x)成立．
②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)．
那么，当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝＋xk＋1＝．
又gk＋1(x)－
＝，
令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，
则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1
＝k(k＋1)xk－1·(x－1)．
所以当0＜x＜1时，hk′(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；
当x＞1时，hk′(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．
所以hk(x)＞hk(1)＝0，
从而gk＋1(x)＞．
故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．
由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．
板块命题点专练（四）
命题点一 导数的运算及几何意义
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
2．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，
y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由解得
答案：8
命题点二 导数的应用
命题指数：☆☆☆☆☆
难度：高、中
题型：选择题、填空题、解答题
1.(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．2，＋∞) D．1，＋∞)
解析：选D 因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.
2.(2016·全国乙卷)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )
A．－1,1] B.
C. D.
解析：选C f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x＝－cos2x＋acos x＋，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cos x＝t，t∈－1,1]，则－t2＋at＋≥0在－1,1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在－1,1]上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，则解得－≤a≤，故选C.
3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选A 设y＝g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.
令g(a)＝ln a＋a－1，
则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
5．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，
f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－＞0.
设g(x)＝ln x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；
②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.
综上，a的取值范围是(－∞，2]．
6．(2016·全国丙卷)设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，
最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln ＜－1，
即1＜＜x.
(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
则g′(x)＝c－1－cxln c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
7．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
②设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a＞－，则ln(－2a)＜1，
故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，
在(ln(－2a)，1)上单调递减．
若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.
所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，
在(1，ln(－2a))上单调递减．
(2)①设a＞0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln ，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，所以f(x)有两个零点．
②设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点．
③设a＜0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点；若a＜－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
