1.1探索勾股定理教案(共3课时)

《探索勾股定理》（一）
【知识与能力目标】
掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
【知识与能力目标】
经历探索勾股定理的过程，体验数学学习探究的方法。经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想。
【情感态度价值观目标】
进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感。
【教学重点】
勾股定理的发现及其简单应用。
【教学难点】
勾股定理的发现。
教学方法
本课运用“探究式”“启发式”“开放式”的教学方法，运用多媒体等手段充分调动学生参与课堂学习的积极性，鼓励学生积极思考并实现合作学习。
教学过程
：创设情境，引发思考――自主探索，合作交流――追溯历史，激发情感――应用拓展，能力提升――回顾反思，提炼升华――布置作业，课堂延伸。
（一）、创设情境，引发思考
五巧板的制作（动手操作，合作探究）
·教师介绍“五巧板”的制作方法，学生拿出准备好的硬纸板制作“五巧板”。
·步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI,CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
利用五巧板拼“青朱出入图”。
2．取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形，你能拼出来吗？
3．用上面的两幅五巧板，还可拼出其它图形，你能验证勾股定理吗？
4．利用五巧板还能通过怎样拼图来验证勾股定理？
可能的拼图方案：
（二）、自主探索，合作交流
[探究活动1]
问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系吗？
问题2：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？
问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？
教师与学生行为：对于问题（2）、（3）教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论。问题（3）可让学生在自己准备好的小方格上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，用字母表示三个正方形面积之间的数量关系，进而发现了等腰直角三角形三边的特殊关系。并在小组内交流，教师适当引导，深入学生当中，倾听他们的想法。
教学效果预估与对策：对等腰直角三角形三边性质的探索，学生们探究欲望会很强烈，小组交流想法也会达成共识，对于验证三个正方形面积之间的关系，在方法上会各有千秋。教师同时辅之多媒体的动态演示，使教学效果更直观，利于学生接受，顺利突破难点。
设计意图：通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进。经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律。探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力。
[探究活动2]
做一做：
问题1：请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？
问题2：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
教师与学生行为：教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程。计算正方形C的面积不易求出，教师及时点拨，同时借助多媒体动态演示。
教学效果预估与对策：根据探索等腰直角三角形三边关系过程，学生在对探讨一般直角三角形三边性质有了一定基础。计算正方形C的面积利用分割法和把它看做边长是整数的大正方形面积的一半很容易想到，但拼凑法会有一定困难，教师利用多媒体动态演示，从而 化难为易，得出直角边为整数的直角三角形三边的特殊关系。
设计意图：此环节设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，让学生经历从特殊到一般的过程，体会事物由特殊到一般的变化规律,发展学生的合情推理能力。
议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2 +b2=c2
教师与学生行为：学生观察计算，教师多媒体动态演示。
教学效果预估与对策：此环节在探究1、2的基础上，预计学生能大多数独立解决，从而进一步验证了有且只有直角三角形才满足a2+b2=c2。
设计意图：经历从特殊到一般的探索过程，学生以初步认识到直角三角形的特有性质，但学生已有的认知基础会不断地向学生提示锐角、钝角三角形是否也具有这样的性质？此环节的设计符合学生的认知特点，通过与锐角三角形、钝角三角形的对比，进一步强调直角三角形三边关系的特征。
（三）、追溯历史，激发情感
介绍勾股定理的历史，列举了东西文化中对勾股定理的发现，介绍了一些著名的人物、著作和学派。如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……这些知识足以激发他们的兴趣，让学生更深刻的体会勾股定理所蕴涵的文化价值。

商 高 《周髀算经》 毕达哥拉斯
教师与学生行为：老师介绍有关勾股定理的历史，学生认真对比中西方文化，增强对勾股定理的进一步了解。
教学效果预估与对策：教师利用多媒体辅助演示，使知识更系统。
设计意图：介绍有关勾股定理的历史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础。
（四）、应用拓展，能力提升
例1：在Rt△ABC中，∠C=90?
已知：a=6, b=8，求c;
已知：b=5，c=13，求a.
练习1：在Rt△ABC中，
已知：∠A=30°，a=2，求b,c;
已知：∠A=45°，c=2，求a,b。
练习2：错例辨析
△ABC的两边为3和4，求第三边
解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。
若已知△ABC为直角三角形，则第三边为5
例2：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水深为X尺，则芦苇长为（X＋1）尺，由勾股定理得
（X＋1）2＝X2＋（）2
解得　X＝12, ∴X＋1＝13
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。
教师与学生行为：教师出示问题，学生解决问题。对于个别有困惑的同学，教师及时点拨。
教学效果预估与对策：对于例1学生很容易独立完成。练习1学生有可能考虑不到直角的两种情况，思维定势在∠C就是直角。练习2的完成学生间相互讨论，能够明晰。例2由师生共同分析完成。
设计意图：设计了一个层层深入的问题串，引导学生由浅入深地思考问题，悟出一类问题的解题规律。另外，由于学生对知识的理解程度有所差异，因此，习题的设置体现层次性。在新知运用过程中，也设计小组合作交流，鼓励学生主动参与学习活动，尝试用自己的方式去解决问题，发表自己的看法。
（五）、回顾反思，提炼升华
小结：通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟！
教师与学生行为：教师引导学生从知识、过程、方法、情感态度等方面发表看法，学生积极进行自我总结，相互补充，巩固探究成果。
故事引入——探索勾股定理—— ——
——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方——定理的应用与拓展
教学效果预估与对策：预计学生总结的是本课知识方面的收获与探索过程中的经验和教训，以及在与他人合作中得到的快乐。教师要加以引导，师生之间相互加以完善。
设计意图：学生通过对本节知识的提炼，归纳出有关知识与技能方面的一般结论以及在做数学活动中所遇到的困惑，感悟到古代数学家在探索新知的领域中所付出的艰辛，做学问有乐趣亦有苦趣，培养学生良好的个性和思维品质。
（六）、布置作业，课堂延伸习题
1.3 1题
《探索勾股定理》（二）
【知识与能力目标】
学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想。
【过程与方法目标】
经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法。
【情感态度价值观目标】
培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用。
【教学重点】
能熟练应用拼图法证明勾股定理。
【教学难点】
用面积证勾股定理。
教学过程
一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题
（1）回顾上节探究勾股定理的过程，导入新课。
二、出示学习目标
能用拼图法验证勾股定理并会应用。
三、新课
（一）探究勾股定理
如图，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与同学们交流。在同学操作的过程中，教师提问：大正方形的面积可表示为什么？
同学们回答有两种可能：（1） （2）
在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
请同学们对上式进行化简，得到：
即
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。课件展示历史上国内外验证勾股定理的方法及历史。
（二）、讲解例题
例1飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC的∠C＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ ABC的斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得
即 BC=3千米
飞机 20秒飞行3 千米。那么它 l 小时飞行的距离为：
（千米／时）
答：飞机每小时飞行 540千米。
例2 我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
（学生自己画图完成，全班交流）
（三）、拓展练习及课堂练习
1.(ABC的两边AB=5，AC=12,则BC=13 ( )
2.( ABC的a=6，b=8,则c=10 ( )
1.在( ABC中, ∠C=90°
(1)若c=10,a:b=3:4，则a=____，b=___。
(2)若a=9,b=40，则c=______。
2.在( ABC中，∠C=90°,若AC=6,CB=8,则(ABC面积为_____,斜边为上的高为______。
2.拓展练习
1.一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
四、学生谈收获
五、布置作业
P6 知识技能 1题。
《探索勾股定理》（三）
1.理解“无字证明”的意义，掌握利用拼图的方法来证明勾股定理。
2.感受数形结合的数学思想，培养利用这一思想解决问题的能力。
3.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过了解有关勾股定理的历史激发学生对科学知识的热爱。
【教学重点】
利用拼图的方法来证明勾股定理。
【教学难点】
设计拼图。
课前导入
勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。它有四百多种证明！卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类，很多人都把能证明勾股定理来作为自己的荣耀，以寻找这个定理的证明方法来检验自己的智力，那么今天我们也来试试吧。
教学过程
1.核心回顾
勾股定理的内容是什么？
（2）如图、为修通铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km，BC=4km，若每天开凿隧道0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？
2.拼图方法一
利用大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和
即：（a+b）2=c2+ab/2*4 化简得：a2+b2=c2
3.拼图方法二
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。
2002年在北京举行的世界数学家大会，把弦图作为一个会标
哪位同学能写出利用这个拼图证明勾股定理得过程
c2=ab/2*4+(b-a)2
化简得：a2+b2=c2
1.美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明
S梯形= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形= ab+ ba+ c2 = (2ab+c2) ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2
4.达˙芬奇的研究
利用上图得变换得到勾股定理（对应课件演示）
5.介绍毕达哥拉斯树的特点：
你能说出毕达哥拉斯树的特点吗？为什么？与你的同伴交流。
（每一层所有正方形的面积的和都相等，等于最大的正方形的面积）
教学反思
勾股定理的证明有数百种方法：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁。是培养学生数学素养的良好工具，一定要让学生感兴趣，认识到数学的神奇，充分利用图形这一工具，学会分析、设计、拼接。