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姓名
学号
分数
《必修四专题六三角函数模型的简单应用》测试卷（A卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距离（米）与时间（秒）满足关系式，则有
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵水轮的半径为3，水轮圆心距离水面2米，，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要秒，∴，∴，故选C.
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(A>0，ω>0，0<φ<)的图象如图所示，则t＝秒时，电流强度I＝( )
A．－5安
B．5安
C．5安
D．10安
【答案】A
3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)
的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
B．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
C．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
D．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N
)
【答案】D
【解析】根据题意，T＝
2(7－3)＝8，ω＝＝，由
得
当x＝3时，2sin＋5＝7，得φ＝－.∴f(x)＝2sin＋5.故选D.
4．一个大风车的半径为8，12旋转一周，它的最低点，离地面2，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
5．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P(x，y)．若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
【答案】C
【解析】由题意，函数的周期为T＝60，∴ω＝＝.设函数解析式为y＝sin(秒针是顺时针走动)．∵初始位置为P0，∴t＝0时，y＝.∴sinφ＝，φ可取.∴函数解析式为y＝sin.故选C.
6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )
【答案】C
7.已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin160πt＋110.其中f(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
【答案】C
【解析】由题意可得f＝＝＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.
8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】由图知－3＋k＝2，k＝5，y＝3sin＋5，ymax＝3＋5＝8.故选C.
9.
【2017届福建省泉州市模拟三】海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）
A.
至
B.
至
C.
至
D.
至
【答案】C
10.
已知函数的部分图象如图所示，，则正确的选项是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数的图象可知，即，因为，所以，因为
，所以，所以，解得，故选A．
11．已知函数向左平移个单位后，得到函数，下列关于的说法正确的是（
）
A．图象关于点中心对称
B．图象关于轴对称
C．在区间单调递增
D．在单调递减
【答案】C
【解析】函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为．对于A，当时，．图象不关于点中心对称，∴A不正确；对于B，当时，，图象不关于轴对称，∴B不正确；对于C，的周期是．当时，函数取得最大值，时，函数取得最小值，∵，∴在区间单调递增，∴C正确；对于D，的周期是．当时，函数取得最大值，∴在单调递减不正确，∴D不正确；故选：C．
12.
将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5
cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点间的距离d表示成t
的函数，则d＝_____________，其中t∈.
【答案】10sint.
【解析】如图所示，
OA＝OB＝5，秒针由B均匀地旋转到A的时间为t，则∠AOB＝t，取AB中点为C，则OC⊥AB，从而∠AOC＝∠AOB＝t.
在Rt△AOC中，AC＝OAsin∠AOC＝5sint，∴d＝AB＝10sint，t∈.
故填10sint.
14．某实验室一天的温度（单位：
）随时间（单位：
）的变化近似满足函数关系：
，
，该实验室这一天的最大温差为__________．
【答案】4
【解析】
因为，所以，
当时，即时，函数取得最大值为，
当时，即时，函数取得最小值为，
所以一天的最大温差为．
15.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5
s内往复运动的次数为________次．
【答案】25.
【解析】∵f＝＝＝＝50，
∴0.5
s内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25.
16.某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3
m，楼与楼之间相距15
m，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第______层的房(地球上赤道南北各23°26′处的纬线分别叫南北回归线．冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上)．
【答案】3.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．画出函数y＝|cosx|的图象并观察其周期．
【答案】见解析.
【解析】函数图象如图所示．
从图中可以看出，函数y＝|cosx|是以π为周期的波浪形曲线．
我们也可以这样进行验证：|cos(x＋π)|＝|－cosx|＝|cosx|，
所以，函数y＝|cosx|是以π为周期的函数．
18.如图，某大风车的半径为2
m，每12
s旋转一周，它的最低点O离地面0.5
m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．
(1)求函数h＝f(t)的关系式；
(2)画出函数h＝f(t)的图象．
【答案】（1）y＝－2cos＋2，h＝f(t)＝－2cos＋2.5.（2）见解析.
【解析】(1)如图，以O为原点，过点O的圆O1的切线为x轴，建立直角坐标系，设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则cosθ＝，
y＝－2cosθ＋2.
又θ＝·t＝，
所以y＝－2cos＋2，h＝f(t)＝－2cos＋2.5.
(2)列表：
t
0
3
6
9
12
h
0.5
2.5
4.5
2.5
0.5
描点连线，即得函数h＝－2cost＋2.5的图象如图所示：
19.
以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．
【答案】6月份盈利最大.
【解析】
由已知条件可得，出厂价格函数关系式为
y1＝2sin＋6，销售价格函数关系式为
y2＝2sin＋8，则利润函数关系式为
y＝m(y2－y1)
＝m[2sin＋8－2sin－6]
＝－2msinx＋2m.
当x＝6时，y＝2m＋2m＝(2＋2)m，
即6月份盈利最大．
20.
设函数图像的一条对称轴是直线．
（1）求并用“五点法”画出函数在区间上的图像；
（2）求函数的单调增区间；
【答案】（1），图象见解析；（2）．
【解析】（1）的图像的对称轴，
由
0
x
0
y
－1
0
1
0
故函数
（2）由题意得
得：
所以函数
21.
已知电流I与时间t的关系式为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图是I=Asin(ωt+φ)
在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式;
(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少
【答案】（1）I=300sin；（2）943.
【解析】试题分析：（1）由已知中函数的图象，我们可以分析出函数的最大值，最小值，周期及特殊点坐标，根据函数的解析式中参数与函数性质的关系，易得到函数的解析式．
（2）由已知中如果t在任意一段秒内I能取到最大值和最小值,
I=Asin(ωt+φ)的周期T≤即可求解.
(2)∵t在任一段秒内I能取到最大值和最小值,
∴I=Asin(ωt+φ)的周期T≤,
即,ω≥300π≈943.
∴ω的最小正整数值是943.
22.
弹簧挂着的小球作上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sin(2t－)，
t∈[0，＋∞)．
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)小球开始振动的位置在哪里？
(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？
(4)小球经过多长时间往复振动一次？
(5)小球1s能振动多少次？
【答案】（1）见解析；(2)
小球开始振动时的位置为(0，－)(平衡位置的下方cm处)．
（3）2cm；（4）0.318次/s．
【解析】(1)画出h＝2sin的简图(长度为一个周期)．
按五个关键点列表：
t
2t－
0
π
2π
2sin
0
2
0
－2
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h＝2sin(t≥0)在一个周期的简图，如图所示．
(2)t＝0时，h＝2sin＝－，即小球开始振动时的位置为(0，－)(平衡位置的下方cm处)．班级
姓名
学号
分数
《必修四专题六三角函数模型的简单应用》测试卷（B卷）
（测试时间：120分钟
满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．
2.
已知点是单位圆上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动，则点的纵坐标关于运动时间（单位：
）的函数关系为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意可知，
时，
，对于B
时，
，可排除；对于C,
时，
，可排除；对于D,
时，
,但是不符合“按逆时针方向以角速度做圆周运动”，可排除.故选A.
3.
电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图像如右图所示，则当t＝
秒时，电流强度是( )
A．－5
A
B．5
A
C．5
A
D．10
A
【答案】A
4．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得，可采用赋值法代入排除的方法，将代入四个选项中，分别求出函数值，因为此时刚好是一次高潮，函数值为15，发现只有A项选正确，故答案选A.
5.函数的部分图象如图所示，则的值分别是
A．2，
B．2，
C．4，
D．4，
【答案】A
【解析】由题意得：又而，所以
6．的部分图象如图所示，把的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的单调递增区间为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
7．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图像可以近似的看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】排除法：∵可以近似看成的图象，∴由可排除C、D，将代入，排除B.故选A.
8．将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于对称，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
9．已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（
）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
C.函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】由图形可知，函数的最小正周期，所以A正确；由得，又，所以，，
又，即，
函数的图象向右平移的图象对应的函数的解析式为；时，，因此函数的图象关于直线对称；当时，，函数有增有减，D不对.故选D.
10．已知函数的部分图象如图所示，若
，则下列说法错误的是（
）
A.
B.函数的一条对称轴为
C.为了得到函数的图象，只需要将函数
的图象向右平移个单位
D.函数的一个单调递减区间为
【答案】D
【解析】对于A：由函数图形，，，将点代入，，，，故A正确；，对于：B，由，将，求得，故B正确；C选项，将向右平移个单位，得故C正确；对于D，，，，选项D错误，故答案选：D.
11.
函数y＝的图像如下图，则( )
A．k＝，ω＝，φ＝
B．k＝，ω＝，φ＝
C．k＝－，ω＝2，φ＝
D．k＝－3，ω＝2，φ＝
【答案】A
11.
已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（
）
（A）在区间上单调递减
（B）在区间上单调递增
（C）在区间上单调递减
（D）在区间上单调递增
【答案】B
【解析】依题
,
，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴
，，故选B．
12.
给出下列命题：①存在实数，使；②若，是第一象限角，且，则；③函数是偶函数；④函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．
其中正确命题的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值为
.
【答案】
【解析】左移得到，是奇函数，故，最小值为.
14．如图所示函数的部分图像，现将函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，则函数的解析式为____________．
【答案】
【解析】
因为,所以,故,又,即,也即,所以,向右平移个单位后得,故应填答案.
15.
设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为x2＋y2＝1.已知时间t＝0时，观光箱A的坐标为，则当0≤t≤24时(单位：分)，动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递减区间是________．
【答案】[2，14]．
16.
下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中，，）来近似描述，则该港口在11:00的水深为___________。
【答案】
【解析】从数表可以看出最大值和最小值分别为，周期为,即且，解之得，所以，所以当时,
,故应填.
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
已知函数的图象（部分）如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）（2）最大值是2，最小值是．
18．设.
（1）求在上的最大值和最小值；
（2）把的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的单调减区间.
【答案】（1）的最大值是，最小值是；（2）单调减区间是.
【解析】（1）当时，，当时，函数有最小值，且最小值为
，当时，函数函数有最大值，且最大值为；
（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
的图象，
再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，
∴.
由.
∴的单调减区间是.
19．受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下面是该港口在某季节每天水深的数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
(1)根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
【答案】（1）y＝3sint＋10(0≤t≤24)．（2）最早能在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时．
20.
一根长（单位：
）的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移（单位：
）与时间（单位：
）的函数关系是：
，
，（其中）；
（1）当时，小球离开平衡位置的位移是多少？
（2）若，小球每1能往复摆动多少次？要使小球摆动的周期是1，则线的长度应该调整为多少？
（3）某同学在观察小球摆动时，用照相机随机记录了小球的位置，他共拍摄了300张照片，并且想估算出大约有多少张照片满足小球离开平衡位置的距离（位移的绝对值）比时小球离开平衡位置的距离小.为了解决这个问题，他通过分析，将上述函数化简为.请帮他画出的图象并解决上述问题.
【答案】（1）（2）小球每能往复摆动次.
线的长度应该调整为.（3）300
【解析】试题分析：
（1）把代入已知可得；
（2）由周期公式周期 求得周期，得频率，反过来可求得；
（3）画出函数，只要再解不等式可得．
（3）的图象，
由题意可知，设事件
“小球离开平衡位置的距离（位移的绝对值）比时小球离开平衡位置的距离小”，只需，解得或，由几何概型可知，
，所以估计符合条件的大约有张.
21．已知，如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(t≥0，－＜φ＜)的图象．
(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值与最小值－，那么正整数ω的最小值是多少？
【答案】（1）I＝300sin(t≥0)．（2）629.
【解析】(1)由图知，A＝300，
T＝－＝，
∴ω＝＝＝100π.
∵－＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ＝＋2kπ.
∵φ∈，∴φ＝.
∴I＝300sin(t≥0)．
(2)问题等价于T≤，即≤，
∴ω≥200π.
∴最小的正整数ω为629.
22.
平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：
0
3
6
9
12
15
18
21
24
1.5
2．4
1.5
0．6
1.4
2.4
1.6
0.6
1.5
（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从
①，
②，③
中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）
中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全。
【答案】(1)
选②做为函数模型，
;(2)
这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.
才能确保集训队员的安全.
【解析】试题分析
：（1）先画出散点图，可知选②做为函数模型，同时可求出各参数，
,
代最值点可求。（2）由（Ⅰ）知：
,令，可解得
。
试题解析：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
-
依题意，选②做为函数模型，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
令，即
又
∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，
才能确保集训队员的安全.
