第十三章
轴对称
【教学目标】
知识技能：1、理解掌握等腰三角形的性质.
2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
数学思考：1、观察等腰三角形的对称性发展形象思维.
2、通过实践、
观察
、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
解决问题：1通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力.
2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识.
情感态度：通过引导学生对图形的观察、发现激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.
【教法指导】
本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，担负着进一步训练学生学会分析、学会证明的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用；而“等边对等角”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，本节课是第三课时研究等边三角形的基础，是全章的重点之一.
【教学过程】
☆探究新知☆
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做_____________．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是_____________图形，它的对称轴是_____________
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“_____________”）．
2．等腰三角形的__________，底边上的_____、底边上的___互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，
如图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
☆尝试应用☆
1．一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm．则它的周长为________cm．
2．一个等腰三角形的周长为40cm．
（1）求腰长的取值范围；
（2）若一边长为10cm，求另外两边长．
☆成果展示☆
1．如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB．AC于D．E两点，若∠A=40°，则∠EBC=
°．
2．如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是
．
☆能力提升☆
1．如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数．
☆课堂小结☆
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
☆课堂提高☆
1．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（
）
A．30°
B．36°
C．45°
D．70°
2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（
）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
3．腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=
度．
4．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是
．
5．如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
6．已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；求证：AD=AE．第十三章
轴对称
课堂练习：
1．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（
）
A．30°
B．40°
C．70°
D．80°
2．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（
）
A．7cm
B．3cm
C．7cm或3cm
D．8cm
3．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为______________cm．
4．等腰三角形的周长为28，其一边长为8，则另两边长为
．
5.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=
°．
6.如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为
cm．
7．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．
8．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
求证：BF=2AE；
课后练习：
1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（
）
A．65°
B．60°
C．55°
D．45°
2．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（
）
A、∠C＝2∠A
B、BD＝BC
C、△ABD是等腰三角形
D、点D为线段AC的中点
3．下列命题中的假命题是（
）
A、等腰三角形的顶角一定是锐角
B、等腰三角形的底角一定是锐角
C、等腰三角形至少有两个角相等
D、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合
4．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为
．
5．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为
．
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是
．
7．已知：如图，中，是腰的垂直平分线，求：的度数.
8．证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
9.如图，△ABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE.求证：点P是AB的中点.第十三章
轴对称
（时间：25分，满分60分）
班级
姓名
得分
1．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠DAC的度数为（
）
A.90°
B.80°
C.70°
D.60°
2.
（5分）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE的度数是（）
A.20°
B.30°
C.40°
D.70°
3．（5分）若，y满足|-3|+=0，则以，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（
）
A.12
B．14
C．15
D．12或15
4．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（
）
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
5.（5分）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是
．
6．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AD=BD．则∠B等于
．
7．（5分）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为
．
8．（5分）已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是
．
9．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．
10.（12分）如图，在中，，．
（1）直接写出的大小（用含的式子表示）；
（2）以点为圆心、长为半径画弧，分别交、于、两点，并连接、．若=30°，求的度数．第十三章
轴对称
（时间：25分，满分60分）
班级
姓名
得分
1．（5分）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠DAC的度数为（
）
A.90°
B.80°
C.70°
D.60°
【答案】A
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
2.
（5分）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE的度数是（）
A.20°
B.30°
C.40°
D.70°
【答案】B.
【解析】
试题分析：由折叠的性质可得，∠A=∠ABE=40°，已知AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ABC=∠C=70°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．故答案选B.
考点：翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
3．（5分）若，y满足|-3|+=0，则以，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（
）
A.12
B．14
C．15
D．12或15
【答案】C．
【解析】
试题分析：根据题意得，-3=0，y-6=0，解得=3，y=6，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，∵3+3=6，∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长=3+6+6=15，所以，三角形的周长为15．
故选C．
考点：1.等腰三角形的性质；2.绝对值；3.算术平方根；4.三角形三边关系．@
4．（5分）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（
）
A．30°
B．40°
C．45°
D．60°
【答案】B．
考点：等腰三角形的性质．
5.（5分）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是
．
【答案】120°．
【解析】
试题分析：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为：120°．
考点：等腰三角形的性质．
6．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AD=BD．则∠B等于
．
【答案】30°．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质．
7．（5分）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为
．
【答案】36°
【解析】
试题分析：
∵等腰△ABC的底角为72°，
∴∠A=180°﹣72°×2=36°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质@
8．（5分）已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是
．
【答案】＜＜5．
考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组
9．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．
【答案】30°
【解析】
试题分析：已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．
试题解析：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DB=AD
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故答案为：30°．
考点：等腰三角形的性质@
10.（12分）如图，在中，，．
（1）直接写出的大小（用含的式子表示）；
（2）以点为圆心、长为半径画弧，分别交、于、两点，并连接、．若=30°，求的度数．
【答案】（1）
（2）67.5°
考点:等腰三角形；三角形的内角和@第十三章
轴对称
课堂练习：
1．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（
）
A．30°
B．40°
C．70°
D．80°
【答案】A．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．
2．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（
）
A．7cm
B．3cm
C．7cm或3cm
D．8cm
【答案】B
【解析】
试题分析：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系
3．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为______________cm．
【答案】15．
【解析】
试题分析：分两种情况： 3为腰，6为底边时，根据三角形三边关系可得，3、3、6构不成三角形； 6为腰，3为底边时，三角形的三边为6、6、3，所以该三角形的周长为15．
考点：等腰三角形的性质；分类讨论．@
4．等腰三角形的周长为28，其一边长为8，则另两边长为
．
【答案】8、12或10、10．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
5.如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=
°．
【答案】87．
【解析】
试题分析：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），
∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，
∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，
∴∠A=87°．故答案为：87．
考点：线段垂直平分线的性质．
6.如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为
cm．
【答案】6
考点：线段垂直平分线的性质
7．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．
【答案】BD=AE，AE⊥BD
【解析】
试题分析：先证∠ABD=∠CAE，再证△ABD≌△CAE即可得出答案．
试题解析：BD=AE，AE⊥BD；
证明：∵AB∥CE，∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD=AE．
∴∠ABD+∠EAB=∠CAE+∠EAB=90°
∴AE⊥BD
∴BD=AE，AE⊥BD.
考点：等腰三角形的性质.
@
8．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
求证：BF=2AE；
【答案】见解析
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；@
课后练习：
1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（
）
A．65°
B．60°
C．55°
D．45°
【答案】A．
考点：线段垂直平分线的性质．
2．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（
）
A、∠C＝2∠A
B、BD＝BC
C、△ABD是等腰三角形
D、点D为线段AC的中点
【答案】D
【解析】
试题分析：根据∠A=36°，AB=AC可得：∠ABC=∠C=72°，根据BD平分∠ABC可得：∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，则∠C=2∠A，BD=BC，△ABD是等腰三角形.
考点：等腰三角形的性质@
3．下列命题中的假命题是（
）
A、等腰三角形的顶角一定是锐角
B、等腰三角形的底角一定是锐角
C、等腰三角形至少有两个角相等
D、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合
【答案】A
【解析】
试题分析：等腰三角形的底角一定是锐角；等腰三角形至少有两个角相等；等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合.
考点：等腰三角形的性质
4．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为
．
【答案】70°，55°，55°或70°，70°，40°．
【解析】
试题分析：分两种情况， 当顶角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°，55°，55°；
当底角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°，70°，40°．所以这个三角形的三个角应该为70°，55°，55°或70°，70°，40°．
考点：等腰三角形的性质；邻补角的定义；三角形内角和定理．
5．已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为
．
【答案】20．
考点：分类讨论；等腰三角形的性质．
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是
．
【答案】110°或70°．
【解析】
试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为：110°或70°．
考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．
7．已知：如图，中，是腰的垂直平分线，求：的度数.
【答案】15°．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
8．证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：先根据题意作图，结合图形写出已知，求证，然后再根据已知和图形进行证明．可根据等腰三角形的性质得出相关的等角或相等的线段：DC=BE，∠DCB=∠EBC，BC=CB，可证明△BDC≌△CEB，所以BD=CE，即等腰三角形的两腰上的中线相等．
试题解析：已知：等腰△ABC中，AB=AC，AD=DC，AE=EB，
求证：BD=CE．
考点：等腰三角形的性质．
9.如图，△ABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE.求证：点P是AB的中点.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据可得，
根据可以得到，
根据等腰三角形底边三线合一即可解题.
试题解析：
，
即.
点P是AB的中点.
考点：等腰三角形的性质.第十三章
轴对称
【教学目标】
知识技能：1、理解掌握等腰三角形的性质.
2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算.
数学思考：1、观察等腰三角形的对称性发展形象思维.
2、通过实践、
观察
、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
解决问题：1通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力.
2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识.
情感态度：通过引导学生对图形的观察、发现激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.
【教法指导】
本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，担负着进一步训练学生学会分析、学会证明的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用；而“等边对等角”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，本节课是第三课时研究等边三角形的基础，是全章的重点之一.
【教学过程】
☆探究新知☆
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
☆尝试应用☆
1．一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm．则它的周长为________cm．
【答案】12．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系．
2．一个等腰三角形的周长为40cm．
（1）求腰长的取值范围；
（2）若一边长为10cm，求另外两边长．
【答案】（1）10＜＜20；（2）另外两边长10cm，15cm．
【解析】
试题分析：（1）设腰长为，则底边为40﹣2，利用三角形的任意两边之和大于第三边得到关于的不等式组，解不等式组即可；
（2）根据三角形三边关系和等腰三角形的性质，从当等腰三角形的一腰长为10cm时和当等腰三角形底边长为10cm时，两种情况分析即可．
试题解析：（1）设腰长为，则底边为40﹣2，由题意得
，
解得10＜＜20；
（2）有两种情况，
①当等腰三角形的一腰长为10cm时，其底边长为40﹣10﹣10=20cm；
不能构成三角形．
②当等腰三角形底边长为10cm时，其腰长为=15cm．
故另外两边长10cm，15cm．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．@
☆成果展示☆
1．如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB分别交AB．AC于D．E两点，若∠A=40°，则∠EBC=
°．
【答案】30°．
考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．@
2．如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD的度数是
．
【答案】60°．
【解析】
试题分析：已知∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质
即可得∠BAD=∠BAC=60°．
考点：等腰三角形三线合一的性质．
☆能力提升☆
1．如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．
【答案】100°．
在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=100°．
考点：等腰三角形的性质．@
2．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数．
【答案】45°．
考点：等腰三角形的判定与性质．
☆课堂小结☆
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
☆课堂提高☆
1．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（
）
A．30°
B．36°
C．45°
D．70°
【答案】B
考点：等腰三角形的性质．
2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（
）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
【答案】
【解析】
试题解析：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故选C．
考点：等腰三角形的性质．
3．腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=
度．
【答案】72°．
考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理．@
4．一个等腰三角形的两边分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是
．
【答案】16或17
【解析】
试题分析：①当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16．②当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
5．如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
【答案】40°；40°；50°．50°．
【解析】
试题分析：先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由三角形内角和定理即可求出∠B的度数，根据等腰三角形三线合一的性质即可求出∠BAD的度数．
试题解析：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C==40°；
∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=50°．
考点：等腰三角形的性质．
6．已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；求证：AD=AE．
【答案】证明见解析.
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质．
