第十三章
轴对称
【教学目标】
1、知识目标：掌握等腰三角形的判定定理；会用等腰三角形的判定进行简单的推理
判断及应用.
2、能力训练要求：培养学生对命题抽象概括能力，加强发散思维训练.培养大胆分析，敢于求异，勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品质.
3、情感与价值观要求：
通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.
【教法指导】
本节课是在上一节掌握了等腰三角形的性质的基础后进行的.它既是上节知识的深化和应用，又是下节学习等边三角形和线段的垂直平分线的定理的预备知识.从知识结构看，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,为以后的几何学习提供了重要的证明和计算依据
.
【教学过程】
☆创设情境☆
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
☆探究新知☆
1、思考：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？你能证明吗？
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C
求证：AB=AC
引导学生作辅助线：
2、归纳等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也____（简写成“______________”）
☆尝试应用☆
1．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠DBC＝36°.
（1）求∠1的度数；
（2）求证：BC＝BD＝AD.
2、如图，已知△ABC中，AB=BC，点E是AC边上的中点，过点E作DE∥BC，求证：△BDE是等腰三角形．
☆成果展示☆
已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．
☆能力提升☆
已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
☆课堂小结☆
1、通过这堂课的学习，你学会了哪几种判定等腰三角形的方法？
2、等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？
☆课堂提高☆
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D、E，连接DE，则∠ADE=
°．
2．如图，△ABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE.求证：点P是AB的中点.
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．第十三章
轴对称
（时间：25分，满分60分）
班级
姓名
得分
1．（6分）在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=
°．
2．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠ADB=
度．
3．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的角分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中共有
个等腰三角形.
4.
（6分）在△ABC中，∠A=100°，当∠B=
°时，△ABC是等腰三角形．
5．（12分）一条船从海岛A出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠DBC=68°，∠DAC=34°，求海岛B与灯塔C的距离．
6．（12分）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．
7．（12分）如图，△ABC中，DE∥AB，EF∥AB，∠BED=∠CEF，
（1）试说明△ABC是等腰三角形，
（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系．
A
D
42
B
B
E
D
B
东
B
B第十三章
轴对称
【教学目标】
1、知识目标：掌握等腰三角形的判定定理；会用等腰三角形的判定进行简单的推理
判断及应用.
2、能力训练要求：培养学生对命题抽象概括能力，加强发散思维训练.培养大胆分析，敢于求异，勇于探索的精神和能力，形成良好的思维品质.
3、情感与价值观要求：
通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.
【教法指导】
本节课是在上一节掌握了等腰三角形的性质的基础后进行的.它既是上节知识的深化和应用，又是下节学习等边三角形和线段的垂直平分线的定理的预备知识.从知识结构看，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,为以后的几何学习提供了重要的证明和计算依据
.
【教学过程】
☆创设情境☆
如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
☆探究新知☆
1、思考：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？你能证明吗？
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C
求证：AB=AC
引导学生作辅助线：作BC边上的高AD或作∠BAC的平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD[
2、归纳等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
☆尝试应用☆
1．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠DBC＝36°.
（1）求∠1的度数；
（2）求证：BC＝BD＝AD.
【答案】（1）36°；（2）证明见解析.
考点：1三角形外角；2等角对等边.
@
2、如图，已知△ABC中，AB=BC，点E是AC边上的中点，过点E作DE∥BC，求证：△BDE是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB=∠CBE，等量代换得到∠DEB=∠ABE，即可得到结论．
试题解析：∵△ABC中，AB=BC，点E是AC边上的中点，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠DEB=∠ABE，
∴△BDE是等腰三角形．
考点：等腰三角形的判定与性质．
☆成果展示☆
已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．
【答案】证明见解析
考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．@
☆能力提升☆
已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）点O在∠BAC的角平分线上，理由见解析
（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO并延长交BC于F，
在△AOB和△AOC中，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAF=∠CAF，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定．
☆课堂小结☆
1、通过这堂课的学习，你学会了哪几种判定等腰三角形的方法？
2、等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？
☆课堂提高☆
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D、E，连接DE，则∠ADE=
°．
【答案】36
∴∠ADE=180°﹣72°﹣72°=36°，
故答案为：36
考点：等腰三角形的性质@
2．如图，△ABC中，AC=BC，D、E分别在BC、AC上，AD和BE相交于点F，连接CF交AB于点P，若∠CAD=∠CBE.求证：点P是AB的中点.
【答案】证明见解析.
考点：等腰三角形的性质.
@
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．
【答案】证明见解析
考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．第十三章
轴对称
（时间：25分，满分60分）
班级
姓名
得分
1．（6分）在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=
°．
【答案】32°．
【解析】
试题解析：设∠BAC=，则∠BDC=42°+．
∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC=42°+．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=42°+，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=42°++=42°+2．
∵∠ADC+∠BDC=180°，
∴42°+2+42°+=180°，
解得=32°，
所以∠BAC=32°．
考点：等腰三角形的性质．
2．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠ADB=
度．
【答案】108
【解析】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
在△ABD中，∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
解得∠A=36°，
∴∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°．
故答案为：108．
考点：等腰三角形的性质@
3．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的角分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中共有
个等腰三角形.
【答案】5.
【解析】
试题分析：根据题意可知，是等腰三角形，共5个.
考点：等腰三角形的判定与性质.
4.
（6分）在△ABC中，∠A=100°，当∠B=
°时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40
【解析】
试题分析：直接根据等腰三角形的两底角相等进行解答即可．
∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，
∴∠B==40°．
故答案为：40．
考点：等腰三角形的判定．@
5．（12分）一条船从海岛A出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠DBC=68°，∠DAC=34°，求海岛B与灯塔C的距离．
【答案】海岛B与灯塔C的距离是50海里．
【解析】
试题分析：根据外角的性质得到∠C=∠DBC﹣∠DAC=34°，于是得到∠DAC=∠C，根据等腰三角形的判定得到AB=CB，即可的结论．
试题解析：∵∠DBC=68°，∠DAC=34°，
∴∠C=∠DBC﹣∠DAC=34°，
∴∠DAC=∠C，
∴AB=CB，
∵一条船从海岛A出发，以25海里/时的速度向正东方向航行，2小时后到达海岛B处，
∴AB=25×2=50，
∴CB=AB=50海里．
答：海岛B与灯塔C的距离是50海里．
考点：等腰三角形的判定与性质；方向角．
6．（12分）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．
【答案】∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
【解析】
试题分析：利用AB=AC，可得∠B和∠C的关系，利用AD=BD，可求得∠CAD=∠CDA及其与∠B的关系，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ABC，得到结果．
试题解析：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BD=AD，
∴∠B=∠DAB，
∵AC=DC，
∴∠DAC=∠ADC=2∠B，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B，
又∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．@
7．（12分）如图，△ABC中，DE∥AB，EF∥AB，∠BED=∠CEF，
（1）试说明△ABC是等腰三角形，
（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系．
【答案】(1)说明见解析；（2）AC+AB=四边形EFAD的周长．
【解析】
试题分析：（1）由平行线的性质可得∠EAD=∠F，∠BAF=∠E，进而再通过角之间的转化得出结论；
（2）由平行线的性质可得∠EAD=∠F，∠BAF=∠E，由于∠BED=∠CEF，得到∠C=∠CEF=∠BED=∠B，于是得到EF=CF，DE=DB，即可得到结论．
试题解析：（1）∵DE∥AC
∴∠BED=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠CEF=∠B，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）AB+AC=四边形ADEF的周长，
理由：∵DE∥AC，
∴∠BED=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠CEF=∠B，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠C=∠CEF=∠BED=∠B，
∴EF=CF，DE=DB，
∴AC+AB=CF+AF+AD+BD=EF+AF+AD+DE=四边形EFAD的周长．
考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.平行线的性质．@第十三章
轴对称
课堂练习：
1．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=9，AC=7，则△ADE的周长是
．
【答案】16
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=10，则线段MN的长为
．
【答案】10
【解析】
试题分析：∵MN∥BC
∴∠MEB=∠CBE，∠NEC=∠BCE
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠BCE
∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE
∴ME=MB，NE=NC
∴MN=ME+NE=BM+CN=10
故答案为：10
考点：等腰三角形的判定@
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为
．
【答案】55°．
考点：等腰三角形的性质．@
4．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为
．
【答案】．
考点：1.等腰三角形的性质；2.
三角形外角的性质.
@
5.如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，ED=DC．求证：AB=AC．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：根据SAS得出△ADE≌△ADC，得出∠E=∠C，再根据∠E=∠B，得出∠B=∠C，进而证出AB=AC．
试题解析：∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC
（SAS），
∴∠E=∠C，
又∵∠E=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定@
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．
（1）求证：AE=CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
【答案】见解析
（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠BCE=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
7．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）△OEF为等腰三角形．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
课后练习：
1．如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是
度．
【答案】20或80
【解析】
试题分析：当80°是等腰三角形的顶角时，顶角为80°；
当80°是等腰三角形的低角时，顶角=180°﹣80°×2=20°．
故答案为：20或80．
考点：等腰三角形@
2．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=
°．
【答案】30
考点：1、翻折变换，2、等腰三角形的性质
3．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为
．
【答案】m+n.
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定；3.三角形内角和定理．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）32.
【解析】
试题分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；
（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．
试题解析：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，
∴AB=2AE=12，
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定与性质．
5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．试判断△BCF的形状，并说明理由．
【答案】△BFC是等腰三角形．
考点：全等三角形的判定与性质．
6．已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】见解析
考点：等腰三角形的判定与性质．
7．如图，已知△ABC中，CD为∠ACB的平分线，AE∥CD交BC的延长线于E，EF⊥AE交AC的延长线于F．
（1）求证：AC=CE；
（2）若AC=5，求AF．
【答案】（1）证明见解析（2）10
【解析】
试题分析:（1）根据CD为∠ACB的平分线，得到∠BCD=∠ACD，又AE∥CD，所以∠ACD=∠EAC，∠BCD=∠AEC，从而∠EAC=∠AEC，即可解答；
考点：全等三角形的判定与性质．
8．
（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）60°或30°．
【解析】
试题分析：（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．
（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
即△ACD为等腰三角形；
考点：等腰三角形的判定；直角三角形的性质．
9．如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明见解析．
【解析】
试题分析：首先根据∠1=∠2可得AD=AE，∠ADB=∠AEC，然后再证明△ABD≌△ACE可得AB=AC，进而可得△ABC是等腰三角形．
试题解析：∵∠1=∠2，
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
考点：1．等腰三角形的判定；2．全等三角形的判定与性质．第十三章
轴对称
课堂练习：
1．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=9，AC=7，则△ADE的周长是
．
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=10，则线段MN的长为
．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为
．
4．如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为
．
5.如图，已知在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，ED=DC．求证：AB=AC．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．
（1）求证：AE=CE；
（2）求证：△AEF≌△CEB．
7．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
课后练习：
1．如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是
度．
2．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=
°．
3．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为
．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
5．如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．试判断△BCF的形状，并说明理由．
6．已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．
7．如图，已知△ABC中，CD为∠ACB的平分线，AE∥CD交BC的延长线于E，EF⊥AE交AC的延长线于F．
（1）求证：AC=CE；
（2）若AC=5，求AF．
8．AB=AC，∠B=30°
（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．
9．如图，已知点D、E是△ABC的边BC上两点，且BD=CE，∠1=∠2．试证：△ABC是等腰三角形．
