4.3.3 余角和补角课件
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课件29张PPT。4.3.3 余角和补角第四章 图形初步认识导入新课讲授新课当堂练习课堂小结4.3 角【义务教育教科书人教版七年级上册】1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，
并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、
难点)
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些
简单的实际问题.(难点)导入新课情境引入 将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.思考：1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？∠1+∠2 = 90°2. ∠3与∠4有什么数量关系？∠3+∠4 = 180°讲授新课 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是
∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.图中给出的各角，哪些互为补角？例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.典例精析练一练 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为
(3x+30)°. 根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补，
则∠AOC=180°-x．
因为OM，ON分别为∠AOC，
∠AOB的平分线，解得x=50°，则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°观察与思考(90－x)°(180－x)°观察可得结论：
锐角的补角比它的余角大_____.90°∠1 与∠2，∠3都互为补角，
∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 思考：同角 (等角) 的补角相等.结论：∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角 (等角) 的余角相等.类似地，可以得到：=例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．变式训练∠COE、∠BOE∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC． 如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC 和 ∠AOD练一练东西北南O正东：
正南：
正西：
正北：西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向： 射线 OAABCD45°45°八大方位45°45°射线 OB射线 OC射线 OD射线 OE射线 OF 射线 OH射线 OG45° 如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向
为 .
(2) 射线 OB 表示的方向
为 ___ _ .
(3) 射线 OC 表示的方向
为 .
(4) 射线 OD 表示的方向
为 .北东西南CABD北偏东 40°北偏西 65°南偏西 45°(西南)南偏东 20°40°65°70°O20°例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客
轮B，货轮C和海岛D.
仿照表示灯塔方位的
方法画出表示客轮B，
货轮C和海岛D方向的
射线.● BC ●● A● D 费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？练一练60°30°●当堂练习1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角D3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.150°4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .62°28°5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1) 图中有哪几对互余的角？(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？答案：∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°答案：∠B=∠2∠A=∠1( 同角的余角相等 )( 同角的余角相等 )60°30°6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从
A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，
同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏
西30°方向.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；AB北北C60°A. 南偏东30°
B. 南偏西30°
C. 南偏东60°
D. 南偏西60°(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A
在点 C 的______方向上. 60°30°AB北北CD 同角或等角的
补角相等课堂小结同角或等角的
余角相等方位角物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向定义 书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西
并能利用余角、补角的知识解决相关问题.(重点、
难点)
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些
简单的实际问题.(难点)导入新课情境引入 将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.思考：1. ∠1 与∠2 有什么数量关系？∠1+∠2 = 90°2. ∠3与∠4有什么数量关系？∠3+∠4 = 180°讲授新课 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或 ∠2 是
∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.图中给出的各角，哪些互为补角？例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°，
余角是 ( 90－x )° .
根据题意，得
180－x = 4 ( 90－x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.典例精析练一练 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为
(3x+30)°. 根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补，
则∠AOC=180°-x．
因为OM，ON分别为∠AOC，
∠AOB的平分线，解得x=50°，则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°观察与思考(90－x)°(180－x)°观察可得结论：
锐角的补角比它的余角大_____.90°∠1 与∠2，∠3都互为补角，
∠2 与∠3 的大小有什么关系？ 思考：同角 (等角) 的补角相等.结论：∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角 (等角) 的余角相等.类似地，可以得到：=例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O，B在同一直线
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互为补角.所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．变式训练∠COE、∠BOE∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC． 如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC 和 ∠AOD练一练东西北南O正东：
正南：
正西：
正北：西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向： 射线 OAABCD45°45°八大方位45°45°射线 OB射线 OC射线 OD射线 OE射线 OF 射线 OH射线 OG45° 如图，说出下列方位
(1) 射线 OA 表示的方向
为 .
(2) 射线 OB 表示的方向
为 ___ _ .
(3) 射线 OC 表示的方向
为 .
(4) 射线 OD 表示的方向
为 .北东西南CABD北偏东 40°北偏西 65°南偏西 45°(西南)南偏东 20°40°65°70°O20°例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上. 同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客
轮B，货轮C和海岛D.
仿照表示灯塔方位的
方法画出表示客轮B，
货轮C和海岛D方向的
射线.● BC ●● A● D 费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？练一练60°30°●当堂练习1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角D3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.150°4. ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = (6x + 8)°，∠2 = (4x－8)°， 则∠1= ，∠2= .62°28°5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1) 图中有哪几对互余的角？(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？答案：∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°答案：∠B=∠2∠A=∠1( 同角的余角相等 )( 同角的余角相等 )60°30°6. 垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从
A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，
同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏
西30°方向.
(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；AB北北C60°A. 南偏东30°
B. 南偏西30°
C. 南偏东60°
D. 南偏西60°(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A
在点 C 的______方向上. 60°30°AB北北CD 同角或等角的
补角相等课堂小结同角或等角的
余角相等方位角物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向定义 书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西