课时跟踪检测（一） 集合的概念
层级一 学业水平达标
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A
C．0∈A D．－1?A
解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
3．下面几个命题中正确命题的个数是( )
①集合N＋中最小的数是1；
②若－a?N＋，则a∈N＋；
③若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C N＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N＋，且a?N＋，故②错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.
5．下列说法：
①集合N与集合N＋是同一个集合；
②集合N中的元素都是集合Z中的元素；
③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；
④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的是( )
A．②④ B．②③
C．①② D．①④
解析：选A 因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
6．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有________个元素．
解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．
答案：2
7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或?)．
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b?A，ab∈A.
答案：? ∈
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
解析：∵x∈N,2∴结合数轴知a＝6.
答案：6
9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
解：∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.又a∈N，
∴a＝0或1.
10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．
综上知：x＝1，y＝0.
层级二 应试能力达标
1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析：选A 由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.
2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
3．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b.若集合A与集合B相等，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C 由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，
∴＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.
4．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3?M D．1∈M
解析：选B 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
5．不等式x－a≥0的解集为A，若3?A，则实数a的取值范围是________．
解析：因为3?A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.
答案：a>3
6．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
答案：0或1
7．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.
8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
课时跟踪检测（七） 映射与函数
层级一 学业水平达标
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应法则中，其中，是A到B的映射的有( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
解析：选A 根据映射定义知①②正确．③中A的元素4在B中无对应元素，所以该对应不是A到B的映射．④中A的元素3在B中有两个元素与之对应，所以不是A到B的映射．
2．已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{y|0≤y≤2}，按对应关系f不能构成从M到N的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
解析：选C 因为当x＝4时，y＝×4＝?N，所以C中的对应关系f不能构成从M到N的映射．
3．下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )
A．f：x→x2－x B．f：x→x＋(x－1)2
C．f：x→x2＋1 D．f：x→x2－1
解析：选D 集合B中的每个元素都可以写成x2－1的形式．
4．在映射f：A→B的作用下A中的元素(x，y)与B中的元素(x－1,3－y)对应，则与B中元素(0,1)对应的A中的元素是( )
A．(－1,2) B．(0,3)
C．(1,2) D．(－1,3)
解析：选C 由题意知解得所以与B中元素(0, 1)对应的A中的元素是(1,2)．
5．有下列对应：①A＝R，B＝R，f：x→y＝；
②A＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手}，B＝{2016年里约热内卢奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；
③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±.
其中是A到B的映射的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①中，对于A中元素－1，在f下无意义，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．
6．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为________．
解析：由题意知，与A中元素(－1,2)对应的B中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)．
答案：(－3,1)
7．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b,5→5且7→11.若x→20，则x＝________.
解析：由题意知?
∴y＝3x－10.由3x－10＝20，得x＝10.
答案：10
8．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)．若B中的元素(6,2)在此映射下的原象是 (3, 1)，那么k＝______，b＝______.
解析：由题意即
答案：2 1
9．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的象和B中元素的原象．
解：将x＝代入对应法则，得其象为(＋1,3)．
令得x＝.
所以的象是(＋1,3)，的原象是.
10．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．
解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，
∴A中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，
即a4＝10或a2＋3a＝10.
∵a∈N，∴仅有a2＋3a＝10，得a＝2，a＝－5(舍)．
则有k的像是a4.∴3k＋1＝24，得k＝5.
综上得，a＝2，k＝5.
层级二 应试能力达标
1．下列集合A到集合B的对应f是映射的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{1,2}，f：x→y＝
解析：选A 在B中，集合A中的元素1在B中有±1两个元素与之对应，∴B不正确．C中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正确．D中，当x≥0时，B中无对应元素，D不正确．
2．设f：A→B是集合A到B的映射，其中A＝{x|x>0}，B＝R，且f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋的象和B中元素－1的原象分别为( )
A.，0或2 B．0,2
C．0,0或2 D．0,0或
解析：选B x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2(1＋)－1＝0.
∴1＋的象为0.当x2－2x－1＝－1时， 得x＝0或2.
∵x>0，∴x＝2，即－1的原象是2.
3．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素在A中都能找到元素与之对应，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选A 注意到对应法则是f：a→|a|，因此3和－3对应集合B中的元素3；2和－2对应集合B中的元素2；1和－1对应集合B中的元素1；4对应集合B中的元素4.所以B＝{1,2,3,4}，有4个元素．
4．下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析：选D 对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.
5．定义f(x，y)＝(y2,2y－x)，若f(m，n)＝(1,2)，则(m，n)＝________.
解析：由题知∴或∴(m，n)＝(0,1)或(－4，－1)．
答案：(0,1)或(－4，－1)
6．设a，b为实数，集合M＝，N＝，映射f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b＝________.
解析：由f：x→x，知集合M中的元素映射到集合N中没有变化，且N中只有3个元素，所以M＝N.又因为M中－1,1为相反数，所以a，b，b－a这3个元素中有2个互为相反数，分情况讨论，知b＝0，a＝±1，所以a＋b＝±1.
答案：±1
7．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1，4x＋2y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)，它的象仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．
(2)判断这个映射是不是一一映射．
解：(1)假设存在元素(a，b)，它的象仍是(a，b)．
由得a＝0，b＝.
∴存在元素，它的象仍是自己．
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解．
这说明B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原象，
所以映射f：A→B是A到B的一一映射．
8．已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
解：①当A中三个元素对应B中一个元素时，都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，
∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有1个；
都对应－1或1时，
∵(－1)＋(－1)≠－1,1＋1≠1，
∴这样的映射不合题意．
②当A中三个元素对应B中两个元素时，
∵1＋0＝1,0＋1＝1，(－1)＋0＝－1,0＋(－1)＝－1，
∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个．
③当A中的三个元素对应B中的三个元素时，
∵(－1)＋1＝0,1＋(－1)＝0，
∴满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有2个．
综上所述，满足题设条件的映射共有7个.
课时跟踪检测（三） 集合之间的关系
层级一 学业水平达标
1．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．4
解析：选C ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0?A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
解析：选D 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}?A，??A，D正确．
3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
解析：选B 由已知x是正方形，则x必是矩形，所以C?B，故选B.
4．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析：选D 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
5．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选A 集合{0,1,2}的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.
6．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是____________________．
解析：{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有?，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
答案：{(1,2) }，{(－3,4)}
7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
解析：因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B?A.
答案：B?A
8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，
要满足A?B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.
答案：m≥3
9．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解：(1)若A?B，由图可知，a>2.
(2)若B?A，由图可知，1≤a≤2.
10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，求a的值．
解：∵B?A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，满足题意．
(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2为所求．
层级二 应试能力达标
1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )
A．0 B．1
C．2 D．－1
解析：选C 由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故集合C有4个．
3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A?B B．A＝B
C．A?B D．A?B
解析：选D 对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知A?B.
4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．0,1 D．－1,0,1
解析：选D 因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，故a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
综上所述，a＝0，或a＝±1.
5．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B?A，则a的值为________．
解析：由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，符合题意；当a＝时，A＝，B＝，符合题意．所以a的值为－1或.
答案：－1或
6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}，∴N?M.
答案：N?M
7．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求实数a的取值范围．
解：∵B?A，
∴B的可能情况有B≠?和B＝?两种．
①当B≠?时，
∵B?A，∴或成立，
解得a>3；
②当B＝?时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．
8．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A?B，求m的取值范围．
解：化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，
∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．
(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝??A；
②当m>－2时，
B＝{x|m－1因此，要B?A，
则只要?－1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
课时跟踪检测（九） 函数的单调性
层级一 学业水平达标
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
3．函数y＝的单调递减区间是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：选C 函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．
4．函数y＝(x≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( )
A.，0 B.，0
C.， D．最小值为－，无最大值
解析：选C 因为函数y＝在区间[0,5]上单调递减，所以当x＝0时，ymax＝，当x＝5时，ymin＝.故选C.
5．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：选C 分别作出f(x) 与g(x)的图象得： f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，选C.
6．函数f(x)＝|2x－1|的递减区间是________．
解析：函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：
∴递减区间为.
答案：
7．若f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．
解析：∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1f(x2)．又∵－1f(a2＋1)．
答案：>
8．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)解析：由题设得
解得－1≤x<.
答案：
9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设0＜x1Δy＝f(x2)－f(x1)
＝－＝，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，∴Δy＞0
∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
10．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
解：任取2≤x1Δy＝f(x2)－f(x1)
＝－＝.
∵2≤x1∴x2－1>0，x1－1>0，x1－x2＝－Δx＜0，
∴Δy＜0.
所以f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．
所以f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝.
层级二 应试能力达标
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
解析：选A B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1, 4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
2．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
解析：选D 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
3．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选C ①y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；②y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．
4．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)解析：选A 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)5．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：设0Δy＝f(x2)－f(x1)＝－＋＝＜0.
∵00，
∴b<0.
答案：(－∞，0)
6．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．
答案：f(－2) f(6)
7．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
8．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
解：(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]
＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)所以f(x)是R上的单调减函数．
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.
所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
课时跟踪检测（二十一） 对数函数的图象及性质
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选C 由题意知
解得x>－1且x≠1.
2．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x B．y＝logx
C．y＝logx D．y＝log2x
解析：选D 由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选A ∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2 (3x＋1)＞0.
∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
解析：选C 由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
5．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图象过点(4,0)和(7,1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
解析：选A 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式，有解得a＝4和m＝3，则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f(x)在定义域上是增函数．
6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.
解析：由对数函数的定义可知，
解得a＝5.
答案：5
7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
答案：(4，－1)
8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．
解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.
答案：[0,1]
9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，
有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x|x＞－2}．
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．
解：(1)由x－2＞0，得x＞2，
所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是.
层级二 应试能力达标
1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：选C 当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)
解析：选D 由解得∴x≥4且x≠10，
∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D.
3．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10 C．1 D.
解析：选C 由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
4．函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为( )
解析：选C 函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，
∴f(x)的图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知，选C.
5．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
答案：(1,2)
6．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1,2]
7．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：当0恒有f(a)∴所求a的取值范围为(0,2)．
8．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
课时跟踪检测（二十三） 指数函数与对数函数的关系
层级一 学业水平达标
1．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为( )
A．(0，＋∞) B． (1,9]
C．(0,1) D．[9，＋∞)
解析：选B 由于反函数的定义域为原函数的值域，
∵0＜x≤2，∴y＝3x∈(1,9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1,9]．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
3．函数y＝－(x≤1)的反函数是( )
A．y＝x2－1(－1≤x≤0) B．y＝x2－1(0≤x≤1)
C．y＝1－x2(x≤0) D．y＝1－x2(0≤x≤1)
解析：选C ∵x≤1，∴－x≥－1,1－x≥0，∴≥0，∴－≤0，∴y≤0.
原函数的值域应与反函数的定义域相同，∴选项中只有C的定义域满足小于等于0.
4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数图象过点(2,8)，则a＋b等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C 由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图象过点(2,1)和(8,2)，∴∴解得∴a＋b＝4.
5．函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图象经过( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
解析：选B 因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图象经过第二、三象限．
6．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．
解析：f－1(x)的定义域为f(x)的值域，
∵x≥1，∴log2x≥0，
∴log2x＋3≥3，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
7．若函数f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－2)＝________.
解析：法一：函数f(x)的值域为R，由y＝2x＋1，得x＝，
故f－1(x)＝，故f－1(－2)＝＝－.
法二：由互为反函数的两函数定义域、值域的关系，令2x＋1＝－2，得x＝－.
故f－1(－2)＝－.
答案：－
8．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是________．
解析：当x＝－2时，
f(x)＝loga(－2＋3)＝0，
∴f(x)恒过(－2,0)点，即反函数的图象恒过点P(0，－2)．
答案：(0，－2)
9．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝1－(－1≤x＜0)．
解：(1)设y＝f(x)＝，则y≠0.
由y＝，解得x＝.
∴f－1(x)＝(x≠0)．
(2)设y＝f(x)＝1－ .
∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1.
由y＝1－ ，解得x＝－ .
∴f－1(x)＝－ (0＜x≤1)．
10．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，
故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，
即x＝2－ay.
∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈R且x1∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，
∵a>1，x1∴ax1∴f－1(x2)∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
层级二 应试能力达标
1．函数y＝ln 2x(x＞0)的反函数是( )
A．y＝ex(x∈R) B．y＝e2x(x∈R)
C．y＝2ex(x∈R) D．y＝e(x∈R)
解析：选A 由y＝ln 2x(x＞0)，得x＝ey，
∴所求的反函数是y＝ex(x∈R)．
2．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的( )
解析：选B y＝ax与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．
∵在y＝loga(－x)中，－x>0，即x<0，
∴排除A、C.当03．设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝ax，g(x)＝bx的反函数分别是f－1(x)和g－1(x)．若lg a＋lg b＝0，则f－1(x)与g－1(x)的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于y＝x对称
解析：选A 由lg a＋lg b＝0，得b＝a－1，∴f(x)＝ax，g(x)＝a－x.其反函数分别为f－1(x)＝logax，g－1(x)＝－logax，∴f－1与g－1(x)的图象关于x轴对称．
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值为( )
A．－e B．－
C．e D.
解析：选B 由题意知y＝g(x)应为y＝ex的反函数，即y＝g(x)＝ln x，而y＝f(x)与y＝g(x)＝ln x的图象关于y轴对称，故可得y＝f(x)＝ln(－x)，又f(m)＝－1，所以ln(－m)＝－1，得－m＝e－1，即m＝－.
5．已知f(x)＝(a＞0)，若f－1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是________．
解析：f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，∴≤≤.又a＞0，∴4≤x≤7.∴f(x)的定义域为[4,7]．
答案：[4,7]
6．若f－1(x)为函数f(x)＝lg(x＋1)的反函数，则f－1(x)的值域为________．
解析：法一：先求出f(x)的反函数f－1(x)＝10x－1，可求得f－1(x)的值域为(－1，＋∞)．
法二：利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，可求得f－1(x)的值域为(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
7．函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上存在反函数，求a的取值范围．
解：若函数f(x)在区间[1,2]上存在反函数，则f(x)在[1,2]上为单调函数，
f(x)＝x2－2ax－3的对称轴是x＝a，
要使f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上为单调函数，
则[1,2]?(－∞，a]或[1,2]?[a，＋∞)，即a≥2或a≤1.
所以a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，
∴f(a＋2)＝3a＋2＝18.
∴3a＝2.
∵g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x，
∴g(x)＝2x－4x(0≤x≤1)．
(2)令t＝2x (0≤x≤1)，
∴t∈[1,2]．
则g(x)＝y＝－t2＋t＝－2＋.
∴当t＝1，即x＝0时，g(x)max＝0；
当t＝2，即x＝1时，g(x)min＝－2.
故g(x)的值域为[－2,0]．
课时跟踪检测（二十二） 对数函数及其性质的应用（习题课）
层级一 学业水平达标
1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(2,7]
C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选B ∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2,7]，故选B.
2．已知logm＜logn＜0，则( )
A．n＜m＜1 B．m＜n＜1
C．1＜m＜n D．1＜n＜m
解析：选D 因为0＜＜1，logm＜logn＜0，
所以m＞n＞1，故选D.
3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选D f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
4．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：选D 由题知，a＝log45＞1，b＝0＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a.
5．函数f(x)＝lg是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选A f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg＋lg＝lg＝lg 1＝0，
∴f(x)为奇函数，故选A.
6．比较大小：
(1)log22______log2；
(2)log3π______logπ3.
解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2.
(2)因为函数y＝log3x增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
答案：(1)＞ (2)＞
7．不等式log(5＋x)解析：由得－2答案：{x|－28．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
解析：∵a＞1，
∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，
∴loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，
∴a＝2，a＝4.
答案：4
9．已知对数函数f(x)的图象过点(4,2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．
解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，
因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)?log2(2x－3)＞log2x??x＞3，
所以原不等式的解集为(3，＋∞)．
10．求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log(3＋2x－x2)．
解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u＞0，所以0＜u≤4.
又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
层级二 应试能力达标
1．若a＞0，且log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C ∵log0.25(a2＋1)＞log0.25(a3＋1)，∴a2＜a3，即a2(1－a)＜0，∴a＞1，故选C.
2．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：选D 由于b＝log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故b＜a＜c.
3．关于函数f(x)＝log(1－2x)的单调性的叙述正确的是( )
A．f(x)在内是增函数
B．f(x)在内是减函数
C．f(x)在内是增函数
D．f(x)在内是减函数
解析：选C 由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝log (1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．由1－2x＞0，得x＜，所以f(x)＝log (1－2x)的定义域为(－∞，)．因为y＝1－2x在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f(x)在内是增函数，故选C.
4．若函数f(x)＝loga(2x＋1)(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调减区间是( )
A. B.
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：选B 当x∈时，2x＋1∈(0,1)，
所以0＜a＜1.
又因为f(x)的定义域为，y＝2x＋1在上为增函数，所以f(x)的单调减区间为.
5．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.
答案：(2，＋∞)
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f(logx)＞0的解集为________________．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
做出函数图象如图所示．
由f＝0，得f＝0.
∴f(logx)＞0?logx＜－或logx＞?x＞2或0＜x＜，
∴x∈∪(2，＋∞)．
答案：∪(2，＋∞)
7．求函数f(x)＝log2(4x)·log，x∈的值域．
解：f(x)＝log2(4x)·log
＝(log2x＋2)·
＝－.
设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴它在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
8．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解：(1)要使函数有意义，则有
解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3＜x＜1，所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.
因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4，得a－4＝4，所以a＝4＝.
课时跟踪检测（二十五） 函数的应用（Ⅱ）
层级一 学业水平达标
1．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：选A 由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
解析：选B 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.
3．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50 B．y＝1 000x
C．y＝0.4·2x－1 D．y＝ex
解析：选D 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.
4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：选D 由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．
5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
6．小明2015年用7 200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．
解析：三年后的价格为7 200×××＝元．
答案：
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x)．
10．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
解析：(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
层级二 应试能力达标
1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
2．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.
3．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
解析：选C 由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，
则a＝a·e－kt1，
∴＝(e－k)t1＝，
∴＝，t1＝75.
5．某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．
解析：由题意有解得
∴y＝－2×0.5x＋2.
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75万件．
答案：1.75
6．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案：(4) (1) (3) (2)
7．函数f(x)＝1.1x，g (x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
8．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
解：依题意，得
即解得
所以甲：y1＝x2－x＋52，
又
②－①，得p·q2－p·q1＝2， ④
③－②，得p·q3－p·q2＝4， ⑤
⑤÷④，得q＝2.
将q＝2代入④式，得p＝1.
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
所以乙：y2＝2x＋50.
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好．
课时跟踪检测（二十四） 幂函数
层级一 学业水平达标
1．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x－中，是幂函数的是( )
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
解析：选C 幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1 C. D．2
解析：选A ∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝x不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.
4．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
解析：选B y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
5.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
6．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1
f(x)
1
则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f＝，所以α＝，即α＝，所以f(x)＝x的单调递增区间是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
8．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
10．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.2；
(2)和；
(3)4.1和3.8－.
解：(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2) ＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞，所以＞.
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8＜1＝1，
所以4. 1＞3.8.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
解析：选C 因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
2．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
解析：选C 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α＞0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.
3．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．aC．b解析：选D 构造幂函数y＝x(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以aa>b.
4．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
解析：选B 要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.
5．若(a＋1)＜(3－2a)，则a的取值范围是________．
解析：函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得－1＜a＜.
答案：
6．已知函数f(x)＝x在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.
解析：取值验证．α＝1时，y＝x0，不满足；α＝2时，y＝x，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y＝x满足题意．
答案：3
7．已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B?A，
∴?0≤k≤1.
∴实数k的取值范围是[0,1]．
8．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋，而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.
由f(2－a)＞f(a－1)得解得1≤a＜.
∴实数a的取值范围为.
课时跟踪检测（二十） 对数的运算
层级一 学业水平达标
1．计算：＝( )
A. B．2 C. D.
解析：选B 原式＝＝＝2.
2．计算：2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：选C 原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析：选B 在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
解析：选A ∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
5．计算log225·log32·log59的结果为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选D 原式＝··＝··＝6.
6．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________.
解析：由a2＝(a＞0)得a＝，
所以log＝log2＝2.
答案：2
7．lg ＋lg的值是________．
解析：lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
答案：1
8．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
解析：logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案：81
9．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg .
解：(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.
(2)lg ＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lg ＝lg(xy3)－lg
＝lg x＋3lg y－lg z.
(4)lg ＝lg －lg (y2z)
＝lg x－2lg y－lg z.
10．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；
(2)lg(＋)；
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.
解：(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，
3log264＝3log226＝18log22＝18，
∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.
(2)原式＝lg(＋)2
＝lg(3＋＋3－＋2)
＝lg 10＝.
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2
＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
层级二 应试能力达标
1．若log5 ·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B. C．25 D.
解析：选D 由换底公式，得··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
2．若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；
②lg ＝lg a－lg b；
③lg2＝lg ；
④lg(ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：选D ∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg2＝×2lg＝lg，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.
3．若lg x－lg y＝t，则lg3－lg3＝( )
A．3t B.t
C．t D.
解析：选A lg3－lg3＝3lg－3lg＝3lg＝3(lg x－lg y)＝3t.
4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－＝( )
A. B．3
C．－ D．－3
解析：选A ∵x＝log2.51 000，y＝log0.251 000，
∴＝＝log1 0002.5，
同理＝log1 0000.25，
∴－＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝＝.
5.＝________.
解析：＝＝＝＝＝1.
答案：1
6．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.
解析：因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以
由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，
所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，
所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
答案：4
7．计算下列各式的值：
(1)log535＋2log－log5－log514；
(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.
解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2
＝log5＋log2＝log553－1＝2.
(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64
＝÷log622
＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62
＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.
8．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba )＝12.
课时跟踪检测（二） 集合的表示方法
层级一 学业水平达标
1．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选D 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
解析：选B {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
3．已知M＝{x|x－1<}，那么( )
A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2?M
C．2?M，－2?M D．2?M，－2∈M
解析：选A 若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A.
4．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选D 选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
5．方程组的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
解析：选D 解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D.
6．已知集合M＝{x|x＝7n＋2，n∈N}，则2 011________M,2 016________M．(填“∈”或“?”)
解析：∵2 011＝7×287＋2,2 016＝7×288.
∴2 011∈M,2 016?M.
答案：∈ ?
7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案：{1,3}
8．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
解： (1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．
10．含有三个实数的集合A＝，若0∈A且1∈A，求a2 016＋b2 016的值．
解：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以＝0，即b＝0.
又1∈A，可知a2＝1或a＝1.
当a＝1时，得a2＝1，由集合元素的互异性，知a＝1不合题意．
当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．
故a＝－1，b＝0，所以a2 016＋b2 016的值为1.
层级二 应试能力达标
1．下列命题中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
解析：选A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以?{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
2．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
解析：选C 集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．
4．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
解析：选A 若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1,2,3；若a＝2，则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1, 2,3,4,6}，共6个元素．
5．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．
解析：∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，
∴x＝6－y∈N，
∴
∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
6．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，则(x0，y0)的值为________．
解析：由题意知，(x0，y0)∈A，(x0，y0)∈B，所以(x0，y0)是方程组的解，解得
答案：(2,5)
7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，A＝；
当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，
所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
课时跟踪检测（五） 补集及综合应用
层级一 学业水平达标
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则?U(A∩B)等于( )
A．{2,3} B．{1,4,5}
C．{4,5} D．{1,5}
解析：选B A∩B＝{2,3}．∴?U(A∩B)＝{1,4,5}．
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1解析：选D ∵B＝{x|x<1}，∴?RB＝{x|x≥1}．
∴A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
解析：选D 由题意，知则a＝2.
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
解析：选D ∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，
∴A∪B＝{1,3,4,5,6}，
又U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
∴?U(A∪B)＝{2,7}．
5．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析：选A 阴影部分表示的集合为N∩(?UM)＝{x|－2≤x<1}，故选A.
6．(湖南高考)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝________.
解析：?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1, 3}∪{2}＝{1,2,3}．
答案：{1,2,3}
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，
∴m＝－3.
答案：－3
8．已知全集U＝R，M＝{x|－1解析：∵U＝R，?UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1＝{x|x<1或x≥2}．
答案：{x|x<1或x≥2}
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1解：将集合A，B，P表示在数轴上，如图．
∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1∵?UB＝{x|x≤－1或x>3}，
∴(?UB)∪P＝，
∴(A∩B)∩(?UP)＝{x|－110．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，
B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，
?U(A∪B)．
解：如图所示．
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2A∩B＝{x|－2故(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2?U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
层级二 应试能力达标
1．设全集U＝R，集合A＝{x|0A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B ∵U＝R，A＝{x|0∴?UA＝{x|x≤0或x≥9}，
又∵B＝{x∈Z|－4∴(?UA)∩B＝{x∈Z|－42．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合(?UA)∩(?UB)等于( )
A．{x|3C．{x|3≤x<4} D．{x|－1≤x≤3}
解析：选A ∵?UA＝{x|x<－2或x>3}，
?UB＝{x|－2≤x≤4}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|33．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩?IM＝?，则M∪N等于( )
A．M B．N
C．I D．?
解析：选A 因为N∩?IM＝?，所以N?M(如图)，所以M∪N＝M.
4．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|xA．a>3 B．a≥3
C．a≥7 D．a>7
解析：选A 因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x<7}，又(?UA)∩B≠?，则a>3.
5．设集合M＝{3,4,7,9}，N＝{4,5,7,8,9}，全集U＝M∪N，则集合?U(M∩N)中的元素共有________个．
解析：∵U＝M∪N＝{3,4,5,7,8,9}，M∩N＝{4,7,9}，
∴?U(M∩N)＝{3,5,8}，即共有3个元素．
答案：3
6．已知集合A＝{x|x解析：∵B＝{x|1又∵A∪(?RB)＝R，A＝{x|x观察?RB与A在数轴上表示的区间，如图所示：
可得当a≥2时，A∪(?RB)＝R.
答案：{a|a≥2}
7．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝?，且A∩(?UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A，B.
解：∵A∪B＝U，A∩B＝?，
∴A＝?UB，又A∩?UB＝{1,2}，
∴A＝{1,2}，
∴B＝{3,4,5}．
8．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(1)求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3因为A＝{x|2≤x<7}，所以?RA＝{x|x<2，或x≥7}，则(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x2，所以a的取值范围是{a|a＞2}．
课时跟踪检测（八） 函数的表示方法
层级一 学业水平达标
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
2．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
解析：选A ∵f(x)＝∴f(－7)＝10.
f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100.
3．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
解析：选D 函数y＝x|x|＝故选D.
4．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析：选B ∵f(x)＝2x＋3，∴f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.
5．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
解析：选B 令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，故选B.
6．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
解析：由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
8．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是________．
解析：当x≤－1时，x＋2＝3，得x＝1舍去，
当－1答案：
9．(1)已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)；
(2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)．
解：(1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.
(2)法一(配凑法)：因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
法二(换元法)：令t＝x－1，则x＝t＋1，可得f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
层级二 应试能力达标
1．某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，用y轴表示离学校的距离，x轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )
解析：选D 在A、C中，x＝0时，y＝0，即该学生一出家门就与学校的距离为零，显然不对，又因为该学生一开始跑步，单位时间内走得路程多，余下的路程步行，单位时间内走得路程少，故选D.
2．已知函数f(x＋1)＝x2－x＋3，那么f(x－1)的表达式是( )
A．f(x－1)＝x2＋5x－9 B．f(x－1)＝x2－x－3
C．f(x－1)＝x2－5x＋9 D．f(x－1)＝x2－x＋1
解析：选C f(x＋1)＝(x＋1)2－3(x＋1)＋5，
所以f(x)＝x2－3x＋5，
f(x－1)＝(x－1)2－3(x－1)＋5＝x2－5x＋9，故选C.
3．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．0或1 D．1或2
解析：选C 结合函数的定义可知，如果f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应，由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．
4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，C为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
解析：选D 由条件可知，x≥A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一段，即x＜A时的解析式，故f(4)＝＝30，解得C＝60.
从而f(A)＝＝15，解得A＝16.
5．函数f(x)＝的值域是________．
解析：当x≥0时，f(x)≥1，
当－2≤x<0时，2∴f(x)≥1或2答案：[1，＋∞)
6．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f＋x，则f(x)的解析式为________．
解析：∵f(x)＝2f＋x，①
∴将x换成，得
f＝2f(x)＋.②
由①②消去f，得
f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
答案：f(x)＝－(x≠0)
7．根据函数y＝f(x)的图象(如图所示)写出它的解析式．
解：当0≤x＜1时，f(x)＝2x；
当1≤x＜2时，f(x)＝2；
当x≥2时，f(x)＝3.
故f(x)＝
8．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．
解：(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时＝2.5(小时)．
综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝
函数图象如图所示．
课时跟踪检测（六） 变量与函数的概念
层级一 学业水平达标
1．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：选D 由题意可知解得0≤x≤1.
2．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：选B A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
解析：选D A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
4．设f(x)＝，则＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选B ＝＝＝×＝－1.
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
解析：选B y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：由题意知3a－1>a，则a>.
答案：
7．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
解析：∵x＝1,2,3,4,5，
∴f (x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
8．设f(x)＝，则f(f(x))＝________.
解析：f(f(x))＝＝＝.
答案：(x≠0，且x≠1)
9．已知f(x)＝x2－4x＋5.
(1)求f(2)的值．
(2)若f(a)＝10，求a的值．
解：(1)由f(x)＝x2－4x＋5，
所以f(2)＝22－4×2＋5＝1.
(2)由f (a)＝10，得a2－4a＋5＝10，
即a2－4a－5＝0，解得a＝5或a＝－1.
10．求函数y＝的定义域，并用区间表示．
解：要使函数解析式有意义，需满足：
即
所以－2≤x≤3且x≠.
所以函数的定义域是.
用区间表示为∪.
层级二 应试能力达标
1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1
C．x－2y＝6 D．x＝
解析：选A 对于A，由x＝y2＋1得y2＝x－1.当x＝5时，y＝±2，故y不是x的函数；对于B，y＝2x2＋1是二次函数；对于C，x－2y＝6?y＝x－3是一次函数；对于D，由x＝得y＝x2(x≥0)是二次函数．故选A.
2．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩B＝( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C 集合A表示函数y＝的定义域，则A＝{x|x≥1}，集合B表示函数y＝x2＋2的值域，则B＝{y|y≥2}，故A∩B＝{x|x≥2}．
3．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：选A ∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.
∴a(a－1)2＝0.
又∵a为正数，∴a＝1.
4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析：选B ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，
∴要使g(x)＝有意义，需即0≤x<1.
5．函数y＝的定义域是A，函数y＝ 的值域是B，则A∩B＝________(用区间表示)．
解析：要使函数式y＝有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝ ≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2，或x>2}．
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
6．函数y＝的定义域用区间表示为________．
解析：要使函数有意义，需满足即
∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]．
答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]
7．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝(x－1)2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x－.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是.
8．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f的值．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 016)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 016)＋f＝2 015.
课时跟踪检测（十一）一次函数的性质与图象 二次函数的性质与图象
层级一 学业水平达标
1．函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )
A.， B．1，－7
C．1， D．－，
解析：选A ∵x－2y＋7＝0，∴y＝x＋，
∴斜率k＝，纵截距b＝.
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不对
解析：选B 因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
3．两条直线y＝ax＋b与y＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )
解析：选A 假设B项中直线y＝ax＋b正确，则a＞0，b＞0，所以y＝bx＋a的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B错．同理C、D错．故A正确．
4．二次函数y＝x2＋bx＋c图象的顶点是(－1，－3)，则b与c的值是( )
A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝－2
C．b＝－2，c＝2 D．b＝－2，c＝－2
解析：选B 顶点横坐标x＝－＝－1，得b＝2，纵坐标＝＝－3，得c＝－2.
5．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则( )
A．f(1)＞c＞f(－1) B．f(1)＜c＜f(－1)
C．c＞f(－1)＞f(1) D．c＜f(－1)＜f(1)
解析：选B 由题意f(x)的对称轴为x＝1，且知(－∞，1]为函数的减区间，故有f(1)＜f(0)＜f(－1)，即f(1)＜c＜f(－1)．
6．函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[－2，－1]上的最大值是________，最小值是________．
解析：f(x)＝－(x－1)2＋2，则函数f(x)在[－2，－1]上是增函数，
当x＝－1时，f(x)max＝－2；
当x＝－2时，f(x)min＝－7.
答案：－2 －7
7．已知函数y＝(m2－3m)xm2－2m＋2是二次函数，则m＝________，此时函数的值域为________．
解析：由题意得
∴
∴m＝2，此时y＝－2x2.故值域为(－∞，0]．
答案：2 (－∞，0]
8．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上是增函数，∴≤，即a≤2.
答案：(－∞，2]
9．已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)，求：
(1)m为何值时是减函数？
(2)m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？
解：(1)∵y＝(6＋3m)x＋(n－4)是减函数，
∴6＋3m＜0，∴m＜－2.
(2)当x＝0时，y＝n－4.
当函数图象与y轴的交点在x轴下方时，y＜0，
得n－4＜0，∴n＜4.
又函数为一次函数，∴6＋3m≠0，即m≠－2.
∴当m∈R且m≠－2，n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方．
10．分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值．
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且二次项系数为1＞0，∴当x＝1时，y有最小值，ymin＝－4，无最大值．
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内，∴函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线y＝x2－2x－3的一部分．
由二次函数的性质知y＝x2－2x－3在(1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝3时，ymax＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，ymin＝22－2×2－3＝－3.
层级二 应试能力达标
1．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析：选C 由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
2．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为( )
A．－3 B．3
C．－2 D．2
解析：选D 因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2.
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
解析：选D f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.
4．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：选C 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a＜0.
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
答案：1
6．已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：法一：－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0,1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0,1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0,1]的最大值为0，∴a≥0.
法二：设f(x)＝－x2＋4x＋a，
由题意知解得a≥0.
答案：[0，＋∞)
7．已知函数f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6在区间(－∞，－1)上为减函数．
(1)求f(2)的取值范围；
(2)比较f(2a－1)与f(0)的大小．
解：(1)二次函数图象的对称轴为x＝2a－1，
∴函数f(x)在(－∞，2a－1]上为减函数．
∴－1≤2a－1.
∴a≥0.
而f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14，
∵a≥0，
∴f(2)＝14－8a≤14.
故f(2)的取值范围为(－∞，14]．
(2)∵当x＝2a－1时，函数y＝f(x)取最小值，
∴f(2a－1)≤f(0)．
8．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
解：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a；
当0当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a.
根据已知条件得，或或
解得a＝2或a＝－1.
课时跟踪检测（十七） 指数函数及其性质
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；
④y＝2x－1.
A．0 B．1
C．3 D．4
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
3．当a＞0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－1,0) D．(1,0)
解析：选C 当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
解析：选A 当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
5．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则( )
A． a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1 D．0＜a＜1,0＜b＜1
解析：选C 由图象知，函数y＝ax在R上单调递减，故0＜a＜1；函数y＝bx在R上单调递增，故b＞1.
6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______.
解析：由指数函数的定义得解得a＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．
解析：由已知得解得
所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7.
答案：7
8．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，∴－x＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
答案：(－1,0)∪(0,1)
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2) y＝.
解：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值．
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜x－1≤－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．
层级二 应试能力达标
1．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 的值域为[0,4)．
2．函数y＝2－1的定义域、值域分别是( )
A．R，(0，＋∞)
B．{x|x≠0}，{y|y＞－1}
C．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠1}
D．{x|x≠0}，{y|y＞－1，且y≠0}
解析：选C 要使y＝2－1有意义，只需有意义，即x≠0.若令u＝＝1－，则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.又∵y＝2－1＞0－1＝－1，∴函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y＞－1，且y≠1}．
3．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
解析：选C 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称，选C.
4．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
解析：选C 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
5．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由f＝得，
a－＝5－2＝5－，∴a＝5，∴f(x)＝5x.
答案：5x
6．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
答案：[1，＋∞)∪{0}
7．已知函数f(x)＝|x|－1.
(1)作出f(x)的简图；
(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝如图所示．
(2)作出直线y＝3m，当－1＜3m＜0时，即－＜m＜0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．
8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．
解：设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.
课时跟踪检测（十三） 函数的应用（Ⅰ）
层级一 学业水平达标
1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使收入每天达到最高，则每间应定价为( )
A．20元 B．18元
C．16元 D．14元
解析：选C 每天的收入在四种情况下分别为
20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)，故应定价为16元．
2．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)
解析：选D 由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y＞0，∴20－2x＞0，∴x＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴解得x＞5，∴5＜x＜10，故选D.
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
解析：选C 若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．
4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4
C．6 D．12
解析：选A 如图所示．设隔墙的长为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，y＝x×＝2x(6－x)，∴当x＝3时，y最大．
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．22万件
C．18万件 D．9万件
解析：选C ∵利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，∴当x＝18时，L(x)取最大值．
6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．
解析：由题意可知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N＋)，令3n2≤150，得1≤n≤5?1≤n≤7，故生产期限最长为7年．
答案：7
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________．
解析：设新价为b，则售价为b(1－20%)．∵原价为a，
∴进价为a(1－25%)．依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%，化简得b＝a，∴y＝b×20%·x＝a×20%·x，即y＝x(x∈N＋)．
答案：y＝x(x∈N＋)
8．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．
解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
答案：6
9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，
得所以
所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的．
10．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．
(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15，
所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．
(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．
租赁公司的月收益为y元，
y＝(3 000＋60x)(100－x)－160(100－x)－40x，
其中x∈[0,100]，x∈N，
整理，得y＝－60x2＋3 120x＋284 000
＝－60(x－26)2＋324 560，
当x＝26时，y＝324 560，
即最大月收益为324 560元．
此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．
层级二 应试能力达标
1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：选B y＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整数，x＞0)，令x＝，故[x]＝10，则y＝0.9.故选B.
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．3 100元 B．3 000元
C．2 900元 D．2 800元
解析：选B 设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，
则解得∴y＝5 000x＋3 000，
当x＝0时，y＝3 000，∴营销人员没有销售量时的收入是3 000元．
3．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．此人可在7秒内追上汽车
B．此人可在10秒内追上汽车
C．此人追不上汽车，其间距最少为5米
D．此人追不上汽车，其间距最少为7米
解析：选D 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.
当t＝6时，d取得最小值7.
4．已知直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图象为( )
解析：选C 当0≤t≤1时，f(t)＝t·2t＝t2，当1＜t≤2时，f(t)＝×1×2＋(t－1)×2＝2t－1，所以在t∈[0,1]时图象是抛物线的一部分，在t∈[1,2]时图象是一条线段，故选C.
5．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；
(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
解析：(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．
(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则
解得故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3)
6．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本就增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，那么，总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)
解析：L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．
答案：250 300
7．某旅游公司的最大接待量为1 000(人)，为保证公司正常运作，实际的接待量x要小于1 000，留出适当的空闲量(如：当接待量为800(人)时，则空闲量为200(人))，空闲量与最大接待量的比值叫作空闲率．已知该公司4月份接待游客的日增加量y(人)和实际接待量x(人)与空闲率的乘积成正比．(设比例系数k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当k＝时，求4月份游客日增加量的最大值．
解：(1)由题意知，当实际接待量为x(人)时，空闲率为.故y关于x的函数关系式为y＝kx·(k＞0)，函数的定义域为(0＜x＜1 000)．
(2)当k＝时，y＝x·
＝(－x2＋1 000x)
＝[－(x－500)2＋250 000]
＝－(x－500)2＋25，
∴当x＝500时，ymax＝25.
∴4月份游客日增加量的最大值为25人．
8．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格(千元)
23
30
22
7
(1)写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场的第x天，x∈N＋)；
(2)销售量g(x)与时间x的函数关系式为g(x)＝－x＋(1≤x≤100，x∈N＋)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？
解：(1)当0＜x≤40时，设f(x)＝kx＋b，
则有?
∴f(x)＝x＋22(0＜x≤40，x∈N＋)．
同理可得f(x)＝－x＋52(40＜x≤100，x∈N＋)，
故f(x)＝其中x∈N＋.
(2)设日销售额为S(x)千元，则当0＜x≤40，x∈N＋时，S(x)＝f(x)g(x)＝＝
－(x＋88)(x－109)．
其图象的对称轴为x＝＝10.5，∴当x＝10,11时，S(x)取最大值，S(x)max＝808.5.
当40＜x≤100，x∈N＋时，S(x)＝＝(x－104)(x－109)．
其图象的对称轴为x＝＝106.5，
∴当40＜x≤100，x∈N＋时，S(x)＜S(40)＝736＜808.5.
综上可得，该产品投放市场第10天和第11天的销售额最高，最高销售额为808.5千元．
课时跟踪检测（十九） 对 数
层级一 学业水平达标
1．将－2＝9写成对数式，正确的是( )
A．log9＝－2 B．log9＝－2
C．log(－2)＝9 D．log9(－2)＝
解析：选B 根据对数的定义，得log9＝－2，故选B.
2．方程2log3x＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
解析：选A ∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a＞且a≠1 B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1 D．a＜
解析：选B 由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足解得0＜a＜.
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．8＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
解析：选C 由指对互化的关系：
ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log39＝2?9＝32.
5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0 C．x D．y
解析：选B 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logx(yx)＝log2(12)＝0.
6．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3.
答案：4 －3
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________.
解析：∵log2(1－2x)＝1＝log22，
∴1－2x＝2，
∴x＝－.
经检验满足1－2x>0.
答案：－
8．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x－＝________.
解析：由题意得： log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴x－＝8－＝＝＝＝.
答案：
9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125；
(2)4－2＝；
(3)log8＝－3；
(4)log3＝－3.
解：(1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
层级二 应试能力达标
1．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a
解析：选A 由loga＝c，得ac＝，∴b＝(ac)5＝a5c.
2．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为( )
A．－3 B．3
C．－1或3 D．1或－3
解析：选B 由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.
3. 的值为( )
A．6 B.
C．8 D.
解析：选C ＝－1·＝2×4＝8.
4．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B ∵a＝，a>0，
∴a＝＝3，
设loga＝x，∴x＝a.
∴x＝3.
5．使方程(lg x)2－lg x＝0的x的值为________．
解析：由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10.
答案：1或10
6．计算2＋3＝________.
解析：2＋3＝23×2＋＝8×3＋＝25.
答案：25
7．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
解：∵log2(log3(log4x))＝0，
∴log3(log4x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
8．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知logx27＝31＋log32，求x的值．
解：(1)∵log189＝a，log1854＝b，∴18a＝9,18b＝54，
∴182a－b＝＝＝.
(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.
∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝.
课时跟踪检测（十二） 待定系数法
层级一 学业水平达标
1．若函数y＝kx＋b的图象经过点P(3，－2)和Q(－1,2)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1
解析：选D 把点P(3，－2)和Q(－1,2)的坐标分别代入y＝kx＋b，得即
∴y＝－x＋1.
2．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)，(2,5)两点，则二次函数的解析式为( )
A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2－2x＋6
解析：选A 将点(1,0)，(2,5)代入y＝x2＋bx＋c，
可得解得b＝2，c＝－3.
3．已知函数f(x)＝x2＋px＋q，满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
解析：选C ∵
∴p＝－3，q＝2.
∴f(x)＝x2－3x＋2，
∴f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
4．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )
A. B.
C．(－1,3) D．(－2,1)
解析：选A 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得解得所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.
5．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a，b的值分别为( )
A．2,3 B．3,2
C．－2,3 D．－3,2
解析：选A (x－1)(ax＋b)＝ax2＋(b－a)x－b，因为(x－1)(ax＋b)＝2x2＋x－3，
所以解得
6．反比例函数y＝的图象和一次函数y＝kx－7的图象都经过点P(m,2)，则一次函数的解析式为________．
解析：因为点P(m,2)在函数y＝的图象上，所以2＝，m＝6，P点坐标为(6,2)．因为一次函数y＝kx－7的图象经过点P(6,2)，所以6k－7＝2，k＝.故所求的一次函数解析式是y＝x－7.
答案：y＝x－7
7．如图是二次函数y＝f(x)的图象，若x∈[－2,1]，则函数f(x)的值域为________．
解析：依题意设函数f(x)＝a(x＋3)(x－1)，又函数f(x)的图象过点(0,3)，代入得a＝－1，∴f(x)＝－x2－2x＋3.结合题中图形易知函数f(x)在[－2,1]上的最大值为f(－1)＝4.又f(－2)＝3，f(1)＝0，∴函数f(x)在[－2,1]上的最小值为0，∴当x∈[－2,1]时，函数的值域为[0,4]．
答案：[0,4]
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(0，a)，B(1,4)且对称轴为x＝－1，则二次函数的解析式为________．
解析：由题意得解得
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：f(x)＝x2＋2x＋1
9．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图像被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
10．已知y＝f(x)的图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数的值域．
解：(1)由图象可知①：当0≤x≤2时，f(x)是一次函数．
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则即
故f(x)＝－2x＋2.
②当2③当3≤x≤5时，f(x)是一次函数．
设f(x)＝mx＋n(m≠0)，
则
解得此时f(x)＝x－5.
综上可知，f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)由图可知该函数的值域为[－2,2]．
层级二 应试能力达标
1．已知f(x)＝ax＋b(a≠0)且af(x)＋b＝9x＋8，则( )
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝－3x－4
C．f(x)＝3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
解析：选D ∵f(x)＝ax＋b，af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝9x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝9x＋8，
∴所以或
∴f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
2．已知f(x)＝x2＋1，g(x)是一次函数且是增函数，若f(g(x))＝9x2＋6x＋2，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝3x＋2 B．g(x)＝3x＋1
C．g(x)＝－3x＋2 D．g(x)＝3x－1
解析：选B 设g(x)＝kx＋b(k＞0)，则f(g(x))＝(kx＋b)2＋1＝9x2＋6x＋2
∴k2x2＋2kbx＋b2＋1＝9x2＋6x＋2，
∴k2＝9，解得k＝3或k＝－3(舍去)，
且2kb＝6，∴b＝1，
∴g(x)＝3x＋1.
3．二次函数y＝ax2＋bx＋2(a＜0)与x轴的交点为，，则a＋b的值是( )
A．10 B．－10
C．14 D．－14
解析：选D 由题意得
解得
∴a＋b＝－14.
4．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析：选D 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
5．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则a，b的值分别为________．
解析：∵f(x)＝x2＋2x＋a，
∴f(bx)＝(bx)2＋2(bx)＋a＝b2x2＋2bx＋a.
又∵f(bx)＝9x2－6x＋2，
∴b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2，
∴∴
答案：2，－3
6．如图，抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A，B两点，且OA＝3OB，则m的值为________．
解析：设A(x1,0)，B(x2,0)，
则x1＝－3x2.
由
得3m2＋5m＝0，
即m＝0或m＝－.
由图象知，对称轴x＝m＋1＞0，
即m＞－1，
因此m＝－不合题意，故m＝0.
答案：0
7．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值．
解：因为f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
代入①得a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f＝f(6)＝＝.
[重点选做]
8．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝－2x2＋4x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求当x∈[a，a＋2]时，f(x)的最大值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝－2x2＋4x.
由于上式对一切x∈R都成立，
∴2a＝－2,2b＝4,2a＋2c＝0，
∴a＝－1，b＝2，c＝1，
∴f(x)＝－x2＋2x＋1.
(2)由(1)可知，f(x)＝－(x－1)2＋2.
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)在[a，a＋2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(a＋2)＝－a2－2a＋1；
当－1＜a＜1时，a＜1＜a＋2，
f(x)max＝f(1)＝2；
当a≥1时，f(x)在[a，a＋2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a＋1.
∴f(x)max＝
课时跟踪检测（十五） 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
层级一 学业水平达标
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝－x2＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
解析：选C 因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：选C 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
3．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
解析：选B 用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
解析：选A 因为图中四个函数都有零点，且D图中有四个零点，虽然这四个函数的图象在零点附近都是连续不断的，但由于A图中的函数不满足“函数在该零点左右函数值异号”，故只有A图不满足零点存在的条件，因此选A.
5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x，f(x)对应值：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数y＝f(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4) <0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，所以函数y＝f(x)在区间(1,7)内至少有4个零点．
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2,3)内．
答案：(2,3)
7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
答案：a2＝4b
8．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.所以函数f(x)在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
解析：[1,4]的中点为2.5.
f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
答案：－2.25
9．用二分法求方程x2－2＝0的一个正实数解的近似值．(精确到0.1)
解：令f(x)＝x2－2，由于f(0)＝－2<0，f(2)＝2>0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝0，b0＝2
f(0)＝－2，f(2)＝2
[0,2]
x0＝1
f(x0)＝－1<0
[1,2]
x1＝1.5
f(x1)＝0.25>0
[1,1.5]
x2＝1.25
f(x2)≈－0.438<0
[1.25,1.5]
x3＝1.375
f(x3)≈－0.109<0
[1.375,1.5]
x4＝1.437 5
f(x4)≈0.066>0
[1.375，1．437 5]
由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度为1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1.
故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．
10．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
证明：∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，即a＞c.
∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.
在区间[0,1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
层级二 应试能力达标
1．方程(x＋1)(x－2)(x＋3)＋x＝0的一个实数解所在的大致区间不可能是( )
A．[－3，－2] B．[－2，－1]
C．[0,2] D．[2,4]
解析：选D 设f(x)＝(x＋1)(x－2)(x＋3)＋x，则其图象是连续曲线，又知f(－3)＝－3<0，f(－2)＝2>0，所以f(x)在[－3，－2]内有零点，即原方程在[－3，－2]内有实数解．同理原方程在[－2，－1]，[0,2]内也必有实数解，而在[2,4]上恒有f(x)>0，所以原方程在[2,4]内没有实数解．
2．若函数f(x)图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
解析：选D f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0,1)，(1,2)，(0,2)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D正确．
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|＜0.1 B．|a－b|＜0.001
C．|a－b|＞0.001 D．|a－b|＝0.001
解析：选B 据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为＜0.01.
5．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)．
解：f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，
即f(0)·f(1)＜0，
f(x)在(0,1)内有零点，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，
f (0.5)＝－0.75＜0，
∴f(0.5)·f(1)＜0，即x0∈(0.5,1)．
取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，
f(0.75)＝－0.156 25＜0，
∴f(0.75)·f(1)＜0.即x0∈(0.75,1)．
取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，
f(0.875)≈0.34＞0.
∴f(0.75)·f(0.875)＜0.
即x0∈(0.75,0.875)．
取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，
f(0.812 5)＝0.073＞0.
∴f(0.75)·f(0.812 5)＜0，
即x0∈(0.75,0.812 5)，
而|0.812 5－0.75|＜0.1.
所以f(x)的零点的近似值可取为0.75.
6．在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称多少次就可以发现这枚假币？
解：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
课时跟踪检测（十八） 指数函数及其性质的应用（习题课）
层级一 学业水平达标
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
解析：选D ∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
∴0.90.3＞0.90.5.
2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.
3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：选B ∵函数y＝x在R上为减函数，
∴2a＋1＞3－2a，∴a＞.
4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则( )
A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2)
解析：选A f(2)＝a－2＝4，a＝，f(x)＝－|x|＝2|x|，则f(－2)＞f(－1)．
5．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：选A 定义域为R.
设u＝1－x，y＝u，∵u＝1－x在R上为减函数，
y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
6．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．
解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
7．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．
解析：设t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，
∴t＝1或t＝－2.
∵t＞0，∴t＝－2舍去．
∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.
答案：0
8．函数y＝3x2－2x的值域为________．
解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，
u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝，
所以函数y＝3x2－2x的值域是.
答案：
9．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f (x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围．
解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝x，因此g(2x－1)＜g(3x)，即2x－1＜3x，所以2x－1＞3x，解得x＜－1.
10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．
解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上所述，a＝3或.
层级二 应试能力达标
1．已知f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a＞1
C．a＜1 D．0＜a＜1
解析：选D ∵－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，
又f(x)＝a－x＝x，
∴－2＞－3，
∴＞1，∴0＜a＜1.
2．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数
D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数
解析：选A 令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1 C．3 D.
解析：选C 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
4．函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选B 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a＜1，故选B.
5．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．
解析：由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝1－x2的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝1－x2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数．所以函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
6．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
解析：∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x.即x>.
答案：
7．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
解：(1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100× (1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；
…
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7(万人)．
8．设函数f(x)＝－，
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
解：(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝.
因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，
f(x)max＝f(2)＝.
所以函数f(x)在[1,2]上的值域为.
课时跟踪检测（十六） 实数指数幂及其运算
层级一 学业水平达标
1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A．(－1)和(－1) B．0－2和0
C．2和4 D．4和－3
解析：选C 选项A中，(－1)和(－1) 均符合分数指数幂的定义，但(－1) ＝＝－1，(－1) ＝＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，2＝，4＝＝2＝，满足题意．故选C.
2．已知：n∈N，n＞1，那么等于( )
A．5 B．－5
C．－5或5 D．不能确定
解析：选A ＝＝5.
3．计算的结果为( )
A. B. C．－ D．－
解析：选A ＝＝－1＝.
4．化简[]的结果为( )
A．5 B. C．－ D．－5
解析：选B []＝[(－5)] ＝5＝.
5．计算(2a－3b)·(－3a－1b)÷(4a－4b)得( )
A．－b2 B.b2 C．－b D.b
解析：选A 原式＝＝－b2.
6．若x≠0，则|x|－＋＝________.
解析：∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋＝1.
答案：1
7．若＋＝0，则(x2 017)y＝________.
解析：因为 ＋ ＝0，
所以 ＋ ＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
∴(x2 017)y＝[(－1)2 017]－3＝(－1)－3＝－1.
答案：－1
8. － ＋ 的值为________．
解析：原式＝ － ＋ ＝－＋＝.
答案：
9．计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1))÷；
(2)(mn－)8.
解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab
＝4ab0＝4a.
(2)原式＝(m)8(n)8＝m2n－3＝.
10．已知＋＝－a－b，求＋的值．
解：因为＋＝－a－b.
所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，
所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
层级二 应试能力达标
1．计算(n∈N＋)的结果为( )
A. B．22n＋5
C．2n2－2n＋6 D.2n－7
解析：选D 原式＝＝＝27－2n＝2n－7.
2.0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－ B. C. D.
解析：选D 原式＝1－(1－22)÷2＝1－(－3)×＝.故选D.
3．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a B．a C．a D．a
解析：选C ＝＝＝＝a2·a－＝a2＝a.
4．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A. B. C．1 D.
解析：选B ∵x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.
∴x8＝9.∴x＝＝.
5．如果a＝3，b＝384，那么an－3＝________.
解析：an－3＝3n－3＝3[(128)]n－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
6．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案： 2
7．化简求值：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2)8－(0.5)－3＋－6×；
(3)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0.
解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)8－(0.5)－3＋－6×＝(23)－(2－1)－3＋(3)－6×＝22－23＋33×－3＝4－8＋27×＝4.
(3)原式＝(－1)×＋－＋1
＝＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
8．已知a＝3，求＋＋＋的值．
解：＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
课时跟踪检测（十） 函数的奇偶性
层级一 学业水平达标
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
解析：选B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：选B F(－x)＝f(－x)＋f (x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
3．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
解析：选C ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
4．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
解析：选C f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
5．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
解析：选A ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)即f(－π)>f(3)>f(－2)．
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
7．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
8．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
答案：5
9．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，
∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，x≠0.
∵f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
层级二 应试能力达标
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x
解析：选A 易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.
2．若f(x)＝(x－a)(x＋3)为R上的偶函数，则实数a的值为( )
A．－3 B．3
C．－6 D．6
解析：选B 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化简得(6－2a)x＝0.因为x∈R，所以6－2a＝0，即a＝3.
3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
解析：选B ∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)≠0，
∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
解析：选A 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)5．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－ 3)∪(0,3)．
答案：[－6，－3)∪(0,3)
6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．
解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)答案：f(－2)7．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
解：原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，
所以f(m－1)因为f(x)是减函数，
所以m－1>2m－3，
所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0所以1综上得18．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求a的取值范围．
解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减，
∵2a2＋a＋1＝22＋＞0，
2a2－2a＋3＝22＋＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，
∴2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，
即3a－2＞0，解得a＞，
∴a的取值范围为.
课时跟踪检测（十四） 函数的零点
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝x2－x－1的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选C ∵Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，
∴方程x2－x－1＝0有两个不相等的实根，
故函数f(x)＝x2－x－1有2个零点．
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1 B.，1
C.，－1 D．－，1
解析：选B 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．3
解析：选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 当x＜0时，x(x＋4)＝0的解为x＝－4；当x≥0时，x(x－4)＝0的解为x＝0或x＝4.故f(x)有3个零点．
5．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
6．函数f(x)＝(x－1) (x2＋3x－10)的零点有______个．
解析：∵f(x)＝ (x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：3
7．若函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，则f(1)＝________.
解析：因为函数f(x)＝2x2－ax＋3有一个零点为，所以是方程2x2－ax＋3＝0的一个根，则2×－a＋3＝0，解得a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，则f(1)＝2－5＋3＝0.
答案：0
8．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴∴∴－1＜b＜0.
答案：(－1,0)
9．判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点．
(1)f(x)＝x2＋3x－15；
(2)f(x)＝x3－x.
解：(1)由x2＋3x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，得x1＝－5，x2＝3，
所以函数f(x)的零点是－5,3.
(2)因为x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)．
令f(x)＝0，即x(x－1)(x＋1)＝0.
所以f(x)的零点有0,1，－1.
10．已知函数f(x)＝ax2＋2(a＋1)x＋a－1.
(1)求a为何值时，函数的图象与x轴有两个交点；
(2)如果函数的一个零点在原点，求a的值．
解：(1)若函数的图象与x轴有两个交点，则已知函数为二次函数，且方程f(x)＝0有两个不相等的实数根，于是有a≠0，Δ>0.
又Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)>0，即a>－，所以满足题意的实数a的取值范围为∪(0，＋∞)．
(2)如果函数的一个零点在原点，即x＝0是方程f(x)＝0的一个根，易得a－1＝0，解得a＝1.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0,0)，(2,0) B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2 D．0,2
解析：选C 令f(x)＝0，得x(x－2)( x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a≤0
C．a≥0 D．a＜0
解析：选B 函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.
3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f (x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一个实根 B．至多有一个实根
C．没有实根 D．有唯一实根
解析：选D f(x)＝－x－x3的图象在[a，b]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f(a)·f(b)＜0，可得f(x)＝0在[a，b]内有唯一一个实根．
4．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．3
解析：选A f(x)＝x＋在(1,2)上有零点，即方程x＋＝0，亦即x2＝－a在(1,2)上有根．∴－1＜a＜－4，故选A.
5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3 0
6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
解析：∵x＝0不是方程x3＋x2－2x－1＝0的根，
∴原方程可化为x2＋x－2－＝0，
即x2＋x－2＝.
令f(x)＝x2＋x－2，g(x)＝，
∴原方程的根即为f(x)与g(x)图象交点的横坐标，其图象如图．由图象知①②③正确．
答案：①②③
7．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点．
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
课时跟踪检测（四） 交集与并集
层级一 学业水平达标
1．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C． {x|0解析：选A 借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．
2．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{0,1}
C．{0,3} D．{3}
解析：选C 因为B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0,3,6,9}，所以A∩B＝{0,3}．
3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
解析：选A 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
解析：选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，
即A＝{1,2}，B＝{2,5}．
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1解析：选C ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x可知a>－1.
6．(江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，
∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，
∴A∪B中元素个数为5.
答案：5
7．若集合A＝{x|－1解析：借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x<5}．
答案：R {x|－1＜x≤1，或4≤x<5}
8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设所求人数为x，则x＋10＝30－8?x＝12.
答案：12
9．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N.∵M＝{2}，∴2∈N.
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
10．已知集合A＝{x|－2(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|－2又A∩B＝?，∴m≤－2.
(2)∵A＝{x|－2由A∩B＝A，得A?B，∴m≥4.
层级二 应试能力达标
1．设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
解析：选B 由题意，得M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1, 0,1}．
2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
解析：选D 集合M，N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解得
3．下列四个命题：①a∈(A∪B)?a∈A；②a∈(A∩B)?a∈(A∪B)；③A?B?A∪B＝B；④A∪B＝A?A∩B＝B.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C a∈(A∪B)?a∈A或a∈B，所以①错，由交集、并集的定义，易知②③④正确．
4．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于( )
A．{y|y＝－1或0} B．{x|x＝0或1}
C．{(0，－1)，(1,0)} D．{y|y≥－1}
解析：选D M＝{x|y＝x2－1}＝R，N＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，故M∩N＝{y|y≥－1}．
5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析：∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，
A∪B＝{0,1,2,4, 16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，
解得a＝4.
答案：4
6．已知A＝{x|a5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，
则解得－3≤a<－1.
答案：－3≤a<－1
7．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
解：∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
8．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．
(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；
(2)求能使A?(A∩B)成立的a的取值范围．
解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．
又B＝{x|3≤x≤22}，
所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．
(2)由A?(A∩B)，可知A?B，
又因为A为非空集合，
所以解得6≤a≤9.
